Własności prawdopodobieostwa:
Teoria:
1. Przestrzeo probabilistyczna – trójkę , gdzie to
przestrzeo zda. element., P – prawd., Z – rodzina
podzbiorów.
2. Prawdopodobieostwo (def.) –zdarzenia A to iloraz zdarzeo
sprzyjających zdarz. A do liczby wszystkich możliwych
przypadków, zakładając, ze wszystkie przypadki wzajemnie
się wykluczają i są jednakowo możliwe.
3. Prawd. warunkowe: zdarzenia A pod warunkiem B (gdzie
nazywamy liczbę określoną wzorem
4. Prawd. całkowite (zupełne): Jeśli B jest dowolnym
zdarzeniem zaś zdarzenia
spełniają warunki:
a) wykluczają się parami i
b) ich
alternatywa jest zdarzeniem pewnym czyli
oraz c) mają dodatnie prawd. tzn.
to prawd. zdarz. B wyraża się wzorem:
5. Twierdzenie Bayesa: Jeśli B jest dowolnym zdarzeniem o
dodatnim prawd. zaś zdarzenia
spełniają warunki takie jak w prawd. całkowitym, to prawd.
warunkowe
zdarzeo
przy warunku B k=1,2,…,n
wyraża się wzorem:
6. Zdarzenia Niezależne: gdy spełniony jest warunek
7. Zdarzenia Niezależne (war. koniecz.): gdy i
wówczas zachodzi równośd:
8. Zdarzenia Niezależne (dwuwymiarowa): gdy spełniony jest
warunek
Czyli
czy w tabelce: iloczyn tego co jest na kraocach toto co stoi
w miejscu przecięcia tej kolumny z wierszem. (Zobacz na
tabelkę z dystrybuanty dwuwymiarowej)
Dystrybuanta (skokowa) + wykres:
1. Mamy zapisane
(gdzie x to nasze możliwości, a p
to prawdopodobieostwo). Dla ułatwienia można sobie
narysowad oś z zaznaczonymi naszymi
a pod nimi napisad
odpowiednie
.
2. Wypisujemy przedziały prawostronnie domknięte (z
wyjątkiem tu będzie otwarty, taka zasada). I
patrzymy jakie prawdopodobieostwo mamy w tych
przedziałach. np.
to pierwszy przedział
wygląda Nic nie wiemy o tym co się dzieje
kiedy x<3. Tak więc zapisujemy .
Drugi przedział dla
. Bez stresu zapisujemy
przedział i zastanawiamy się jakie będzie
prawdopodobieostwo, że . Od 4 na lewo na osi
spotykamy tylko praw. tak też to zapisujemy:
3. W kolejnych przykładach postępujemy analogicznie.
Bierzemy sobie
kładziemy go to
i patrzymy
jakie
(które ma określone
) spotkaliśmy wcześniej.
to suma tych
której już minęliśmy. W
ostatnim przedziale . Zawsze! Jak Ci nie wychodzi
1 to znaczy, że coś zwaliłeś.
4. Teraz wszystko zapisujemy nasze wyniki w jednej wspólnej
klamerce, tak że np. i
tak dalej. Ta klamerka to nasza dystrybuanta.
5. WYKRES: to nic innego jak narysowanie tych przedziałów z
klamerki. W praktyce to będą takie poziome kreseczki z
prawej strony zamalowane kółeczka, a z lewej otwarte.
Wartośd oczekiwana (skokowa):
1. To nic innego jak dodawanie:
(w zależności ile mamy tych iksów).
Dominanta (skokowa):
1. Wskazujemy liczbę. Może byd ich kilka. Wybieramy te, które
mają największe prawdopodobieostwo.
Wariancja - poziom zróżnicowania - (skokowa):
1. To nic innego jak mnożenie:
- kwadrat wartości oczekiwanej
Odchylenie standardowe (skokowa):
1. To Pierwiastek z wariancji:
Rozkład prawdopodobieostwa (skokowa):
1. Rozkład to np. tabelka, albo takie wypisywanie że
; itd. Generalnie jest to
zadanie odwrotne do dystrybuanty. Masz znaleźd wszystkie
i zapisad. Ja w PD zapisałam w formie tabelki.
2. Tworzysz sobie układ równao. Łatwo jest odgadnąd, że
to pierwsza wartośd dla której x jest pierwszy raz w
konkretnych granicach [ inf czyli nie
konkretnie, - konkretnie bo są liczby].
3. Dalsze przykłady robisz na zasadzie „gdybym liczył
dystrybuantę to bym dodał
i by mi wyszło to co
podają.
znam, więc wyliczam
. Wszystko jest logiczne, i
rób to na spokojnie.
4. Potem wpisujesz do tabelki gdzie w wierszu są
a niżej
czyli odpowiednie prawdopodobieostwa.
Dystrybuanta (ciągła) :
1. Będziemy liczyd całkę . Wyjaśnię to na
przykładzie. Mamy przedziały (PD zad4):
Z treści zadania podają nam z czego będziemy liczyd
całkę i w jakich granicach. Naszym zadaniem jest to
poprawnie zapisad.
2. Masz przedział i dzielisz go takimi liczbami jak 0 i
1 (wniosek z treści zadania). Dla x te przedziały będą
podzielone na 3 części. A dla całki będziesz je sobie
dodawał tak jakby. W pierwszym kroku będziemy liczyd
całkę z 0 (podane w zad.) w granicach dla
Oczywiście wychodzi 0.
3. Następny krok to suma całek: poprzednia całka w granicach
+ całka z funkcji gęstości w granicach
wszystko dla . Myślę, że przedział dla x jest prosty
(taka sama zasada jak przy skokowej). Jeśli nie rozumiesz
przedziału dla całek: nie możesz mied dwóch iksów w
przedziale, dlatego jeden z pierwszej całki zastępujesz
liczbą. Piszesz 0, bo tak wynika z kolei rzeczy. Krok
wcześniej byłeś w przedziale a teraz jesteś
.
4. OK., inaczej. Uznaj, że dla całek to masz sobie dodawad te
granice co pisałeś dla x z tą różnicą, że zawsze na koocu
masz mied „x”. .
5. Liczysz tak kolejny krok.
6. Nie wiesz czy dobrze zrobiłeś? Z reguły dystrybuanta
powinna byd 0 dla x bla bla, jakaś funkcja dla x bla bla, 1 dla
x bla bla. UWAGA: ta jakaś funkcja musi byd zawsze
dodatnia w tym swoim przedziale bla bla. Jeśli nie jest to
jest coś zrypane.
7. Zapisujesz to wszystko w klamerce. Gotowe.
Dominanta (ciągła):
1. Policzymy pochodną tej funkcji co ją dali w zadaniu.
2. Przyrównamy do zera. Rozwiązania tego równania są
podejrzane o ekstremum. Miejmy na nie oko.
3. Liczymy drugą pochodną i wstawiamy do niej pierwsze
rozwiązanie z pkt. 2. Interesuje nas czy ta wartośd będzie
ujemna. Jeśli tak to, w tym punkcie mamy maksimum i tym
samym punkt jest dominantą. Koniec.
Wartośd oczekiwana (ciągła):
1. Policzymy całkę. w granicach, które podali
w zadaniu. Są to stałe granice (np. (0,1) dla zad4 PD).
2. Wyliczona liczba to wartośd oczekiwana.
Funkcja gęstości, a stała C (ciągła):
10.
Policzymy całkę, w podanych stałych granicach, a
później przyrównamy ją do 1.
11.
Wyliczamy c.
Różne prawdopodobieostwa (ciągła):
1. I dlatego powinieneś zaprzyjaźnid się z dystrybuantą. Dzięki
niej szybko policzysz np. (zad4 PD). Jeśli to
mało łapiesz narysuj sobie dystrybuantę. Dla jakiegoś
przedziału będzie P=0, ale innego przedziału praw. będzie
opisane wzorem funkcji, a dla jakiegoś innego przedziału
P=1.
2. Patrzysz sobie w jakim przedziale wypadło twoje 0,75.
Oczywiście w tym środkowym.
3. Zaznaczasz warunek „gdzie x jest większy od 0,75 (bądź
równy). Uwaga: to nie jest przedział . Przecież
ustaliliśmy w pkt2 że 0,75 jest w konkretnych granicach a
nie .
4. Wstawienie 0,75 do równania z dystrybuanty powie ci ile
wynosi . Na to zbój. Wstaw 0,75 to tego
porypanego równania z dystrybuanty.
5. Oblicz.
6. Uwaga: Gdy masz jakieś zlepki, typu
narysuj sobie ten przedział na osi x.
7. Spróbuj ten przedział przedstawid za pomocą takich liczb
(prawdopodobieostwo to liczba xD), że
. Czemu? Bo wyrażenia z takich
schematem jesteś w stanie obliczyd. Wystarczy, że wstawid
coś, inne_coś do funkcji w dystrybuancie i masz
prawdopodobieostwo. W punkcie 4 już o tym mówiłam.
Rozkład (dwupunktowy):
1. Stosujemy, gdzie mamy jedną szansę, gdzie wsytąpi albo
sukces albo porażka.
2.
Rozkład (geometryczny):
1. Stosujemy gdzie powtarzamy doświadczenie, aż osiągniemy
sukces.
2.
3.
Rozkład dwumianowy Bernoullego:
1. Sytuacja gdzie z góry mamy określone ile razy będziemy
powtarzad doświadczenie. Mamy sukces albo porażkę.
Rozkład prawd.
gdzie p jest stałym
prawdopodobieostwem realizacji wyróżnionego zdarzenia
losowego A, przy czym a
dla
2.
3.
4. Dystrybuanta:
Rozkład Poissona:
1. Korzystamy wtedy gdy, gdy prawd. sukcesu jest małe, a
liczba realizacji n na tyle duża, że iloczyn jest
wielkością stałą, dodatnią i niezbyt dużą. Rozkład prawd.
2. Wart. oczekiwana:
3. Wariancja:
Rozkład NORMALNY:
1. standaryzacja:
Dystrybuanta (dwuwymiarowa):
1. Warto zrobid sobie tabelkę.
to
i
wyliczamy. Jest to suma
każdego wiersza/kolumny. np.
dla xi= 0 pi będzie wynosiło
1/3+1/6=1/2. Myślę, że można
to uznad za zrozumiałe jak
tabelka działa. Wyznaczanie
dystrybuanty? Mamy tu takie
wartości jak 0 i 1. Generalnie to sposób wyznaczanie będzie
podobny do tego co już mieliśmy w skokowej. Chcę żebyś
sobie „przesunął” w myślach 0 i 1, tak na te pogrubione
linie. (z wierszami to samo). Na kraocach tabelki będą
odpowiednio . Chcę żebyś sobie to wyobraził.
Wtedy łatwo wyznaczysz przedziały. Tak. Będzie tych
przedziałów od groma bo musisz wyznaczyd wszystkie
możliwości. Nie mniej jednak, trochę sobie ułatwimy, ale o
tym za chwilę.
2. Pierwsza czynnośd: przedział .
Te przedziały to nasz kwadracik gdzie jest napisane xi\yj.
Nic tam nie ma więc wpiszemy 0. Idziemy sobie dalej.
Weźmy sobie taki przedział . Czy
teraz rozumiesz po co chciałam te grube kreski? Teraz łatwo
widzisz gdzie zaczyna się przedział od 0 do 1, i masz czarno
na białym jego wartośd. Patrz: to jest w
prawdzie drugi wiersz. to druga kolumna.
Odczytujemy że w tych przedziałach dystrybuanta wynosi
1/3. Czy to nie wspaniałe? ;D
3. Weźmy coś trudniejszego, np.
Krzyżuje nam się w wartości 1/6. Jakby ci to
wytłumaczyd. Słuchaj, cały czas bazujesz na zasadzie
kwadratu, a ta liczba gdzie ci wychodzi przecięcie
przedziałów to twój prawy dolny róg. Pewnie się
zastanawiasz jakiego kur**** kwadratu?! Kwadratu w
którym masz wartości i je musisz wszystkie dodad. Wynik to
będzie twoja dystrybuanta w danym przedziale. Tak więc
masz sobie wyimaginowany kwadrat z wartościami 1/3,
1/6,1/3,1/6. Wszystko dodajesz i zapisujesz.
4. Jeszcze raz ten mój tajemniczy kwadrat objaśnię. Masz
narysowaną tabelkę. Chcesz się dowiedzied jakie wartości
ma dystrybuanta w danych przedziałach. Wybierasz
przedział dla x i y. Patrzysz gdzie się krzyżują. (Wyobraź
sobie, że pracujesz teraz w PS xD) Klikasz nową warstwę i
rysujesz kwadrat od tego miejsca do początku tabelki z
wartościami (lewy górny róg). Czasami wyjdzie ci kwadrat,
a czasami prostokąt. Grunt by wszystko dodad co się
znalazło w tym zaznaczonym polu.
5. Wzór poprawnego zapisu przypadków: (taki przykład)
Dystrybuantę
zapisujesz normalnie jak w np. w skokowej. Klamerka,
wartości, przedziały.
Wartośd oczekiwana (dwuwymiarowa):
1. Będziesz liczyd dla X i dla Y.
2. Dla X to jest
Czyli mnożysz sobie
pierwszy wyraz z pierwszego wiersza z ostatnim wyrazem
pierwszego wiersza, dodajesz do tego iloczyn (pierwszy
wyraz drugiego wiersza razy ostatni wyraz pierwszego
wiersza) +…. i tak dalej.
3. Dla Y jest analogicznie.
yj 0
1
0
1/3 1/6 1/2
1
1/3 1/6 1/2
2/3 1/3 1
Wariancja (dwuwymiarowa):
1. Będziesz liczyd dla X i dla Y.
2. Dla X. Boże ile liczenia
Jeśli
zastanawiasz się czy będziesz musiał dodawad cały rządek
jakiś cyferek po przecinku to odpowiedź brzmi: OH SIIIIIII !
xD Wzór jest prosty. Nie ma żadnego nowego oznaczenia.
liczyłeś punkt wcześniej. Jak czegoś nie wiesz to
zobacz sobie na tabelkę, tam jest napisane co jest czym.
3. Dla Y analogicznie.
4. Są na to też inne wzory (do zapoznania w Współczynnik
korelacji).
Współczynnik korelacji (dwuwymiarowa):
1. Będziesz liczyd fajny wzorek:
2.
3. im bliższy tym liczbom tym zmienne są silniej
skorelowane. Jak jest dodatni to korelacja dodatnia, a jak
ujemny to k. ujemna. Natomiast cov to kowariancja.
4.
to takie dziwne to jest wartośd, jakbyś chciał powiedzied
Twierdzenia graniczne:
1. Gdy znany sukces i ilośd doświadczeo:
2.
Twierdzenia graniczne (udziały procentowe):
1. Gdy znana ilośd doświadczeo, a sukces podany w
procentach:
2.