ALGEBRA, rozdz. V,VI,VIII, zadania do oddania
Parametr k = liczba trzycyfrowa, dwie ostatnie cyfry to dwie ostatnie cyfry numeru indeksu,
pierwsza cyfra to pierwsza cyfra liczby liter pierwszego imienia.
Poszczególne zadania oddajemy na oddzielnych kartkach!
Nale y wypełni zał czon stron tytułow wpisuj c wskazane wyniki.
Zadanie 11.
Sprawd , e w R
3
wektory
(
)
k
k
x
,
,
1
−
=
,
(
)
2
,
2
,
0
−
=
y
,
(
)
1
,
1
,
1
−
−
=
z
s liniowo zale ne.
Przedstaw wektor zerowy jako niezerow kombinacj liniow tych wektorów.
Czy wektor
(
)
k
t
,
0
,
0
=
mo na przedstawi jako kombinacj liniow wektorów
x
,
y
,
z
?
(uzasadnij),
Czy wektory
x
,
y
,
t
tworz baz ? Je li tak, wyznacz współrz dne wektora (1, 1, 1) w tej
bazie.
Zadanie 12.
Wyznacz rozwi zanie ogólne równania jednorodnego:
=
+
=
−
−
0
0
kz
y
kz
ky
x
Zadanie 13.
Dane jest przekształcenie liniowe
3
4
:
R
R
f
→
,
(
) (
)
2
1
4
3
2
3
1
4
3
2
1
,
,
,
,
,
x
k
x
kx
x
x
x
kx
x
x
x
x
f
−
−
+
+
=
Okre l jego macierz w bazie kanonicznej.
Wyznacz dimKerf, dimImf.
Zadanie 14.
Wyznacz warto ci własne i odpowiadaj ce im wektory własne operatora
3
3
:
R
R
f
→
,
którego macierz w bazie kanonicznej ma posta
−
1
0
0
0
1
0
0
k
k
Czy wyznaczone wektory własne tworz baz w R
3
.
Zadanie 15.
W R
3
ze standardowym iloczynem skalarnym wykona ortogonalizacj Grama-Schmidta bazy
( )
0
,
1
,
1
=
x
,
(
)
1
,
0
,
0
=
y
,
(
)
k
k
z
,
0
,
=
.
Wyznaczy rzut wektora z na Lin{kx}. Jaka jest długo tego rzutu?
L.Kowalski, 3.10.2005
