Lagranżjan cząstki w polu elektromagnetycznym 

𝐹⃗ = 𝑞(𝐸⃗⃗ + 𝑣⃗ × 𝐵

⃗⃗) — siła Lorentza 

(1) 

𝐸⃗⃗ = −∇𝜙 −

𝜕𝐴⃗

𝜕𝑡

 — pole elektryczne wyrażone za pomocą potencjałów 

(2) 

𝐵

⃗⃗ = ∇ × 𝐴⃗ — pole magnetyczne wyrażone za pomocą potencjałów 

(3) 

𝐹⃗ = 𝑞 [−∇𝜙 −

𝜕𝐴⃗

𝜕𝑡

+ 𝑣⃗ × (∇ × 𝐴⃗)] — siła Lorentza wyrażona za pomocą potencjałów 

(4) 

𝐹

𝑘

= 𝑞 {−(∇𝜙)

k

− (

𝜕𝐴⃗

𝜕𝑡

)

𝑘

+ [𝑣⃗ × (∇ × 𝐴⃗)]

𝑘

} — siła Lorentza rozłożona na składowe 

(5) 

(∇𝜙)

k

=

𝜕𝜙

𝜕𝜉

𝑘

 — składowe kowariantne gradientu potencjału elektrycznego 

(6) 

(

𝜕𝐴⃗

𝜕𝑡

)

k

=

𝜕𝐴

𝑘

𝜕𝑡

 — składowe kowariantne pochodnej potencjału magnetycznego po czasie 

(7) 

[𝑣⃗ × (∇ × 𝐴⃗)]

𝑘

= √det 𝑔 𝜀

𝑖𝑗𝑘

𝑣

𝑖

(∇ × 𝐴⃗)

𝑗

 — składowe kowariantne iloczynu wektorowego we wzorze 5 

(8) 

𝑣

𝑖

= 𝜉̇

𝑖

 — składowe kontrawariantne prędkości 

(9) 

(∇ × 𝐴⃗)

𝑗

=

1

√det 𝑔

𝜀

𝑙𝑚𝑗

(

𝜕𝐴

𝑚

𝜕𝜉

𝑙

− Γ

𝑛

𝑙𝑚

𝐴

𝑛

) — składowe kontrawariantne rotacji we wzorze 8 

(10) 

[𝑣⃗ × (∇ × 𝐴⃗)]

𝑘

= √det 𝑔 𝜀

𝑖𝑗𝑘

𝜉̇

𝑖

1

√det 𝑔

𝜀

𝑙𝑚𝑗

(

𝜕𝐴

𝑚

𝜕𝜉

𝑙

− Γ

𝑛

𝑙𝑚

𝐴

𝑛

) — podstawienie wzorów 9 i 10 do wzoru 8 

(11) 

[𝑣⃗ × (∇ × 𝐴⃗)]

𝑘

= 𝜀

𝑖𝑗𝑘

𝜀

𝑙𝑚𝑗

𝜉̇

𝑖

(

𝜕𝐴

𝑚

𝜕𝜉

𝑙

− Γ

𝑛

𝑙𝑚

𝐴

𝑛

) — uproszczenie wzoru 11 

(12) 

𝜀

𝑖𝑗𝑘

𝜀

𝑙𝑚𝑗

= 𝛿

𝑖

𝑚

𝛿

𝑘

𝑙

− 𝛿

𝑖

𝑙

𝛿

𝑘

𝑚

 — iloczyn symboli Leviego—Civity we wzorze 12 

(13) 

[𝑣⃗ × (∇ × 𝐴⃗)]

𝑘

= (𝛿

𝑖

𝑚

𝛿

𝑘

𝑙

− 𝛿

𝑖

𝑙

𝛿

𝑘

𝑚

)𝜉̇

𝑖

(

𝜕𝐴

𝑚

𝜕𝜉

𝑙

− Γ

𝑛

𝑙𝑚

𝐴

𝑛

) — podstawienie wzoru 13 do wzoru 12 

(14) 

[𝑣⃗ × (∇ × 𝐴⃗)]

𝑘

= 𝜉̇

𝑖

(

𝜕𝐴

𝑖

𝜕𝜉

𝑘

− Γ

𝑛

𝑘𝑖

𝐴

𝑛

) − 𝜉̇

𝑖

(

𝜕𝐴

𝑘

𝜕𝜉

𝑖

− Γ

𝑛

𝑖𝑘

𝐴

𝑛

) — uproszczenie wzoru 14 za pomocą delt 

(15) 

[𝑣⃗ × (∇ × 𝐴⃗)]

𝑘

= 𝜉̇

𝑖

(

𝜕𝐴

𝑖

𝜕𝜉

𝑘

−

𝜕𝐴

𝑘

𝜕𝜉

𝑖

− Γ

𝑛

𝑘𝑖

𝐴

𝑛

+ Γ

𝑛

𝑖𝑘

𝐴

𝑛

) — uproszczenie wzoru 15 

(16) 

Γ

𝑛

𝑖𝑘

= Γ

𝑛

𝑘𝑖

 — symetria symboli Christoffela 

(17) 

[𝑣⃗ × (∇ × 𝐴⃗)]

𝑘

= 𝜉̇

𝑖

(

𝜕𝐴

𝑖

𝜕𝜉

𝑘

−

𝜕𝐴

𝑘

𝜕𝜉

𝑖

) — uproszczenie wzoru 16 

(18) 

𝐹

𝑘

= 𝑞 [−

𝜕𝜙

𝜕𝜉

𝑘

−

𝜕𝐴

𝑘

𝜕𝑡

+ 𝜉̇

𝑖

(

𝜕𝐴

𝑖

𝜕𝜉

𝑘

−

𝜕𝐴

𝑘

𝜕𝜉

𝑖

)] — wstawienie wzorów 6, 7 i 18 do wzoru 5 

(19) 

𝐹

𝑘

= 𝑞 [− (

𝜕𝐴

𝑘

𝜕𝑡

+ 𝜉̇

𝑖 𝜕𝐴

𝑘

𝜕𝜉

𝑖

) − (

𝜕𝜙

𝜕𝜉

𝑘

− 𝜉̇

𝑖 𝜕𝐴

𝑖

𝜕𝜉

𝑘

)] — przegrupowanie wzoru 19 

(20) 

𝑑𝐴

𝑘

𝑑𝑡

=

𝜕𝐴

𝑘

𝜕𝑡

+ 𝜉̇

𝑖 𝜕𝐴

𝑘

𝜕𝜉

𝑖

 — pochodna zupełna potencjału magnetycznego 

(21) 

𝜕𝜙

𝜕𝜉

𝑘

− 𝜉̇

𝑖 𝜕𝐴

𝑖

𝜕𝜉

𝑘

=

𝜕

𝜕𝜉

𝑘

(𝜙 − 𝜉̇

𝑖

𝐴

𝑖

) — wystawienie pochodnej cząstkowej przed nawias 

(22) 

𝐹

𝑘

= 𝑞 [−

𝑑𝐴

𝑘

𝑑𝑡

−

𝜕

𝜕𝜉

𝑘

(𝜙 − 𝜉̇

𝑖

𝐴

𝑖

)] — wstawienie wzorów 21 i 22 do wzoru 20 

(23) 

𝜕

𝜕𝜉̇

𝑘

(𝜙 − 𝜉̇

𝑖

𝐴

𝑖

) = −𝐴

𝑘

 — wyciągnięcie k-tej składowej kowariantnej potencjału magnetycznego 

(24) 

𝐹

𝑘

= 𝑞 [

𝑑

𝑑𝑡

𝜕

𝜕𝜉̇

𝑘

(𝜙 − 𝜉̇

𝑖

𝐴

𝑖

) −

𝜕

𝜕𝜉

𝑘

(𝜙 − 𝜉̇

𝑖

𝐴

𝑖

)] — wstawienie wzoru 24 do wzoru 23 

(25) 

𝐹

𝑘

= 𝑞 [

𝑑

𝑑𝑡

𝜕

𝜕𝜉̇

𝑘

(𝜙 − 𝑣

𝑖

𝐴

𝑖

) −

𝜕

𝜕𝜉

𝑘

(𝜙 − 𝑣

𝑖

𝐴

𝑖

)] — wstawienie definicji prędkości ze wzoru 9 do wzoru 25 

(26) 

𝐹

𝑘

=

𝑑

𝑑𝑡

𝜕

𝜕𝜉̇

𝑘

(𝑞𝜙 − 𝑞𝑣

𝑖

𝐴

𝑖

) −

𝜕

𝜕𝜉

𝑘

(𝑞𝜙 − 𝑞𝑣

𝑖

𝐴

𝑖

) — przemnożenie przez ładunek 

(27) 

𝐹

𝑘

=

𝑑

𝑑𝑡

𝜕

𝜕𝜉̇

𝑘

(𝑞𝜙 − 𝑞𝑣⃗ ⋅ 𝐴⃗) −

𝜕

𝜕𝜉

𝑘

(𝑞𝜙 − 𝑞𝑣⃗ ⋅ 𝐴⃗) — zapisanie części wzoru 27 w notacji wektorowej 

(28) 

𝑉 = 𝑞𝜙 − 𝑞𝑣⃗ ⋅ 𝐴⃗ — potencjał uogólniony do lagranżjanu 

(29) 

ℒ =

𝑚𝑣

2

2

− 𝑞𝜙 + 𝑞𝑣⃗ ⋅ 𝐴⃗ — lagranżjan cząstki w polu elektromagnetycznym 

(30)