METODA MONTE-CARLO
METODA MONTE-CARLO
MAREK NAWALANY
MAREK NAWALANY
PW
PW
METODA MONTE-CARLO
METODA MONTE-CARLO
MAREK NAWALANY
MAREK NAWALANY
PW
PW
METODA MONTE-CARLO
METODA MONTE-CARLO
• Prosty przykład
• Prosty przykład
• Historia
• Definicja
• Generatory liczb pseudo-losowych
• Generatory liczb pseudo-losowych
• Liczenie całek
• Liczenie całek
• Rozwiązywanie równań eliptycznych
• Rozwiązywanie równań eliptycznych
i parabolicznych
i parabolicznych
METODA MONTE-CARLO
METODA MONTE-CARLO
• Modelowanie struktury cieczy
• Modelowanie struktury cieczy
• Projektowanie zbiornika retencyjnego
• Projektowanie układów o wysokiej
niezawodności
niezawodności
• Symulacja ruchu drogowego
• Symulacja ruchu drogowego
• Symulacja eksperymentów
• Symulacja eksperymentów
• Określenie strefy oddziaływania
• Określenie strefy oddziaływania
M M-C [Prosty przykład]
M M-C [Prosty przykład]
2
π
π
=
=
Ο
r
S
4
π
π
=
=
=
Ο
kw
S
r
S
4
/
π
=
≅
Ο
Ο
S
N
4
/
π
=
≅
Ο
Ο
kw
kw
S
S
N
N
⇒
⇒
⇒
⇒
N
Ο
=
4
π
⇒
⇒
⇒
⇒
kw
N
N
Ο
=
4
π
M M-C [Historia]
M M-C [Historia]
Bacon XVIIw – igła Bacona =>
π
Bacon XVIIw – igła Bacona =>
π
E. Fermi 1930 – „Fermiac”(mechaniczne
urządzenie) => symulacja dyfuzji neutronów
urządzenie) => symulacja dyfuzji neutronów
W.von Neumann i St. Ulam 1940 => gen.
W.von Neumann i St. Ulam 1940 => gen.
liczb losowych + metoda odwrotnej
dystrybuanty+zastosowanie komputera +
dystrybuanty+zastosowanie komputera +
MC => masa krytyczna reaktora
MC => masa krytyczna reaktora
Rao 1940 – „proces urodzin” jako gen.
liczb losowych
M M-C [Definicja]
M M-C [Definicja]
Metody Monte Carlo stanowią
klasę algorytmów
wykorzystujących
wykorzystujących
losowe próbkowanie w celu
losowe próbkowanie w celu
policzenia rezultatu.
policzenia rezultatu.
M M-C [Definicja]
M M-C [Definicja]
Są szczególnie przydatne
Są szczególnie przydatne
do symulowania układów
lub procesów o dużej
lub procesów o dużej
złożoności (np. cieczy,
złożoności (np. cieczy,
gazów, ośrodków
porowatych) gdy metody
porowatych) gdy metody
deterministyczne okazują
deterministyczne okazują
się niemożliwe do
zastosowania.
zastosowania.
M M-C [Gener. liczb pseudo-losowych(2a)]
M M-C [Gener. liczb pseudo-losowych(2a)]
Ciąg liczb pseudo-losowych o rozkładzie
Ciąg liczb pseudo-losowych o rozkładzie
równomiernym w przedziale (0,1) powstaje w
wyniku stosowania
wyniku stosowania
g e n e r a t o r a kongruencyjnego:
r
i+1
= (ar
i
+ c) mod m ,(i=0,1,...)
r
i+1
= (ar
i
+ c) mod m ,(i=0,1,...)
r
0
- seed
gdzie a = 69069, c = 0, m = 2
32
;
o k r e s T
∼∼∼∼
2
32
o k r e s T
∼∼∼∼
2
32
M M-C [Gener. liczb pseudo-losowych(2b)]
M M-C [Gener. liczb pseudo-losowych(2b)]
Ciąg liczb pseudo-losowych o
Ciąg liczb pseudo-losowych o
rozkładzie równomiernym w przedziale
(0,1) powstaje w wyniku stosowania
(0,1) powstaje w wyniku stosowania
g e n e r a t o r a Fibbonaciego:
g e n e r a t o r a Fibbonaciego:
r
= (r
+ r
) mod m ,(i=55,56,...)
r
i+1
= (r
i-24
+ r
i-55
) mod m ,(i=55,56,...)
r
0
,r
1
,...,r
55
- seed
r
0
,r
1
,...,r
55
- seed
gdzie m = 2
32
; o k r e s T
∼∼∼∼
2
32
(2
55
-1)
gdzie m = 2
32
; o k r e s T
∼∼∼∼
2
32
(2
55
-1)
M M-C [Gener. liczb pseudo-losowych(3)]
M M-C [Gener. liczb pseudo-losowych(3)]
γ
1
= µ
3
/σ
3
γ
1
= µ /σ
γ
2
= µ
4
/σ
4
- 3
M M-C [Gener. liczb pseudo-losowych(4a)]
M M-C [Gener. liczb pseudo-losowych(4a)]
)
2
/
exp(
2
1
)
1
,
0
;
(
6
2
12
x
x
N
r
X
i
−−−−
====
≈≈≈≈
−−−−
====
∑
∑
∑
∑
ππππ
)
2
/
exp(
2
)
1
,
0
;
(
6
1
x
x
N
r
X
i
i
−−−−
====
≈≈≈≈
−−−−
====
∑
∑
∑
∑
====
ππππ
)
2
/
]
[
exp(
2
1
)
,
;
(
~
2
2
σ
µ
σ
σ
µ
µ
σ
−
−
Π
=
≈
+
=
x
x
N
X
X
2
σ
Π
M M-C [Gener. liczb pseudo-losowych(4b)]
M M-C [Gener. liczb pseudo-losowych(4b)]
Dygresja - UWAGA
Dygresja - UWAGA
M M-C [Liczenie całek ]
M M-C [Liczenie całek ]
f
f
M M-C [Rozwiązywanie r. eliptycznych i
parabolicznych (1)]
Równanie transportu masy (1D)
)
t
,
x
(
C
)
t
,
x
(
C
)
t
,
x
(
C
∂∂∂∂
∂∂∂∂
∂∂∂∂
∂∂∂∂
S
x
)
t
,
x
(
C
v
)
x
)
t
,
x
(
C
D
(
x
t
)
t
,
x
(
C
±±±±
∂∂∂∂
∂∂∂∂
−−−−
∂∂∂∂
∂∂∂∂
∂∂∂∂
∂∂∂∂
====
∂∂∂∂
∂∂∂∂
Rozwiązanie (dla S = 0) ma postać (*)
x
x
x
t
∂∂∂∂
∂∂∂∂
∂∂∂∂
∂∂∂∂
Rozwiązanie (dla S = 0) ma postać (*)
αααα
−−−−
−−−−
πα
πα
πα
πα
====
vt
4
)
vt
x
(
exp
vt
4
An
M
)
t
,
x
(
C
2
αααα
−−−−
πα
πα
πα
πα
====
vt
4
exp
vt
4
An
)
t
,
x
(
C
L
L
ef
M M-C [Rozwiązywanie r. eliptycznych i
parabolicznych (2)]
Interpretacja probabilistyczna
rozwiązania (*)
(dla ustalonej chwili czasu t): stężenie ma
(dla ustalonej chwili czasu t): stężenie ma
rozkład Normalny o parametrach
vt
2
oraz
vt
αααα
====
σσσσ
====
µµµµ
Rozkład taki można uzyskać wprowadzając N
vt
2
oraz
vt
L
αααα
====
σσσσ
====
µµµµ
Rozkład taki można uzyskać wprowadzając N
cząstek o masie M/N w chwili t = 0 do ośrodka
porowatego w punkcie startowym x = 0 a
porowatego w punkcie startowym x
0
= 0 a
następnie rozważając losowe przemieszanie się
M M-C [Rozwiązywanie r. eliptycznych i
parabolicznych (3)]
każdej z tych cząsteczek w kolejnych
przedziałach czasu o
t
∆∆∆∆
przedziałach czasu o
oraz rejestrując dla wybranych chwil czasu
t
∆∆∆∆
t
v
2
X
t
v
x
L
∆∆∆∆
αααα
++++
∆∆∆∆
====
∆∆∆∆
oraz rejestrując dla wybranych chwil czasu
(technicznie, dla chwil t
i
= i*
∆
t, i=1,...) ich
(technicznie, dla chwil t
i
= i*
∆
t, i=1,...) ich
położenie w ustalonych przedziałach przestrzeni
(x
k
, x
k
+h), gdzie h- krok siatki przestrzennej.
(x
k
, x
k
+h), gdzie h- krok siatki przestrzennej.
Dla dostatecznie dużego N rozkład cząstek w
siatce zbiega do rozwiązania (*)
siatce zbiega do rozwiązania (*)
M M-C [Modelowanie struktury cieczy]
M M-C [Modelowanie struktury cieczy]
((((
))))
4
)
dr
r
,
r
(
m
)
r
(
3
++++
====
ρρρρ
((((
))))
]
r
dr
r
[
3
4
3
3
−−−−
++++
ππππ
r
N
dr
r
r
N
r
)
,
(
)
(
++++
≈≈≈≈
ρρρρ
ρρρρ
r
dr
r
++++
o
o
N
ρρρρ
r
ρ
)
(
o
r
ρ
ρ
)
(
1
r
M M-C [Projektowanie zbiornika retencyjnego]
M M-C [Projektowanie zbiornika retencyjnego]
µ
(V)
µ
(V)
Y
X
V
Y
X
Y
V
V
Y
Y
X
Y
o
X
x
1
x
2
M M-C [
Symulacja eksperymentów FTT-1
]
M M-C [
Symulacja eksperymentów FTT-1
]
r
[
]
j
j
m
r
j
m
j
j
j
p
p
m
r
n
m
P
−
+
−
+
=
)
(
1
)
(
)
|
(
]
exp[
1
)
(
n
V
p
j
j
⋅
−
−
=
+
Figure 6.1 P.d.f gamma
λ
λ
λ
n
ne
n
g
−
=
2
)
,
(
Figure 6.1 P.d.f gamma
3,00E-01
3,50E-01
4,00E-01
5,00E-02
1,00E-01
1,50E-01
2,00E-01
2,50E-01
3,00E-01
p
d
f
lambda = 1.0
lambda = 0.5
0,00E+00
5,00E-02
1
6
1
1
1
6
2
1
2
6
3
1
3
6
4
1
4
6
x
M M-C [
Symulacja eksperymentów FTT-2
]
M M-C [
Symulacja eksperymentów FTT-2
]
Uniform p.d.f.
Gamma p.d.f.
j
m
j
M-C
Theory
δδδδ
%
M-C
Theory
δδδδ
%
0
0,01002
0,01000
0,20000
0,00060
0,00060
0,00000
1
0
0,01002
0,01000
0,20000
0,00060
0,00060
0,00000
1
0,02005
0,02000
0,25000
0,00330
0,00330
0,00000
2
0,97100
0,97000
0,10309
0,99610
0,99600
0,01004
2
0
0,09990
0,10000
0,09595
0,03980
0,04000
0,50000
1
0,19734
0,19731
0,01520
0,14260
0,14220
0,28129
2
0,70214
0,70269
0,07827
0,81760
0,81770
0,01223
2
0,70214
0,70269
0,07827
0,81760
0,81770
0,01223
M M-C [Różne]
M M-C [Różne]
1. Projektowanie układów o
wysokiej niezawodności
wysokiej niezawodności
2. Symulacja ruchu drogowego
3. Określenie strefy oddziaływania
3. Określenie strefy oddziaływania
METODA MONTE-CARLO
METODA MONTE-CARLO
Dziękuję za uwagę.
Dziękuję za uwagę.