Politechnika Warszawska
Instytut Automatyki i Robotyki
Prof. dr hab. inż. Jan Maciej Kościelny
PODSTAWY AUTOMATYKI
część 5
Charakterystyki częstotliwościowe
Politechnika Warszawska
Instytut Automatyki i Robotyki
Prof. dr hab. inż. Jan Maciej Kościelny
PODSTAWY AUTOMATYKI
część 5
Charakterystyki częstotliwościowe
2
Charakterystyki częstotliwościowe
0
A
1
(
ω)
t
x
T=2
π/ω
x
y
)]
(
sin[
)
(
sin
)
(
2
1
ω
ϕ
ω
ω
ω
ω
+
=
=
t
A
y
t
A
x
A
2
(
ω)
0
t
y
T=2
π/ω
ϕ(ω)
Jeżeli na wejście elementu lub układu liniowego stabilnego wprowadzone zostanie
wymuszenie sinusoidalne o stałej częstotliwości, to na wyjściu, po zaniknięciu
przebiegu przejściowego, ustali się odpowiedź sinusoidalna o tej samej
częstotliwości, ale w ogólnym przypadku, o innej amplitudzie i fazie niż wymuszenie
3
Charakterystyki częstotliwościowe
Charakterystyki częstotliwościowe - określają zachowanie się elementu
lub układu przy wszystkich częstotliwościach wymuszenia
Charakterystyki cz
ę
stotliwo
ś
ciowe -
określają zachowanie się elementu
lub układu przy wszystkich częstotliwościach wymuszenia
Określają w funkcji częstotliwości:
•
stosunek amplitud odpowiedzi do wymuszenia
•
przesunięcie fazowe między odpowiedzią a wymuszeniem
Określają w funkcji częstotliwości:
•
stosunek amplitud odpowiedzi do wymuszenia
•
przesunięcie fazowe między odpowiedzią a wymuszeniem
4
Podstawy teoretyczne
Transmitancja widmowa – szczególny przypadek transmitancji
operatorowej
Transmitancja widmowa – szczególny przypadek transmitancji
operatorowej
Definiowana często jako:
Definiowana często jako:
u
y
j
G
=
)
(
ω
Gdzie: y - wartość zespolona składowej ustalonej odpowiedzi układu
wywołanej wymuszeniem sinusoidalnym
u – wartość zespolona wymuszenia
ω
ω
j
s
s
G
j
G
=
=
)
(
)
(
∫
∞
−
=
0
)
(
)
(
dt
e
t
f
j
F
t
j
ω
ω
przekształcenie Fouriera
5
Podstawy teoretyczne
t
j
e
A
u
ω
ω
)
(
1
_
=
)]
(
[
2
_
)
(
ω
ϕ
ω
ω
+
=
t
j
e
A
y
Podstawiając za: x i y parę odpowiadających sobie funkcji harmonicznych
zapisanych w postaci wykładniczej
Podstawiając za: x i y parę odpowiadających sobie funkcji harmonicznych
zapisanych w postaci wykładniczej
Gdzie: - moduł charakterystyki częstotliwościowej
(stosunek amplitud odpowiedzi do wymuszenia)
)
(
)
(
)
(
1
2
ω
ω
ω
A
A
M
=
]
sin
)[cos
(
)
(
1
1
t
j
t
A
e
A
t
j
ω
ω
ω
ω
ω
+
=
)]}
(
sin[
)]
(
){cos[
(
)
(
2
)]
(
[
2
ω
ϕ
ω
ω
ϕ
ω
ω
ω
ω
ϕ
ω
+
+
+
=
+
t
j
t
A
e
A
t
j
Wejście:
Wyjście:
)
(
1
)
(
2
)
(
)
(
)
(
)
(
ω
ϕ
ω
ω
ϕ
ω
ω
ω
ω
ω
⋅
⋅
⋅
⋅
⋅
⋅
⋅
=
⋅
⋅
⋅
=
j
t
j
j
t
j
e
M
e
A
e
e
A
j
G
6
Podstawy teoretyczne
)
(
)
(
)
(
ω
ω
ω
jQ
P
j
G
+
=
G(jω) jest funkcją zespoloną
G(jω) jest funkcj
ą
zespolon
ą
)]
(
Re[
)
(
ω
ω
j
G
P
=
)]
(
Im[
)
(
ω
ω
j
G
Q
=
- część rzeczywista G(j
ω
)
- część
urojona G(j
ω
)
7
Charakterystyka amplitudowo-fazowa
Charakterystyka amplitudowo-fazowa - wykres końców wektorów,
których:
•
długość reprezentuje stosunek amplitud odpowiedzi do wymuszenia
•
kąt przesunięcie fazowe między odpowiedzią a wymuszeniem
Charakterystyka amplitudowo-fazowa - wykres końców wektorów,
których:
•
długość reprezentuje stosunek amplitud odpowiedzi do wymuszenia
•
kąt przesunięcie fazowe między odpowiedzią a wymuszeniem
Definiowana często jako:
Wykres transmitancji
widmowej G(jω)
Zespolona charakterystyka
częstotliwościowa
Definiowana cz
ę
sto jako:
Wykres transmitancji
widmowej G(jω)
Zespolona charakterystyka
częstotliwościowa
8
Charakterystyka amplitudowo-fazowa
Charakterystyczne związki:
Charakterystyczne związki:
2
2
)]
(
[
)]
(
[
)
(
ω
ω
ω
Q
P
j
M
+
=
)
(
)
(
)
(
ω
ω
ω
ϕ
P
Q
arctg
=
)
(
cos
)
(
)
(
ω
ϕ
ω
ω
M
P
=
)
(
sin
)
(
)
(
ω
ϕ
ω
ω
M
Q
=
9
Charakterystyki częstotliwościowe
amplitudowa charakterystyka
częstotliwościowa
amplitudowa charakterystyka
częstotliwościowa
fazowa charakterystyka
częstotliwościowa
fazowa charakterystyka
częstotliwościowa
10
Charakterystyka amplitudowo-fazowa
0,1
1
10
100
0,01
90
0
180
0
-90
0
-180
0
π
-π
π/2
ϕ
(ω)
-π/2
ω
0,1
1
10
100
0,01
20dB
40dB
-20dB
-40dB
100
0,01
10
M(ω)
L(ω)
0,1
ω
Logarytmiczna
charakterystyka amplitudowa
Logarytmiczna
charakterystyka amplitudowa
Logarytmiczna
charakterystyka fazowa
Logarytmiczna
charakterystyka fazowa
)
(
log
20
)
(
ω
ω
M
L
=
)
(
ω
ϕ
11
Charakterystyki elementu proporcjonalnego
jQ(
ω
)
P(
ω
)
G( j
ω
)
k
0
)
(
)
(
=
=
ω
ω
Q
k
P
L(
ω
)
dB
ω
20 log k
ω
0
0
ϕ
(
ω
)
12
Charakterystyki elementu inercyjnego I rzędu
Transmitancja widmowa:
Transmitancja widmowa:
1
1
1
1
1
)
(
2
2
−
−
+
−
=
−
−
⋅
+
=
+
=
ω
ω
ω
ω
ω
ω
ω
T
kTj
k
Tj
Tj
Tj
k
Tj
k
j
G
Re[G(j
ω
)]
Im[G(j
ω
)]
ω
= 0
ω
i
ω
k
∞
=
ω
k
G(j
ω
)
1
)
(
2
2
+
=
ω
ω
T
k
P
1
)
(
2
2
+
−
=
ω
ω
ω
T
kT
Q
13
Charakterystyki elementu inercyjnego I rzędu
[
] [
]
1
log
20
log
20
)
(
1
log
20
)
(
)
(
)
(
log
20
)
(
log
20
)
(
2
2
2
2
2
2
+
−
=
+
=
+
=
=
ω
ω
ω
ω
ω
ω
ω
ω
T
k
L
T
k
L
Q
P
M
L
c
c
Logarytmiczna charakterystyka amplitudowa:
Logarytmiczna charakterystyka amplitudowa:
14
Charakterystyki elementu inercyjnego I rzędu
0.1
1
10
100
20
10
0
10
20
- 20 dB/dek
ω/ω
s
L(
ω)
dB
a
b
Dla:
Dla:
T
/
1
<
ω
k
L
log
20
)
(
=
ω
T
/
1
>
ω
ω
ω
T
k
L
log
20
log
20
)
(
−
=
Dla: k=10
a – charakterystyka
rzeczywista
b – charakterystyka
asymptotyczna
Dla: k=10
a – charakterystyka
rzeczywista
b – charakterystyka
asymptotyczna
Logarytmiczna charakterystyka amplitudowa:
Logarytmiczna charakterystyka amplitudowa:
T
s
/
1
=
ω
15
Charakterystyki elementu inercyjnego I rzędu
0,04
0,32
0,65
1,0
3,01
1,0
0,65
0,32
0,04
10,0
4,0
2,5
10
1,0
0,5
0,4
0,25
0,1
Tablica 4.1
ω/ω
s
∆L(ω)
dB
0.1
1
10
3
2
1
0
S
ω
ω
)
(
ω
L
∆
Wykres błędu:
Wykres błędu:
16
Charakterystyki elementu inercyjnego I rzędu
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
ω
ω
ω
ω
ω
ϕ
T
arctg
T
arctg
P
Q
arctg
−
=
−
=
=
Logarytmiczna charakterystyka fazowa:
Logarytmiczna charakterystyka fazowa:
17
Charakterystyki elementu całkującego
P(
ω
)
jQ(
ω
)
ω
= 0
∞
=
ω
ω
ω
ω
T
Q
P
1
)
(
0
)
(
−
=
=
L(
ω
)
dB
ω
1
T
- 20 dB/dek
ω
ϕ
(
ω
)
−90
0
Ts
1
18
Charakterystyki elementu różniczkującego
P(
ω
)
jQ(
ω
)
ω
= 0
∞
=
ω
ω
ω
ω
T
Q
P
=
=
)
(
0
)
(
L(
ω
)
dB
ω
1
T
+ 20 dB/dek
ω
ϕ
(
ω
)
−90
0
Ts
19
Charakterystyki elementu różniczkującego
Transmitancja widmowa elementu różniczkującego rzeczywistego:
Transmitancja widmowa elementu różniczkującego rzeczywistego:
1
)
(
+
=
ω
ω
ω
Tj
Tj
j
G
1
)
(
2
2
2
2
+
=
ω
ω
ω
T
T
P
1
)
(
2
2
+
=
ω
ω
ω
T
T
Q
Charakterystyka amplitudowo-fazowa:
Charakterystyka amplitudowo-fazowa:
20
Charakterystyki elementu różniczkującego
[
] [
]
1
log
20
)
(
)
(
log
20
)
(
2
2
2
2
+
=
+
=
ω
ω
ω
ω
ω
T
T
Q
P
L
1
log
20
log
20
)
(
2
2
+
−
=
ω
ω
ω
T
T
L
Logarytmiczna charakterystyka amplitudowa:
Logarytmiczna charakterystyka amplitudowa:
21
Charakterystyki elementu różniczkującego
)
(
90
)
(
)
1
(
)
(
)
(
)
(
0
ω
ω
ϕ
ω
ω
ω
ω
ϕ
T
arctg
T
arctg
P
Q
arctg
−
=
=
=
c
Logarytmiczna charakterystyka fazowa:
Logarytmiczna charakterystyka fazowa:
22
Charakterystyki elementu oscylacyjnego
Transmitancja widmowa:
Transmitancja widmowa:
( )
( ) ( )
0
2
2
0
2
0
2
0
0
2
2
0
2
2
)
(
ζωω
ω
ω
ω
ω
ω
ζω
ω
ω
ω
⋅
+
−
=
+
+
=
j
k
j
j
k
j
G
Gdzie:
k — współczynnik proporcjonalności
ω
0
— pulsacja oscylacji własnych elementu
ζ — zredukowany (względny) współczynnik tłumienia
Gdzie:
k — współczynnik proporcjonalności
ω
0
— pulsacja oscylacji własnych elementu
ζ — zredukowany (względny) współczynnik tłumienia
2
0
2
2
2
0
2
2
0
2
0
)
2
(
)
(
)
(
)
(
ω
ζω
ω
ω
ω
ω
ω
ω
+
−
−
=
k
P
2
0
2
2
2
0
3
0
)
2
(
)
(
2
)
(
ω
ζω
ω
ω
ω
ζω
ω
+
−
=
k
Q
23
Charakterystyki elementu oscylacyjnego
P(
ω
)
jQ(
ω
)
ω
= 0
ξ
2
ξ
1
ξ
3
∞
=
ω
ξ
3
<ξ
2
<ξ
1
Charakterystyka amplitudowo-fazowa:
Charakterystyka amplitudowo-fazowa:
Dla: ω=0
Dla: ω=0
k
P
=
)
0
(
0
)
0
(
=
Q
Dla: ω=∞
Dla: ω=∞
0
)
(
=
∞
P
0
)
(
=
∞
Q
,
24
Charakterystyki elementu oscylacyjnego
(
) (
)
2
0
2
2
0
2
0
2
2
2
0
2
0
2
2
2
1
log
20
log
20
)
(
)
2
(
)
(
log
20
)
(
)
(
)
(
+
−
−
=
+
−
=
+
=
ω
ω
ζ
ω
ω
ω
ω
ζω
ω
ω
ω
ω
ω
ω
k
L
k
Q
P
L
c
Logarytmiczna charakterystyka amplitudowa:
Logarytmiczna charakterystyka amplitudowa:
25
Charakterystyki elementu oscylacyjnego
Dla:
ξ=0
Dla:
ξ=0
∞
=
= )
1
(
0
ω
ω
L
Dla:
ξ=1 – wartość
graniczna,
przebieg
aperiodyczny
(najkrócej
trwający)
Dla:
ξ=1 – wartość
graniczna,
przebieg
aperiodyczny
(najkrócej
trwający)
0.1
1
10
40
30
20
10
0
10
20
6
−
14
L(
ω)
ω/ω
0
ξ
1
= 0.1
ξ
2
= 0.3
ξ
3
= 0.5
ξ
4
= 0.7
ξ
5
= 1
Logarytmiczna charakterystyka amplitudowa dla k=1:
Logarytmiczna charakterystyka amplitudowa dla k=1:
26
Charakterystyki elementu oscylacyjnego
- 40 dB/dek
L(
ω
)
ω/ω
0
0.01 0.1 1 10 100
- 20dB
- 40dB
Asymptotyczna
charakterystyka amplitudowa
dla:
Asymptotyczna
charakterystyka amplitudowa
dla:
1
3
,
0
≤
≤
ξ
0.1
1
10
6
4
2
0
2
4
6
ω/ω
0
∆L(ω)
)
ξ = 0.3
ξ = 0.5
ξ = 0.7
ξ = 1
dB
L
6
)
(
<
∆
ω
27
Charakterystyki elementu oscylacyjnego
Logarytmiczna charakterystyka fazowa:
Logarytmiczna charakterystyka fazowa:
ϕ(ω)
[
0
]
ω/ω
0
0.
1
1
1
0
180
160
140
120
100
80
60
40
20
0
ξ
1
= 0.1
ξ
2
= 0.3
ξ
3
= 0.5
ξ
4
= 0.7
ξ
5
= 1
−
−
=
2
2
0
0
2
)
(
ω
ω
ω
ζω
ω
ϕ
arctg
28
Charakterystyki elementu opóźniającego
L(
ω
)
dB
ω
0 dB
ω
ϕ
(
ω
)
−45
0
−90
0
π/2τ π/τ
P(
ω
)
jQ(
ω
)
ω = 0
ω = 3π/2τ
ω = π/2τ
ω = π/τ
1
ωτ
ω
ωτ
ω
sin
)
(
cos
)
(
−
=
=
Q
P
s
e
τ
−
29
Charakterystyki częstotliwościowe podst. elementów
CHARAKTERYSTYKI CZĘSTOTLIWOŚCIOWE ELEMENTÓW PODSTAWOWYCH
L.p.
Transmitancja
operatorowa
)
(s
G
Wykres charakterystyki amplitudowo-fazowej
)
(
ω
j
G
(transmitancji widmowej)
Wykresy logarytmicznych charakterystyk amplitudowej
)
(
ω
L
i fazowej
)
(
ω
ϕ
1
k
jQ(
ω
)
P(
ω
)
G(j
ω
)
k
0
)
(
)
(
=
=
ω
ω
Q
k
P
L(
ω
)
dB
ω
20 log k
ω
0
0
ϕ
(
ω
)
1
1
+
Ts
P(
ω
)
jQ(
ω
)
G(j
ω
)
∞
=
ω
ω
= 0
1
)
(
1
1
)
(
2
2
2
2
+
−
=
+
=
ω
ω
ω
ω
ω
T
T
Q
T
P
L(
ω
)
dB
ω
1
T
- 20 dB/dek
ω
ϕ
(
ω
)
1
T
10
T
0.1
T
−45
0
−90
0
3
Ts
1
P(
ω
)
jQ(
ω
)
ω
= 0
∞
=
ω
ω
ω
ω
T
Q
P
1
)
(
0
)
(
−
=
=
L(
ω
)
dB
ω
1
T
- 20 dB/dek
ω
ϕ
(
ω
)
−90
0
4
Ts
P(
ω
)
jQ(
ω
)
ω
= 0
∞
=
ω
ω
ω
ω
T
Q
P
=
=
)
(
0
)
(
L(
ω
)
dB
ω
1
T
+ 20 dB/dek
ω
ϕ
(
ω
)
−90
0
5
2
0
0
2
2
0
2
ω
ξω
ω
+
+
s
s
k
P(
ω
)
jQ(
ω
)
ω
= 0
ξ
2
ξ
1
ξ
3
∞
=
ω
1
2
3
ξ
ξ
ξ
<
<
L(
ω
)
dB
ω
0
ξ
3
ξ
1
- 40 dB/dek
ω
ϕ
(
ω
)
−90
0
−180
0
ω
0
ξ
3
ξ
1
6
s
e
τ
−
P(
ω
)
jQ(
ω
)
ω = 0
ω = 3π/2τ
ω = π/2τ
ω = π/τ
1
ωτ
ω
ωτ
ω
sin
)
(
cos
)
(
−
=
=
Q
P
L(
ω
)
dB
ω
0 dB
ω
ϕ
(
ω
)
−45
0
−90
0
π/2τ π/τ
30
Charakterystyki elementów szeregowo połączonych
G
1
(j
ω
)
G
2
(j
ω
)
G
n
(j
ω
)
)
(
)
(
2
2
)
(
1
1
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
2
1
ω
ϕ
ω
ϕ
ω
ϕ
ω
ω
ω
ω
ω
ω
n
j
n
n
j
j
e
M
j
G
e
M
j
G
e
M
j
G
=
=
=
K
K
K
K
)
(
)]
(
)
(
)
(
[
2
1
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
2
1
ω
ϕ
ω
ϕ
ω
ϕ
ω
ϕ
ω
ω
ω
ω
ω
j
j
n
e
M
e
M
M
M
j
G
n
c
K
K+
+
+
=
31
Charakterystyki elementów szeregowo połączonych
Logarytmiczna charakterystyka amplitudowa:
Logarytmiczna charakterystyka amplitudowa:
)
(
log
20
)
(
log
20
)
(
log
20
)
(
log
20
)
(
2
1
ω
ω
ω
ω
ω
n
M
M
M
M
L
+
+
+
=
=
K
∑
=
=
n
i
i
L
L
1
)
(
)
(
ω
ω
)
(
)
(
)
(
)
(
2
1
ω
ω
ω
ω
n
M
M
M
M
⋅
⋅
⋅
=
K
∑
=
=
n
i
i
1
)
(
)
(
ω
ϕ
ω
ϕ
Logarytmiczna charakterystyka fazowa:
Logarytmiczna charakterystyka fazowa:
32
Charakterystyki elementów szeregowo połączonych
Przykład 1:
Przykład 1:
(
) (
)
{ {
3
2
1
3
2
1
c
4
3
3
2
2
1
1
3
2
1
1
1
1
1
)
(
1
1
)
(
+
⋅
+
⋅
⋅
⋅
=
+
⋅
+
⋅
⋅
=
s
T
s
T
s
T
k
s
G
s
T
s
T
s
T
k
s
G
Dla: k=2;
T
1
=1;
T
2
=10;
T
3
=100;
Dla: k=2;
T
1
=1;
T
2
=10;
T
3
=100;
)
(
ω
jQ
)
(
ω
P
33
Charakterystyki elementów szeregowo połączonych
1000
1
100
1
10
1
1
10
100 1000
ω
2
3
4
1
L(ω)
c
Logarytmiczna charakterystyka amplitudowa:
Logarytmiczna charakterystyka amplitudowa:
-20dB/dek
20dB/dek
6dB
-20dB
-40dB
20dB
34
Charakterystyki elementów szeregowo połączonych
Logarytmiczna charakterystyka fazowa:
Logarytmiczna charakterystyka fazowa:
2
3
4
1
c
1000
1
100
1
10
1
1
10
100 1000
ω
ϕ
(ω)
-45
0
-90
0
45
0
-180
0
-270
0