K. J. Andrzejczak, MPiS30 W04: Zmienne losowe I
1
MPiS30 W04: ZMIENNE LOSOWE I
1.
Zmienna losowa i jej rozkład
Przykład 1
2.
NiezaleŜność zmiennych losowych
Przykład 2
3.
Dystrybuanty, ich własności i zastosowanie
Przykład 3
Przykład 4
Przykład 5
Przykład 6
4.
Zmienna losowa typu dyskretnego
Przykład 7
K. J. Andrzejczak, MPiS30 W04: Zmienne losowe I
2
5.
Związek pomiędzy dystrybuantą a funkcją praw-
dop.
6.
Warunkowe zmienne losowe i ciągi niezaleŜnych
prób
Przykład 8
Przykład 9
K. J. Andrzejczak, MPiS30 W04: Zmienne losowe I
3
1. Zmienna losowa i jej rozkład
Niech dana będzie przestrzeń probabilistyczna (
Ω
, B, P).
Zmienną losową (ozn. zm. l.) o wartościach rzeczywistych
(ang.
real-valued random variable
) nazywamy funkcję X
określoną na zbiorze
Ω
i przyjmującą wartości rzeczywiste:
X:
Ω
→
R,
spełniającą dla kaŜdego x
∈
R warunek:
{
ω∈Ω
: X(
ω
)
≤
x}
∈
B.
Zm. l. są oznaczane duŜymi literami X, Y, W, T, Z, a w razie
potrzeby dodatkowo z indeksami.
K. J. Andrzejczak, MPiS30 W04: Zmienne losowe I
4
Z def. zm. l. wynika, Ŝe dla x, x
1
, x
2
∈
R (gdzie x
1
< x
2
)
zdarz. są równieŜ zbiory:
{
ω∈Ω
: X(
ω
) < x}, {
ω∈Ω
: X(
ω
)
≥
x}, {
ω∈Ω
: X(
ω
) > x},
{
ω∈Ω
: X(
ω
)
=
x}, {
ω∈Ω
: X(
ω
)
∈
[x
1
, x
2
]},
{
ω∈Ω
: X(
ω
)
∈
[x
1
, x
2
)}, {
ω∈Ω
: X(
ω
)
∈
(x
1
, x
2
]},
{
ω∈Ω
: X(
ω
)
∈
(x
1
, x
2
)}.
Zdarzenia te są oznaczane: X < x, X
≥
x, X > x, X = x, x
1
≤
X
≤
x
2
, x
1
≤
X < x
2
, x
1
< X
≤
x
2
, x
1
< X < x
2
.
JeŜeli zbiór
Ω
jest skończony, to kaŜda funkcja X:
Ω
→
R
jest zm. l.
K. J. Andrzejczak, MPiS30 W04: Zmienne losowe I
5
Przykład 1. Określić zm. l. opisującą wynik badania jakości
pewnej partii wyrobów
Ω
.
Rozwiązanie.
Jako zm. l. wystarczy obrać funkcję przyjmują-
cą dwie wartości, np. 1, jeŜeli wylosowany wyrób
ω
okaŜe się
wadliwy oraz 0, jeŜeli okaŜe się dobry, tj. dla
ω
∈
Ω
:
p.
p.
w
dobrego
wyrobu
dla
,
,
1
0
=
)
(
ω
X
.
Zm. l. X z przykładu 1 nazywa się zm. l. zero-jedynkową.
Tak określona zm. l. moŜe być modelem dowolnego doświad-
czenia dychotomicznego, tj. takiego którego wynik zaliczyć
moŜna jedynie do dwóch wykluczających się kategorii.
K. J. Andrzejczak, MPiS30 W04: Zmienne losowe I
6
Ogólnie, wektor X
=
(X
1
,…, X
n
) taki, Ŝe X:
Ω
→
R
n
, tj. dla
i
=
1, 2,…, n, X
i
:
Ω
→
R, nazywamy
wektorem losowym
lub
wielowymiarową zm. l.,
jeŜeli
B
R
R
∈
≤
ω
≤
ω
∈
ω
∀
∀
∈
∈
}
)
(
,...,
)
(
:
{
...
1
1
1
n
n
x
x
x
X
x
X
n
Ω
Ω
Ω
Ω
.
Współrzędne X
i
wektora l. nazywamy
zm. l. brzegowymi.
Zbiór
wartości zm. l. X
X(
Ω
)
=
{x
∈
R
n
:
∃
ω∈Ω
x
=
X(
ω
)}
nazywamy jej obrazem.
K. J. Andrzejczak, MPiS30 W04: Zmienne losowe I
7
Niech dana będzie przestrzeń probab. (
Ω
, B, P) oraz okre-
ś
lona na niej rzeczywista zm. l. X. Ponadto niech B(R) będzie
rodziną zbiorów borelowskich na prostej.
Rozkładem prawdop. rzeczywistej zm. l. X nazywamy funk-
cję P
X
określoną wzorem:
∀
A
∈
B(R)
P
X
(A)
=
P{
ω∈Ω
: X(
ω
)
∈
A}.
Funkcja P
X
spełnia aksjomaty Kołmogorowa.
Po wprowadzeniu pojęcia zm. l. w zasadzie nie będziemy
się juŜ zajmować wyjściową przestrzenią probab., a jedynie
przestrzenią probab. indukowaną przez zm. l., czyli przestrze-
nią (R
n
, B(R
n
), P
X
).
K. J. Andrzejczak, MPiS30 W04: Zmienne losowe I
8
2. NiezaleŜność zmiennych losowych
Rzeczywiste zm. l. X
1
, X
2
,…, X
n
określone na tej samej
przestrzeni (
Ω
, B, P) nazywamy niezaleŜnymi zm. l., gdy dla
kaŜdego ciągu zbiorów borelowskich B
1
, B
2
,…B
n
∏
=
=
∈
ω
∈
ω
=
∈
ω
∈
ω
n
i
i
i
n
i
i
i
B
X
B
X
1
1
}
)
(
:
P{
)}
)
(
(
:
P{
Ω
Ω
Ω
Ω
Ω
Ω
Ω
Ω
I
.
K. J. Andrzejczak, MPiS30 W04: Zmienne losowe I
9
Przykład 2. Określić dwie róŜne zm. l. Z
1
i Z
2
opisujące wy-
nik zaliczenia przedmiotu i zbadać ich niezaleŜność.
Rozwiązanie.
Zm. l. Z
1
i Z
2
są funkcjami
Z
1
, Z
2
: {A, B, C, D, E, F}
→
R,
które określamy następująco:
Z
1
(A)
=
5;
Z
2
(
ω
)
=
0 dla
ω
∈
{F},
Z
1
(B)
=
4,5;
Z
2
(
ω
)
=
1 dla
ω
∈
Ω
\{F},
Z
1
(C)
=
4;
Z
1
(D)
=
3,5;
Z
1
(E)
=
3;
Z
1
(F)
=
2.
Zm. l. Z
1
jest określona zgodnie z systemem ocen w szkolnic-
twie wyŜszym, a Z
2
informuje o zaliczeniu przedmiotu.
K. J. Andrzejczak, MPiS30 W04: Zmienne losowe I
10
3. Dystrybuanty, ich własności i zastosowanie
Dystrybuantą
(ang.
cumulative distribution function
(CDF)) zm. l. X nazywamy funkcję rzeczywistą zmiennej rze-
czywistej F
X
: R
→
R, określoną wzorem:
F
X
(x)
=
P(X
≤
x)
=
P{
ω∈Ω
: X(
ω
)
≤
x}.
Uwaga.
Podana definicja dystrybuanty jest zgodna z nor-
mą PN-ISO 3534-1. W literaturze naukowej często dystrybu-
anta jest definiowana wzorem F
X
(x)
=
P(X < x).
Dla dwuwymiarowej zm. l. (X, Y) funkcję F
X,Y
, określoną
dla kaŜdej pary liczb rzeczywistych (x, y) wzorem:
)
,
(
P
)
,
(
)
,
(
,
2
y
Y
x
X
y
x
F
y
x
Y
X
≤
≤
=
∋
a
R
nazywamy
dystrybuantą łączną
(the join CDF.)
K. J. Andrzejczak, MPiS30 W04: Zmienne losowe I
11
Dystrybuantami
brzegowymi (marginal distribution func-
tion)
zm. l. X i Y nazywamy funkcje F
X
i F
Y
, gdzie
F
X
=
lim
y
→∞
F(x, y), F
Y
=
lim
x
→∞
F(x, y).
Twierdzenie o dystrybuancie
Funkcja F(x) jest dystrybuantą zm. l. o wartościach rzeczywi-
stych wtedy i tylko wtedy, gdy
1. jest funkcją niemalejącą, to znaczy spełnia formułę
∀
(x
1
, x
2
∈
R) (x
1
< x
2
⇒ F(x
1
)
≤
F(x
2
));
2. ma własności graniczne
0
=
)
(
lim
x
F
x
−∞
→
,
1
=
)
(
lim
x
F
x
+∞
→
,
K. J. Andrzejczak, MPiS30 W04: Zmienne losowe I
12
3. jest funkcją co najmniej prawostronnie ciągłą
1
, tj.
∀
x
∈
R,
∀ε
>0,
)
(
)
(
lim
)
(
0
x
F
x
F
x
F
def
=
ε
+
=
+
→
ε
.
Rys. 1. Graficzne przedstawienie własności dystrybuanty
1
Przyjęta co najmniej prawostronna ciągłość jest zgodna z obowiązującą normą PN-ISO 3534-1:2002.
K. J. Andrzejczak, MPiS30 W04: Zmienne losowe I
13
Twierdzenie
(o dystrybuancie niezaleŜnych zm. l.). Zm. l. X
1
,
X
2
,…, X
n
określone na tej samej przestrzeni probabilistycznej,
o wartościach w R są niezaleŜne, wtedy i tylko wtedy, gdy dla
dowolnych x
1
, x
2
…, x
n
∈
R,
∏
=
=
n
i
i
i
n
X
X
X
x
F
x
x
x
F
n
1
2
1
,...,
,
)
(
)
,...,
,
(
2
1
,
gdzie
)
,...,
,
(
2
1
,...,
,
2
1
n
X
X
X
x
x
x
F
n
jest łączną CDF, a
)
(
i
i
x
F
brzego-
wą CDF.
K. J. Andrzejczak, MPiS30 W04: Zmienne losowe I
14
Przykład 3. Niech X
1
, X
2
,…, X
n
będą niezaleŜnymi zm. l. o
dystrybuantach F
1
, F
2
,…, F
n
. Wyznaczyć dystrybuantę zm. l.
a)
Y
=
max(X
1
, X
2
,…, X
n
),
b)
Z
=
min(X
1
, X
2
,…, X
n
).
Rozwiązanie.
Z definicji dystrybuanty i załoŜenia niezaleŜ-
ności zm. l.
a)
F
Y
(x)
=
P(Y
≤
x)
=
P(max(X
1
, X
2
,…, X
n
)
≤
x)
=
P(X
1
≤
x, X
2
≤
x,…, X
n
≤
x)
=
F
1
(x) F
2
(x)…, F
n
(x).
b)
F
Z
(x)
=
P(Z
≤
x)
=
1
−
P(Z > x)
=
1
−
P(X
1
> x, X
2
> x,…,
X
n
> x)
=
1
−
P(X
1
> x) P(X
2
> x)…P(X
n
> x)
=
1
−
(1
−
P(X
1
≤
x)) (1
−
P(X
2
≤
x))…(1
−
P(X
n
≤
x))
=
1
−
Π
i
(1
−
F
i
(x)).
K. J. Andrzejczak, MPiS30 W04: Zmienne losowe I
15
Przykład 4. Sprawdzić, czy funkcja F zmiennej x z parame-
trem k > 0 określona wzorem:
k
x
k
x
x
x
k
k
x
F
≥
<
≤
<
+
=
0
0
dla
dla
dla
1
7
,
0
1
,
0
0
)
;
(
jest dystrybuantą pewnej zm. l. Sporządzić wykres funkcji F.
Rozwiązanie.
Podana funkcja jest dystrybuantą pewnej zm. l.
poniewaŜ spełnia wszystkie trzy warunki konieczne i wystar-
czające dla dystrybuanty.
K. J. Andrzejczak, MPiS30 W04: Zmienne losowe I
16
Dystrybuanty mają zastosowanie do obliczania prawdop.
zdarzeń. Dla x, x
1
, x
2
∈
R (x
1
< x
2
) korzystamy z zaleŜności:
1. P(X
=
x)
=
F(x)
−
F(x
−
)
2. P(X < x)
=
F(x
−
),
3. P(X
≤
x)
=
F(x),
4. P(X > x)
=
1
−
F(x),
5. P(X
≥
x)
=
1
−
F(x
−
),
6. P(x
1
< X
≤
x
2
)
=
F(x
2
)
−
F(x
1
),
7. P(x
1
≤
X
≤
x
2
)
=
F(x
2
)
−
F(x
1
−
),
8. P(x
1
< X < x
2
)
=
F(x
2
−
)
−
F(x
1
),
K. J. Andrzejczak, MPiS30 W04: Zmienne losowe I
17
Przykład 5. Prom kursuje między przystaniami a i b, znajdu-
jącymi się na dwu przeciwległych brzegach rzeki i odległymi
od siebie o k km. Wiadomo, Ŝe
P(A)
=
0,1
−
prawd. znajdowania się promu na przystani a,
P(B)
=
0,2
−
prawd. znajdowania się promu na przystani b.
Prom pływa ze stałą prędkością i nie zatrzymuje się na rzece
poza przystaniami. Niech X oznacza odległość promu od
przystani a.
a)
Wyznaczyć dystrybuantę F
X
zm. l. X.
b)
Obliczyć prawdop. zdarzeń:
X
=
0,5k; X
=
0; X
=
k; X > 0,5k;
X
≤
0,01k; 0,4k < X < 0,6k.
K. J. Andrzejczak, MPiS30 W04: Zmienne losowe I
18
Rozwiązanie.
a) Dystrybuanta F
X
jest określona wzorem z
przykładu 4.
b) Prawdop. wskazanych zdarzeń obliczamy z zaleŜności
podanych w punkcie 4:
P(X
=
0,5k)
=
F
X
(0,5k)
−
F
X
(0,5k
−
)
=
0;
P(X
=
0)
=
F(0)
−
F(0
−
)
=
0,1
−
0
=
0,1;
P(X
=
k)
=
F(k)
−
F(k
−
)
=
1
−
0,8
=
0,2;
P(X > 0,5k)
=
1
−
F(0,5k)
=
1
−
(0,1
+
0,35)
=
0,55;
P(X
≤
0,01k)
=
F(0,01k)
=
0,1
+
0,007
=
0,107;
P(0,4k < X < 0,6k)
=
F(0,6k
−
)
−
F(0,4k)
=
(0,1
+
0,42)
−
(0,1
+
0,28)
=
0,14.
K. J. Andrzejczak, MPiS30 W04: Zmienne losowe I
19
Przykład 6. Niech rozkład ocen z zaliczenia przedmiotu bę-
dzie równomierny.
a) Określić dwie róŜne zm. l. opisujące ocenianie wiedzy.
b) Wyznaczyć dystrybuanty F
1
i F
2
.
c) Czy zm. l. opisujące dwa sposoby oceny wiedzy są nie-
zaleŜne ?
Rozwiązanie.
a) Niech
Ω
=
{A, B, C, D, F}, gdzie zdarzenia
elementarne oznaczają otrzymaną ocenę przez losowo wybra-
nego studenta. Zm. l. Z
1
i Z
2
określamy jak w przykładzie 2.
K. J. Andrzejczak, MPiS30 W04: Zmienne losowe I
20
b) Dystrybuanty zm. l. Z
1
i Z
2
są określone wzorami:
≥
∈
∈
∈
∈
∈
<
=
.
5
),
5
;
5
,
4
[
),
5
,
4
;
4
[
),
4
;
5
,
3
[
),
5
,
3
;
3
[
),
3
;
2
[
,
2
dla
dla
dla
dla
dla
dla
dla
1
6
/
5
6
/
4
6
/
3
6
/
2
6
/
1
0
)
(
1
x
x
x
x
x
x
x
x
F
.
1
),
1
,
0
[
,
0
dla
dla
dla
1
6
/
1
0
)
(
2
≥
∈
<
=
y
y
y
y
F
K. J. Andrzejczak, MPiS30 W04: Zmienne losowe I
21
c) Sprawdzamy niezaleŜność Z
1
i Z
2
, np. czy
F
1
(3)F
2
(0)
=
F
1,2
(3, 0).
F
1
(3)
=
P(Z
1
≤
3)
=
P{E, F}
=
1/3,
F
2
(0)
=
P(Z
2
≤
0)
=
P{F}
=
1/6,
P(Z
1
≤
3, Z
2
≤
0)
=
P{F}
=
1/6, czyli F
1
(3) F
2
(0)
≠
F
(1, 2)
(3, 0).
Stąd zm. losowe Z
1
i Z
2
nie są niezaleŜne.
K. J. Andrzejczak, MPiS30 W04: Zmienne losowe I
22
4. Zmienna losowa typu dyskretnego
Zm. l. X określoną na (
Ω
, B, P) nazywamy
zm. l.
typu dys-
kretnego
(
discrete R.V.
), jeŜeli jej obraz X(
Ω
) jest zbiorem co
najwyŜej przeliczalnym.
Dystrybuanta F
X
rzeczywistej zm. l. X jest wówczas funk-
cją przedziałami stałą. Skoki ma tylko w punktach nieciągło-
ś
ci x
1
, x
2
,…, x
n
,….
Skoki w tych punktach mają wartości p
1
, p
2
,…, p
n
,…,
gdzie p
i
=
P(X
=
x
i
) = P{
ω∈Ω
: X(
ω
)
=
x
i
} oraz
Σ
p
i
=
1.
K. J. Andrzejczak, MPiS30 W04: Zmienne losowe I
23
Funkcja prawdopodobieństwa
Niech X:
Ω
→ R będzie zm. l. typu dyskretnego.
Funkcją prawdopodobieństwa (probability mass function
PMF) nazywamy funkcję f
X
: R → [0, 1] taką, Ŝe
f
X
(x)
=
P(X
=
x)
=
P{
ω∈Ω
: X(
ω
)
=
x}.
JeŜeli X(
Ω
)
=
{x
1
, x
2
, ... } oraz f
X
(x
k
)
=
p
k
, to PMF zwykle
jest podawana w postaci
=
...
...
3
2
1
3
2
1
p
p
p
x
x
x
f
X
.
K. J. Andrzejczak, MPiS30 W04: Zmienne losowe I
24
Dla wektora l. (X, Y) z obrazami X(
Ω
)
⊆
R i Y(
Ω
)
⊆
R,
moŜemy rozwaŜać zdarzenia dla kaŜdej pary ich wartości
(x
i
, y
j
), gdzie x
i
,
∈
X(
Ω
), y
j
∈
Y(
Ω
), tj.
{
ω∈Ω
: X(
ω
)
=
x
i
, Y(
ω
)
=
y
j
} (krótko {X
=
x
i
, Y
=
y
j
}).
Prawdop. P(X
=
x
i
, Y
=
y
j
) określa łączny rozkład pary (X, Y).
Funkcję f
X,Y
: R
2
→ [0, 1] określoną wzorem
f
X,Y
(x
i
, y
j
)
=
P(X
=
x
i
, Y
=
y
j
) ,
nazywamy
łączną funkcją prawdop
. (the join PMF) dla pary
X i Y.
Brzegowe f. prawdop. (“marginal” PMFs) P(X
=
x
i
) i P(Y
=
y
j
) otrzymujemy poprzez sumowanie po wszystkich warto-
ś
ciach pozostałej zm. l., tj.
K. J. Andrzejczak, MPiS30 W04: Zmienne losowe I
25
P(X
=
x
i
)
=
Σ
j
P(X
=
x
i
, Y
=
y
j
),
P(Y
=
y
j
)
=
Σ
i
P(X
=
x
i
, Y
=
y
j
).
Elementy p
ij
łącznej funkcji prawdop. zwykle umieszczamy w
tablicy dwudzielczej.
Tablica 1.
Schemat tablicy dwudzielczej
X \ Y y
1
y
2
... y
m
f
X
x
1
p
11
p
12
... p
1m
p
1
•
x
2
p
21
p
22
... p
2m
p
2
•
...
... ... ... ... …
x
n
p
n1
p
n2
... p
nm
p
n
•
f
Y
p
•
1
p
•
2
... p
•
m
1
K. J. Andrzejczak, MPiS30 W04: Zmienne losowe I
26
Twierdzenie
(o funkcji prawdop. niezaleŜnych zm. l.). Zm. l.
X
1
, X
2
,…, X
n
o rozkładach typu dyskretnego są niezaleŜne
wtedy i tylko wtedy, gdy dla kaŜdego ciągu x
1
, x
2
,…, x
n
war-
tości zm. l-wych.
P(X
1
=
x
1
, X
2
=
x
2
,…, X
n
=
x
n
)
=
Π
i
P(X
i
=
x
i
) .
Przykład 7. (Palenie i rak). W grupie 60 osób, liczby tych
którzy palą lub nie palą i mają lub nie mają raka są zebrane w
tablicy 1. Niech
Ω
będzie zbiorem zdarzeń elementarnych do-
tyczących tej grupy. Z grupy tej losujemy jedną osobę. Niech
C(
ω
)
=
1, jeśli osoba ta ma raka i 0 jeśli nie ma raka oraz
niech S(
ω
)
=
1, jeśli osoba ta pali papierosy i 0 w p.p.
K. J. Andrzejczak, MPiS30 W04: Zmienne losowe I
27
C\S
nie pali pali suma
bez raka
z rakiem
40 10
7 3
50
10
suma
47 13
60
Tablica 1. Palenie i rak
Łączny rozkład (C, S) jest dany w tablicy 2. Na przykład
P(C
=
0; S
=
0)
=
40/60, P(C
=
0, S
=
1)
=
10/60, i tak dalej.
C\S
0 1
0
1
40/60 10/60
7/60 3/60
Tablica 2. Łączny rozkład.
K. J. Andrzejczak, MPiS30 W04: Zmienne losowe I
28
Stąd rozkłady brzegowe zm. l. C i S:
=
60
/
13
60
/
47
1
0
S
f
,
=
60
/
10
60
/
50
1
0
C
f
.
Zm. l. S i C nie są niezaleŜne, poniewaŜ
P(C
=
1, S
=
1)
=
3/60
=
0,05,
a P(C
=
1) P(S
=
1)
=
0,036.
Zm. l. typu dyskretnego są modelami pomiarów w słabych
skalach. Modele jakościowego odbioru partii produktów, oce-
ny zaliczeniowej, czy rzutu kostką są przykładami takich zm.
K. J. Andrzejczak, MPiS30 W04: Zmienne losowe I
29
Związek pomiędzy dystrybuantą a funkcją prawd.
Dystrybuanta F zm. l. typu dyskretnego, w punkcie x
∈
R,
jest związana z funkcją prawd. równością:
∑
≤
=
x
x
i
i
x
f
x
F
)
(
)
(
.
Stąd w punktach skokowych x
i
otrzymujemy:
)
(
)
(
)
(
1
−
−
=
i
i
i
x
F
x
F
x
f
.
Rozkład zm. l. typu dyskretnego charakteryzują: funkcja
prawd. i dystrybuanta F. Gdy znana jest jedna z tych funkcji,
moŜna wyznaczyć drugą z nich.
K. J. Andrzejczak, MPiS30 W04: Zmienne losowe I
30
5. Warunkowe zmienne losowe i ciągi niezaleŜnych
prób
Niech na przestrzeni probabilistycznej (
Ω
, B, P) określona
będzie para (X, Y) rzeczywistych zm. l. typu dyskretnego.
JeŜeli wiadomo, jaką wartość przyjęła zm. l. Y, to warunko-
we prawdop. zm. l. X jest określone wzorem:
)
(
P
)
,
(
P
)
(
P
j
j
i
j
i
y
Y
y
Y
x
X
y
Y
x
X
=
=
=
=
=
=
.
Warunkowe prawdopodobieństwo moŜna uogólnić na ciąg
zm. l. X
1
,…, X
n
.
K. J. Andrzejczak, MPiS30 W04: Zmienne losowe I
31
Przykład 8 (kontynuacja przykładu 7). Z badanej grupy 60
osób wylosowano osobę, która miała raka. Jakie jest praw-
dop., Ŝe była palaczem?
Rozwiązanie.
Dopasowując oznaczenia do wzoru na
prawdop. warunkowe otrzymujemy
3
,
0
60
/
10
60
/
3
)
1
(
P
)
1
,
1
(
P
)
1
1
(
P
=
=
=
=
=
=
=
=
C
C
S
C
S
.
W zastosowaniach szczególną rolę odgrywają ciągi X
1
, X
2
,
. . . , X
n
niezaleŜnych zm. l. o tym samym rozkładzie (i.i.d. in-
dependent and identically distributed), zwane w statystyce
matematycznej
niezaleŜnymi próbami
.
K. J. Andrzejczak, MPiS30 W04: Zmienne losowe I
32
W praktyce statystycznej ciągi niezaleŜnych prób występu-
ją w naturalny sposób. Na przykład eksperyment polega na
obserwacji wartości W
=
{x
1
, x
2
,…, x
s
} zm. l. X o nieznanej
funkcji prawdop. PMF
=
s
s
X
p
p
p
x
x
x
f
...
...
2
1
2
1
.
Eksperyment powtarzamy niezaleŜnie n razy. Do opisania
ciągu prób wybieramy zbiór W
=
W
n
zwany przestrzenią prób
(sample space), zawierający wszystkie moŜliwe ciągi warto-
ś
ci x
=
(x
1
, x
2
,…, x
n
), gdzie x
i
∈
W dla i
=
1, 2,…, n. Wówczas
zm. l. X
1
, X
2
, . . . , X
n
opisujące wyniki poszczególnych prób
tworzą ciąg i.i.d. zm. l.
K. J. Andrzejczak, MPiS30 W04: Zmienne losowe I
33
Twierdzenie
(o dystrybuancie próby prostej). JeŜeli X
1
, X
2
,…,
X
n
jest ciągiem zm. l. i.i.d. o dystrybuancie F, to dla wszyst-
kich x
1
, x
2
…, x
n
∈
R,
∏
=
=
n
i
i
n
X
X
X
x
F
x
x
x
F
n
1
2
1
,...,
,
)
(
)
,...,
,
(
2
1
,
Przykład 9. Doświadczenie polega na trzykrotnym rzucie
prawidłową kostką. Niech X
i
reprezentuje wynik rzutu na i-tej
kostce, dla i
=
1, 2, 3.
a)
Wyznaczyć wspólną PMF.
b)
Wyznaczyć przestrzeń prób i PMF dla niej.
c)
Obliczyć prawdop. otrzymania za kaŜdym razem
parzystej liczby oczek
K. J. Andrzejczak, MPiS30 W04: Zmienne losowe I
34
a) Wspólną funkcją prawdop. jest
=
6
/
1
6
6
/
1
5
6
/
1
4
6
/
1
3
6
/
1
2
6
/
1
1
X
f
b) Przestrzenią prób jest W
====
W
×
W
×
W, gdzie W
=
{1, 2,
3, 4, 5, 6}. JeŜeli x
=
(1, 3, 6), to X
1
=
1, X
2
=
3 i X
3
=
6.
Prawdop. dla kaŜdego x
=
(x
1
, x
2
, x
3
) wynosi
P(X
=
(x
1
, x
2
, x
3
))
=
1/216.
c) Prawdop. otrzymania parzystej liczby oczek w jednej
próbie wynosi ½. Trzy próby są niezaleŜne, więc szukane
prawdop. wynosi 1/8.