Matematyka A, kolokwium, 18 maja 2011, 18:10 – 20:00

Rozwia

,

zania r´o˙znych zada´

n maja

,

znale´z´c sie

,

na r´o˙znych kartkach, bo sprawdza´c je be

,

da

,

r´o˙zne osoby.

Ka˙zda kartka musi by´c podpisana w LEWYM G ´

ORNYM ROGU imieniem i nazwiskiem pisza

,

cego,

jego nr. indeksu oraz nr. grupy ´cwiczeniowej i nazwiskiem osoby prowadza

,

cej ´cwiczenia.

Nie wolno korzysta´

c z kalkulator´

ow, telefon´

ow kom´

orkowych ani innych urza

,

dze´

n elek-

tronicznych; je´sli kto´s ma, musza

,

by´

c schowane i wy la

,

czone! Nie dotyczy rozrusznik´ow serca.

Nie wolno korzysta´c z tablic ani notatek!

Wszystkie stwierdzenia nale˙zy uzasadnia´c. Wolno i NALE ˙ZY powo lywa´c sie

,

na twierdzenia, kt´ore

zosta ly udowodnione na wyk ladzie lub na ´cwiczeniach.

Nale˙zy przeczyta´c

CAÃLE

zadanie

PRZED

rozpocze

,

ciem rozwia

,

zywania go!

1. (10 pt.) (a) Znale´z´c takie liczby A , B , C , D i E , ˙ze je´sli w(x) = A + Bx + Cx

2

+ Dx

3

+ Ex

4

dla ka˙zdej liczby x , to w(0) = 0 , w(1) = 1 , w(2) = 9 , w(3) = 36 i w(4) = 100 .

(b) Obliczy´c w(5) .

2. (10 pt.) Znale´z´c

3

3

12

−1

1

−4

25

1683 −11

.

3. (10 pt.) (a) Wykaza´c, ˙ze dla dowolnych liczb ca lkowitych a, b istnieja

,

takie liczby ca lkowite

x, y , ˙ze:

12 5

5

2

x
y

=

a

b

.

(b) Znale´z´c warto´sci w lasne macierzy

12 5

5

2

.

(c) Znale´z´c macierz

12 5

5

2

−1

.

(d) Czy istnieje taki niezerowy wektor ~v , ˙ze kA~vk = 3k~vk ?

4. (10 pt.) Niech A =





−3

2 −2

0

1

0

4 −2

3



 .

(a) Znale´z´c warto´sci i wektory w lasne macierzy A .

(b) Znale´z´c warto´sci i wektory w lasne macierzy A

−1

.

(c) Znale´z´c warto´sci i wszystkie wektory w lasne macierzy A

2

i macierzy A

3

.

(d) Znale´z´c macierze A

2

i A

3

.

(e) Czy przekszta lcenie przypisuja

,

ce wektorowi −

→

x wektor A · −

→

x jest symetria

,

lub obrotem?

5. (10 pt.) Niech M =







5

1 + 3

√

3

1 − 3

√

3

1 − 3

√

3

13

2

2 +

3
2

√

3

1 + 3

√

3 2 −

3
2

√

3

13

2





,

~u =





1
2
2



.

(a) Znale´z´c macierz M

T

oraz iloczyny M · M

T

, M

T

· M .

(b) Znale´z´c M~u . Wskaza´c jedna

,

(z by´c mo˙ze kilku) warto´s´c w lasna

,

macierzy M .

(c) Obliczy´c M

−1

.

(d) Wykaza´c, ˙ze macierze M i M

T

maja

,

te same warto´sci w lasne.

(e) Obliczy´c | det(M )| .