1

Metoda Elementów 

Metoda Elementów 

Sko czonych

Sko czonych

ZAGADNIENIA DYNAMIKI

ZAGADNIENIA DYNAMIKI

 

 

3

Równanie ruchu dla 

Równanie ruchu dla 

zagadnienia dynamicznego

zagadnienia dynamicznego

M ¨q+C q+K q=0

gdzie:

M

macierz bezw adno ci

o wymiarze n

×n ,

C

macierz t umienia

o wymiarze n

×n ,

K

macierz sztywno ci

o wymiarze n

×n ,

q

wektor uogólnionych przemieszczen×1,

Q

wektor uogólnionych si wymuszaj cych

n×1,

n

liczba stopni swobody dynamicznej.

 

 

4

Podzia  zagadnie  dynamicznych

Podzia  zagadnie  dynamicznych

 

 

5

 

 

6

 

 

7

 

 

8

Zagadnienie w asne -     

Zagadnienie w asne -     

problem matematyczny

problem matematyczny

 

 

9

jest to rozwi zanie liniowego 

jest to rozwi zanie liniowego 

jednorodnego uk adu równa

jednorodnego uk adu równa

postaci:

postaci:

 

 

10

Mamy nietrywialne rozwi zanie, 

Mamy nietrywialne rozwi zanie, 

je eli

je eli

co prowadzi do wielomianowego 

co prowadzi do wielomianowego 

równania N-tego stopnia

równania N-tego stopnia

 

 

11

Je eli macierz A jest dodatnio 

Je eli macierz A jest dodatnio 

okre lona (tzn.: 

okre lona (tzn.: 

x

x

T

T

Ax

Ax

 > 

 > 

0

0

 dla 

 dla 

dowolnego 

dowolnego 

x

x

) to wszystkie 

) to wszystkie 

pierwiastki s  rzeczywiste i 

pierwiastki s  rzeczywiste i 

dodatnie:

dodatnie:

 

 

12

Zagadnienie w asne liniowego uk adu 

Zagadnienie w asne liniowego uk adu 

dynamicznego bez t umienia

dynamicznego bez t umienia

Rozwa amy drgania swobodne uk adu 

Rozwa amy drgania swobodne uk adu 

liniowego bez t umienia: 

liniowego bez t umienia: 

C

C

   

   

0

0

, 

, 

b

b

 

 

 0

 0

 

 

13

Uogólniony problem w asny

Uogólniony problem w asny

 

 

14

 

 

15

Po rozwi zaniu równania

Po rozwi zaniu równania

otrzymujemy

otrzymujemy

 

 

16

Normowanie wektora w asnego

Normowanie wektora w asnego

Wektory w asne otrzymuje si  z dok adno ci  

 

Wektory w asne otrzymuje si  z dok adno ci  

 

do sta ego mno nika. Cz sto dokonuje si  

do sta ego mno nika. Cz sto dokonuje si  

odpowiedniego skalowania:

odpowiedniego skalowania:

 

 

17

 

 

18

 

 

19

Metoda Rayleigha-Ritza

Metoda Rayleigha-Ritza

 

 

20

 

 

21

 

 

22

Do czego s u y analiza 

 

Do czego s u y analiza 

 

zagadnienia w asnego?

zagadnienia w asnego?

1.

Opisuje drgania swobodne konstrukcji.

2.

Problem rezonansu.

3.

Znajomo  form i cz sto ci w asnych pozwala 

na wykonanie analizy modalnej, tzn. 
rozseparowanie zagadnienia wzgl dem tzw. 

wspó rz dnych modalnych.

 

4.

Z widma cz sto ci drga  w asnym mo emy 

wyci gn  szereg wniosków co do zachowania si  

konstrukcji pod wp ywem obci e  o charakterze 

 

harmonicznym.

 

 

23

Zagadnienia dynamiczne 

Zagadnienia dynamiczne 

nieustalone

nieustalone

 

 

24

Ca kowanie numeryczne 

Ca kowanie numeryczne 

„krok po kroku”

„krok po kroku”

 

 

25

Ca kowanie metod  ró nic 

Ca kowanie metod  ró nic 

sko czonych

sko czonych

 

 

26

Metoda Newmarka

Metoda Newmarka

Równanie ruchu w chwili: t +  t

 

 

27

 

 

28

Metoda modalna

Metoda modalna

 

 

29

 

 

30

Macierzowe równanie separuje 

Macierzowe równanie separuje 

si  na N zwyczajnych równa  

si  na N zwyczajnych równa  

ró niczkowych

ró niczkowych