Sporo emocji wzbudzi∏ wÊród czytelni-

ków artyku∏ Martina Gardnera „Zabaw-
na matematyka” [Âwiat Nauki, paêdzier-
nik 1998], a w zasadzie jedna przytoczona
w nim zagadka.

N

awiàzujàc do pierwszej zagadki
Martina Gardnera, chcia∏bym

spytaç: czy jeÊli zabaw´ z kartami za-
cz´libyÊmy od na przyk∏ad 10 kart, to
po kolejnym odkryciu 8 kart prawdo-
podobieƒstwo, ˝e pod palcem jest na-
dal as, wynosi∏oby 

1

/

10 

jak na poczàt-

ku? Rozumiem, ˝e palec przeszkadza
w w´drówce cz´Êci prawdopodobieƒ-
stwa, pozosta∏ej wi´c nie odkrytej karcie
nale˝y przyporzàdkowaç prawdopodo-
bieƒstwo 

9

/

10

. ¸atwo zauwa˝yç, ˝e po-

wtarzajàc ten schemat w przypadku du-
˝ej liczby kart z niemal ca∏kowità pew-
noÊcià mo˝emy wskazaç asa pod kartà,
na której palec si´ nie opiera. Chcia∏bym
te˝ zapytaç, czy jeÊli pan Jones odkryje
drugà bocznà kart´, to prawdopodo-
bieƒstwo, ˝e pod moim palcem jest as,
nadal b´dzie wynosi∏o

1

/

3

?

Micha∏ Kostrzewa,

Koby∏ka

Od redakcji: Nie tylko tak jest w istocie

– w dodatku jest to du˝o bardziej zgod-
ne z intuicjà. Pierwszà kart´ wybiera-
my bowiem z ca∏ej masy kart w sposób
zupe∏nie przypadkowy, druga nato-
miast osta∏a si´ po odsianiu ca∏ej góry
niew∏aÊciwych. Byç mo˝e zrozumienie
tego zagadnienia u∏atwi nast´pujàcy
schemat (A oznacza asa, N1, N2... po-
zosta∏e figury).

Wszystkie mo˝liwe rozwiàzania w

przypadku 3 kart:
Karta wskazywana palcem 

A

N1 N2

N1 A  A

Karta odkryta 

N2 N2 N1

(KolejnoÊç kart N1 i N2 w pierwszej ko-
lumnie jest nieistotna.)

Wszystkie mo˝liwe rozwiàzania

w przypadku 4 kart:
Karta wskazywana palcem A N1 N2 N3

N1 A  A A 

Karta odkryta 

N2 N2  N1 N2

Karta odkryta 

N3 N3  N3 N1

Dla wi´kszej liczby kart sytuacja wy-

glàda podobnie. 

Widaç teraz chyba wyraênie, dlacze-

go op∏aca si´ zmieniç swojà pierwotnà
decyzj´.

OczywiÊcie, gdy odkryjemy jeszcze

jednà kart´, wszystko b´dzie wiadome;
prawdopodobieƒstwo, ˝e zakrytà kar-
tà jest as, nie wyniesie ju˝ 

1

/

3

, lecz albo

zero, albo 1.

*

Z

wielkà uwagà przeczyta∏em artyku∏
„Zabawna matematyka”. Szczegól-

nie zainteresowa∏a mnie pierwsza z
czterech zagadek Martina Gardnera.
B∏´dnie uzna∏em, ˝e prawdopodobieƒ-
stwo wskazywania palcem asa po od-
kryciu jednej karty to 

1

/

2

. Jednak wyja-

Ênienia w rozwiàzaniu w pe∏ni mnie
przekona∏y. Ale wyobrazi∏em sobie mo-
dyfikacj´ zagadki: szuler przed od-
kryciem karty nie podglàda kart (bo np.
mog∏oby to wzbudziç podejrzenia), 
tzn. odkrywa losowo wybranà kart´ z
dwóch nie wskazanych palcem. Je˝e-
li odkryta karta nie jest asem, zak∏ad
idzie o to, ˝e wskazywana palcem kar-
ta jest asem; je˝eli zaÊ karta odkryta
to as, zak∏ad idzie o wskazanie palcem
króla (lub damy). Czy wówczas szan-
sa na wygranie zak∏adu przez wskazu-
jàcego palcem wynosi 

1

/

2

, czy 

1

/

3

? I czy

istotne znaczenie dla wielkoÊci praw-
dopodobieƒstwa ma tutaj losowoÊç
(lub nielosowoÊç) odkrycia tej czy innej
karty?

Prosz´ o wyjaÊnienie, gdy˝ sam nie

jestem w stanie rozstrzygnàç tej kwestii:
z jednej strony zmiana zaproponowa-
na przeze mnie jest jakby niewielka
(zw∏aszcza w przypadku odkrycia kar-
ty nie b´dàcej asem), z drugiej jednak –
czy aby na pewno nie znika powód, z
którego ró˝ne by∏y prawdopodobieƒ-
stwa dla nie odkrytych kart? Tych wyja-
Ênieƒ zabrak∏o w artykule.

Krzysztof Kurnatowski,

Kutno

*

Od redakcji: Piszàc o losowym odkry-

waniu drugiej karty, w∏aÊciwie nie do-
puszcza Pan mo˝liwoÊci odkrycia asa.
Wtedy bowiem prawdopodobieƒstwo,

Â

WIAT

N

AUKI

Grudzieƒ 1998   5

LISTY

Martin Gardner raz jeszcze

Z

zainteresowaniem przeczyta∏am w
listopadowym numerze Âwiata Na-

uki artyku∏ o ADHD (zespole nadpobu-
dliwoÊci ruchowej z deficytem uwagi).
Nie by∏o chyba w polskiej literaturze rów-
nie wyczerpujàcego opracowania na ten
temat. Mam jednak bardzo powa˝ne za-
strze˝enie do tego, jak ów artyku∏ zosta∏
zapowiedziany: protestuj´ przeciwko na-
zywaniu (a w∏aÊciwie etykietowaniu)
dzieci nadpobudliwych nieznoÊnymi.

NadpobudliwoÊç – jak pisze sam au-

tor – jest poza kontrolà dziecka i wy-
maga profesjonalnej pomocy. Nazywa-
nie dzieci dotkni´tych tà przypad∏oÊcià

nieznoÊnymi u∏atwia wszystkim na-
uczycielom i rodzicom uchylanie si´ od
odpowiedzialnoÊci za zaj´cie si´ tymi
dzieçmi. Kiedy ktoÊ jest nieznoÊny, to
go trzeba: poskromiç, ukaraç, wycho-
waç. Problem dzieci nadpobudliwych
w Polsce jest bardzo powa˝ny. Ma∏o kto
jest Êwiadom, ˝e tym dzieciom trzeba
pomóc; na ogó∏ po prostu zbierajà ci´gi
od otoczenia, które uto˝samia nadpo-
budliwoÊç i deficyty uwagi z niegrzecz-
nym zachowaniem.

Justyna Dàbrowska,

redaktor naczelny 

miesi´cznika 

Dziecko

Nie takie nieznoÊne