1
00509 Dynamika bryły sztywnej D
TEORIA
00509
Dynamika bryły sztywnej D
Momenty: bezwładności, siły i pędu.
Praca, moc i energia w ruchu obrotowym.
Zasada zachowania momentu pędu.
Przykładowe zadania.
Instrukcja dla zdającego
1.
Proszę sprawdzić, czy arkusz teoretyczny zawiera 10
stron. Ewentualny brak naleŜy zgłosić.
2.
Do arkusza moŜe być dołączona karta wzorów i sta-
łych fizycznych. Jeśli jest, naleŜy ją dołączyć do od-
dawanej pracy.
3.
Proszę uwaŜnie i ze zrozumieniem przeczytać zawar-
tość arkusza.
4.
Proszę precyzyjnie wykonywać polecenia zawarte w
arkuszu: rozwiązać przykładowe zadania, wyprowa-
dzić wzory, gdy jest takie polecenie.
5.
Proszę analizować wszelkie wykresy i rysunki pod
kątem ich zrozumienia.
6.
W trakcie obliczeń moŜna korzystać z kalkulatora.
7.
Wszelkie fragmenty trudniejsze proszę zaznaczyć w
celu ich późniejszego przedyskutowania.
8.
Uzupełniaj wiadomości zawarte w arkuszu o informa-
cje zawarte w Internecie i dostępnej ci literaturze.
9.
Znak * dotyczy wiadomości wykraczających poza
ramy programu „maturalnego”.
śyczymy powodzenia!
(Wpisuje zdający przed rozpoczęciem pracy)
PESEL ZDAJĄCEGO
Aktualizacja
Maj
ROK 2008
Dane osobowe właściciela arkusza
2
00509 Dynamika bryły sztywnej D
TEORIA
Temat: 39
Ruch obrotowy bryły sztywnej
pod działaniem stałego momentu siły.
1.
Po krótkiej analizie kinematyki bryły sztywnej przechodzimy do dynamicznego opisu ruchu obro-
towego bryły sztywnej.
2.
Rozpatrzmy bryłę sztywną, do której w róŜnych punktach przyłoŜone są róŜne siły (rys. 1). Jakie
warunki muszą być spełnione, aby ta bryła pozostawała w równowadze ?
Pierwszy z warunków jest identyczny z do-
tyczącym punktu materialnego (I zasada
dynamiki): wypadkowa wszystkich sił dzia-
łających na bryłę musi być równa zeru:
(1)
r
r
r
r
F
F
F
F
n
n
i
n
1
2
1
0
+
+ ⋅⋅⋅+
=
=
=
∑
Rysunek 2 wyjaśnia, Ŝe ten warunek nie
jest wystarczający.
Zatem skutek działania sił na bryłę sztywną
zaleŜy nie tylko od wartości działających
sił, ale równieŜ od połoŜenia linii działania
sił względem określonego punktu (osi obro-
tu), W przypadku pokazanym na rysunku
3a oraz 3b mówimy, Ŝe istnieje moment si-
ły względem siły obracającej krąŜek. W przypadku widocznym na rys. 3c - moment siły nie wy-
stępuje (jest równy zeru).
r
F
1
r
r
r
F
Rys. 2
r
F
2
Rys. 3a Rys. 3b
r
F
KrąŜek obraca się KrąŜek obraca się
w prawo w lewo
r
Rys. 3c KrąŜek pozostaje nieruchomy
r
F
Zatem: momentem siły
r
M
względem dowolnego punkt 0 lub momentem obrotowym nazywamy
wektor, którego wartość równa jest iloczynowi wartości siły
r
F
i jej ramienia r, a więc odległości
linii działania siły
r
F
od punkt 0.
r
F
2
r
F
1
r
F
3
r
F
4
Rys. 1
5
F
r
3
00509 Dynamika bryły sztywnej D
TEORIA
*Zgodnie z rys. 4 mamy:
(2)
M
F r
F r
= ⋅ = ⋅
sin
α
lub wektorowo:
(3)
r
r
r
M
R
F
= ×
.
PoniewaŜ na rys. 3a,b,c
r
r
R
F
⊥
, dlatego
(4)
M
F R
F R
= ⋅
= ⋅
sin 90
0
.
RównieŜ dla przypadku
r
r
R
F
⊥
zachodzi równość
r
R
r
=
i wtedy moŜemy zapisać:
(5)
M
F r
= ⋅
.
3.
*Teraz moŜemy podać drugi warunek równowagi
ciała sztywnego:
(6)
r
r
R
F
i
i
i
× =
∑
0
.
4.
Moment siły względem punktu 0 jest wektorem prostopadłym do płaszczyzny, w której leŜy punkt
i linia działania siły
r
F
(zresztą wynika to z określenia iloczynu wektorowego), przy czym ma on
znak dodatni, gdy siła jest skierowana tak względem punktu 0, Ŝe obraca bryłę zgodnie z kierun-
kiem ruchu wskazówek zegara (rys. 3c), lub ujemny, gdy kierunek obrotu bryły jest przeciwny
(rys. 3a). JeŜeli natomiast linia działania siły
r
F
przechodzi przez punkt 0, to ramię siły r = 0, a
więc i moment siły
r
M
jest równy zeru (rys.3b ). Jak juŜ było stwierdzone, rysunki 3a,b,c dotyczą
przypadku
r
r
R
F
⊥
. Tylko takimi przypadkami będziemy się zajmować na dalszych stronach ni-
niejszego kursu.
Temat: 40 Praca i moc w ruchu jednostajnym obrotowym.
1.
Wprawienie ciała w ruch obrotowy jest związane z nadaniem mu przyspieszenia, a więc z
wykonaniem określonej pracy. RównieŜ utrzymanie ciała w stanie ruchu obrotowego jed-
nostajnego w warunkach, w których występują siły przeciwdziałające mu, wymaga wyko-
nania niezbędnej pracy do ich pokonania.
ZałóŜmy, Ŝe na obwodzie tarczy obracającej się
jednostajnie dookoła osi (rys. 1) działa stała co
do wartości siła
r
F
prostopadła do promienia
wodzącego
r
r
pokonująca opory ruchu. JeŜeli po
czasie t punkt przyłoŜenia siły przebędzie drogę
liniową
s
r
= ⋅
α
, to wykonana przez tę siłę praca
pokonywania oporów ruchu wyrazi się wzorem:
(1)
W
F s
= ⋅
,
lub
(2)
W
F r
= ⋅ ⋅
α
.
Iloczyn F r
⋅
jest momentem siły względem osi
obrotu, zatem:
(3)
W
M
=
⋅
α
.
0
•
r
r
R
α
r
F
Rys. 4
r
r
r
F
0
α
r
r
r
F
Rys. 1
4
00509 Dynamika bryły sztywnej D
TEORIA
Wniosek: I
Jeśli moment M utrzymuj cy cia o w ruchu obrotowym zachowuje sta
wartość
ą
ł
łą
,
to wykonana przez niego praca jest równa iloczynowi momentu M i drogi k towej
ą
.
α
2.
Za pomocą prostego rozumowania moŜemy wyznaczyć moc:
(4)
P
W
t
M
t
M
=
=
⋅
=
⋅
α
ω
, bowiem
ω
α
=
t
w rozpatrywanym rodzaju ruchu.
Wniosek: II
Miar mocy w ruchu obrotowym jednostajnym jest iloczyn dzia aj cego na
ą
ł ą
cia o momentu obrotowego M i jego prędkości k towej
ł
ą
ω
.
Temat: 41
Energia kinetyczna w ruchu obrotowym.
Moment bezwładności.
1.
Tematem analizy będzie energia kinetyczna bryły sztywnej znajdującej się w ruchu obro-
towym jednostajnym. Dla prostoty rozwaŜań - bryłę stanowić będzie tarcza o masie m
składająca się z bardzo duŜej liczby elementów o masach m
1
, m
2
, ... m
n
tak małych, Ŝe
moŜna przyjąć je za punkty materialne obracające się dokoła osi przechodzącej przez jej
ś
rodek cięŜkości (masy) ze stałą prędkością kątową (rys. 1).
r
r
Wektor wodzący m
1
punktu tarczy m
2
r
v m
3
m
4
Wektor prędkości m
5
punktu tarczy
m
n
Rys. 1
Energia kinetyczna pojedynczego elementu wynosi:
(1)
E
m v
k
i i
i
=
2
2
lub po podstawieniu
v
r
i
i
= ⋅
ω
(pamiętamy, Ŝe dla kaŜdego punktu tarczy
ω
jest jednakowe)
(2)
E
m
r
k
i
i
i
=
ω
2
2
2
.
5
00509 Dynamika bryły sztywnej D
TEORIA
Energia kinetyczna całej tarczy jest równa sumie energii jej poszczególnych elementów:
(3)
E
E
m
r
m r
k
k
i
n
i
i
i
n
i i
i
n
i
=
=
=
=
=
=
∑
∑
∑
1
2
2
1
2
2
1
2
2
ω
ω
Zastanowimy się teraz nad wyraŜeniem, które pozostało pod znakiem sumy, a mianowicie:
(4)
m r
i i
i
n
2
1
=
∑
Suma iloczynów mas poszczególnych cząstek bryły i kwadratów ich odległości od osi ob-
rotu jest miarą bezwładności bryły i nosi nazwę momentu bezwładności I bryły względem
danej osi obrotu: (5a) I =
m r
i i
i
n
2
1
=
∑
.
*W przypadku ciała sztywnego o ciągłym rozkładzie masy dzielimy je w myśli na nie-
skończenie małe elementy masy dm i sumowanie we wzorze (5a) zastępujemy całkowa-
niem. Wtedy moment bezwładności wyraŜa się wzorem:
(6)
I
r dm
=
∫
2
,
przy czym całkowanie rozciągnięte jest na całą objętość ciała.
Ze wzoru (6) widać, Ŝe o bezwładności obracającej się bryły nie decyduje suma mas po-
szczególnych cząstek bryły. Zasadnicze znaczenie ma rozmieszczenie mas względem osi
obrotu.
Wracamy teraz do równania (4), które zapiszemy:
(7)
E
I
k
=
⋅
ω
2
2
Wniosek:
Energia kinetyczna E
k
obracającego się ciała dokoła osi przechodzącej przez jej środek
masy jest równa połowie iloczynu momentu bezwładności tego ciała (moment ten ozna-
czamy literą I ) względem osi obrotu i kwadratu jej prędkości kątowej
ω
.
2.
Jednostką momentu bezwładności jest iloczyn jednostki masy i kwadratu jednostki długo-
ś
ci, a więc w układzie SI mamy:
(8)
[ ]
[
]
I
kg m
=
⋅
2
6
00509 Dynamika bryły sztywnej D
TEORIA
3.
Momenty bezwładności ciał geometrycznie określonych oblicza się zazwyczaj za pomocą
wzorów wyprowadzonych przy uŜyciu rachunku całkowego. Oto kilka wyników takich
obliczeń:
a)
kula jednorodna o promieniu R i masie m, oś obrotu przechodzi przez środek kuli
I
m R
=
⋅
2
5
2
b)
krąŜek (walec lub dysk) względem osi obrotu przechodzącej przez środek masy
wzdłuŜ długości krąŜka
I
m R
=
⋅
1
2
2
c)
pręt względem osi przechodzącej przez jego koniec i do niego prostopadłej:
I
m L
=
⋅
1
3
2
, gdzie L oznacza długość pręta.
Temat: 42
I i II zasada dynamiki dla ruchu obrotowego.
1.
Bezwładność, czyli samoistne podtrzymywanie stanu spoczynku lub ruchu jednostajnego, jest
cechą ciał, która przejawia się nie tylko w ruchu postępowym Liczne doświadczenia prowa-
dzą do wniosku, Ŝe i w ruchu obrotowym ciała (bryły) wykazują bezwładność. MoŜna więc
analogicznie, jak to miało miejsce w dynamice punktu materialnego, podać I zasadę dynamiki
dla ruchu obrotowego brył. Pamiętając o tym, Ŝe przyspieszenie kątowe bryły wywołują nie-
zrównowaŜone momenty sił, moŜna tę zasadę sformułować następująco:
W inercjalnym układzie odniesienia bryła nie obraca się lub obraca się ruchem
jednostajnym, gdy nie działają na nią Ŝadne momenty sił lub działające momen-
ty sił równowaŜą się wzajemnie:
(1)
r
r
r
r
r
r
M
M
M
M
M
M
i
i
n
n
=
∑
=
+
+
+
+ ⋅⋅⋅+
=
1
1
2
3
4
0
2.
Podany powyŜej warunek równowagi dla ruchu obrotowego nie określa jednak całkowicie
równowagi bryły, która moŜe jednocześnie wykonywać ruch obrotowy i postępowy. Dlatego
teŜ dopiero łączne spełnienie warunków równowagi obu rodzajów ruchu daje pewność, Ŝe
bryła uprzednio spoczywająca pozostanie w spoczynku. Podstawą statyki bryły są następu-
jące dwa równania, które łącznie wzięte określają równowagę bryły:
r
r
r
r
r
r
M
M
M
M
M
M
i
i
n
n
=
∑
=
+
+
+
+ ⋅⋅⋅+
=
1
1
2
3
4
0
,
(2)
r
r
r
r
r
r
F
F
F
F
F
F
i
i
n
n
=
∑
= +
+ +
+ ⋅⋅⋅+
=
1
1
2
3
4
0
.
7
00509 Dynamika bryły sztywnej D
TEORIA
3.
Rozpatrzymy teraz przypadek, gdy na bryłę sztywną działa niezrównowaŜony moment siły.
W tym celu załóŜmy, Ŝe na ciało sztywne o masie m związane z osią obrotu i mogące poru-
szać się wokół niej po torze kołowym o promieniu r, działa stała co do wartości siła obwodo-
wa
r
F , której wartość momentu
r
M wynosi M
F r
= ⋅
.
Pod wpływem działania tej siły bryła uzyska przyspieszenie
r
a , którego wartość spełnia rów-
nanie słuszne dla kaŜdego jej punktu:
(3)
F
m a
= ⋅
.
Podstawiając do (3)
a
r
= ⋅
ε
i mnoŜąc obie strony równania przez r, otrzymamy dla kaŜdego
punktu bryły:
(4)
F r
m
r
⋅ = ⋅ ⋅
ε
2
,
Pamiętając, Ŝe
M
F r
= ⋅
moŜemy napisać:
(5)
M
m
r
= ⋅ ⋅
ε
2
Przejdziemy teraz od poszczególnych punktów bryły sztywnej do bryły jako całości sumując
wszystkie elementarne momenty M
i
dające moment całkowity M
C
bryły
(6)
M
M
m r
I
C
i
i
n
i i
i
n
=
=
= ⋅
=
=
∑
∑
1
2
1
ε
ε
.
lub
ε
=
M
I
[w zapisie wektorowym: (7a)
r
r
ε
=
M
I
]
ZaleŜność (7), a dokładniej (7a) stanowi podstawowe równanie dynamiki ruchu obrotowego
bryły sztywnej:
NiezrównowaŜony moment siły
r
M działając na bryłę nadaje jej przyspieszenie
kątowe
r
ε
, którego wartość jest wprost proporcjonalna do wartości tego mo-
mentu i odwrotnie proporcjonalna do momentu bezwładności I bryły, przy czym
jest ono skierowane tak samo jak moment
r
M .
Ze wzoru (7) widać, Ŝe moment bezwładności w ruchu obrotowym spełnia tę samą rolę co
masa w ruchu postępowym - jest mianowicie miarą bezwładności bryły, natomiast moment si-
ły odgrywa w ruchu obrotowym taką rolę jak siła w ruchu postępowym.
Zadanie:
1.
Wirnik silnika elektrycznego o mocy 10[kW] i prędkości obrotowej 2800
min
obr
ma moment
bezwładności równy 0,025
[
]
2
m
kg
⋅
. Oblicz moment obrotowy i energię kinetyczną wirnika
oraz czas rozruchu silnika.
(Odp. M = 34[N·m], E
k
= 1100 [J], t = 0,22[s])
8
00509 Dynamika bryły sztywnej D
TEORIA
Temat: 43
Wnioski z zasady zachowania krętu.
1.
*W kaŜdym nie odosobnionym układzie ciał moŜemy wyróŜnić siły wewnętrzne i zewnętrzne.
Siły wewnętrzne działające między poszczególnymi częściami układu występują parami,
zgodnie z III zasadą dynamiki. Jako równe i przeciwnie skierowane dają one w układzie wy-
padkową siłę równą zeru. WykaŜemy, Ŝe ich moment wypadkowy względem dowolnego
punktu teŜ się równa zeru (rys. 1).
-
r
F
r
F
r
R
2
r
R
1
r
0
Rys. 1
Momenty sił
r
F i -
r
F względem punktu 0 równają się F·r i -F·r. Są więc sobie liczbowo rów-
ne, mają kierunki jednakowe, lecz zwroty przeciwne: moment siły -
r
F skierowany jest przed
płaszczyznę rysunku, moment siły
r
F - za płaszczyznę rysunku.
Zatem: Siły wewnętrzne nie mają wypadkowego momentu siły, czyli nie mogą powodować
zmiany momentu pędu (krętu).
2.
Czy to jednak dowodzi, Ŝe w układzie odosobnionym ( a więc takim, w którym nie działają
siły zewnętrzne) nie mogą zajść Ŝadne zmiany w ruchu obrotowym ciała ?
Stałości wypadkowego momentu pędu L odpowiada stałość iloczynu
I
⋅
ω
.JeŜeli mamy moŜ-
liwość zmieniania momentu bezwładności układu pod działaniem sil wewnętrznych, to zmia-
nom tym muszą towarzyszyć takie zmiany prędkości kątowej
ω
, aby iloczyn
I
⋅
ω
był stały.
3.
Jeśli łyŜwiarz wykonuje piruet na lodzie, to rozsuwając szeroko ręce zwiększa swój moment
bezwładności, a tym samym zmniejsza prędkość kątową obrotu. I odwrotnie - „skupiając”
moŜliwie najbardziej całą swoją masę dokoła osi obrotu zmniejsza swój moment bezwładno-
ś
ci, co powoduje wzrost prędkości kątowej
ω
.
4.
Analogiczne spostrzeŜenie poczynimy obserwując człowieka siedzącego na stołku kręcącym
się dokoła osi pionowej i trzymającego w rękach cięŜkie kule. Składanie rąk na piersi, a na-
stępnie rozkładanie ich moŜliwie szeroko powoduje zmianę momentu bezwładności, a równo-
cześnie zmianę prędkości kątowej układu.
5.
Niech człowiek stojący na nieruchomym stołku trzyma w ręku oś pionową, na której jest
zamocowane koło rowerowe. JeŜeli człowiek wprawi w ruch obrotowy trzymane nad sobą ko-
ło, to stołek zacznie obracać się przy tym w przeciwną stronę, aby utrzymać wypadkowy mo-
ment pędu jako nadal zerowy.
9
00509 Dynamika bryły sztywnej D
TEORIA
6.
Rozpatrzone powyŜej przykłady dają wyniki zgodne z zasadą zachowania momentu pędu. W
ostatnim przykładzie kręt początkowy układu wynosił zero i musiał zachować swoją wartość:
zatem kręt koła
I
k
k
⋅
ω
musi być równowaŜony przeciwnym co do znaku, lecz równym co do
wartości krętem
I
s
s
⋅
ω
stołka i stojącego na nim człowieka.
7.
Podobnie przemieszczanie się warstw powietrza w pobliŜu powierzchni Ziemi związane z
róŜnicami ciśnień powoduje zmiany momentu bezwładności układu Ziemia - atmosfera, co
pociąga za sobą małe, ale mierzalne zmiany prędkości kątowej
ω
. Zmniejszanie rozmiarów
podczas stygnięcia jej skorupy równieŜ miało wpływ na wartość prędkości kątowej Ziemi.
Temat: 44
Zestawienie podstawowych wielkości i wzorów
obowiązują-
cych w ruchu postępowym i obrotowym brył sztywnych.
Ruch postępowy Ruch obrotowy
v
ds
dt
=
prędkość
ω
α
=
d
dt
a
dv
dt
=
przyspieszenie
ε
ω
=
d
dt
m
masa / moment bezwładności
I
F
siła / moment siły
M
F
m a
= ⋅
II zasada dynamiki
M
I
= ⋅
ε
p
m v
= ⋅
pęd / moment pędu
L
I
= ⋅
ω
F
dp
dt
=
ogólna postać
II zasady dynamiki
M
dL
dt
=
E
m v
k
=
⋅
2
2
energia kinetyczna
E
I
k
=
⋅
ω
2
2
Temat: 45
Zadania.
1.
Koło w postaci dysku o masie 3[kg] toczy się bez poślizgu po płaszczyźnie poziomej z pręd-
kością 3
s
m
. Na jakiej drodze moŜe być ono zatrzymane, jeŜeli do obwodu koła przyłoŜymy
siłę o wartości 1,5[N] ?
(Odp. s = 13,5 m)
2.
Z jaką prędkością stoczy się bez poślizgu pełny walec po równi pochyłej o wysokości 3[m] ?
(Odp. v = 6,26
m
s
)
3.
Moment bezwładności koła napędowego silnika wynosi I =
[
]
2
2
,
0
m
kg
⋅
. W jakim czasie uzy-
ska ono prędkość kątową n = 1800[obr/min], jeŜeli moc silnika wynosi P = 200[W]?
(Odp. t = 17,74 s)
4.
Ile razy wzrośnie energia kinetyczna ciała obracającego się, jeŜeli częstość obrotów wzrośnie
dwukrotnie ?
(Odp. n = 4)
10
00509 Dynamika bryły sztywnej D
TEORIA
5.
Jak i ile razy zmieni się częstotliwość obrotów łyŜwiarki, jeŜeli poprzez zmianę układu ciała
jej moment bezwładności względem osi obrotu zmniejszy się trzykrotnie ?
( n = 3 )
6.
Po równi pochyłej nachylonej do poziomu pod kątem
α
stacza się bez poślizgu jednorodny
walec o masie m. Oblicz wartość działającej w tym ruchu siły tarcia. Moment bezwładności
walca względem jego osi obrotu wyraŜa się wzorem
I
m r
=
⋅
1
2
2
. Przyspieszenie ziemskie
wynosi g.
(Odp.
T
mg
=
⋅
1
3
sin
α
)
7.
Na lekkiej belce, spoczywającej na dwóch podporach odległych o 6[m], trzeba zawiesić ciało
o cięŜarze 1200[N]. W którym miejscu belki naleŜy je zawiesić, aby nacisk belki na jedną z
podpór wynosił 500[N]?
(Odp. x = 3,5[m] od belki, na którą nacisk wynosi 500[N])
8.
Koło zamachowe wykonujące początkowo 12 obrotów na sekundę zatrzymuje się po 6 s. Ob-
licz średnie przyspieszenie kątowe.
(Odp.
ε
ś
r
rad
s
=
12 56
2
,
)
9.
Walec i cienkościenna rurka o tych samych masach i promieniach oraz momentach bezwład-
ności wynoszących odpowiednio
I
m R
1
2
1
2
=
⋅
(walec) i
I
m R
2
2
= ⋅
(rurka) wtaczają się z
jednakową prędkością na równię pochyłą. Które z tych ciał osiągnie większą wysokość ?
(Odp. rura)
10.
Koło zamachowe o momencie bezwładności I = 245
[
]
2
m
kg
⋅
obraca się wykonując w chwili
początkowej n = 20
s
obr
i po pewnym czasie zatrzymuje się wykonując N = 1000[obrotów].
Oblicz moment sił tarcia oraz czas, po którym koło zatrzymało się
(Odp. M = 308
[
]
m
N
⋅
, t = 100[s])
11.
Kula o masie m = 150[g] toczy się po płaszczyźnie poziomej z prędkością 8
s
m
. Jaką siłą F na
drodze s =12[m] moŜna ją zahamować aŜ do zatrzymania się ?
(Odp. F = 0,56 N)
12.
Oblicz moment siły hamującej M, który zatrzyma w czasie t = 15[s] dysk o masie m = 10[kg] i o
promieniu r = 12[cm] obracający się z prędkością n = 1800
min
obr
.
(Odp. M = 0,9
[
]
m
N
⋅
)
13.
Oblicz, jaką część energii kinetycznej stanowi energia obrotu w przypadku toczących się bez
poślizgu po poziomej płaszczyźnie
a) obręczy (
I
m r
= ⋅
2
), b) pełnego walca, c) kuli.
14.
Oblicz moment obracający koło napędowe silnika, jeŜeli przy rozwijanej mocy P = 5 kW daje on
n = 2880
min
obr
.
(Odp. M = 16,6
[
]
m
N
⋅
)