Anna Rajfura, Matematyka na kierunku Biologia w SGGW
1
Temat wykładu:
Zastosowania pochodnej
Kody kolorów:
żółty – nowe pojęcie
pomarańczowy
– uwaga
kursywa – komentarz
* – materiał nadobowiązkowy
Anna Rajfura, Matematyka na kierunku Biologia w SGGW
1
Temat wykładu:
Zastosowania pochodnej
Kody kolorów:
żółty – nowe pojęcie
pomarańczowy
– uwaga
kursywa – komentarz
* – materiał nadobowiązkowy
Anna Rajfura, Matematyka na kierunku Biologia w SGGW
2
Zagadnienia
1.
Monotoniczność funkcji
2.
Ekstrema lokalne
3.
Granica funkcji – reguła de
L’Hospitala
4.
Badanie przebiegu
zmienności funkcji
Anna Rajfura, Matematyka na kierunku Biologia w SGGW
3
Terminologia – uwaga 1.
R
b
a
f
→
)
;
(
:
Dziedzina
D
f
= (
a
;
b
)
Zbiór wartości
R
Y
W
⊂
Mówimy:
funkcja
f
jest określona na
przedziale (
a
;
b
),
o wartościach rzeczywistych
Anna Rajfura, Matematyka na kierunku Biologia w SGGW
4
Terminologia – uwaga 2.
Jeżeli
R
b
a
f
→
)
;
(
:
i w każdym
punkcie
)
;
(
b
a
x
∈
istnieje
pochodna funkcji
f
'
(
x
), to
mówimy:
funkcja
f
jest różniczkowalna
(gładka) na przedziale (
a
;
b
).
Anna Rajfura, Matematyka na kierunku Biologia w SGGW
5
Badanie monotoniczności
Anna Rajfura, Matematyka na kierunku Biologia w SGGW
6
Diagram 1
a
b
Anna Rajfura, Matematyka na kierunku Biologia w SGGW
7
Diagram 1 cd.
monotoniczność
funkcji
f
znak
pochodnej
f
'
+
a
b
Anna Rajfura, Matematyka na kierunku Biologia w SGGW
8
Diagram 2
monotoniczność
funkcji
f
znak
pochodnej
f
'
-
a
b
Anna Rajfura, Matematyka na kierunku Biologia w SGGW
9
Diagram 3
monotoniczność
funkcji
f
znak
pochodnej
f
'
0
a
b
funkcja stała
Anna Rajfura, Matematyka na kierunku Biologia w SGGW
10
Twierdzenie 1
D a n a j e s t f u n k c j a
R
b
a
f
→
)
;
(
:
r ó ż n i c z k o w a l n a n a p r z e d z i a l e (
a
;
b
) .
J e ś l i
)
;
(
na
to
,
0
)
(
)
;
(
b
a
f
x
f
b
a
x
↑
>
′
∈
∀
J e ś l i
)
;
(
na
to
,
0
)
(
)
;
(
b
a
f
x
f
b
a
x
↓
<
′
∈
∀
J e ś l i
)
;
(
na
stala
to
,
0
)
(
)
;
(
b
a
f
x
f
b
a
x
=
′
∈
∀
Anna Rajfura, Matematyka na kierunku Biologia w SGGW
11
Przykład
Anna Rajfura, Matematyka na kierunku Biologia w SGGW
12
Przykład
Wyznacz dziedzinę i przedziały
monotoniczności funkcji
( )
x
e
x
x
f
=
Anna Rajfura, Matematyka na kierunku Biologia w SGGW
13
Odpowiedzi
D
=
R
( )
(
1
;
dla
∞
−
∈
↑
x
x
f
( )
)
∞
+
∈
↓
;
1
dla
x
x
f
Anna Rajfura, Matematyka na kierunku Biologia w SGGW
14
Ekstrema lokalne
Anna Rajfura, Matematyka na kierunku Biologia w SGGW
15
Ekstrema lokalne
E k s t r e m a l o k a l n e :
m i n i m u m
,
m a k s i m u m
Y
X
Anna Rajfura, Matematyka na kierunku Biologia w SGGW
16
Minimum lokalne
Y
X
Anna Rajfura, Matematyka na kierunku Biologia w SGGW
17
Minimum lokalne cd.
Y
X
Anna Rajfura, Matematyka na kierunku Biologia w SGGW
18
Minimum lokalne cd.
Y
X
x
01
Anna Rajfura, Matematyka na kierunku Biologia w SGGW
19
Maksimum lokalne
Y
X
Anna Rajfura, Matematyka na kierunku Biologia w SGGW
20
Maksimum lokalne cd.
Y
X
Anna Rajfura, Matematyka na kierunku Biologia w SGGW
21
Maksimum lokalne cd.
Y
X
x
02
x
02
Anna Rajfura, Matematyka na kierunku Biologia w SGGW
22
Ekstrema lokalne
Y
X
x
02
x
01
Anna Rajfura, Matematyka na kierunku Biologia w SGGW
23
* Definicja otoczenia punktu
Niech
.
,
0
R
r
R
x
∈
∈
Przedział (
x
0
–
r
;
x
0
+
r
)
nazywamy
otoczeniem punktu
x
0
o promieniu
r
.
Oznaczenie:
(
x
0
–
r
;
x
0
+
r
) =
U
(
x
0
;
r
)
Anna Rajfura, Matematyka na kierunku Biologia w SGGW
24
* Definicja sąsiedztwa punktu
Niech
.
,
0
R
r
R
x
∈
∈
Zbiór (
x
0
–
r
;
x
0
+
r
) – {
x
0
}
nazywamy
sąsiedztwem punktu
x
0
o promieniu
r
.
Oznaczenie:
(
x
0
–
r
;
x
0
+
r
) – {
x
0
} =
S
(
x
0
;
r
)
Anna Rajfura, Matematyka na kierunku Biologia w SGGW
25
*
Przykład 1.
Otoczeniem punktu
x
0
= 4
o promieniu
r
= 2 jest przedział
(4-2 ; 4+2) = (2 ; 6)
Anna Rajfura, Matematyka na kierunku Biologia w SGGW
26
*
Przykład 1. cd.
Otoczeniem punktu
x
0
= 4
o promieniu
r
= 2 jest przedział
(4-2 ; 4+2) = (2 ; 6)
U
(
4
;
2
) = (
2
;
6
)
Anna Rajfura, Matematyka na kierunku Biologia w SGGW
27
*
Przykład 1. cd.
Otoczenie punktu
x
0
= 4
o promieniu
r
= 2:
U
(
4
;
2
) = (
2
;
6
)
Sąsiedztwo punktu
x
0
= 4
o promieniu
r
= 2:
S
(
4
;
2
) = (
2
;
6
) – {4}
Anna Rajfura, Matematyka na kierunku Biologia w SGGW
28
*
Przykład 2.
Przedział (- 4, 10) jest
otoczeniem punktu
x
0
= 3
o promieniu
r
= 7:
U
(
3
;
7
) = (
- 4
;
10
)
Anna Rajfura, Matematyka na kierunku Biologia w SGGW
29
* Definicja minimum lokalnego
Funkcja
(
)
R
b
a
f
→
;
:
ma
minimum lokalne w punkcie
(
)
,
;
0
b
a
x
∈
gdy istnieje takie
otoczenie
U
(
x
0
;
r
)
⊂
(
a
;
b
),
że
)
(
)
(
)
;
(
0
0
x
f
x
f
r
x
S
x
>
∈
∀
Anna Rajfura, Matematyka na kierunku Biologia w SGGW
30
* Definicja maksimum lokalnego
Funkcja
(
)
R
b
a
f
→
;
:
ma
maksimum lokalne w punkcie
(
)
,
;
0
b
a
x
∈
gdy istnieje takie
otoczenie
U
(
x
0
;
r
)
⊂
(
a
;
b
),
że
)
(
)
(
)
;
(
0
0
x
f
x
f
r
x
S
x
<
∈
∀
Anna Rajfura, Matematyka na kierunku Biologia w SGGW
31
Wykrywanie ekstremum lokalnego
Anna Rajfura, Matematyka na kierunku Biologia w SGGW
32
Twierdzenie 2
Niech funkcja
(
)
R
b
a
f
→
;
:
będzie różniczkowalna na
przedziale (
a
;
b
).
Jeśli
f
posiada ekstremum
lokalne w punkcie
)
,
(
0
b
a
x
∈
to
f
'
(
x
0
) = 0.
Anna Rajfura, Matematyka na kierunku Biologia w SGGW
33
Wniosek z tw. 2
Warunek
f
'
(
x
0
) = 0
jest
warunkiem koniecznym
istnienia ekstremum lokalnego
w punkcie
x
0
.
Nie
jest jednak
warunkiem
dostatecznym
.
Anna Rajfura, Matematyka na kierunku Biologia w SGGW
34
Wykrywanie maksimum lokalnego
Anna Rajfura, Matematyka na kierunku Biologia w SGGW
35
Diagram dla maksimum lok.
-
znaki
f
’
x
0
0
+
a
b
Anna Rajfura, Matematyka na kierunku Biologia w SGGW
36
Diagram dla maksimum lok. cd.
znaki
f
’
x
0
0
+
-
monotoniczność
f
maksimum
lokalne w
x
0
a
b
Anna Rajfura, Matematyka na kierunku Biologia w SGGW
37
Twierdzenie 3
Jeśli funkcja
(((( ))))
R
b
a,
:
f
→
→
→
→
jest
różniczkowalna na przedziale (a,b)
i dla pewnego
)
b
,
a
(
x
0
∈
∈
∈
∈
zachodzi
f
'
(x
0
) = 0 oraz istnieje takie
otoczenie U(x
0
,r)
⊂
(a, b), że dla
)
x
,
r
x
(
x
0
0
−−−−
∈
∈
∈
∈
f
'
(x) > 0 , oraz dla
)
r
x
,
x
(
x
0
0
++++
∈
∈
∈
∈
f
'
(x) < 0, to funkcja f
ma w punkcie x
0
maksimum
lokalne.
Anna Rajfura, Matematyka na kierunku Biologia w SGGW
38
Wykrywanie minimum lokalnego
Anna Rajfura, Matematyka na kierunku Biologia w SGGW
39
Diagram dla minimum lok.
znaki
f
’
x
0
0
-
+
a
b
Anna Rajfura, Matematyka na kierunku Biologia w SGGW
40
Diagram dla minimum lok. cd.
znaki
f
’
monotoniczność
f
x
0
0
-
+
minimum
lokalne w
x
0
a
b
Anna Rajfura, Matematyka na kierunku Biologia w SGGW
41
Twierdzenie 4
Jeśli funkcja
(((( ))))
R
b
a,
:
f
→
→
→
→
jest
różniczkowalna na przedziale (a,b)
i dla pewnego
)
b
,
a
(
x
0
∈
∈
∈
∈
zachodzi
f
'
(x
0
) = 0 oraz istnieje takie
otoczenie U(x
0
,r)
⊂
(a, b), że dla
)
x
,
r
x
(
x
0
0
−−−−
∈
∈
∈
∈
f
'
(x) < 0 , oraz dla
)
r
x
,
x
(
x
0
0
++++
∈
∈
∈
∈
f
'
(x) > 0, to funkcja f
ma w punkcie x
0
minimum lokalne.
Anna Rajfura, Matematyka na kierunku Biologia w SGGW
42
Przykład
Anna Rajfura, Matematyka na kierunku Biologia w SGGW
43
Przykład
Wyznacz ekstrema lokalne
funkcji
( )
x
e
x
x
f
=
Anna Rajfura, Matematyka na kierunku Biologia w SGGW
44
Przykład
( )
x
e
x
x
f
=
( )
(
)
x
x
e
x
e
x
x
f
−
=
′
=
′
1
1
0
1
0
1
0
=
⇔
=
′
>
⇔
<
′
<
⇔
>
′
x
)
x
(
f
x
)
x
(
f
x
)
x
(
f
Anna Rajfura, Matematyka na kierunku Biologia w SGGW
45
Odpowiedź
F u n k c j a
( )
x
e
x
)
x
f
=
j e s t
,
1
,
1
>
↓
<
↑
x
dla
f
x
dla
f
d l a x = 1 p r z y j m u j e m a k s i m u m l o k a l n e
o w a r t o ś c i
( )
.
e
f
y
max
1
1
=
=
znaki
f
’
:
x
0
=1
0
+
-
monotoniczność
f
:
maksimum
lokalne
Anna Rajfura, Matematyka na kierunku Biologia w SGGW
46
Reguła de L'Hospitala
Tw 5. Jeśli granica ilorazu funkcji
( )
( )
x
g
x
f
x
x
lim
0
→
jest wyrażeniem
nieoznaczonym typu
0
0
lub
∞
∞
∞
∞
∞
∞
∞
∞
oraz istnieje granica ilorazu
pochodnych tych funkcji
( )
( )
x
g
x
f
x
x
′
′
→
lim
0
,
to
( )
( )
( )
( )
x
g
x
f
x
g
x
f
x
x
x
x
′
′
=
→
→
lim
lim
0
0
Anna Rajfura, Matematyka na kierunku Biologia w SGGW
47
Uwaga
Tw. 5 jest prawdziwe dla x
0
skończonych oraz dla
±∞
±∞
±∞
±∞
====
0
x
,
a także dla granic
jednostronnych.
Anna Rajfura, Matematyka na kierunku Biologia w SGGW
48
Przykład
Oblicz
x
x
e
x
lim
∞
+
→
Anna Rajfura, Matematyka na kierunku Biologia w SGGW
49
Odpowiedź
( )
( )
0
1
lim
lim
lim
=
=
′
′
=
∞
+
→
∞
+
→
∞
+
→
x
x
x
x
H
x
x
e
e
x
e
x