Algebra z geometrią, Zestaw 10, A.Sz.
Wektory, proste i płaszczyzny w przestrzeni R
3
1. Dane są punkty: P
1
(1, 2, 3), P
2
(3, 3, 1), P
3
(2, 1, −1), P
4
(1, 0, 2).
Obliczyć pole trójkąta o wierzchołkach P
1
, P
2
, P
3
.
Obliczyć objętość czworościanu o wierzchołkach P
1
, P
2
, P
3
, P
4
.
Wyznaczyć równanie płaszczyzny przechodzącej przez punkty P
1
, P
2
i P
3
oraz odległość punktu P
4
od tej płaszczyzny.
2. Wyznaczyć równanie płaszczyzny π
2.1. przechodzącej przez punkt P (1, −2, 3) i prostopadłej do wektora ~
v = [2, 1, 4].
2.2. przechodzącej przez punkt P (1, 1, −3) i równoległej do płaszczyzny x − 3y + 2z − 3 = 0.
2.3. przechodzącej przez punkty P (3, 1, 1) i R(2, 0, −1) i równoległej do wektora ~
v = [3, 4, 5].
2.4. równoległej do płaszczyzny π
2
: 2x + 6y − 3z + 6 = 0 i leżącej w odległości 2 od płaszczyzny π
2
2.5. przechodzącej przez punkt P (2, 4, −1) i zawierającej prostą l :
x − 1
3
=
y + 1
0
=
z
2
2.6. zawierającej prostą l :
x + 2
2
=
y
4
=
z − 1
3
i prostopadłą do płaszczyzny π
2
: 5x − 3y + z − 1 = 0
2.7. przechodzącą przez P (2, 0, 3) i równoległą do prostych l
1
: x−2 =
y
3
=
z + 1
2
i l
2
:
x + 5y − 2 = 0
x + 3y + z = 0
2.8. przechodzącej przez punkt P (3, 2, −4) i prostopadłej do prostej l :
x − y + z = 0
2x + 3y − 5z + 2 = 0
3. Wyznaczyć odległość
3.1. punktu P (2, 1, −4) od płaszczyzny π : 4x + 4y + 7z − 11 = 0.
3.2. prostej l :
x − 1
3
=
y − 2
−6
=
z
−4
od płaszczyzny π : 6x + 7y − 6z + 10 = 0.
3.3. punktu P (1, −2, 4) od prostej l :
2x + y − z + 1 = 0
3x + 5y + 2z − 2 = 0
.
4. Zbadać wzajemne położenie prostej l :
x + 2
a
2
=
y + 1
3
= z − 1 i płaszczyzny π : x − y + 2z − 2a + 1 = 0
w zależności od parametru a ∈ R. W przypadku gdy prosta l jest równoległa do płaszczyzny π
wyznaczyć równanie płaszczyzny π
2
równoległej do π i zawierającej prostą l. W przypadku, gdy
prosta l przebija płaszczyznę π w jednym punkcie, wyznaczyć współrzędne punktu przebicia.
5. Zbadać wzajemne położenie prostej l
1
:
x − y + z − 3 = 0
4x − y − z − 2 = 0
i prostej l
2
.
5.1. l
2
:
x = 2t + 1
y = 5t
z = 3t + 2
, t ∈ R
5.2. l
2
:
2x + y − 3z + 4 = 0
3x + 3y − 7z + 10 = 0
5.3. l
2
: x + 1 =
y + 4
2
=
8 − z
3
5.4. l
2
: x + 3 = y − 1 = 5 − z
Jeśli proste l
1
i l
2
są różne i leżą w jednej płaszczyźnie to wyznaczyć równanie tej płaszczyzny.
Jeśli proste l
1
i l
2
się nie przecinają to wyznaczyć ich odległość.
1
Algebra z geometrią, Zestaw 10, A.Sz.
6. Wyznaczyć równanie prostej l
6.1. przechodzącej przez punkty P (1, 2, −1) i R(2, 3, −5)
6.2. przechodzącej przez punkt P (2, 1, −2) i prostopadłej do płaszczyzny π : 3x + 2y − 5z + 2 = 0
6.3. przechodzącej przez punkt P (1, 0, −3) i przecinającej prostą k : x =
y
2
= −z − 4
pod kątem
π
3
6.4. symetrycznej do prostej k :
x − 1
0
=
y + 3
5
=
z
3
względem płaszczyzny π : 2x + y + z + 9 = 0
7. Wyznaczyć kąt
7.1. między wektorami ~
v
1
= [1, −1, 0] i ~
v
2
= [−2, 1, 1]
7.2. nachylenia płaszczyzn π
1
: x − y + 5 = 0 i π
2
= −2x + y + z + 3 = 0
7.3. nachylenia prostych l
1
:
x = t + 5
y = −3
z = t
, t ∈ R
i
l
2
:
3x + y + z = 0
x + 2y + 2z − 5 = 0
7.4. nachylenia prostej l : x − 2 = y + 1 =
z
2
do płaszczyzny π : 3x + 3z − 1 = 0
8. Wyznaczyć rzut prostopadły
8.1. punktu P (2, 1, 5) na płaszczyznę π : 3x − y + 2z − 1 = 0
8.2. punktu P (3, 0, 4) na prostą l :
x + 2y + 5z + 1 = 0
2x − 2y + z + 11 = 0
8.3. prostej l :
x − y + z + 4 = 0
2x + 3y + z − 1 = 0
na płaszczyznę π : x − 2y − 3z − 1 = 0
9. Wyznaczyć prostą l przecinającą proste m :
x + y − z + 1 = 0
2x − y + z − 7 = 0
i
k :
x
2
=
y − 3
0
= z + 1
pod kątem prostym.
Odpowiedzi
1. S =
9
2
V =
3
2
π : 2x − 2y + z − 1 = 0
d(P
4
, π) = 1
2.1. π : 2x + y + 4z − 12 = 0
2.2. π : x − 3y + 2z + 8 = 0
2.3. π : 3x − y − z − 7 = 0
2.4. π
1
: 2x + 6y − 3z − 8 = 0
π
2
: 2x + 6y − 3z + 20 = 0
2.5. π : 2x − y − 3z − 3 = 0
2.6. π : x + y − 2z + 4 = 0
2.7. π : x − 3y + 4z − 14 = 0
2.8. π : 2x + 7y + 5z = 0
3.1. d(P, π) = 3
3.2. d(l, π) =
30
11
3.3. d(P, l) =
√
2
4. Dla a = 1 prosta l leży w płaszczyźnie π. Dla a = −1 prosta l jest równoległa do π (brak punktów wspólnych), π
2
: x − y + 2z + 1 = 0.
Dla a ∈ R \ {−1, 1} prosta l przebija płaszczyznę π w punkcie
2a
2
−2a−2
a+1
,
5−a
a+1
,
a+3
a+1
.
5.1. ta sama prosta
5.2. równoległe (bez punktów wspólnych),
leżą w płaszczyźnie 2x + y − 3z + 4 = 0,
d(l
1
, l
2
) =
p
7
19
5.3. przecinają się w punkcie (1, 0, 2),
leżą w płaszczyźnie −21x + 9y − z + 20 = 0
5.4. skośne,
d(l
1
, l
2
) = 2
√
2
6.1. l :
x = t + 1
y = t + 2
z = −4t − 1
6.2. l :
x = 3t + 2
y = 2t + 1
z = −5t − 2
6.3.
l : x − 1 = −y =
z+3
2
lub
l :
x−1
2
= y = z + 3
6.4. l :
x = −16p + 1
y = 7p − 8
z = p − 3
7.1. ϕ = −
π
6
7.2. ϕ =
π
6
7.3. ϕ =
π
3
7.4. ϕ =
π
3
8.1. P
0
(−1, 2, 3)
8.2. P
0
−
54
29
,
90
29
, −
31
29
8.3. l
0
:
x − 2y − 3z − 1 = 0
x − y + z + 4 = 0
9. l : x − 2 =
y−
1
3
2
=
z−
10
3
−2
2