1
ZESTAWIENIE WZORÓW
I. CAŁKI FUNKCJI NIEWYMIERNYCH:
A)
∫
dx
x
x
R
n
m
,
N
t
x
=
,
gdzie N – wspólny mianownik ułamków postaci
n
m .
B)
(
)
∫
+
dx
b
ax
x
R
n
m
,
N
t
b
ax
=
+
,
gdzie N – wspólny mianownik ułamków postaci
n
m .
C)
∫
+
+
dx
d
cx
b
ax
x
R
n
m
,
N
t
d
cx
b
ax
=
+
+
, gdzie N – wspólny mianownik ułamków postaci
n
m .
D)
E)
∫
∫
+
+
+
+
+
⋅
=
+
+
−
c
bx
ax
dx
K
c
bx
ax
x
Q
dx
c
bx
ax
x
W
n
n
2
2
1
2
)
(
)
(
,
gdzie
)
(
1
x
Q
n
−
- wielomian stopnia n – 1 w POSTACI OGÓLNEJ, K – stała
F)
C
k
t
t
k
t
dt
+
+
+
=
+
∫
2
2
ln
G)
C
k
t
t
k
dt
∫
+
=
−
arcsin
2
2
H)
C
t
k
t
k
t
k
dt
t
k
+
−
+
=
−
∫
2
2
2
2
2
2
arcsin
2
I)
C
k
t
t
k
k
t
t
dt
k
t
+
+
+
+
+
=
+
∫
2
2
2
ln
2
2
J)
C
t
k
t
k
t
k
dt
t
k
t
+
−
−
=
−
∫
2
2
2
2
2
2
2
arcsin
2
K)
C
k
t
t
k
k
t
t
dt
k
t
t
+
+
+
−
+
=
+
∫
2
2
2
2
ln
2
2
II. CAŁKI FUNKCJI TRYGONOMETRYCZNYCH:
A)
(
)
∫
dx
x
x
R
cos
,
sin
t
x
=
2
tg
dt
t
dx
2
1
2
+
=
2
1
2
sin
t
t
x
+
=
,
2
2
1
1
cos
t
t
x
+
−
=
,
2
1
2
tg
t
t
x
−
=
B)
(
)
∫
dx
x
x
x
x
R
cos
sin
,
cos
,
sin
2
2
t
x
=
tg
dt
t
dx
2
1
1
+
=
2
2
2
1
sin
t
t
x
+
=
,
2
2
1
1
cos
t
x
+
=
,
2
1
cos
sin
t
t
x
x
+
=
⋅
∫
+
+
c
bx
ax
dx
2
0
>
a
0
<
a
C
t
t
t
dt
+
±
+
=
±
∫
1
ln
1
2
2
C
t
t
dt
+
=
−
∫
arcsin
1
2
2
C)
∫
dx
x
x
n
m
cos
sin
, gdzie
N
∈
n
m
,
1.
∫
∫
−
−
−
+
−
=
dx
x
n
n
x
x
n
dx
x
n
n
n
2
1
sin
1
cos
sin
1
sin
,
2
>
n
2.
∫
∫
−
−
−
+
=
dx
x
n
n
x
x
n
dx
x
n
n
n
2
1
cos
1
sin
cos
1
cos
,
2
>
n
D)
∫
+
−
=
C
x
x
dx
x
2
sin
4
1
2
1
sin
2
E)
∫
+
+
=
C
x
x
dx
x
2
sin
4
1
2
1
cos
2
F)
2
,
tg
tg
1
1
tg
2
1
>
−
−
=
∫
∫
−
−
n
dx
x
x
n
dx
x
n
n
n
G)
2
,
ctg
ctg
1
1
ctg
2
1
>
−
−
−
=
∫
∫
−
−
n
dx
x
x
n
dx
x
n
n
n
H)
∫
∫
∫
dx
x
x
dx
x
x
dx
x
x
β
α
β
α
β
α
cos
cos
,
sin
sin
,
cos
sin
1.
(
)
B
A
B
A
B
A
sin
sin
2
1
2
cos
2
sin
+
=
−
+
2.
(
)
B
A
B
A
B
A
cos
cos
2
1
2
cos
2
cos
+
=
−
+
3.
(
)
B
A
B
A
B
A
cos
cos
2
1
2
sin
2
sin
−
−
=
−
+
I)
∫
x
x
dx
m
n
cos
sin
,
N
∈
≠
≠
m
n
x
x
,
,
0
cos
,
0
sin
∫
∫
∫
∫
∫
+
=
+
=
=
dx
x
x
x
dx
x
x
x
dx
x
x
x
x
dx
x
x
x
x
dx
m
n
m
n
m
n
m
n
m
n
cos
sin
cos
cos
sin
sin
cos
sin
cos
sin
cos
sin
1
cos
sin
2
2
2
2
J)
∫
+
=
C
x
x
dx
2
tg
ln
sin
K)
∫
+
+
=
C
x
x
dx
2
4
tg
ln
cos
π
III. ZASTOSOWANIE CAŁKI OZNACZONEJ:
A) Pole obszaru płaskiego:
1.
∫
=
b
a
dx
x
f
D
)
(
,
b
a
x
,
∈
2.
∫
′
⋅
=
β
α
dt
t
x
t
y
D
)
(
)
(
,
β
α
,
∈
t
3.
[
]
∫
=
2
1
2
)
(
2
1
ϕ
ϕ
ϕ
ϕ
d
r
D
,
2
1
,
ϕ
ϕ
ϕ
∈
3
B) Długość łuku krzywej:
1.
[
]
dx
x
f
L
b
a
∫
′
+
=
2
)
(
1
,
b
a
x
,
∈
2.
[
]
[
]
dt
t
y
t
x
L
∫
′
+
′
=
β
α
2
2
)
(
)
(
,
β
α
,
∈
t
3.
[
]
[
]
ϕ
ϕ
ϕ
ϕ
ϕ
d
r
r
L
∫
′
+
=
2
1
2
2
)
(
)
(
,
2
1
,
ϕ
ϕ
ϕ
∈
C) Objętość bryły obrotowej:
1.
∫
=
b
a
dx
x
f
V
)
(
2
π
,
b
a
x
,
∈
2.
[
]
∫
′
⋅
=
β
α
π
dt
t
x
t
y
V
)
(
)
(
2
,
β
α
,
∈
t
D) Pole powierzchni bryły obrotowej:
1.
[
]
0
)
(
,
)
(
1
)
(
2
2
≥
′
+
=
∫
x
f
dx
x
f
x
f
S
b
a
π
,
b
a
x
,
∈
2.
[
]
[
]
dt
t
y
t
x
t
y
S
∫
′
+
′
=
β
α
π
2
2
)
(
)
(
)
(
2
,
β
α
,
∈
t
IV. CAŁKI NIEWŁAŚCIWE:
A) całka niewłaściwa I – go rodzaju – w obszarze nieograniczonym:
1.
∫
∫
+∞
→
+∞
=
β
β
a
a
dx
x
f
dx
x
f
)
(
lim
)
(
,
2.
∫
∫
−∞
→
∞
−
=
b
b
dx
x
f
dx
x
f
α
α
)
(
lim
)
(
3.
∫
∫
∫
+∞
∞
−
+∞
∞
−
+
=
c
c
dx
x
f
dx
x
f
dx
x
f
)
(
)
(
)
(
B) całka niewłaściwa II – go rodzaju – z funkcji nieograniczonej:
1.
∫
∫
−
→
+
=
ε
ε
b
a
b
a
dx
x
f
dx
x
f
)
(
lim
)
(
0
,
±∞
=
−
→
)
(
lim
x
f
b
x
2.
∫
∫
+
→
+
=
b
a
b
a
dx
x
f
dx
x
f
ε
ε
)
(
lim
)
(
0
,
±∞
=
+
→
)
(
lim
x
f
a
x
3.
∫
∫
∫
+
=
b
c
c
a
b
a
dx
x
f
dx
x
f
dx
x
f
)
(
)
(
)
(
,
±∞
=
→
)
(
lim
x
f
c
x