Zadania na Zajęcia Wyrównawcze z Matematyki
Odpowiedzi do zadan z zestawu nr 1
Wektory
1.
−~a = (−2, −3); 2~b = (−6, 4); ~a +~b = (−1, 5); ~a −~b = (5, 1)
2. ~a + ~b + ~c = (k
− 4, m + 7) = ~0 ⇔ k = 4, m = −7
3. v =
√
5
2
+ 2
2
=
√
29 m/s;
tg α =
2
5
⇒ α ≈ 21, 8
◦
4.
|~a| =
√
12 = 2
√
3;
|~b| = 5; ~a
0
=
±
(
1
√
3
,
1
√
3
,
−
1
√
3
)
;
~b
0
±
(
3
5
,
−
4
5
, 0
)
5.
−−→
CD =
−→
BA
⇒ D = (0, 3);
−→
AC = (6, 4);
|
−→
AC
| = 2
√
13;
−−→
BD = (
−4, 0); |
−−→
BD
| = 4
6.
|~a| =
√
14;
cos α =
a
x
|~a|
=
−1
√
14
cos β =
a
y
|~a|
=
2
√
14
cos γ =
a
z
|~a|
=
3
√
14
7.
−→
AB = (
−2, 2, −1);
−−→
CD = (3, 0,
−4); |
−→
AB
| = 3; |
−−→
CD
| = 5
−→
AB
·
−−→
CD =
−2; cos α = −
2
15
8.
−→
AB = (
−a − 1, 3);
−→
AC = (1, 3 + a);
−→
AB
·
−→
AC = 2a + 8 = 0
⇔ a = −4
9. A = (
−4, 5); D = (5, −1)
10.
|~u| = 5
√
2;
~
v = (
±4
√
2,
±3
√
2, 0)
Liczby rzeczywiste i działania na nich
11. Liczba ta jest równa 3
−3
=
1
27
12. (a) 1; (b) 1
13. x + y = 3 +
√
2;
x
− y = 1 − 3
√
2;
x
· y = −2 + 3
√
2;
x
2
= 6
− 4
√
2;
y
x
= 3 +
5
2
√
2
14.
2
√
3
3
;
3 + 2
√
3
6
;
−
√
3;
12(
√
3 +
√
2);
(
3
√
5)
2
+
3
√
5 + 1
15.
−x − (x + 1) − (x + 2) = −3x − 3
16. A
∪ B = (−5, 4]; A ∩ B = [−3, 2); A \ B = (−5, −3) ∪ [2, 4]; B \ A = ∅
(A
∪ B)
0
= A
0
∩ B
0
= (
−∞, −5] ∪ (4, +∞)
Projekt Wiedza i kompetencje z fizyki, chemii
i informatyki na potrzeby gospodarki - Wiking
Projekt jest współfinansowany z Europejskiego Funduszu Społecznego
w ramach programu operacyjnego KAPITAŁ LUDZKI
Poddziałanie 4.1.1 Wzmocnienie potencjału dydaktycznego uczelni
17.
−3; −5;
log
2
4
log
2
√
2
2
=
2
−
1
2
=
−4; −
4
3
;
−1; log(2 · 50) = log 100 = 2; log
5
125 = 3
18.
5
2
= 25;
2
3
·7
2
= 392;
log
3
5
·
log
3
81
log
3
25
= log
3
5
·
4
2
· log
3
5
= 2;
log
400
· 20
8
= log 1000 = 3
19.
a + 2ab + b
2
a
2
− b
2
;
x
2
− 3x − 3
x
2
− 9
20.
(a
− 4)(a + 5)
a
2
;
(x
− y)(x + y)
2
x
2
+ xy + y
2
21.
(a) x
3
(x
− 1)(x + 1)(x + 6)
(b) 16x
3
(
x
−
1
2
) (
x +
1
2
) (
x
2
+
1
4
)
(c) (x
− 3)(x + 3)(x
2
+ 9)
(d) (x
− 3)(x + 2y)
22. W (2) = 0
⇒ k + 82 = 0 ⇒ k = −82
23. ax(x
− 2)(x + 3), a²R \ 0
24. W (x) = P (x)
· Q(x) + R(x)(x − 2)(x + 3) · Q(x) + ax + b ⇒
W (2) = 4
⇒ W (2) = 0 · Q(2) + a · 2 + b = 2a + b = 4
W (
−3) = 6 ⇒ W (−3) = 0 · Q(−3) + a · (−3) + b = −3a + b = 6
a =
−
2
5
,
b =
24
5
Zadania domowe
1.
−~a = (2, −5); 2~b = (6, −4); ~a + 2~b = (4, 1); 3~a −~b = (−9, 17)
2. C = (3, 6);
D = (1, 0);
−→
AB = (2, 6);
|
−→
AB
| = 2
√
10;
−−→
BC = (0, 2);
|
−−→
BC
| = 2
−→
AC = (2, 8);
|
−→
AC
| = 2
√
17;
−−→
BD = (
−2, −4); |
−−→
BD
| = 2
√
5
3.
−→
AB = (2, 0,
−1); |
−→
AB
| =
√
5;
−−→
CD = (1, 4,
−2); |
−−→
CD
| =
√
21
−→
AB
◦
−−→
CD = 4;
cos
](
−→
AB,
−−→
CD) =
4
√
105
4.
~
v =
±
(
3
√
10
, 0,
−
1
√
10
)
5.
−0, 5
Projekt Wiedza i kompetencje z fizyki, chemii
i informatyki na potrzeby gospodarki - Wiking
Projekt jest współfinansowany z Europejskiego Funduszu Społecznego
w ramach programu operacyjnego KAPITAŁ LUDZKI
Poddziałanie 4.1.1 Wzmocnienie potencjału dydaktycznego uczelni
6. x+y = 7+3
√
5;
x
−y = 3−7
√
5;
x
·y = −40+21
√
5;
x
2
= 45
−20
√
5;
y
x
= 12+
29
5
√
5
7.
3 +
√
3
6
;
5 + 3
√
3;
3(
√
5 +
√
3);
2(
3
√
2)
2
+ 2
3
√
2 + 2
8. A
∪ B = [−3, 5); A ∩ B = [−2, 3); A \ B = [−3, −2) ∪ [3, 5); B \ A = ∅
(A
∪ B)
0
= A
0
∩ B
0
= (
−∞, −3) ∪ [5, +∞)
9.
−3; 0; 4; −
5
2
;
−1; 1
10.
(a) x
2
(x
− 3)(x −
√
2)(x +
√
2)
(b) 25x
2
(
x
−
1
5
) (
x +
1
5
)
(c) (x
− 3)(x
2
+ 3x + 9)
(d) (x
− 2y)(x + 1)
11. W (
−1) = 0 ⇒ k = 8
12.
−x
3
+ 4x
2
− 2x − 2
(x
− 2)(x + 2)
Projekt Wiedza i kompetencje z fizyki, chemii
i informatyki na potrzeby gospodarki - Wiking
Projekt jest współfinansowany z Europejskiego Funduszu Społecznego
w ramach programu operacyjnego KAPITAŁ LUDZKI
Poddziałanie 4.1.1 Wzmocnienie potencjału dydaktycznego uczelni