Wst ¾
ep do analizy matematycznej
1
WST ¾
EP DO ANALIZY MATEMATYCZNEJ
1
Rachunek zda´
n, funkcja zdaniowa, kwanty…katory
Zad. 1
Udowodni´c nast ¾
epuj ¾
ace prawa rachunku zda´n (tautologie):
a)
p _ (s q) ;
b)
p , s (s p) ;
c)
( p ) q ) , ( s q ) s p ) ;
d)
[ (p ) q) ^ (q ) r) ] ) ( p ) r ) ;
e)
[ p ^ (( p ) q ))] ) q;
f )
p _ (q ^ r) , (p _ q) ^ (p _ r) :
Zad. 2
Sprawdzi´c, czy nast ¾
epuj ¾
ace schematy zda´n s ¾
a tautologiami:
a)
[(p _ q) ^ (p ) q)] ) (q ) p) ;
b)
p ) [( q ^ q) ) r ] ;
c)
[( p ) q ) ^ p] ) q ;
d)
[ (p ) q) ^ (q ) p) ] ) ( p _ q ) ;
e)
[ (p ^ q) ) r] ) (p ) r) ^ (q ) r) ;
f )
(p ) q) , [(p ^ q) , p] ;
g)
(p _ q _ r) ) f
p ) [(q _ r) ^
p]g ;
h)
[p ^ (q _ r)] , [(p ^ q) _ (p ^ r)] ;
i)
[
(p ) q)] , (p ^
q) ;
j)
[(p ^ q) ) p] _ q;
k)
[
(p ^ q)] , [ p _
q] ;
l)
(p ^ q) ) (p _ q) ;
m)
[p , (q _ r)] ) r;
n)
f[(p _ r) , q] ^ rg ) ( p _ q) ;
o)
[(p ) q) ) p] ) q:
Zad. 3
Wyznaczy´c wykres funkcji zdaniowej ', której zakresem zmienno´sci jest zbiór X, okre´slonej w
nast ¾
epuj ¾
acy sposób:
a)
' (x)
(log x
0);
X = R
+
;
b)
' (x)
(jx
1j < 2 ^ 2
x
> 0);
X = R;
c)
' (x)
(sin x 6= 0);
X = R;
d)
' (x)
(x
2
< 3 ) x > 1);
X = R;
e)
' (x)
(x
2
= 5);
X = N;
f )
' (x)
(e
x 1
>
1);
X = R;
g)
' (x)
(jxj = 4);
X = C;
h)
' ((a
n
))
(ci ¾
ag (a
n
) jest monotoniczny i ograniczony);
X =zbiór ci ¾
agów liczbowych rzeczywistych;
i)
' ((a
n
))
( lim
n!1
a
n
= 1 i
P
a
n
jest zbie·
zny);
X =zbiór ci ¾
agów liczbowych rzeczywistych;
j)
' ((f ))
(f
0
(x) > 0 dla x 2 [0; 1]);
X =zbiór funkcji okre´slonych na przedziale [0; 1]:
Zad. 4
Które spo´sród podanych formu÷s ¾
a zdaniami (okre´sli´c ich warto´s´c logiczn ¾
a), a które funkcjami
zdaniowymi:
a)
V
x2R
p
x
2
+ 6x + 9 = x + 3 _
W
x2R
p
x
2
= x ;
b)
V
x2R
x
2
> log (0; 5)
)
W
y2R
y
2
= 10
!
;
c)
V
x2R
+
log x > 0
!
) cos
3
4
=
p
2
2
;
d)
ln x
0;
e)
W
x2R
sin
2
x
2;
2007
EM
Wst ¾
ep do analizy matematycznej
2
f )
V
x2R
sin
2
x + cos
2
x = 1;
g)
W
x2R
sin
2
x + cos
2
x = 1;
h)
x
2
+ y
2
= 4;
i)
W
x2N
W
y2N
x
2
+ y
2
= 4;
j)
V
x2R
W
y2N
x
2
+ y
2
= 4;
k)
W
y2R
V
x2R
x
2
+ y
2
= 4;
l)
V
x2R
x
2
+ y
2
= 4;
m)
V
x2N
W
y2N
y
x = 2;
n)
x : x
2
4 < 0 = (0; 2) ;
o)
P
1
n=1
f
n
(x) jest zbie·
zny;
p)
lim
n!1
1
1
n
n
= e;
q)
V
x2R
(sin x)
0
> 0;
r)
W
x2R
(sin x)
0
< 0;
s)
V
a;b2R
a
2
< b
2
, a < b ;
t)
W
a2R
W
b2R
a
2
= b
2
, a = b :
Zad. 5
Napisa´c zaprzeczenie podanego zdania i okre´sli´c jego warto´s´c logiczn ¾
a:
a)
V
x2R
(x > 0 ) x > 1) ;
b)
W
x2R
x
2
< 0
_
V
x2R
x
2
< 0 ;
c)
V
x2R
log
2
(jxj + 1) > 0 _ x
3
1 ;
d)
W
x2R
2
x
<
p
2 ^ x
4
0 ;
e)
V
n2N
n
2
> 4 ) 2
n
> 4 ;
f )
V
x2R
V
y2R
(xy > 0 _ jxj + y
0) ;
g)
V
x2R
W
y2R
(x
2
+ y
2
1 ) y = x);
h)
V
x2R
W
n2N
(n > x _ 3
n
< x) ;
i)
V
x2R
W
y2R
(y = sin x _ x = sin y) ;
j)
V
x2R
p
x
2
= x ) x
4
> 0 ;
k)
V
x>0
W
y<0
log
2
x < y
2
^ jxj = 2
y
;
l)
W
y 1
W
x> 1
x
2
+ y
2
= 1:
Zad. 6
Wyznaczy´c zbiór fx 2 R : ' (x)g, je´sli funkcja zdaniowa ' okre´slona jest w nast ¾
epuj ¾
acy sposób:
a)
' (x)
(
W
y
2R
3x
y = 0 );
b)
' (x)
(
W
y
2R
y = sin x );
c)
' (x)
(
V
y2R
y
2
+ xy + 1 < 0 );
d)
' (x)
(
V
y2R
3x
xy = 0 );
e)
' (x)
(
V
y2R
y sin x = 0 );
f )
' (x)
(arcsin (x + 1) = 0):
Zad. 7
Wyznaczy´c zbiór
(x; y) 2 R
2
:
(x; y) , je´sli funkca zdaniowa
okre´slona jest w nast ¾
epuj ¾
acy
sposób:
a)
(x; y)
(x
2y + 1 = 0 );
b)
(x; y)
(xy
0 );
c)
(x; y)
(xy = 1 );
d)
(x; y)
(x
2
+ y
2
9 );
e)
(x; y)
(jx
yj = 4 );
f )
(x; y)
(jxj + jyj
1 );
g)
(x; y)
(y > x + 1 ^ y < 1
x );
h)
(x; y)
(y > x + 1 ) y < 1
x ):
Zad. 8
Zapisa´c, u·
zywaj ¾
ac symboli kwanty…katorów, nast ¾
epuj ¾
ace sformu÷
owania i okre´sli´c ich warto´s´c log-
iczn ¾
a (o ile s ¾
a zdaniami):
a)
Ka·
zda liczba naturalna jest liczb ¾
a ca÷
kowit ¾
a.
2007
EM
Wst ¾
ep do analizy matematycznej
3
b)
Iloraz liczb naturalnych nie musi by´c liczb ¾
a naturaln ¾
a.
c)
Iloraz liczb naturalnych mo·
ze by´c liczb ¾
a naturaln ¾
a.
d)
Dla ka·
zdej liczby wymiernej mo·
zna dobra´c liczb ¾
e ca÷
kowit ¾
a tak ¾
a, ·
ze ich iloczyn jest liczb ¾
a ca÷
kowit ¾
a.
e)
Dla ka·
zdego " > 0 istnieje liczba naturalna K taka, ·
ze dla ka·
zdego n > K wyrazy ci ¾
agu a
n
s ¾
a wi ¾
eksze
od ".
f )
Suma dwóch ci ¾
agów zbie·
znych jest ci ¾
agiem zbie·
znym.
g)
·
Zadna liczba rzeczywista nie jest rozwi ¾
azaniem równania x
2
+ 2 = 0:
h)
Formu÷
a: (
x
x+1
> 0) jest prawdziwa dla pewnej liczby rzeczywistej dodatniej.
i)
Istnieje ci ¾
ag rosn ¾
acy.
j)
Dla ka·
zdej liczby ca÷
kowitej x iloczyn f (x)f (y) jest dodatni, o ile y jest liczb ¾
a ujemn ¾
a.
2
Rachunek zbiorów
Zad. 9
Wyznaczy´c A; B; A [ B; A \ B; A n B; B n A; A
0
; B
0
; je´sli
a)
A = N;
B = [ 1; 3];
b)
A = Z;
B = fx 2 R : x
2
= 5g;
c)
A = [0; 2];
B = fx 2 R : jx
1j
1g;
d)
A = (0; +1);
B = fx 2 R : log
1
2
x
1g:
Zad. 10
Wyznaczy´c zbiór pot ¾
egowy 2
X
w przypadku, gdy
a)
X = ;;
b)
X = fa; b; cg;
c)
X = ff1g; f1; 2gg;
d)
X = f;; ag;
e)
X = (0; 1);
f )
X = N:
Wskaza´c zbiory, dla których zbiór 2
X
ma sko´nczon ¾
a ilo´s´c elementów.
Zad. 11
Wyznaczy´c moc nast ¾
epuj ¾
acych zbiorów:
a)
A = ;;
b)
B = f;g;
c)
C = fx 2 R : x
2
x = 1g;
d)
D = fx 2 R : x
2
4 > 0g;
e)
E = f2n + 1 : n 2 Ng;
f )
F = f0; 1g
f3; 4g;
g)
G = (0; 1)
(3; 4);
h)
H =zbiór liczb podzielnych przez 5;
i)
I =zbiór liczb ca÷
kowitych czterocyfrowych,
które mo·
zna utworzy´c z cyfr 0; 1; 2; 3; 4;
j)
G =zbiór przedzia÷
ów postaci (a; b), gdzie
a; b 2 Q:
Zad. 12
Wyznaczy´c i narysowa´c zbiór:
a)
f 1; 2; 4g
f2; 5g ;
b)
f 1; 3; 4g
(1; 1) ;
c)
N
R;
d)
(2; 5]
( 1; 1) ;
e)
[ 1; 4]
(2; 5] ;
f )
[ 2; 1]
[ 2; 4) ;
g)
(x; y) 2 R
2
: y > x ^ y < 2x ;
2007
EM
Wst ¾
ep do analizy matematycznej
4
h)
(x; y) 2 R
2
: y
jxj _ x
2
+ y
2
< 1 ;
i)
(x; y) 2 R
2
: y
jx
1j ^ y < jx + 1j ;
j)
(x; y) 2 R
2
: y > 2
x
_ x > 2
y
;
k)
(x; y) 2 R
2
: y > x
2
) y = jxj ;
l)
(x; y) 2 R
2
: x
y + 2 < 0 ) jxj + jyj
0 ;
m)
(x; y) 2 R
2
: x
2
+ y
2
2x
2y
0 ) x >
1
2
;
n)
(x; y) 2 R
2
: y = log
2
(jxj + 1) ^ y
0 :
Zad. 13
Wyznaczy´c i narysowa´c zbiory A; B; A [ B; A \ B; A n B; B n A; A
0
; B
0
; gdzie:
a)
A = [ 1; 1]
[0; 1] ; B = R
1
2
; 4 ;
b)
A = (x; y) 2 R
2
: y > x ; B = (0; 1)
( 1; 2] :
Zad. 14
Udowodni´c, ·
ze dla dowolnych zbiorów A; B; C
X zachodz ¾
a równo´sci:
a)
A \ (B [ C) = (A \ B) [ (A \ C) ;
b)
A [ (B \ C) = (A [ B) \ (A [ C) ;
c)
(A \ B)
0
= A
0
[ B
0
;
d)
A n (B [ C) = (A n B) n C;
e)
(A [ A
0
)
0
= ;;
f )
(A n B) [ B = A;
g)
A
(B [ C) = (A
B) [ (A
C) ;
h)
(B \ C)
A = (B
A) \ (C
A) :
Zad. 15
Czy dla dowolnych zbiorów A; B; C
X zachodz ¾
a poni·
zsze równo´sci? Uzasadni´c odpowied´z.
a)
A n (B \ C) = (A n B) \ (A n C) ;
b)
(A [ B)
0
= A
0
\ B
0
;
c)
A [ (B n C) = (A [ B) n (A \ C) ;
d)
A n B = (A
0
[ B)
0
;
e)
(A [ B) n B = A;
f )
(A n C)
B = (A
B) \ (C
B) ;
g)
(A n B) n C = A n (B n C) ;
h)
A \ (B n C) = (A \ B) n (A \ C) :
Zad. 16
Wyznaczy´c (narysowa´c) kilka zbiorów z podanej rodziny, a nast ¾
epnie wyznaczy´c
S
n2N
A
n
i
T
n2N
A
n
,
je´sli
a)
A
n
=
1
n
; 3 +
1
n
; n 2 N;
b)
A
n
= ( 1)
n 1
n
; n! ; n 2 N;
c)
A
n
=
1
n+1
;
1
n
i
; n 2 N;
d)
A
n
= [n; n + 1]; n 2 N;
e)
A
n
= [( 1)
n
; 1 +
1
2
n
]; n 2 N;
f )
A
n
= 0; 2
1
n
(0; n) ; n 2 N;
g)
A
n
= f1; 2; :::; ng
[0; n] ; n 2 N;
h)
A
n
=
1
n
;
1
n
R; n 2 N;
i)
A
n
= fx 2 R : cos
n
x = 1g ; n 2 N;
j)
A
n
= (x; y) 2 R
2
: x 2 [0; 1] ^ 0
y
x
n
:
Zad. 17
Wyznaczy´c (narysowa´c) kilka zbiorów z podanej rodziny, a nast ¾
epnie wyznaczy´c
S
A
t
i
T
A
t
, je´sli
a)
A
t
= (0;
1
t
); t 2 R
+
;
b)
A
t
= (0;
t
t+1
); t 2 R
+
;
c)
A
t
= fx 2 R : jxj < tg ; t 2 R
+
;
d)
A
t
= fx 2 R : xt
1g ; t 2 R;
e)
A
t
= fx 2 R : sin x = tg ; t 2 R;
f )
A
t
= [ 1; sin t] ; t 2 R;
g)
A
t
= (x; y) 2 R
2
: y
t jxj ; t 2 R
+
;
h)
A
t
= (x; y) 2 R
2
: y
jx
tj ; t 2 R;
i)
A
t
= (x; y) 2 R
2
: x
2
+ y
2
t
2
; t 2 R
+
;
j)
A
t
= (x; y) 2 R
2
: x
2
+ y
2
t
2
^ y
1
2
t ;
t 2 R
+
:
2007
EM
Wst ¾
ep do analizy matematycznej
5
3
Funkcja wymierna, warto´s´c bezwzgl ¾
edna
Zad. 18
Rozwi ¾
aza´c równania i nierówno´sci:
a)
x
3
1 > 0;
b)
x
3
5x
2
+ 6x > 0;
c)
x
4
2x
2
+ 3
0;
d)
4
x
2
4
1
2
x
= 1;
e)
16
4x
2
x
3
0;
f )
2x
2
+ x + 1
x
2
7x + 12
< 0;
g)
1
x
4
1
x
3
;
h)
x
2
+ 1
x
2;
i)
x +
2
x
> 3;
j)
1 +
1
x
4
<
5
x + 3
;
k)
x
1
x
2
4
1
2
x
<
3
2 + x
+ 2;
l)
4 <
3
x
2
1
< 1:
Zad. 19
Rozwi ¾
aza´c nierówno´s´c f ( x) < 2 f (x), gdzie f (x) =
2x
x + 1
:
(Odp. x 2 ( 1; 1) [ (0; 1) [ (3; +1))
Zad. 20
Rozwi ¾
aza´c równania i nierówno´sci:
a)
x
2
+ 2 jx + 5j
10 = 0;
b)
jx
2j + jxj = 2;
c)
x
2
4 = 5;
d)
jx
4j
2;
e)
j2x
3j < x;
f )
jx + 1j + x
1
x
2
;
g)
x
2
+ x + 3 < 3;
h)
x
2
2x > x;
i)
1
jx
4j
< 2;
j)
1
jx + 2j
<
2
jx
1j
;
k)
jx + 2j
3 jxj
2;
l)
p
x
2
+ 4x + 4 +
p
x
2
> 4:
Zad. 21
Naszkicowa´c wykres funkcji:
a)
f (x) =
1
x
2
;
b)
f (x) = j2x
4j ;
c)
f (x) = x
2
x ;
d)
f (x) =
jx
1j dla x < 1;
x
2
x
dla x
1;
e)
f (x) = x
2
4 jxj + 4;
f )
f (x) =
p
x
2
+ 6x + 9;
g)
f (x) =
p
x
4
4x
2
+ 4;
h)
f (x) =
( 1
x
dla jxj < 1;
2x
1 dla jxj
1:
Zad. 22
Wyznaczy´c zbiory A \ B; A [ B; A n B; B n A, je´sli:
a)
A = fx 2 R : j3
xj
1g ; B = x 2 R n f4g :
x
x
4
< 1 ;
b)
A = x 2 R : x
2
+ 2
1 ; B =
x 2 R n f2g :
3x + 2
x
2
< 2 :
Zad. 23
Wyznaczy´c zbiór C = R n (A [ B), je´sli
a)
A =
x 2 R n f0g :
1
x
+ x
2 ; B = fx 2 R; jx + 1j
2g ;
2007
EM
Wst ¾
ep do analizy matematycznej
6
b)
A =
x 2 R n f0g :
x
2
+ 1
2x
<
1 ; B = fx 2 R : jx
1j
2xg :
Zad. 24
Wyznaczy´c dziedzin ¾
e funkcji:
a)
f (x) =
p
2 + x
x
2
;
b)
f (x) =
p
3x
x
3
;
c)
f (x) =
x
1 + x
;
d)
f (x) =
p
x
2
+ 2x + 1;
e)
f (x) =
p
4 + 4x
x
2
;
f )
f (x) = (x
2)
r
1 + x
1
x
:
Zad. 25
Funkcja f : R n f0g ! R okre´slona jest wzorem f (x) =
1
x
+ 1. Rozwi ¾
aza´c nierówno´s´c
f (x) > f (2
x) :
4
Funkcja wyk÷
adnicza
Zad. 26
Rozwi ¾
aza´c równania i nierówno´sci:
a)
2
3
x+1
3
4
x+1
1
8
x
=
1
32
;
b)
2
3
x+1
3
4
x+1
1
8
x
< 8;
c)
1
3
1
2
2
x
>
1
27
;
d)
7
x 4
=
p
7
2 3x
;
e)
5
x
2
5x+4
=
1
25
;
f )
5
x
5
x
2
5
x
3
1
5
;
g)
2
3
x
2
>
q
3
2
x
;
h)
3
2x+1
+ 5 3
x
2 = 0;
i)
3
2x+1
+ 5 3
x
2 > 0;
j)
4
p
x
2
p
x
+ 1
0;
k)
9
x
10 3
x
+ 9
0;
l)
4
x
2 5
2x
< 10
x
:
Zad. 27
Wyznaczy´c miejsca zerowe funkcji f; je´sli f (x) = 16
x
+ 4
x+2
oraz rozwi ¾
aza´c równanie f (x) = 36:
Zad. 28
Wyznaczy´c dziedzin ¾
e, zbiór warto´sci funkcji danej wzorem f (x) = 3
p
x
+ 3
p
x
: Naszkicowa´c jej
wykres.
Zad. 29
Wyznaczy´c zbiory: A = fx 2 R : f (x)
0g ; A \ Z; A \ N; je´sli
a)
f (x) = 2
2x 4
17 2
x 4
+ 1;
b)
f (x) = 3
x+1
+ 3
x 1
30:
Zad. 30
Naszkicowa´c wykres funkcji:
a)
f (x) =
8
<
:
3
x
dla x < 1;
0
dla x = 1;
2
x
dla x > 1;
b)
f (x) =
8
<
:
(
1
2
)
x
dla x < 0;
1
dla x 2 [0; 2);
p
x
dla x
2:
5
Funkcja logarytmiczna
Zad. 31
Rozwi ¾
aza´c równania i nierówno´sci:
a)
log
4
(x + 3)
log
4
(x
1) = 2
log
4
8;
b)
log
4
(x
2
1)
log
4
(x 2)
= 2;
c)
log
3
(3
x
8) = 2
x;
d)
log (2
x
4
x
)
log 8 = log 2
x 1
1
4
;
e)
log
2
3
x
log
3
x
3
+ 2 = 0;
f )
log
1
2
5x + 4
x
2
> 1;
g)
log
3
(3
x
8)
2;
h)
log
2
(8
x)
log
2
(x
2) < 2;
2007
EM
Wst ¾
ep do analizy matematycznej
7
i)
log
3
(x + 1) + log
3
1
x
< log
3
27;
j)
3
log
1
2
x < 1;
k)
log
2
jxj +
1
2
1
l)
ln
2
x
ln x < 0;
m)
log
2
1
3
x
1
0;
n)
1
log x
+
1
1
log x
1;
o)
log
5
x + log
25
x = log
1
5
p
3;
p)
8
log
2
x
= 4x;
q)
log
2
x + log
2
x
2
+ log
2
x
3
> log
x
64;
r)
log
1
3
x + 2 log
3
x < 3:
Zad. 32
Wyznaczy´c dziedzin ¾
e funkcji f; je´sli
a)
f (x) = log x
2
4 ;
b)
f (x) = log (x + 2)
log (3
x)
c)
f (x) = ln
p
x
2;
d)
f (x) =
p
ln (x
2);
e)
f (x) = log
1 x
2 + x
x
2
;
f )
f (x) =
log(2
x
4
x
)
log x
:
Zad. 33
Dana jest funkcja f okre´slona wzorem f (x) = log
0;5
x
2
5x + 4
log
0;5
(5x
5) :
a)
Wyznaczy´c dziedzin ¾
e i miejsca zerowe funkcji f .
b)
Rozwi ¾
aza´c nierówno´s´c f (x)
1:
Zad. 34
Wyznaczy´c dziedzin ¾
e funkcji f oraz przedzia÷
y, w których f przyjmuje warto´sci dodatnie:
a)
f (x) = log x
2
+ 2x + 1 ;
b)
f (x) = log
1
2
3x + 5
x
3
:
Zad. 35
Wyznaczy´c zbiór B =
x 2 Z : log
x
2
3x
9
x
4
0 ^ x < 5 :
6
Funkcje trygonometryczne
Zad. 36
Obliczy´c:
a)
sin(
17
4
)
2 cos(3 +
5
3
) + tg(
25
2
) =
b)
ctg(3
3
4
) + sin(150 ) + cos( 120 ) =
Zad. 37
Rozwi ¾
aza´c równania i nierówno´sci:
a)
2 sin(2x) =
p
3;
b)
sin x
cos x = 0;
c)
cos(3x) <
p
3
2
;
d)
sin
x
2
1
2
;
e)
1
jcos xj > 0;
f )
jtg xj > 1;
g)
jsin x + 1j
1;
h)
sin
2
x
sin x
0
i)
cos
2
x >
1
4
;
j)
6 cos
2
x
5 sin x
2 > 0;
k)
4 sin
2
x
4 jcos xj
1 > 0;
l)
cos
4
x + 2 cos
2
x
1
0:
Zad. 38
Naszkicowa´c wykres funkcji:
a)
f (x) = 2 sin jxj ;
b)
f (x) = jcos 2xj + 1;
c)
f (x) = sin x cos x;
d)
f (x) = cos
2
x:
2007
EM
Wst ¾
ep do analizy matematycznej
8
7
Funkcje cyklometryczne
Zad. 39
Obliczy´c:
a)
arcsin(sin
6
) + arcsin(sin
7
6
) =
b)
arctg(
p
3) + 3 arcsin 1 + 2 arccos 0 =
c)
arccos(cos
3
4
)
arcctg(sin(
2
))
d)
sin(arcsin 1) cos(arcsin 0) =
Zad. 40
Rozwi ¾
aza´c równania i nierówno´sci
a)
arcsin x = 1;
b)
arccos(x
1) =
1
2
;
c)
arcsin (3x + 9)
6
;
d)
jarctg xj <
4
:
Zad. 41
Wyznaczy´c dziedzin ¾
e funkcji:
a)
f (x) = arcsin(x
2
x
1);
b)
f (x) = arccos(j2 log x
3j);
c)
f (x) = arccos( x
2
+ x
1)
2
1
;
d)
f (x) =
p
arcsin x
4
:
Zad. 42
Naszkicowa´c wykres funkcji:
a)
f (x) =
sgn x
dla jxj < 1;
arcsin x dla jxj
1;
b)
f (x) = jarcsin xj ;
c)
f (x) =
2 arctg jxj ;
d)
f (x) =
jarctg xj dla x 6= 0;
arccos x
dla x = 0;
e)
f (x) =
1
2
arcctg(x + 2);
f )
f (x) = arcsin x + arccos x;
Zad. 43
Wykaza´c, ·
ze
a)
V
x2[ 1;1]
arcsin( x) =
arcsin x;
b)
V
x2R
arctg( x) =
arctg x;
c)
V
x2[0;1]
arcsin x + arccos x =
2
;
d)
V
x2R
arctg x + arcctg x =
2
;
e)
V
x>0
arctg x = arcctg
1
x
:
8
Obraz, przeciwobraz
Zad. 44
Naszkicowa´c wykres funkcji, wyznaczy´c D
f
; f [D
f
]; f [A]; f
1
[B]; je´sli
a)
f (x) =
3x
dla x <
2;
x
2
4 dla x
2;
A = [ 3; 1]; B = ( 1; 0);
b)
f (x) = x
2 +
p
x
2
6x + 9; A = [ 1; 0]; B = (0; 2);
c)
f (x) = x
2
2x ; A = [ 1; 3) [ f0g; B = (
1
2
;
1
2
);
d)
f (x) = 2
jxj
; A = ( 2; 1); B = [4; +1);
e)
f (x) =
jarctg xj
dla x
1;
ln(x
3) dla x
4;
A = [ 1; 1]; B = [0;
6
);
f )
f (x) =
1
2
x
1 ; A = [1; +1); B = ( 1; 1];
2007
EM
Wst ¾
ep do analizy matematycznej
9
g)
f (x) =
x
2
1
jx + 1j
; A = ( 1; 2); B = [ 3; 3];
h)
f (x) = 3 sin 2x + 1; A = (0;
2
); B = [4; +1):
Zad. 45
Funkcja f : R ! R okre´slona jest wzorem f (x) =
1
2
x
: Wyznaczy´c taki zbiór A
R, ·
ze obraz
f [A] = (0; 4] :
9
W÷
asno´sci funkcji: monotoniczno´s´c, ró·
znowarto´sciowo´s´c, parzysto´s´c,
okresowo´s´c
Zad. 46
Korzystaj ¾
ac z de…nicji zbada´c monotoniczno´s´c podanych funkcji:
a)
f (x) = x
3
+ 3x;
b)
f (x) = x
2
1;
c)
f (x) = 1
p
3x + 2;
d)
f (x) = x +
p
x;
e)
f (x) =
x
2
4 dla x
0;
1
dla x < 0;
f )
f (x) = ln(x
2
1); x > 1;
g)
f (x) = 2
arctg( x)
+ 1;
h)
f (x) =
1
1
arcsin x
:
Które spo´sród badanych funkcji s ¾
a ró·
znowarto´sciowe?
Zad. 47
Zbada´c ró·
znowarto´sciowo´s´c podanych funkcji:
a)
f (x) =
1
x
2
+ 1
;
b)
f (x) =
x + 1 dla x < 1;
x
3
dla x
1
c)
f (x) = arcsin(2
x
1);
d)
f (x) = log(jx
1j + 2):
Zad. 48
Zbada´c parzysto´s´c-nieparzysto´s´c podanych funkcji:
a)
f (x) =
x
x
2
+ 4
;
b)
f (x) = sin(x
3
x);
c)
f (x) = x jxj ;
d)
f (x) = cos
1
x
;
e)
f (x) =
x
4
+ 1
sin x
;
f )
f (x) = sin x + cos x;
g)
f (x) = x
2
x
+ 1
2
x
1
;
h)
f (x) = x +
1
x
;
i)
f (x) = log
x
1
x + 1
;
j)
f (x) = jarcsin(tg x)j :
Zad. 49
Wyznaczy´c okres funkcji f i naszkicowa´c jej wykres
a)
f (x) = 2 sin 3x;
b)
f (x) = 3 cos(
1
2
x
3);
c)
f (x) = tg
1
2
x;
d)
f (x) =
ctg(2x + 1);
e)
f (x) = cos( x);
f )
f (x) = sin x + jsin xj ;
g)
f (x) = sin
2
x;
h)
f (x) = bxc
d e f
= maxfk 2 Z : k
xg:
Zad. 50
Naszkicowa´c wykres funkcji f : R ! R; je´sli wiadomo , ·
ze jest okresowa o okresie podstawowym
T = 1 oraz f (x) = j1
2xj dla x 2 [0; 1] : Wyznaczy´c zbiór A = x 2 R : f (x)
1
2
.
2007
EM
Wst ¾
ep do analizy matematycznej
10
Zad. 51
Które z podanych stwierdze´n s ¾
a prawdziwe? Uzasadni´c odpowiedzi negatywne, podaj ¾
ac odpowied-
nie przyk÷
ady.
a)
Istnieje nieparzysta funkcja okresowa o okresie T =
2
:
b)
Istnieje parzysta funkcja ró·
zowarto´sciowa.
c)
Istnieje funkcja jednocze´snie parzysta i nieparzysta.
d)
Je´sli funkcja jest ´sci´sle monotoniczna, to jest ró·
znowarto´sciowa.
e)
Je´sli funkcja jest ró·
znowarto´sciowa, to jest ´sci´sle monotoniczna.
f )
Je´sli funkcja jest parzysta, to jest ró·
znowarto´sciowa.
10
Funkcja z÷
o·
zona, funkcja odwrotna
Zad. 52
Wyznaczy´c funkcje z÷
o·
zone: f
f; g
g; f
g; g
f oraz ich dziedziny, je´sli
a)
f (x) =
1
x
1
, g (x) = 2
x
;
b)
f (x) =
p
x, g (x) = x
2
;
c)
f (x) = jxj , g (x) = x
2
x;
d)
f (x) =
1
x
; g (x) =
p
2x
1:
Zad. 53
Wyznaczy´c funkcje z÷
o·
zone: f
g; g
f , ich dziedziny oraz przeciwdziedziny, je´sli
a)
f (x) = sin x + 1, g (x) =
p
x;
b)
f (x) = ln x, g (x) = x
2
+ 1;
c)
f (x) =
1
x + 2
, g (x) = arcsin x;
d)
f (x) = e
x 2
; g(x) = x
2
;
e)
f (x) = arctg x; g (x) = x
3
;
f )
f (x) = jxj ; g(x) = arccos x:
Zad. 54
Wyznaczy´c funkcje z÷
o·
zone: f
g
h; g
f
h; h
f
g oraz ich dziedziny, je´sli
f (x) = ln x;
g (x) = x
1;
h(x) = e
2x
:
Zad. 55
Rozwi ¾
aza´c nierówno´s´c g (2x) + (f
g) (x)
4; je´sli f (x) = x
2
, g (x) = 2
x
:
Odp
. x 2
1
2
; +1
Zad. 56
Wyznaczy´c D
f
; f [D
f
] oraz (o ile to mo·
zliwe) funkcj ¾
e odwrotn ¾
a do f; je´sli
a)
f (x) = x
3
1;
b)
f (x) = x
3
3x
2
+ 3x + 27;
c)
f (x) =
1
x
2
+ 1
; x
1;
d)
f (x) =
p
x
2
1; x <
1;
e)
f (x) =
p
x
2
1; x > 1;
f )
f (x) =
1
x
2
dla x < 0;
p
x
1 dla x
0;
g)
f (x) =
p
2
x
3
1;
h)
f (x) = ln(
x
x + 1
);
i)
f (x) = log
3
x;
j)
f (x) = arctg log
2
(3x
1);
k)
f (x) = cos(x
1); x 2 [1; 3];
l)
f (x) =
1
x
dla x < 0;
p
x + 1 dla x
0:
11
Powtórzenie wiadomo´sci o funkcjach
Zad. 57
Wyznaczy´c dziedzin ¾
e funkcji f , je´sli
2007
EM
Wst ¾
ep do analizy matematycznej
11
a)
f (x) =
p
4
x
2
x+1
jx + 4j
1
;
b)
f (x) = log (cos (log x)) ;
c)
f (x) = arcsin
x + 1
x
2
;
d)
f (x) =
p
log (1
x) +
p
x
2
+ x + 1;
e)
f (x) =
1
log
3
(x
2
4)
+
1
x
3
;
f )
f (x) = log
2
2x
1
4
x
+
r
1
x
2
x;
g)
f (x) = ln (x + 1) + arccos
p
2x;
h)
f (x) = log(
x
2
+1
) 3 + 2x
x
2
;
i)
f (x) =
1
pp
3
3 tg x
;
j)
f (x) =
log(arcsin(2 cos x))
p
x
2
+3x
;
k)
f (x) =
p
1
x
3
arcsin 5
log
2
x+2
;
l)
f (x) = arccos (2
x
4) + arcsin (jxj
1) :
Zad. 58
Wyznaczy´c dziedzin ¾
e i zbiór warto´sci funkcji f , je´sli
a)
f (x) =
p
2 + x
x
2
;
b)
f (x) =
1
sin x
;
c)
f (x) = 1 +
p
log (arctg x);
d)
f (x) = e
x
2
1
;
e)
f (x) = log (1
2 cos x) ;
f )
f (x) =
arcsin
p
x:
Zad. 59
Rozwi ¾
aza´c nierówno´sci:
a)
log
1
3
2
x + 1
cos ;
b)
cos x
2
log
0;5
(x + 5)
> arctg 0;
c)
4
2
1
jxj
x
;
d)
log(4
x
2
x+1
+ 1)
arcsin 0;
e)
3 log 4
x
2
ctg x > x
2
x
2
; :
Zad. 60
Rozwi ¾
aza´c nierówno´s´c
f (x)
(f
f ) (x) < (f
g) (x)
(f
f
g) (x) ;
je´sli f (x) =
1
x
oraz g (x) = x
3
:
Zad. 61
Naszkicowa´c wykres funkcji f i poda´c jej podstawowe w÷
a´sno´sci, jesli
a)
f (x) = x jx + 2j ;
b)
f (x) = jsin 2xj ;
c)
f (x) =
arcsin( x) gdy jxj
1;
0
dla
jxj > 1;
d)
f (x) = arcsin(sin x);
e)
f (x) =
2
x+1
+ 3;
f )
f (x) =
log( x)
gdy x < 0;
arctg(x
1) dla
x
0:
12
Relacje
Zad. 62
Sprawdzi´c, które spo´sród poni·
zej zde…niowanych relacji s ¾
a funkcjami:
a)
1
= (x; y) 2 (0; +1)
( 1; 0) : x
2
= y
2
;
b)
2
= (x; y) 2 R
( 1; 0) : x
2
= y
2
;
c)
3
= (x; y) 2 ( 1; 0)
R : x
2
= y
2
;
d)
4
= ;;
e)
5
= [f1g
( 1; 0)] [ [f2g
(0; +1)];
f )
6
= f(x; y) 2 R
( 1; 0) : jyj = 2g ;
2007
EM
Wst ¾
ep do analizy matematycznej
12
g)
7
= (x; y) 2 R
( 1; 0] : y
2
+ y
0 ;
h)
8
= (x; y) 2 R
2
: y
2
+ y
0 :
Zad. 63
Sprawdzi´c, czy podzbiór f
A
B jest funkcj ¾
a odwzorowuj ¾
ac ¾
a zbiór A w zbiór B, je´sli:
a)
A = R; B = R n f0g oraz
V
x2R
V
y2Rnf0g
(x; y) 2 f , 2xy = 1;
b)
A = R; B = R oraz
V
x2R
V
y2R
(x; y) 2 f , x
2
y
2
= 1;
c)
A; B s ¾
a dowolnymi zbiorami, y
o
jest dowolnym elementem zbioru B oraz
V
x2A
V
y2B
(x; y) 2 f , y = y
o
:
Zad. 64
Zbada´c, czy funkcja f jest injekcj ¾
a, surjekcj ¾
a, bijekcj ¾
a; wyznaczy´c przeciwdziedzin ¾
e funkcji f i (o
ile istnieje) funkcj ¾
e odwrotn ¾
a f
1
.
a)
f : [2; +1) ! R;
f (x) =
x
2
+ 4x
3;
b)
f (x) =
x
x 1
;
c)
f (x) =
x
2
;
x
0;
log (x + 1) ; x > 0;
d)
f (x) = 2
jx + 2j ;
e)
f : Z ! Z;
f (k) = 2k + 1;
f )
f : R
2
! R;
f (x; y) = x + y;
g)
f : R
2
! R
2
;
f (x; y) = (x; xy) ;
h)
f : R
2
! R
2
;
f (x; y) = (x
y; x + 2y) ;
i)
f : C ! C;
f (z) = z + 1
2i;
j)
f : C ! C;
f (z) = iz:
Zad. 65
Zbada´c, czy
X
X jest relacj ¾
a równowa·
zno´sci. Je´sli tak, to wyznaczy´c (opisa´c, narysowa´c,
„policzy´c”) klasy abstrakcji tej relacji.
a)
X = R f0g ;
x y , xy > 0;
b)
X = R;
x y , xy
0;
c)
X = R;
x y , x
y > 1;
d)
X = Z;
n m ,
W
k2Z
n
m = 3k;
e)
X = R;
x y , x
y 2 Z;
f )
X = R;
x y , x
2
= y
2
;
g)
X = 2
R
;
A B , A
B;
h)
X = 2
N
;
A B , A \ B = ;;
i)
X = R
2
;
(x
1
; y
1
) (x
2
; y
2
) , x
2
1
+ y
2
1
= x
2
2
+ y
2
2
;
j)
X = R
2
;
(x
1
; y
1
) (x
2
; y
2
) , x
1
= x
2
;
k)
X = R
2
;
(x
1
; y
1
) (x
2
; y
2
) , x
1
= y
2
;
l)
X = R
+
R
+
;
(x
1
; y
1
) (x
2
; y
2
) ,
y
1
x
1
=
y
2
x
2
;
m)
X = C
2
;
z
1
z
2
, Im z
1
= Im z
2
;
n)
X = C
2
;
z
1
z
2
, arg z
1
= arg z
2
;
o)
X = zbiór ludzi,
x y , x jest ojcem y;
2007
EM
Wst ¾
ep do analizy matematycznej
13
p)
X =zbiór prostych w R
2
;
l k , l ? k;
q)
X =zbiór prostych w R
2
;
l k , l k k;
r)
X =zbiór wektorów w R
2
;
x y
, x k y i kxk = kyk ;
s)
X = zbiór studentów P×, x y , x i y ucz ¾
a si ¾
e na tym samym wydziale P×;
t)
X = zbiór punktów pewnej mapy,
P Q , h (P ) = h (Q) ; gdzie h (P ) = wysoko´s´c n.p.m. punktu P:
Jak nazywamy klasy abstrakcji relacji zde…niowanych w czterech ostatnich podpunktach?
Zad. 66
Zbada´c, czy
X
X jest relacj ¾
a porz ¾
adku (liniowego porz ¾
adku), je´sli
a)
X = N;
n m , n j m (n jest dzielnikiem m);
b)
X = 2
R
;
A B , A \ B = ;;
c)
X = R;
x y , x
y 2 Q;
d)
X = R;
x y , x
y:
Zad. 67
Wyznaczy´c elementy maksymalne, minimalne, najwi ¾
eksze i najmniejsze (o ile istniej ¾
a) w zbiorze
uporz ¾
adkowanym (X; ), je´sli
a)
X = f2; 4; 6; 8; 12; 16g;
n m , n j m;
b)
X =rodzina przedzia÷
ów postaci ( a; a), gdzie a jest dowoln ¾
a liczb ¾
a dodatni ¾
a,
A B , A
B;
c)
X = 2
R
;
A B , A
B;
d)
X =zbiór s÷
ów w danym j ¾
ezyku;
s
1
s
2
, s
1
wyst ¾
epuje w s÷
owniku przed s
2
;
e)
X = f1; 2; 3; 4; 5; 6g;
x y , x ! y wg schematu:
1 ! 2 ! 3
#
4 ! 5 ! 6
f )
X = f1; 2; 3; 4g;
x y , x ! y wg schematu:
1 ! 2
"
#
4 3
g)
X = fa; b; c; d; e; f; gg;
x y , x ! y wg schematu:
a ! b
f
#
#
"
c
! d ! e ! g
2007
EM