108
108
ROZDZIAŁ 9
Algebra wieloliniowa
9.1. Odwzorowania dwuliniowe
(V, F, +, ·), (W, F, +, ·), (U, F, +, ·) - przestrzenie wektorowe. Od-
wzorowanie
T : V × W −→ U
nazywamy przekształceniem dwuliniowym, jeżeli
∀X, X
1
, X
2
∈ V,
∀Y, Y
1
, Y
2
∈ W, ∀a ∈ F
T (X
1
+ X
2
, Y ) = T (X
1
, Y ) + T (X
2
, Y ),
T (X, Y
1
+ Y
2
) = T (X, Y
1
) + T (X, Y
2
)
T (aX, Y ) = T (X, aY ) = aT (X, Y )
L(V, W ; U )
ozn
= {T : V × W −→ U-dwulin}
TWIERDZENIE 9.1.1.
(L(V, W ; U ), F, +, ·) z działaniami
(S + T )(X, Y ) = S(X, Y ) + T (X, Y ),
(aT )(X, Y ) = aT (X, Y )
jest przesrzenią wektorową.
TWIERDZENIE 9.1.2.
Dla dowolnych, skończenie wymiarowych przestrzeni V, W, U nad
ciałem F przestrzeń (L(V, W ; U ), F, +, ·) jest skończenie wymiarowa
oraz
dim(L(V, W ; U ), F, +, ·) = dimV dimW dimU
TWIERDZENIE 9.1.3.
Dla dowolnych przestrzeni V, W, U nad ciałem F
L(V, W; U) ∼ L(V, L(W, U)) ∼ L(W, L(V, U)
109
9.2. Formy dwuliniowe
Formą dwuliniową nazywamy dwuliniowe przekształcenie
u ∈ L(V, W; F)
dimV = m, dimW = n.
X
1
, . . . , X
m
- baza V ,
Y
1
, . . . , Y
n
- baza W
u(X, Y ) = u(
m
X
i=1
x
i
X
i
,
n
X
j=1
y
j
Y
j
)
=
m
X
i=1
n
X
j=1
x
i
y
j
u(X
i
, Y
j
)
∀i = 1, . . . , m, ∀j = 1, . . . , n
a
ij
= u(X
i
, Y
j
)
A = (a
ij
) - macierz formy dwuliniowej.
Postać macierzowa
u(X, Y ) = X
∗
|{z}
(1×m)
A
|{z}
(m×n)
Y
|{z}
(n×1)
Każdej macierzy A odpowiada forma dwuliniowa i na odwrót każdej
formie dwuliniowej odpowiada macierz (przy ustalonych bazach).
TWIERDZENIE 9.2.1.
(L(V, W; F), F, +, ·) ∼ (M(m, n), F, +, ·)
(izomorfizm niekanoniczny, zależy od wyboru bazy)
TWIERDZENIE 9.2.2.
dimV = m, dimW = n.
Dwie macierze A, B ∈ M (m, n) są macierzami tej samej formy
dwuliniowej u ∈ L(V, W; F) w różnych bazach ⇐⇒ A ∼ B.
B = (P
c
)
−1
AQ
Rzędem formy dwuliniowej nazywamy rząd macierzy reprezen-
tującej tą macierz.
rzu = rzA
TWIERDZENIE 9.2.3.
dimV = m, dimW = n.
Dla każdej formy u ∈ L(V, W; F) istnieją takie bazy w przestrze-
niach V i W, że macierz formy ma postać:
k
k
1
0 0 . . . 0
. ..
0
1 0
0
0
0 0
0
. ..
0
0 0
0
=
"
I
k
Θ
Θ Θ
#
k = rzu.
u(X, Y ) =
k
X
i=1
x
i
y
i
Znajdowanie tych baz nazywamy sprowadzaniem formy do postaci
kanonicznej, a postać formy postacią kanoniczną.
WNIOSEK 9.2.1.
Każdą formę dwuliniową można sprowadzić do postaci kanonicznej.
L
2
(V, U)
ozn
= L(V, V; U)
Przekształcenie T ∈ L
2
(V, U) nazywamy
• symetrycznym, jeśli
∀X, Y ∈ V
T (X, Y ) = T (Y, X),
• skośniesymetrycznym, jeśli
∀X, Y ∈ V
T (X, Y ) = −T (Y, X).
Formę u ∈ L
2
(V, F ) nazywamy
• symetryczną, jeśli
∀X, Y ∈ V
u(X, Y ) = u(Y, X),
• skośniesymetryczną, jeśli
∀X, Y ∈ V
u(X, Y ) = −u(Y, X).
Jeśli T, u są skośnie symetryczne, to ∀X ∈ V
T (X, X) = −T (X, X) = Θ,
u(X, X) = −u(X, X) = 0
A ∈ M (n) - macierz symetryczna, jeśli
dla i, j = 1, . . . , n a
ij
= a
ji
A
∗
= A
A ∈ M (n) - macierz skośniesymetryczna, jeśli
dla i, j = 1, . . . , n, a
ij
= −a
ji
, a
ii
= 0
A
∗
= −A
TWIERDZENIE 9.2.4.
(1) Macierz formy symetrycznej w dowolnej bazie jest macierzą
symetryczną.
(2) Jeśli macierz formy w dowolnej bazie jest macierzą symetrycz-
ną, to forma jest symetryczna.
TWIERDZENIE 9.2.5.
(1) Macierz formy skośniesymetrycznej w dowolnej bazie jest ma-
cierzą skośniesymetryczną.
(2) Jeśli macierz formy w dowolnej bazie jest macierzą skośniesy-
metryczną, to forma jest skośniesymetryczna.
Jedyną macierzą, formą, odwzorowaniem równocześnie symetrycz-
nym i skośnie symetrycznym jest Θ.
9.3. Formy kwadratowe
chF 6= 2. (1 + 1 6= 0)
u ∈ L
2
(V, F ) - forma symetryczna.
Formą kwadratową (funkcjonałem kwadratowym) na prze-
strzeni V nazywamy odwzorowanie G : V −→ F takie, że ∀X ∈ V
G(X) = u(X, X)
Forma u generuje jednoznacznie funkcjonał G i na odwrót funkcjo-
nał G jednoznacznie generuje formę u.
u(X, Y ) = 2
−1
(G(X + Y ) − G(X) − G(Y ))
W przestrzeni skończenie wymiarowej, przy ustalonej bazie forma kwa-
dratowa ma postać:
G(X) =
n
X
i,j=1
a
ij
x
i
x
j
= X
∗
AX
rzG = rzA = rzu.
Postać kanoniczna funkcjonału:
G(X) =
n
X
i=1
a
ii
x
2
i
- macierz funkcjonału jest diagonalna.
G - funkcjonał nad ciałem R.
TWIERDZENIE 9.3.1.
Istnieje baza przestrzeni V, w której funkcjonał G jest w postaci
kanonicznej.
Metoda Lagrange’a.
sprowadzania funkcjonału do postaci kanonicznej
G(X) =
n
X
i,j=1
a
ij
x
i
x
j
= X
∗
AX
w bazie X
1
, . . . , X
n
, A = A
∗
.
X-współrzędne wektora w nowej bazie.
Jeśli ∀i, j = 1, . . . , n, a
ij
= 0, to jest to postać kanoniczna.
∃i, j = 1, . . . , n : a
ij
6= 0
(1) ∀i = 1, . . . , n a
ii
= 0
np. a
12
6= 0 wówczas przyjmujemy
x
1
=
x
1
+ x
2
x
2
= x
1
− x
2
x
3
= x
3
. . . . . . . . . . . .
x
n
= x
n
Zmiana współrzędnych przy użyciu macierzy zmiany bazy
P
0
1
=
1
1
0 . . . 0
1 −1 0 . . . 0
0
0
1 . . . 0
. ..
0
1
∈ M
0
(n)
2a
12
x
1
x
2
= a
12
x
1
x
2
+ a
21
x
2
x
1
=
2a
12
(
x
1
+ x
2
)(x
1
− x
2
) = 2a
12
x
2
1
− 2a
12
x
2
2
w nowej macierzy na przekątnej istnieją elementy różne od
zera.
(2) a
11
6= 0
G
1
(X) = G(X) − a
−1
11
a
11
x
1
+ .. + a
1n
x
n
|
{z
}
x
1
2
w G
1
nie występują składniki mieszne z x
1
.
Współrzędne spełniają zależności:
x
1
= a
−1
11
x
1
− a
−1
11
a
12
x
2
− · · · − a
−1
11
a
1n
x
n
x
2
= x
2
..
.
x
n
= x
n
P
1
=
a
−1
11
a
−1
11
a
12
· · ·
· · ·
· · ·
· · ·
a
−1
11
a
1n
0
1
0
..
.
. ..
..
.
0
· · ·
0
1
0
· · ·
0
..
.
0
1
..
.
..
.
. ..
0
0
· · ·
· · ·
0
· · ·
0
1
Dla k = 1, . . . , n:
x
1
=
x
1
..
.
x
k
= a
−1
kk
x
k
− a
−1
kk
a
k(k+1)
x
k+1
.. − a
−1
kk
a
kn
x
n
..
.
x
n
= x
n
Macierz zmiany bazy:
P
k
=
1
0
0
. ..
1
0
0
..
0 a
−1
kk
−a
−1
kk
a
k(k+1)
..
−a
−1
kk
a
kn
0
0
1
0
. ..
0
0
1
B = P
∗
n
. . . P
∗
1
AP
1
. . . P
n
= (P
1
. . . P
n
)
∗
A(P
1
. . . P
n
)
Mogą wystąpić macierze P
0
k
(jeśli na przekątnej są same zera).
G(X) = b
1
x
2
1
+ . . . + b
n
x
2
n
=
n
X
i=1
b
i
x
2
i
WNIOSEK 9.3.1.
rzG jest równy ilości różnych od zera współczynników w postaci
kanonicznej tego funkcjonału.
Postać normalna funkcjonału:
G(X) =
n
X
i=1
b
i
x
2
i
b
i
= 1, −1, 0
W n-wym przestrzeni rzeczywistej istnieje baza, w której funkcjonał
ma postać normalną.
X
1
, . . . , X
n
- baza kanoniczna,
G(X) =
P
n
i=1
a
i
x
2
i
- postać kanoniczna, to
Y
i
=
1
q
|a
i
|
X
i
jesli a
i
6= 0
Y
i
= X
i
jesli a
i
= 0
baza normalna.
a
i
6= 0
b
i
= u(Y
i
, Y
i
) = u
1
q
|a
i
|
X
i
,
1
q
|a
i
|
X
i
=
1
|a
i
|
u(X
i
, X
i
) =
a
i
|a
i
|
=
(
1
−1
a
i
= 0
b
i
= u(X
i
, X
i
) = 0
TWIERDZENIE 9.3.2.
Prawo bezwładności form kwadratowych.
G - funkcjonał kwadratowy na n-wym przestrzeni rzeczywistej.
Liczba dodatnich współczynników w różnych postaciach kanonicz-
nych jest taka sama.
WNIOSEK 9.3.2.
Liczba współczynników ujemnych jest też taka sama.
Funkcjonał G jest dodatnio określony, jeśli
∀X 6= Θ G(X) > 0
TWIERDZENIE 9.3.3.
G - funkcjonał kwadratowy na n-wym przestrzeni rzeczywistej.
G jest dodatnio określony wtw gdy liczba współczynników dodatnich w
postaci kanonicznej jest równa n.
9.4. Odwzorowania wieloliniowe
(V
1
, F, +, ·), . . . , (V
k
, F, +, ·),
(U, F, +, ·) - przestrzenie wektorowe (k 2). Odwzorowanie
T : V
1
× · · · × V
k
−→ U
nazywamy przekształceniem k-liniowym, jeśli
∀a ∈ F , ∀i = 1, . . . , k
∀X
1
∈ V
1
, .., X
i
, X
0
i
∈ V
i
, .., X
k
∈ V
k
T (X
1
, .., X
i
+ X
0
i
, .., X
k
) =
T (X
1
, .., X
i
, .., X
k
) + T (X
1
, .., X
0
i
, .., X
k
),
aT (X
1
, .., X
i
, .., X
k
) = T (aX
1
, .., X
i
, .., X
k
) =
.. = T (X
1
, ..aX
i
, .., X
k
) = .. = T (X
1
, .., X
i
, .., aX
k
)
Przykład
(1) T : F × · · · × F −→ F
T (a
1
. . . a
k
) = a
1
· · · a
k
(2) V
1
, . . . , V
k
- przestrzenie wektorowe nad ciałem F ,
dla i = 1, . . . , k, v
i
∈ V
∗
i
T : V
1
× · · · × V
k
−→ F
T (X
1
, . . . , X
k
) = hv
1
, X
1
i · · · hv
k
, X
k
i
L(V
1
, .., V
k
; U)
ozn
= {T : V
1
× .. × V
k
−→ U}
zbiór przekształceń k-liniowych.
TWIERDZENIE 9.4.1.
(L(V
1
, . . . , V
k
; U), F, +, ·) z działaniami
(S + T )(X
1
, .., X
k
) = S(X
1
, .., X
k
) + T (X
1
, .., X
k
)
(aT )(X
1
, .., X
k
) = aT (X
1
, .., X
k
)
jest przestrzenią wektorową.
TWIERDZENIE 9.4.2.
Dla dowolnych, skończenie wymiarowych przestrzeni V
1
, . . . , V
k
, U
nad ciałem F przestrzeń (L(V
1
, .., V
k
; U), F, +, ·) jest skończenie wy-
miarowa oraz
dimL(V
1
, .., V
k
; U) = dimV
1
..dimV
k
dimU
TWIERDZENIE 9.4.3.
Dla dowolnych przestrzeni V
1
, . . . , V
k
, U nad ciałem F
L(V
1
, . . . , V
k
; U)∼ (L(V
2
, . . . , V
k
; L(V
1
, U))∼. . .
∼(L(V
2
, . . . , V
k−1
; L(V
k
, U))∼ (L(V
3
, . . . , V
k
; L(V
1
, V
2
; U))∼
. . .∼(L(V
k
, L(V
1
, . . . , V
k−1
; U)) ∼L(V
i
1
, . . . , V
i
k
; U)
gdzie (i
1
, . . . , i
k
) ∈ S
k
V
1
= · · · = V
k
= V
L(V, . . . , V; U)
ozn
= L
k
(V; U)
Przekształcenie T ∈ L
k
(V; U) nazywamy symetrycznym, jeśli
∀(i
1
, .., i
k
) ∈ S
k
, ∀X
1
, .., X
k
∈ V
T (X
1
, . . . , X
k
) = T (X
i
1
, . . . , X
i
k
)
Przekształcenie T ∈ L
k
(V; U) nazywamy skośniesymetrycznym,
jeśli
∀(i
1
, .., i
k
) ∈ S
k
, ∀X
1
, .., X
k
∈ V
T (X
1
, .., X
k
) = sgn(i
1
, .., i
k
)T (X
i
1
, .., X
i
k
)
chF 6= 2
Przekształcenie T ∈ L
k
(V; U) jest skośniesymetryczne, jeśli
∀(1 ¬ i < j ¬ k), ∀X
1
, .., X
k
∈ V
T (X
1
, .., X
i
, .., X
j
, .., X
k
) = −T (X
1
, .., X
j
, .., X
i
, .., X
k
)
Jeśli ∃i < j takie, że X
i
= X
j
, to
T (X
1
, . . . , X
i
, . . . , X
j
, . . . , X
k
) = 0
TWIERDZENIE 9.4.4.
Odwzorowanie T ∈ L
k
(V; U) jest skośniesymetryczne wtw dla każdego
układu liniowo zależnych wektorów X
1
, . . . , X
k
∈ V T (X
1
, . . . , X
k
) = 0
9.5. Formy wieloliniowe
Formą k-liniową (k 2) nazywamy przekształcenie u ∈ L(V
1
, . . . , V
k
; F )
V
1
= · · · = V
k
= V
L(V, . . . , V; F )
ozn
= L
k
(V; F )
Formę u ∈ L
k
(V; U) nazywamy symetryczną, jeśli
∀(i
1
, .., i
k
) ∈ S
k
, ∀X
1
, .., X
k
∈ V
u(X
1
, . . . , X
k
) = u(X
i
1
, . . . , X
i
k
)
Formę u ∈ L
k
(V; U) nazywamy skośniesymetryczną, jeśli
∀(i
1
, .., i
k
) ∈ S
k
, ∀X
1
, .., X
k
∈ V
u(X
1
, .., X
k
) = sgn(i
1
, .., i
k
)u(X
i
1
, .., X
i
k
)
u ∈ L(V
1
, . . . , V
k
; F ),
dimV
i
= n
i
dla i = 1, . . . , k,
X
i
1
, . . . , X
i
n
i
- baza V
i
,
X
i
∈ V
i
,
X
i
=
n
i
X
j=1
x
i
j
X
i
j
u(X
1
, . . . , X
k
) =
= u(
n
1
X
j
i
=1
x
1
j
1
X
1
j
1
, . . . ,
n
k
X
j
k
=1
x
k
j
k
X
k
j
k
) =
=
n
1
X
j
i
=1
. . .
n
k
X
j
k
=1
x
1
j
1
, . . . , x
k
j
k
u(X
1
j
1
, . . . , X
k
j
k
)
|
{z
}
a
j1...jk∈F
Przy ustalonych bazach formie u odpowiada układ n
1
· · · n
k
elemen-
tów z ciała F .
Wartość u na wektorach bazowych, a więc a
j
1
...j
k
jednoznacznie wy-
znacza formę u.
V
1
= · · · = V
k
= V, u ∈ L
k
(V; F ),
X
1
, . . . , X
n
- baza V,
dla i = 1, . . . , k Y
i
∈ V,
Y
i
=
n
X
j
i
=1
x
j
i
X
j
i
u(Y
1
, .., Y
k
) =
n
X
j
1
=1
..
n
X
j
k
=1
x
j
1
..x
j
k
u(X
j
1
, .., X
j
k
)
=
n
X
j
i
=1
..
n
X
j
k
=1
a
j
1
..j
k
x
j
1
..x
j
k
u-symetryczna ⇐⇒ ∀(i
1
, .., i
k
) ∈ S
k
a
j
1
···j
k
= a
j
i1
···j
ik
u-skośniesym ⇐⇒ ∀(i
1
, .., i
k
) ∈ S
k
a
j
1
···j
k
= sgn(i
1
, . . . , i
k
)a
j
i1
···j
ik
Jeśli ∃p 6= q takie, że j
p
= j
q
, to a
j
i1
···j
ik
= 0