!#"%$&'
Przypomnijmy, ˙ze argument iloczynu dwu liczb zespolonych r´
owny jest sumie
argument´
ow sk ladnik´
ow. Jest to w lasno´s´c przypominaja
(
ce nieco logarytm (logarytm
iloczynu to suma logarytm´
ow czynnik´
ow). Logarytm to wyk ladnik pote
(
gi. Zdefiniu-
jemy teraz pote
(
ge
(
o podstawie e .
Definicja 12.1 (pote
(
gi o wyk ladniku zespolonym)
e
z
= e
x
+iy
= e
x
cos y+i sin y) dla dowolnej liczby zespolonej z = x+iy , x, y ∈
)
.
Czytelnik mo˙ze uzna´c te
(
definicje
(
za dziwna
(
. Zauwa˙zmy jednak, ˙ze rozszerza ona
definicje
(
pote
(
gi o wyk ladniku rzeczywistym. e
πi
= e
0
cos π+i sin π
= −1 , e
ln 2+πi
=
e
ln 2
cos π + i sin π
= −2 , e
ln 3+2πi
= e
ln 3
cos 2π + i sin 2π
= 3 . Przyk lady mo˙zna
mno˙zy´c.
Zauwa˙zmy jeszcze, ˙ze je´sli z = x + iy , w = u + iv ( x, y, u, v ∈
)
), to
e
z
+w
= e
(x+u)+i(y+v)
= e
x
+u
cos(y + v) + i sin(y + v)
=
= e
x
e
u
cos y +i sin y
cos v +i sin v
= e
x
cos y +i sin y
e
u
cos v +i sin v
= e
z
e
w
.
Widzimy wie
(
c, ˙ze w la´snie zdefiniowanej pote
(
dze liczby e przys luguje podstawowa
w lasno´s´c pote
(
g. Definicja pote
(
gi by la stopniowo rozszerzana: najpierw uczniowie po-
znaja
(
pote
(
gi o wyk ladnikach naturalnych, potem o ca lkowitych ujemnych, potem o
dowolnych wymiernych. Pote
(
ga o wyk ladniku rzeczywistym jest okre´slana tak, by
zachowa´c monotoniczno´s´c i r´
owno´s´c e
a
+b
= e
a
e
b
. Poniewa˙z zajmujemy sie
(
liczbami
zespolonymi, wie
(
c nie mo˙zna m´
owi´c o monotoniczno´sci – w zbiorze liczb zespolonych
nie ma nier´
owno´sci. Zamiast monotoniczno´sci mo˙zna za˙za
(
da´c istnienia pochodnej w
punkcie 0 .
Twierdzenie 12.2 (charakteryzuja
(
ce funkcje
(
e
z
)
Funkcja e
z
jest jedyna
(
funkcja
(
f
:
*
−→
*
taka
(
, ˙ze spe lnione sa
(
warunki
1
◦
f
(z + w) = f (z)f (w) dla dowolnych liczb zespolonych z, w oraz
2
◦
lim
z
→0
f
(z)−f (0)
z
= 1 .
Drugi warunek wymaga wyja´snienia. M´
owimy, ˙ze lim
z
→z
0
g
(z) = G ∈
*
wtedy
i tylko wtedy, gdy
lim
|z−z
0
|→0
g
(z) − G
= 0 , w ostatnim wyra˙zeniu liczby zespolone
wyste
(
puja
(
tylko pozornie, wie
(
c to ostatnie poje
(
cie nie jest nam obce. Ta definicja jest
prostym uog´
olnieniem poje
(
cia granicy znanego z przypadku rzeczywistego — chodzi
o to, ˙ze je´sli odleg lo´s´c mie
(
dzy z i z
0
jest dostatecznie ma la, to odleg lo´s´c mie
(
dzy
warto´scia
(
g
(z) funkcji g w punkcie z i granica
(
G
te˙z jest ma la. Rozpatrywana
1
Funkcja wyk ladnicza o wyk ladniku zespolonym
granica lim
z
→0
f
(z)−f (0)
z
ma by´c pochodna
(
funkcji f w punkcie 0 . Nasza funkcja ma by´c
rozszerzeniem funkcji wyk ladniczej o podstawie e i wyk ladniku rzeczywistym, wie
(
c
jej pochodna w punkcie 0 , powinna by´c r´
owna pochodnej funkcji e
x
w punkcie 0 ,
czyli powinna by´c r´
owna 1 .
Tego, ˙ze warunki 1
◦
i 2
◦
definiuja
(
funkcje
(
wyk ladnicza
(
nie be
(
dziemy dowodzi´c.
Wcze´sniej wykazali´smy, ˙ze warunek 1
◦
jest spe lniony.
Naszkicujemy dow´
od tego, ˙ze funkcji e
z
przys luguje w lasno´s´c 2
◦
. Mo˙zna do-
wie´s´c, np. za pomoca
(
regu ly de l’Hospitala,* ˙ze lim
x
→0
e
x
−1−x
x
= 0 , lim
y
→0
cos y−1
y
= 0 i
lim
y
→0
sin y−y
y
= 0 . Niech r(x) =
e
x
−1−x
x
dla x 6= 0 i r(0) = 0 , ˆr(y) =
cos y−1
y
dla y 6= 0
i ˆ
r
(0) = 0 oraz ˜
r
(y) =
sin y−y
y
dla y 6= 0 i ˜r(0) = 0 . Mamy wie
(
c e
x
−1 = x[1+r(x)] ,
cos y − 1 = yˆr(y) oraz sin y = y[1 + ˜r(y)] . Wobec tego
e
z
−1
z
=
e
x+iy
−1
x
+iy
=
e
x
e
iy
−1
x
+iy
=
(e
x
−1)(e
iy
−1)+(e
x
−1)+(e
iy
−1)
x
+iy
=
=
x
[1+r(x)]·y[ˆ
r
(y)+i+i˜
r
(y)]+x[1+r(x)]+y[ˆ
r
(y)+i+i˜
r
(y)]
x
+iy
=
= 1 +
xy
x
+iy
[1 + r(x)][i + ˆ
r
(y) + i˜
r
(y)] +
x
x
+iy
r
(x) +
y
x
+iy
ˆ
r
(y) + i˜
r
(y)
.
Zachodza
(
r´
owno´sci lim
x
→0
r
(x) = 0 , lim
y
→0
ˆ
r
(y) = 0 oraz lim
y
→0
˜
r
(y) = 0 . Prawdziwe sa
(
te˙z
wzory
x
x
+iy
=
|x|
√
x
2
+y
2
≤ 1 ,
y
x
+iy
=
|y|
√
x
2
+y
2
≤ 1 i
xy
x
+iy
≤
√
x
2
+y
2
·
√
x
2
+y
2
√
x
2
+y
2
=
=
px
2
+ y
2
= |z| −−−→
z
→0
0 . Sta
(
d wynika, ˙ze lim
z
→0
e
z
−e
0
z
= 1 . W ten spos´
ob zako´
nczy-
li´smy dow´
od.
Z tego, ˙ze lim
z
→0
e
z
−1
z
= 1 wynika, ˙ze lim
z
→0
e
w+z
−e
w
z
= e
w
dla ka˙zdej liczby ze-
spolonej w . Zwykle te
(
ostatnia
(
r´
owno´s´c z oczywistych przyczyn zapisujemy jako
(e
w
)
0
= e
w
.
Przypomnijmy trzy wzory, kt´
ore pojawi ly sie
(
w I semestrze:
e
x
= lim
n
→∞
1+x+
x
2
2!
+
x
3
3!
+
x
4
4!
+
x
5
5!
+
x
6
6!
+· · ·+
x
n
n
!
= 1+x+
x
2
2!
+
x
3
3!
+
x
4
4!
+
x
5
5!
+
x
6
6!
+· · · ,
cos y = lim
n
→∞
1 −
y
2
2!
+
y
4
4!
−
y
6
6!
+ · · · + (−1)
n y
2n
(2n)!
= y −
y
3
3!
+
y
5
5!
−
y
7
7!
+ · · · ,
sin y = lim
n
→∞
y −
y
3
3!
+
y
5
5!
−
y
7
7!
+ · · · + (−1)
n y
2n+1
(2n+1)!
= y −
y
3
3!
+
y
5
5!
−
y
7
7!
+ · · ·
Gdyby´smy zdefiniowali warto´sci funkcji wyk ladniczej, kosinusa i sinusa argu-
mentu zespolonego za pomoca
(
tych trzech wzor´
ow, to okaza loby sie
(
, ˙ze zachodzi
r´
owno´s´c e
x
+yi
= e
x
(cos y + i sin y) , kt´
ora
(
wcze´sniej przyje
(
li´smy za definicje
(
funkcji
wyk ladniczej o podstawie e i wyk ladniku zespolonym.
Rozszerzaja
(
c wie
(
c dziedzine
(
funkcji wyk ladniczej otrzymali´smy funkcje
(
, kt´
ora
*
W la´
sciwie z definicji pochodnej i wzor´
ow (e
x
)
0
=e
x
, (cos y)
0
=− sin y , (sin y)
0
=cos y .
2
Funkcja wyk ladnicza o wyk ladniku zespolonym
z formalnego punktu widzenia ma w lasno´sci podobne do funkcji wyk ladniczej w dzie-
dzinie rzeczywistej. Sa
(
jednak istotne r´
o˙znice. Wg le
(
bia´c sie
(
w nie nie mo˙zemy z braku
miejsca i czasu, ale o jednej co´s powiemy.
Funkcja wyk ladnicza o podstawie e i wyk ladniku rzeczywistym jest ´sci´sle ro-
sna
(
ca: je´sli x
1
< x
2
, to e
x
1
< e
x
2
. Z funkcja
(
wyk ladnicza
(
e
z
jest inaczej. Mamy
e
2πi
= cos 2π + i sin 2π = 1 , zatem dla ka˙zdego z ∈
*
zachodzi r´
owno´s´c e
z
+2πi
=
e
z
e
2πi
= e
z
. Funkcja wyk ladnicza w dziedzinie zespolonej jest wie
(
c okresowa, jej
okresem jest 2πi – liczba czysto urojona.
Warto´sciami tej funkcji sa
(
wszystkie liczby zespolone (w tym rzeczywiste) z
jednym wyja
(
tkiem: 0 6= e
z
dla z ∈
*
. Wynika to natychmiast z tego, ˙ze ka˙zda
(
liczbe
(
dodatnia
(
r
= |w| mo˙zna zapisa´c w postaci e
x
, x ∈
)
. Wystarczy przyja
(
´c
x
= ln r (jest to oczywi´scie jedyny wyb´
or). Naste
(
pnie przyjmujemy y = Argw i
otrzymujemy r´
owno´s´c w = e
z
, gdzie z = x + iy = ln |w| + iArgw . Piszemy wtedy
z
= ln w jednak trzeba pamie
(
ta´c o tym, ˙ze w dziedzinie zespolonej symbol ln w mo˙ze
oznacza´c kt´
ora
(
kolwiek z niesko´
nczenie wielu liczb z , dla kt´
orych zachodzi r´
owno´s´c
w
= e
z
. Mo˙zna wie
(
c napisa´c ln(−1) = πi albo ln(−1) = −5πi itp. Logarytm´ow
zespolonych u˙zywa´c nie be
(
dziemy, natomiast w niekt´
orych przypadkach be
(
dziemy
stosowa´c pote
(
gi o podstawie e i wyk ladniku nierzeczywistym.
12. 01 Rozwia
(
za´c r´
ownanie
a. e
z
= 1 ;
b. e
z
= −1 ;
c. e
z
= i ;
d. e
z
= 10 ;
e. e
z
= e .
12. 02 Wykaza´c, ˙ze je´sli x, y ∈
)
, to
e
x
+yi
= e
x
, Arg e
x
+yi
= y .
12. 03 Wykaza´c, ˙ze istnieje liczba zespolona z
0
taka, ˙ze e
z
0
= z
0
.
Uwaga: dla ka˙zdej liczby rzeczywistej x zachodzi nier´
owno´s´
c e
x
≥ 1 + x
12. 04 Niech sin z =
1
2i
(e
iz
− e
−iz
) , cos z =
1
2
(e
iz
+ e
−iz
) .
(a) Wykaza´c, ˙ze cos
2
z
+ sin
2
z
= 1 .
(b) Wykaza´c, ˙ze dla ka˙zdego w ∈
*
istnieje z ∈
*
taka, ˙ze w = sin z .
12. 05 Za l´
o˙zmy, ˙ze z
1
, z
2
, a, b
∈
*
, z
1
6= z
2
. Niech f (t) = ae
tz
1
+ be
tz
2
.Wykaza´c, ˙ze
je´sli dla ka˙zdej liczby rzeczywistej t zachodzi r´
owno´s´c f (t) = 0 , to a = 0 = b .
12. 06 Za l´
o˙zmy, ˙ze z
1
, z
2
, a
0
, a
1
, b
0
, b
1
∈
*
, z
1
6= z
2
. Zdefiniujmy funkcje
(
f
wzorem
f
(t) = a
0
+ a
1
t
e
tz
1
+ b
0
+ b
1
t
e
tz
2
.
Wykaza´c, ˙ze je´sli dla ka˙zdego t ∈
)
zachodzi r´
owno´s´c f (t) = 0 , to a
0
= a
1
=
=0 = b
0
= b
1
.
Wskaz´
owka: bez k lopotu mo˙zna rozwia
(
za´
c to zadanie bez ˙zadnych pomys l´
ow, ale
mo˙zna te˙z zauwa˙zy´
c, ˙ze je´sli f
(t) = 0 dla ka˙zdego t , to r´
ownie˙z f
0
(t)−z
1
f
(t) = 0
3
Funkcja wyk ladnicza o wyk ladniku zespolonym
dla ka˙zdego t
∈
)
.
12. 07 Za l´
o˙zmy, ˙ze z
1
, z
2
, a
0
, a
1
, a
2
, . . . , a
m
, b
0
, b
1
, b
2
, . . . , b
m
∈
*
, z
1
6= z
2
. Niech
f
(t) = a
0
+ a
1
t
+ a
2
t
2
+ · · · + a
m
t
m
e
tz
1
+ b
0
+ b
1
t
+ b
2
t
2
+ · · · + b
n
t
n
e
tz
2
.
Wykaza´c, ˙ze je´sli dla ka˙zdego t ∈
)
zachodzi f (t) = 0 , to
a
0
= a
1
= . . . = a
m
= 0 = b
0
= b
1
= . . . = b
n
.
Wskaz´
owka: rozwia
(
za´
c poprzednie zadanie i chwile
(
pomy´sle´
c.
4