ZGINANIE PRĘTÓW KRĘPYCH PRZY ISTNIENIU SIŁ WZDŁUŻNYCH

Zg

inanie z jednoczesnym ściskaniem lub rozciąganiem występuje min. wtedy gdy na belkę

działają siły ukośne. Rozłóżmy belkę na przypadki proste

Naprężenia składowe:

od M

g

y

J

M

z

g







od N

A

N







od T

b

J

S

T

z

z









Sumaryczne naprężenia normalne

y

J

M

A

N

z

g



















Ekstremalne naprężenia normalne występują we włóknach skrajnych (punkty D



, D



)

z

g

W

M

A

N







min



z

g

W

M

A

N







max



w przypadku ukośnego zginania i działania siły osiowej:

z

J

M

y

J

M

A

N

y

gy

z

gz









Szczególnym przypadkiem zginania i jednoczesnego rozciągania (ściskania) jest mimośrodowe
rozciąganie lub ściskanie. Bardzo często materiały wykazują wysokie
naprężenia dopuszczalne na ściskanie, natomiast wytrzymałość na
rozciąganie jest znacznie niższa – są to materiały sprężysto-kruche:
żeliwo, beton itp. Przy tego typu materiałach chodzi o to aby w
przekroju poprzecznym pręta nie powstały naprężenia rozciągające.

Rozpatrzmy pręt o przekroju kołowym obciążony siłą ściskającą P
działającą na pewnym mimośrodzie e.

2

r

A

A

P

c













4

4

r

J

e

P

M

y

J

M

z

z

z

z

















r

J

M

z

z

c

r













Naprężenia sumaryczne w punkcie A:











































r

e

r

P

r

r

e

P

r

P

r

C

A

4

1

4

1

2

4

2













aby zni

kły naprężenia rozciągające

0

4

1

2

























r

e

r

P

A





czyli

0

4

1





r

e

→

4

r

e



-

rdzeń przekroju

Miejsce geometryczne punktów przyłożenia siły (działającej osiowo),
dla których w przekroju wystąpią naprężenia wyłącznie jednego znaku,
nazywa się rdzeniem (jądrem) przekroju.


Dla pręta o przekroju prostokątnym
Naprężenia we włóknach skrajnych
zniosą się gdy:

0

2

12

2

3















b

hb

Pe

bh

P

b

J

M

A

P

z

g

A



Przykład. Śruba fundamentowa zabetonowana jednym końcem, ma średnicę d i łeb o średnicy

1,8d

. Śruba opiera się jedną stroną łba o skośną powierzchnię kształtownika

odrywanego od fundamentu siłą P. Określić o ile podwyższone jest największe
naprężenie w śrubie w porównaniu z przypadkiem w którym łeb opierałby się całym
swoim obwodem równomiernie.

W przypadku równomiernego oparcia łba o
podłoże, mamy proste rozciąganie

2

4

d

P

A

P

r









Prz

y skośnej powierzchni wypadkowa nie

leży na osi śruby, mamy więc zginanie z
rozciąganiem.





r

g

g

g

r

d

P

d

P

d

d

P

d

P

d

d

J

W

d

P

M

gdzie

W

M

A

P





















2

,

8

2

,

8

4

9

,

0

8

1

4

32

9

,

0

4

32

2

2

8

,

1

2

2

3

2

max

3

max

max





























6

b

e



NAPRĘŻENIA PRZY ZGINANIU SIŁĄ POPRZECZNĄ

Ponieważ M

g

nie zachowuje wzdłuż osi wartości stałej – jest to zginanie nierównomierne.

Siła poprzeczna

const

dx

dM

T

g





Naprężenia normalne

y

J

M

z

g





(rys.a)

W przekroju przesuniętym o dx względem pierwotnego (rys.b),

moment gnący wzrośnie o dM

g

,

a naprężenie o d



y

J

dM

d

z

g





W płaszczyźnie przekroju BCHD pojawią się naprężenia styczne

yx



~ (ich średnia wartość)

(w płaszczyznach pionowych działająca siła poprzeczna powoduje powstanie naprężeń



xy

,

a ponieważ musi być spełniony postulat Boltzmanna – stąd naprężenia



yx

).

Napiszmy dla odciętej części elementu warunek równowagi – suma rzutów sił na oś X.

0

)

(

~

)

(





















y

dxb

A

d

A

d

d

yx

A

A









b(y)

– szerokość przekroju zależna od y

)

(

)

(

)

(

~

y

b

J

S

T

y

dxb

A

yd

J

dM

y

dxb

A

d

d

z

z

A

z

g

A

yx























gdzie











A

y

g

A

yd

S

dx

dM

T

,

S

y

– moment statyczny odciętej części przekroju względem osi obojętnej z.

Równomierny rozkład naprężeń



yx

na szerokości otrzymamy:

)

( y

b

J

S

T

z

z

xy





-

wzór Żurawskiego

Przykład Wyznaczyć naprężenia styczne w belce o przekroju prostokątnym

Ze względu na kształt przekroju

)

0

(





xz

xy







)

4

(

2

2

4

2

;

)

(

;

12

;

)

(

2

2

3

y

h

b

y

by

h

h

b

S

b

y

b

bh

J

y

b

J

S

T

z

z

z

z























































2

2

2

2

4

1

2

3

,

4

1

6

h

y

to

A

T

bh

T

gdy

h

y

bh

T

śr

śr









wartość maksymalna na osi obojętnej

śr





2

3

max



dla przekroju kołowego

śr





3

4

max



b

z

y

h



max



y