Egzamin, matematyka A, 9 lutego 2006

Na rozwia,zanie wszystkich zada´n jest 210 minut

Rozwia

,

zania r´o˙znych zada´

n musza

,

znale´z´c sie

,

na r´o˙znych kartkach.

Ka˙zda kartka musi by´c podpisana w LEWYM G ´

ORNYM ROGU nazwiskiem i imieniem pisza

,

cego, jego

nr. indeksu oraz nazwiskiem osoby prowadza

,

cej ´cwiczenia i nr. grupy ´cwiczeniowej.

Nie wolno korzysta´

c z kalkulator´

ow, telefon´

ow kom´

orkowych ani innych urza

,

dze´

n elektro-

nicznych; je´sli kto´s ma, musza

,

by´

c schowane i wy la

,

czone!

Nie wolno korzysta´c z tablic ani notatek!

Wszystkie stwierdzenia nale˙zy uzasadnia´c. Wolno i NALE ˙ZY powo lywa´c sie

,

na twierdzenia, kt´ore zosta ly

udowodnione na wyk ladzie lub na ´cwiczeniach.

1. Zdefiniowa´c log

p

q pamie

,

taja

,

c o za lo˙zeniach o p i q .

Wykaza´c, ˙ze 1 + log

10

7

√

2 > log

10

11 >

2
3

log

10

3

√

13 .

2. Poda´c definicje

,

kosinusa i sinusa dowolnego ka

,

ta. Rozwia

,

za´c nier´owno´s´c:

| cos x + sin x| <

1
2

.

Zilustrowa´c jej rozwia

,

zanie na okre

,

gu x

2

+ y

2

= 1 .

3. Niech f (x) =

3

p

x

2

(x − 1) .

Dla x 6= 0, 1 zachodza

,

r´owno´sci f

0

(x) =

1
3

x

−1/3

(x − 1)

−2/3

(3x − 2)

oraz f

00

(x) = −

2
9

x

−4/3

(x − 1)

−5/3

.

W jakich punktach funkcja f jest r´o˙zniczkowalna (tzn. ma sko´

nczona

,

pochodna

,

I rze

,

du)? Znale´z´c

przedzia ly, na kt´orych funkcja f maleje, na kt´orych ro´snie, na kt´orych jest wypuk la, na kt´orych jest

wkle

,

s la. Obliczy´c granice funkcji f przy x −→ ±∞ , oraz granice f

0

w ko´

ncach przedzia l´ow, na

kt´orych funkcja f jest r´o˙zniczkowalna. Znale´z´c liczby a, b takie, ˙ze lim

x→∞

[f (x) − (ax + b)] = 0 , o ile

takie liczby istnieja

,

. Na podstawie uzyskanych informacji naszkicowa´c wykres funkcji f .

4. Niech A :=





1

0

1

−2

3

3

4 −4 −3



. Znale´z´c wyznacznik macierzy A , jej warto´sci w lasne i odpowiadaja

,

ce

im wektory w lasne. Znale´z´c macierze A

−1

, A

T

, A · A

T

i ich wyznaczniki. Poda´c definicje

,

wektora

w lasnego i warto´sci w lasnej. Znale´z´c warto´sci i wektory w lasne macierzy A

−1

.

5. Znale´z´c kosinus ka

,

ta nierozwartego, kt´ory tworza

,

p laszczyzny o r´ownaniach

x + 2y + 2z = 0 oraz

−2x + 5y + 14z = 0 . Znale´z´c iloczyn wektorowy wektor´ow ~v = [1, 2, 2] i ~

w = [−2, 5, 14] oraz ka

,

t

jaki tworzy wektor ~v × ~

w z prosta

,

wsp´olna

,

obu p laszczyzn. Niech ~u = [1, −1, 1] . Obliczy´c obje

,

to´s´c

r´ownoleg lo´scianu rozpie

,

tego przez wektory ~u, ~v, ~

w .

Znale´z´c odleg lo´s´c p laszczyzn o r´ownaniach −2x + 5y + 14z = 0 i −2x + 5y + 14z = 15 .

6. S lup ma wysoko´s´c 12 m. W odleg lo´sci 8 m od s lupa stoi dziecko wzrostu 100 cm. Znale´z´c wysoko´s´c x ,

na kt´orej nale˙zy umie´sci´c lampe

,

, by odleg lo´s´c d(x) lampy od ko´

nca cienia dziecka by la najmniejsza.

7. Poda´c definicje

,

pochodnej funkcji f : R −→ R w punkcie p . Znale´z´c naste

,

puja

,

ce pochodne:

(a) f

0

(x) , je´sli f (x) = x cos

sin(9x + 2

3

√

x)

;

(b) g

0

(x) , je´sli g(x) = ln

2

9+cos x

;

(c) h

0

(2) , je´sli h(x) = (x − 2)e

|x−2|

· sin

q

3 + tg

2π

4+x

2

.