Podstawowe zasady mechaniki klasycznej i klasycznej teorii…

ĘŚĆ A

MECHANIKA KLASYCZNA

1. RÓWNANIA LAGRANGE’A PIERWSZEGO RODZAJU

Będziemy rozpatrywali układ N punktów materialnych , przyjmując następujące oznaczenia:
m

Ω

- masa Ω-go punktu materialnego

Ω

, y

Ω

, z

Ω

- współrzędne ortogonalne kartezjańskie, Ω-go punktu materialnego, połoŜenie którego określone

jest wektorem wodzącym : r

Ω

(„tłusta” czcionka oznacza – wektor , przypis własny)
K

Ω

x , K

Ω

y , K

Ω

z – rzuty na osie ortogonalnego kartezjańskiego układu współrzędnych siły aktywnej : K

Ω

działającej na Ω-ty punkt materialny.
Z

Ω

x , Z

Ω

y , Z

Ω

z – rzuty na osie ortogonalnego kartezjańskiego układu współrzędnych siły reakcji : Z

Ω

działającej na Ω-ty punkt materialny.
DuŜe greckie litery (Ω, Γ itd.) w indeksach oznaczają numery punktów materialnych.
Jak wiadomo, równanie Newtona (drugie prawo Newtona; Lex secunda, 1687 rok) dotyczące ruchu Ω -go
punktu materialnego , na który działa tylko siła aktywna (siła pasywna to siła reakcji więzów – przypis własny),
w inercjalnym układzie odniesienia (IUO – przypis własny ) zapisywane jest w następujący sposób :

Ω

r..

Ω

= K

Ω

(gdzie r..

Ω

- oznacza drugą pochodną po czasie wektora r

- przypis własny) (1.1)

W całej ksiąŜce będziemy wykorzystywali tylko IUO i dlatego nie będziemy uwzględniać tak zwanych sił
inercji. (tj. sił pozornych – przypis własny)
W charakterze przykładu sił aktywnych moŜna wskazać siły elektromagnetyczne , siły jądrowe , siły
grawitacyjne (siły ciąŜenia - w ramach teorii Newtonowskiej ) i inne tego typu.
Jeśli na rozpatrywany punkt materialny działa oprócz siły aktywnej , siła reakcji - będąca wynikiem pewnych
ograniczeń nałoŜonych na poruszający się punkt (przykładowo przez warunek mówiący, Ŝe punkt materialny
moŜe się poruszać tylko po pewnej powierzchni), to siła ta wchodzi do równania (1.1) jako dodatkowy składnik :

Ω

r..

Ω

= K

Ω

+ Z

Ω

(1.2a)

lub , przedstawiając je jako rzuty (równanie (1.2a) jest równaniem wektorowym w trójwymiarowej przestrzeni
Euklidesa moŜemy rozpisać go składowe zgodne z osiami wprowadzonego kartezjańskiego układu
współrzędnych – przypis własny) na osie układu :

Ω

x..

Ω

= K

Ω

x + Z

Ω

x (1.2a)

Ω

y..

Ω

= K

Ω

y + Z

Ω

y (1.2a)

Ω

z..

Ω

= K

Ω

z + Z

Ω

z (1.2a)

To rozszerzenie (uwzględniające siły reakcji) równań będziemy nazywali „równaniami Lagrange’a pierwszego
rodzaju” (1788 rok) (równaniami Lagrange’a pierwszego rodzaju zwykle nazywa się równania (3.4) – przypis
tłumacza )

2. WI

ĘZY

2.1 RÓWNANIA WIĘZÓW

W tym rozdziale wyprowadzimy zaleŜności między równaniami więzów a siłami reakcji będącymi wynikiem
obecności tych więzów (reakcjami więzów). Naśladując podejście G. Hertza zapiszemy dla m-tego
więzu nałoŜonego na układ N punktów materialnych , równania w postaci róŜniczkowej :
                       N
duµ ≡ cµ dt + ∑ aµΩ dxΩ + bµΩ dyΩ + cµΩ dzΩ = 0   ; µ = 1,2,3, ..., m                                                          (2.1)
                     Ω =1
(małe greckie litery przy indeksach oznaczają numery równań więzów)
Współczynniki formy róŜniczkowej (2.1) są funkcjami współrzędnych cząstki (pojęcie „cząstka” i „punkt
materialny” wykorzystywane są jako synonimy) i czasu.
Wprowadzając następujące wektory :
aµΩ = i aµΩ + j bµΩ + k cµΩ                                                                                                                             (2.2)
równania (2.1) moŜna zapisać w następującej postaci :

                       N
duµ ≡ cµ dt + ∑ aµΩ drΩ = 0                                                                                                                              (2.3)
                      Ω =1
PoniewaŜ kaŜdy punkt materialny posiada trzy stopnie swobody , liczba stopni swobody dla układu jako całości
(na mocy obecności m równań więzów) jest dana równaniem :
f = 3N – m                                                                                                                                                            (2.4)
Jeśli nie rozpatrywać przypadku równowagi , to naleŜy przyjąć, Ŝe spełniona jest nierówność : m < 3N

2.2 KLASYFIKACJA WIĘZÓW

Więzy klasyfikujemy według ich dwóch róŜnych własności (* Zwykle więzy klasyfikujemy równieŜ według
innych własności. Dzielą się one na : utrzymujące i nie utrzymujące (przedstawiane są one za pomocą
odpowiednio równości i nierówności ). Oprócz tego moŜemy wyróŜnić klasę więzów idealnych , mających tą
własność , Ŝe suma prac elementarnych sił reakcji tych więzów, na dowolnym wirtualnym przesunięciu (zobacz
rozdział 3.1) jest równa zeru. Autor nie wprowadza tych pojęć , poniewaŜ ogranicza się on w swoich
rozwaŜaniach do więzów utrzymujących , idealnych – przypis tłumacza *)
(W literaturze polskiej więzy utrzymujące nazywane są dwustronnymi a nie utrzymujące jednostronnymi –
przypis własny)
a)  ZaleŜność (lub nie zaleŜność) odpowiadającej im formy róŜniczkowej od czasu. Jeśli cµ = 0 i

∂

aµΩ /

∂

t = 0 to więzy nazywamy „skleronomicznymi”. Jeśli współczynniki nie spełniają tych

      warunków , to forma róŜniczkowa zaleŜna jest od czasu i więzy nazywamy „reonomicznymi”
b)  Całkowalności (lub niecałkowalności) odpowiadającej im formy róŜniczkowej. Jeśli forma róŜniczkowa
      (2.1) jest róŜniczka zupełną , to więzy nazywamy „holonomicznymi”. Ma to miejsce w przypadku ,

kiedy:

∂

aµΩ /

∂

xΓ =

∂

aµΓ /

∂

xΩ ;

∂

cµ /

∂

xΩ =

∂

aµΩ /

∂

t ; itd. (2.5)

W tym przypadku istnieją funkcje : Fµ (xΩ ,t ) , takie ,Ŝe duµ = dFµ = 0 i dlatego równanie więzów
holonomicznych moŜna zapisać w następującej postaci :
Fµ (rΩ ,t ) – const. = 0 (2.6)
Wtedy :
cµ =

∂

Fµ/

∂

t i aµΩ =

∂

Fµ/

∂

rΩ = grad rΩ Fµ (2.7)

Jeśli forma (2.1) nie jest róŜniczką zupełną , jednak istnieje dla niej pewien mnoŜnik całkujący , to takie więzy,
równieŜ nazywamy holonomicznymi.
Jeśli forma (2.1) nie jest róŜniczką zupełną i nie moŜe być w nią przekształcona za pomocą jakiegokolwiek
mnoŜnika całkującego , to więzy nazywamy „nieholonomicznymi”. Więzy takie przed Hertzem rozpatrywał
A. Foss (1884 r. )

3. ZASADY RÓ

śNICZKOWE

3.1 ZASADA D’ALEMBERTA

Zasada D’Alemberta jest najbardziej znaną ze wszystkich zasad róŜniczkowych. Aby ją sformułować ,
konieczne jest wprowadzenie pojęcia „przemieszczenia (przesunięcia) wirtualnego”.
Wirtualne przesunięcie – jest to dopuszczalne przez więzy, nieskończenie małe przemieszczenie punktu w
pewnej ustalonej i stałej chwili czasu. Przesunięcie wirtualne Ω-tego punktu materialnego oznaczamy przez :
δrΩ (w odróŜnieniu od rzeczywistego nieskończenie małego przesunięcia drΩ ,zachodzącego w ciągu pewnej
chwili czasu ).
Zasadę D’Alemberta (równanie (3.1) nazywamy równieŜ ogólnym równaniem dynamiki – przypis tłumacza)
Zapisujemy w następujący sposób :
N
Σ (mΩ – r..ΩKΩ ) δrΩ = 0                                                                                                                                 (3.1)
Ω =1
Na mocy faktu , Ŝe przesunięcie wirtualne δrΩ nie jest niezaleŜnym , z równania tego nie wynika równanie
ruchu (1.1). Dlatego wynika pytanie  - jakie równanie ruchu jest równowaŜne równości (3.1) ?
Dla wirtualnych przesunięć δrΩ równanie więzów (2.3) przyjmuje postać :
N
Σ aµΩ δrΩ = 0                                                                                                                                                     (3.2)
Ω =1

oraz energię kinetyczną Ω-tego punktu materialnego :

TΩ = ½ mΩ r

..2

Ω (3.8)

Otrzymamy równanie zachowania energii dla tego układu :
                       m
dTΩ = dAΩ + Σ λµaµΩdrΩ                                                                                                                                (3.9)
                      µ =1
W przypadku więzów holonomicznych moŜemy podstawić do tego równania wyraŜenie (2.7) dla aµΩ a
następnie przepiszemy go następująco :
                       m
dTΩ = dAΩ + Σ λµ(

∂

Fµ /

∂

rΩ) drΩ (3.10)

µ =1
Z zaleŜności (2.6) mamy :
m
dFµ = (

∂

Fµ /

∂

t) dt +

Σ (

∂

Fµ /

∂

rΩ) drΩ (3.11)

                                µ =1
Sumując równania (3.10) po wszystkich punktach materialnych i przyjmując do wiadomości równości (3.11)
oraz zakładając :
         N                    N
dT =

Σ TΩ ; dA = Σ dAΩ (3.12)

        Ω =1              Ω =1
Otrzymamy równanie zachowania dla róŜniczki sumarycznej energii kinetycznej T i sumarycznej pracy
elementarnej A :
                 m
dT =  dA -

Σ λµ(

∂

Fµ /

∂

t )dt (3.13)

                µ =1
Druga składowa w prawej części tego równania przedstawia pracę elementarną , wykonywaną przez siły reakcji
więzów reonomicznych (przykładowo – zmiana energii kinetycznej piłeczki tenisowej przy przesunięciu rakiety
, płaszczyznę której przedstawia równanie (2.6), a która obrazuje więzy holonomiczno- reonomiczne ).
Jeśli siły aktywne , działające na układ są siłami potencjalnymi to ma miejsce równość :
dA = -dU                                                                                                                                                            (3.14)
gdzie : U – jest energią potencjalną. Zakładając :
dE = dT + dU                                                                                                                                                     (3.15)
gdzie : E- jest energią całkowitą układu , z równania (3.13) otrzymamy równanie zachowania energii w postaci :
           m
dE =  -

Σ λµ(

∂

Fµ /

∂

t )dt (3.16)

          µ =1
Dla układu z więzami holonomiczno-skleronomicznymi, z zaleŜności tej bezpośrednio wynika prawo
zachowania energii :
dE = 0 lub E = const.                                                                                                                                         (3.17)

3.3 PRZYKŁAD WIEZÓW HOLONOMICZNYCH
      (RÓWNOWAGA WAHADŁA SFERYCZNEGO)

Wykorzystując zasadę wirtualnych przesunięć , znajdziemy połoŜenie równowagi punktu materialnego ,
znajdującego się w jednorodnym polu grawitacyjnym (polu ciąŜenia) i poruszającego się po sferze.
(wahadło sferyczne). Jeśli promień sfery jest równy R (rysunek nr 1) to równanie więzu holonomiczno-
skleronomicznego przyjmuje postać :

F - const = x2 + y2 + z2 - R2 = 0                                                                                                                      (3.18)
Energia potencjalna dana jest wyraŜeniem :
U = U0 + mgz                                                                                                                                                    (3.19)
gdzie g – jest przyspieszeniem grawitacyjnym,
oraz :
K = - grad U = -mg k

(3.20)

Obecność więzów ogranicza ruch rozpatrywanego punktu i wyklucza jeden z trzech stopni swobody, zatem
dysponujemy dwoma niezaleŜnymi współrzędnymi. PołoŜenia równowagi będziemy poszukiwać w następujący
sposób : znajdziemy ekstremum energii potencjalnej U(z) uwzględniając ,to Ŝe współrzędna z jest wybrana nie w

sposób dowolny ,ale spełnia równanie (3.18). W analizie matematycznej wykorzystuje się dwie metody
znajdowania ekstremum funkcji : metoda rugowania i metoda mnoŜników Lagrange’a.

Rys. 1

Posługując się metodą rugowania , podstawimy do wyraŜenia (3.19) wartość z otrzymaną z równania (3.18) , co
daje nam :

U = U0 + mg sqrt( R

2 - x2 - y2 )

(3.21)

Gdzie x , y – są współrzędnymi niezaleŜnymi. Warunki konieczne na ekstremum są następujące :

∂

x = - mgx / sqrt( R2 - x2 - y2 ) = 0 ;

∂

y = - mgy / sqrt( R2 - x2 - y2 ) = 0

(3.22)

z czego wynika, Ŝe :
x = 0 ; y = 0

(3.23)

oraz na mocy (3.18) : z =

(3.24)

( plus odpowiada połoŜeniu równowagi nietrwałej a minus – połoŜeniu równowagi trwałej )
Wykorzystując metodę mnoŜników Lagrange’a , poszukujemy ekstremum funkcji :

U’ = U0 + mgz – λ (x

2 + y2 + z2 - R2 )

(3.25)

Mamy tutaj nową zmienną - mnoŜnik λ, i dlatego wszystkie współrzędne x, y, z moŜna uwaŜać za niezaleŜne.
Wtedy konieczne warunki na ekstremum zapisujemy w postaci :

∂

U’/

∂

x = -2λx = 0 ;

∂

U’/

∂

y = -2λy = 0 ;

∂

U’/

∂

z = mg-2λz = 0 ;

(3.26)

skąd wynika ,Ŝe : x = 0 ; y = 0 ; λ = mg / 2z

(3.27)

Na mocy (3.18) mamy : z =

(3.28)

I dlatego : λ =

mg / 2R

(3.29)

Wykorzystanie przedstawionej powyŜej metody mnoŜników Lagrange’a jest równowaŜne wykorzystaniu
metody przesunięć moŜliwych. Istotnie - w przypadku równowagi równanie wektorowe (3.4) sprowadza się do
równości :
Kx + λ(

∂

x) = 0; Ky + λ(

∂

y) = 0; Kz + λ(

∂

z) = 0;

(3.30)

Które moŜna przepisać w postaci :

∂

x = λ(

∂

x);

∂

y = λ(

∂

y);

∂

z = λ(

∂

z);

(3.31)

lub w postaci :

∂

U’/

∂

x = 0 ;

∂

U’/

∂

y = 0 ;

∂

U’/

∂

z = 0 ;

(3.32)

tj. w postaci równości (3.26). Siła reakcji określona jest zgodnie z zaleŜnością (3.7) i ma postać :
Z = λ grad F = 2λ(ix + jy + kz)

(3.33)

W połoŜeniu równowagi siła ta przyjmuje wartość :
Z = kmg

(3.34)

3.4  PRZYKŁAD WIĘZU NIEHOLONOMICZNEGO ( TOCZĄCY SIĘ DYSK )

W charakterze przykładu ruchu układu o więzach nieholonomicznych G. Hamel badał toczący się dysk po
powierzchni szorstkiej. Podkreślmy , Ŝe teraz rozpatrujemy ruch ciała sztywnego , a nie punktu materialnego.
Wybierzmy układ współrzędnych kartezjańskich w taki sposób aby płaszczyzna x, y pokrywała się z
płaszczyzną nieruchomą (rys. 2 )
wtedy współrzędne x, y będą określały połoŜenie punktu P styku dysku  ( o promieniu r ) z tą płaszczyzną.
Oznaczmy przez:

- kąt między osią obrotu a osią z, przez

- kąt między styczną do toru w punkcie styczności

a osią x ,

- kąt między promieniem przechodzącym przez punkt styczności i pewnym ustalonym promieniem r

, toczącego się okręgu , kąt ten odczytujemy w kierunku obrotu dysku.

Rys. 2

Zatem – połoŜenie dysku określone jest pięcioma współrzędnymi : x, y,

. jednak , poniewaŜ obrotowi

odbywającego się bez poślizgu, konieczne towarzyszy przemieszczenie , powinien być spełniony warunek :
ds. = a d

Rzutując ten warunek na oś współrzędnych , otrzymujemy dwa równania więzów :
dx = a d

cos (

) , dy = a d

sin (

) (3.35)

lub :
dF1 = dx - a d

cos (

) = 0 ; dF2 = dy - a d

sin(

) = 0 (3.36)

PoniewaŜ warunki całkowalności nie są tutaj spełnione mamy dwa równania więzów nieholonomicznych , zatem
dysk infinitezymalnie ma tylko trzy stopnie swobody. Tą ilość stopni swobody naleŜy odróŜniać od liczby
współrzędnych niezaleŜnych , które mogą być zadane w charakterze wartości początkowych przy ruchu dysku
( liczby stopni swobody w ogólności) *) Liczbę stopni swobody układu o więzach nieholonomicznych zwykle
określa się jako liczbę niezaleŜnych róŜniczek ( „liczbę infinitezymalnych stopni swobody” – zgodnie z
terminologią autora ), przy tym pojęcia „liczba stopni swobody w ogólności” zazwyczaj się nie wykorzystuje –
przypis tłumacza *)

3.5  ZASADA GAUSSA (ZASADA NAJMNIEJSZEGO PRZYMUSU )
(zobacz [2] str. 107, literatury podanej we wprowadzeniu  – przypis własny )
W związku ze swoją metoda najmniejszych kwadratów Gauss ( 1829 rok ) sformułował zasadę najmniejszego
przymusu. Według Gaussa miarą przymusu jest wielkość :
      N                                               N

Z =

Σ m

Ω

[ r

Ω – (KΩ/m

Ω

)]

2 = Σ m

Ω

[ x

Ω – (KΩx/m

Ω

)]

2 + [ y..Ω – (KΩy/m

Ω

)]

2 +

Ω

+ [ z..Ω – (KΩz/m

Ω

)]

2 (3.37)

PoniewaŜ ruch układu mechanicznego przy zdjęciu nałoŜonych na niego więzów, opisywany byłby przez prawo
Newtona (1.1) przymus w istocie przedstawia sobą miarę odchylenia układu od ruchu swobodnego. Składowe
kwadratowe odpowiadają kwadratom błędu w teorii błędów ,a masy – wagą.
Zgodnie z Gaussem , ruch rzeczywisty na który nałoŜono więzy zachodzi tak aby zdefiniowany powyŜej
przymus, osiągał minimum, tj. :

Z = 0 (3.38)

Przy tym wariacja

Z brana jest przy ustalonych wartościach współrzędnych i prędkości wszystkich punktów :

rΩ = 0 ,

r.Ω = 0 (3.39)

Ze wzoru (3.37) wynika , Ŝe :
N

Z = 2

Σ ( m

Ω

Ω – KΩ )

r..Ω (3.40)

Ω

Zgodnie z równaniami więzów (2.3) :
N

/dt = c

+ 2

Σ a

µΩ

r.Ω = 0 (3.41)

Ω

skąd róŜniczkując w sposób zupełny po czasie znajdujemy :
N N N N

d2u

/dt2 =

Σ (

∂

rΩ )r

Ω + Σ a

µΩ

r.Ω + Σ [ ( r

Ω

∇Γ

) a

µΩ

] r.Ω + (

∂

t) +

Σ (

∂

µΩ

∂

t)r.Ω = 0

Ω

(3.42)

Po uwzględnienieniu równości (3.39) otrzymamy :
N

Σ a

µΩ

r..Ω = 0 (3.43)

Ω

PomnoŜymy to równanie przez mnoŜnik Lagrange’a

λµ

i zsumujemy względem wszystkich więzów :

m N

Σ Σ

λµ

µΩ

r..Ω = 0 (3.44)

Ω

Równość tą pomnoŜymy przez dwa i człon po członie odejmiemy od zaleŜności (3.40). Po tej operacji warunek
(3.38) moŜemy zapisać w następującej postaci :
N m

Z = 2

Σ (m

Ω

r..Ω - K

Ω

λµ

µΩ

)

r..Ω = 0 (3.45)

Ω

Stąd moŜna wyprowadzić równania Lagrange’a pierwszego rodzaju (3.4) , w sposób podobny jak w rozdziale
poświęconym zasadzie d’Alemberta.
Zasada najprostszej trajektorii Hertza (zobacz [2] str.116 literatury podanej we wprowadzeniu – przypis własny )
jest szczególnym przypadkiem zasady Gaussa i wydawać się by mogło, Ŝe nie zasługuje na osobne omówienie.
Jednak kryją się w niej głębokie fizyczne idee, pozostające aktualnymi i w chwili obecnej. H. Hertz dąŜył do
wykluczenia sił ze swojej teorii i rozpatrywał układy na które nie działają siły aktywne. Przy tym wychodził z
pojęcia elementu drogi ds. , toru układu w wielowymiarowej przestrzeni :

(ds.)2 =

Σ (dkk )2 (3.46)

k
oraz pojęcia krzywizny sqrt(K), tego toru :

K =

Σ (d2xk /ds2 )2 (3.47)

       k
W celu  rozwinięcia swojej teorii Hertz przyjmował masy wszystkich punktów jako wielokrotności pewnej masy
jednostkowej. Jego zasada  najprostszej trajektorii polega na minimalizacji krzywizny :

K = 0 (3.48)

Od razu widać , Ŝe idea ta jest bardzo bliska Einsteinowskiej idei teorii grawitacji , w której jak wiadomo , siła
ciąŜenia pojawia się jako wynik zakrzywienia czterowymiarowej czasoprzestrzeni , co powoduje , Ŝe ruch
cząstki odbywa się po geodezyjnej (po najprostszej linii w sensie geometrii Riemanna ).

4. ZASADY CAŁKOWE

4.1 ZASADA HAMILTONA

4.1.1 PODSTAWOWE ZADANIE RACHUNKU WARIACYJNEGO

Podczas gdy w zwykłej teorii poszukiwania maksimum i minimum chodzi o określenie wartości ekstremalnej
pewnej funkcji , podstawą rachunku wariacyjnego jest pytanie o osiąganie wartości ekstremalnej całki :

       t1

I =

∫

F(Q, dQ/dt , t ) dt (4.1)

    t0
W całce tej funkcja  F(Q, dQ/dt , t ) jest zadana ale na rozpatrywanym odcinku „dopuszczamy do
współzawodnictwa” dowolnych krzywych Q(t) o ustalonych punktach początkowych i końcowych. Na
zmienność tych krzywych nałoŜono warunki :
Q( t0) = const. ; Q( t1) = const.                                                                                                                           (4.2)
Na rysunku 3 pokazano krzywe q = q(t) – tak zwane ekstremalne, które spełniają wymagana własność
ekstremalności całki (4.1).

Odpowiadające szukanej funkcji q(t) , funkcje Q(t) nazywamy funkcjami porównawczymi i zakładamy dla nich :
Q(t) = q(t) +

(t) (4.3)

zakładając , Ŝe

- jest nieskończenie małym parametrem. Na mocy warunków (4.2) dowolna funkcja

(t)

powinna spełniać równości :

(t0) =

(t1) = 0 (4.4)

Wielkość :

q(t) =

(t) (4.5)

nazywamy „wariacją funkcji q(t).Podstawiając wyraŜenie (4.3) do wzoru (4.1), otrzymamy całkę zaleŜną od
parametru

) =

∫

F(q +

, q. +

. , t ) dt (4.6)

t0
Zgodnie z definicją całka ta przyjmuje wartość ekstremalną przy

=0, zatem rozpatrywane zagadnienie

wariacyjne sprowadza się do zadania znalezienia zwykłego ekstremum. Teraz bowiem warunek konieczny na to
aby I(

) osiągało ekstremum moŜemy zapisać następująco :

[

∂

) /

∂ε

]

=0 = 0 (4.7)

RóŜniczkując I względem

, otrzymujemy :

t1 t1 t1

[

∂

) /

∂ε

] =

∫

[ (

∂

+ (

∂

q. )

. ] dt =

∫

[ (

∂

q) – d/dt (

∂

q. ) ]

dt + (

∂

q. )

(4.8)

t0 t0 t0
Na mocy warunku (4.4) ostatnia składowa staje się zerem. PoniewaŜ funkcja

(t) moŜe być wybrana w sposób

dowolny , wyraŜenie w nawiasie kwadratowym powinno toŜsamościowo być równe zeru , dochodzimy tym
sposobem do „wariacyjnego równania róŜniczkowego Eulera-Lagrange’a” :

(

∂

q) – d/dt (

∂

q. ) = 0 (4.9)

Równanie to jest równaniem róŜniczkowym zwyczajnym drugiego rzędu dla funkcji q(t). Wielkość :

I = [

∂

) /

∂ε

]

(4.10)

nazywamy „wariacją” całki I(

). Reprezentuje ona liniowy człon rozkładu całki I(

) w szereg Taylora. Aby

określić charakter ekstremum (minimum lub maksimum) konieczne jest obliczenie wariacji wyŜszego rzędu.
Z definicji wariacji (4.5) wynika , Ŝe :
d(

q) =

(4.11)

Na mocy równości (4.3) otrzymujemy :
dQ = dq +

(4.12)

I dlatego , zgodnie z definicją wariacji :

(dq) = dQ – dq =

(4.13)

Stąd otrzymujemy równanie :
d(

q) =

(dq) (4.14)

oznaczające , Ŝe operacja obliczenia wariacji i róŜniczkowania są przemienne.

RYS 4

PoniewaŜ czas przy wariowaniu nie zmienia się , z ostatniego równania wynika zaleŜność :
d/dt (

q) =

( dq/dt) (4.15)

tj. przemienność wariowania i róŜniczkowania po czasie.
ZaleŜność (4.14) poglądowo przedstawiono na rysunku 4. Zgodnie z nim :

q + d(q +

q) = dq +

(q + dq) (4.16)

PoniewaŜ operator wariowania jest liniowy , ma miejsce równość :

( q1+ q2 ) =

q1 +

q2 (4.17)

Stosując tą równość dochodzimy do równania (4.14) postaci :

q + dq + d(

q) = dq +

q +

(dq)

PowyŜsze wywody łatwo jest uogólnić na przypadek kilku funkcji qK ( K = 1... p ).
Teraz wyprowadzimy wzór Eulera-Lagrange’a w inny sposób , bez wykorzystywania parametru

Na miejsce całki (4.1) rozpatrzymy całkę :
t1

I =

∫

F(qK , q

K , t ) dt (4.18)

t0
Koniecznym warunkiem osiągania ekstremum tej całki jest teraz równość zeru wariacji tej całki. Na końcach
granicy całkowania powinny być spełnione warunki :

qK( t0) =

qK( t1) = 0 (4.19)

Zmieniając kolejność operacji wariowania i całkowania, otrzymujemy :
t1 p

I =

∫

Σ [ (

∂

qK )

qK + (

∂

q.K )

q.K ] dt = 0

t0 K=1
Wykorzystując zaleŜności :

q.K = d/dt (

qK )

a następnie całkując przez części , dochodzimy do równania :
t1 p t1 p

I =

∫

Σ [ (

∂

qK )

qK + (

∂

q.K ) d/dt (

qK )] dt =

∫

Σ [ (

∂

qK ) - d/dt(

∂

q.K ) ]

qK dt +

t0 K=1 t0 K=1
p t1

Σ [(

∂

q.K)

qK ]

= 0

K=1 t0
Całkowane człony stają się równe zeru na mocy warunków (4.19). WyraŜenia w nawiasach okrągłych pod
znakiem całki równieŜ się zerują , co wynika z dowolności w wyborze wariacji

qK. W rezultacie otrzymujemy

układ p – równań róŜniczkowych drugiego rzędu Eulera –Lagrange’a :

(

∂

qK ) – d/dt (

∂

q. K ) = 0 ; K = 1 ... p (4.20)

( Przedstawione wyniki są klasycznymi wynikami rachunku wariacyjnego , zainteresowanego czytelnika
odsyłam do ksiąŜki pt. : „Rachunek wariacyjny” – I. M. Gelfand, S. W. Fomin. PWN 1972 – przypis własny )

4.1.2 ZASADA HAMILTONA.

Obecny rozdział poświęcimy całkowej zasadzie , ustanowionej przez R. Hamiltona w 1894 roku, oraz
równowaŜnym jej równaniom ruchu układu mechanicznego. W zasadzie tej kryje się głęboki sens. Jej znaczenie
stanie się w pełni jasne przy uogólnieniu jej sformułowania w teorii pola.
W charakterze punktu wyjściowego weźmiemy równanie (3.3) i scałkujemy go po czasie w granicach od t0 do t1
N t1 m

∫

[ m

Ω

rΩ – ( KΩ + Σ

λµ

Ω )

rΩ ] dt = 0

Ω

=1 t0

Dokonamy następnie przekształcenia :

r..Ω

rΩ = d/dt ( r

Ω

rΩ ) – ½

( r2. Ω ) (4.21)

oraz wykorzystamy wyraŜenie (3.12) dla energii kinetycznej całego układu. To pozwala otrzymać :
t1 N m N t1

∫

[

T +

Σ ( KΩ + Σ

λµ

Ω )

rΩ ] dt – Σ ( r

Ω

rΩ ) | = 0

Ω

=1 t0

Zakładając, jak zwykle w rachunku wariacyjnym :

rΩ (t0) =

rΩ (t1) = 0 (4.22)

otrzymujemy :
t1 N m

∫

[

T +

Σ ( KΩ + Σ

λµ

Ω )

rΩ ]dt = 0 (4.23)

Ω

Wprowadźmy funkcje :

L = L( rΩ , r

Ω , t ) = T – U( rΩ , r

Ω , t ) (4.24)

Funkcja ta ma wymiar energii , nazwiemy ją „funkcją Lagrange’a” lub lagranŜjanem. JeŜeli funkcja U zaleŜy od
prędkości , to będziemy ją nazywali „potencjałem uogólnionym”. JeŜeli nie zaleŜy od prędkości , to U jest równe
toŜsamościowo energii potencjalnej układu ( uwaga. naleŜy rozróŜniać pojęcia uogólnionego potencjału i energii
potencjalnej. ). Równanie (4.23) przyjmuje teraz postać :
t1 N m

∫

[

L +

U +

Σ ( KΩ + Σ

λµ

Ω )

rΩ ]dt = 0

Ω

Wprowadzając pojecie „pochodnej wariacyjnej”, zdefiniowanej dla funkcji f( rΩ , r

Ω , t ) następująco :

rΩ = (

∂

rΩ ) – d/dt (

∂

r.Ω ) (4.25)

oraz przyjmując warunki (4.22), ostatnie równanie moŜemy zapisać w postaci :
t1 N m

∫

{

L +

Σ [ (

rΩ ) + KΩ + Σ

λµ

Ω ]

rΩ } dt = 0 (4.26)

Ω

ZałoŜymy teraz , Ŝe siły aktywne KΩ oraz potencjał uogólniony U, związane są zaleŜnościami :
KΩ = -

rΩ = - [ (

∂

rΩ ) - d/dt (

∂

r.Ω )] (4.27)

( w szczególnym przypadku , kiedy funkcja U nie zaleŜy od prędkości są to znane wzory wiąŜące siły i energię
potencjalną ) ( tj. F = - grad U – przypis własny )
Po takim załoŜeniu równanie (4.26) przyjmuje postać :
t1 N m

∫

(

L +

Σ Σ

λµ

Ω

rΩ ) dt = 0 (4.28)

Ω

Jest to zapis zasady Hamiltona dla układu o dowolnych więzach.
Dla układu o więzach holonomicznych na mocy zaleŜności (2.7) mamy :
t1 N m

∫

[

L +

Σ Σ

λµ

(

∂

rΩ )

rΩ ] dt = 0

Ω

lub

t1 N m

∫

(

L +

Σ Σ

λµ

) dt = 0 (4.29)

Ω

Przy braku więzów zasadę Hamiltona zapisujemy jeszcze prościej :
t1 t1

∫

L dt =

∫

( T – L) dt = 0 (4.30)

t0 t0
Stosując wzory (4.20) rachunku wariacyjnego do zasady Hamiltona w postaci (4.28) otrzymujemy równania
Lagrange’a dla układu o dowolnych więzach :
m

d/dt (

∂

r.Ω ) - (

∂

L /

∂

rΩ) = Σ

λµ

Ω = ZΩ (4.31)

które dla układu o więzach holonomicznych przyjmują postać :
m

d/dt (

∂

r.Ω ) - (

∂

L /

∂

rΩ) = Σ

λµ

(

∂

rΩ ) = ZΩ (4.32)

Przy braku więzów równania Lagrange’a upraszczają się do postaci :

rΩ = (

∂

rΩ ) - d/dt (

∂

r.Ω ) = 0 (4.33)

Równania Lagrange’a (4.31) reprezentują oczywiście równania Lagrange’a pierwszego rodzaju (1.2a) lub (3.4)
zapisane przez funkcje Lagrange’a L.
Definiując działanie (w sensie Hamiltona ) jako :
t1

S =

∫

L( rΩ , r

Ω , t )dt + S0 (4.34)

     t0
przy braku więzów dochodzimy do następującego sformułowania zasady Hamiltona  : ruch układu
mechanicznego w zadanym  przedziale czasowym  < t0  t1> odbywa się tak aby działanie (4.34) osiągało
wartość ekstremalną (nie koniecznie minimalną ). Zasada Hamiltona jako zasada całkowa , pozwala głębiej niŜ
sformułowanie Newtonowskie dynamiki, przeniknąć w istotę procesu ruchu.
Zapis praw przyrody w postaci równań róŜniczkowych stanowi bezpośrednio naszą wizję przyczynowości co
podkreśla się jeszcze tym faktem , Ŝe dany proces rozwija się od pewnego stanu początkowego. W
przeciwieństwie do tego zapisu róŜniczkowego , w zasadzie Hamiltona mamy pewien skończony odcinek czasu ,
w którym w jednakowy sposób potraktowano zarówno przeszłość jak i przyszłość. Dlatego teŜ w literaturze
spotykamy się z opiniami – w stylu autora wspomnianej zasady – podobnymi do takiej : „aby osiągnąć swój cel
przyroda ze wszystkich moŜliwych (wymyślonych) ruchów wybiera takie w które odpowiadają działaniu
ekstremalnemu”.

4.2  INNE ZASADY CAŁKOWE.

Zasadę Hamiltona poprzedzała zasada Maupertiusa ( 1747 rok ) o priorytet sformułowania której spierał się
Leibnitz. Jednak tylko Euler i Lagrange rozpatrując układ zachowawczy posiadający energię E, zamienili
nadzwyczaj bałamutne , pierwotne sformułowanie tej zasady na ścisłe matematyczne twierdzenia.
Mimo tego ,Ŝe w zasadzie Maupertiusa działanie określone jest jako całka po czasie od energii kinetycznej T –
układu (* dokładniej od podwojonej energii kinetycznej układu – przypis tłumacza. *) , dopuszcza się w niej
jedynie wariacje względem czasu (

≠

0) pozostawiając ustaloną energię całkowitą (

E = 0). Zatem

porównuje się tylko drogi na których energia całkowita jest taka sama.
PoniewaŜ przy braku sił , działanie w zasadzie Maupertiusa , z dokładnością do stałego czynnika przechodzi w
całkę po czasie , widać oczywisty związek tej zasady z zasadą Fermata najkrótszej drogi optycznej. Oczywiście
w przypadku rozprzestrzeniania się światła chodzi o ruch czoła fali, która nie podlega zasadom mechaniki.

5. RÓWNANIA LAGRANGE’A

5.1 RÓWNANIA LAGRANGE’A WE WSPÓŁRZĘDNYCH UOGÓLNIONYCH
Przy rozwiązywaniu konkretnych zadań zwykle nie wykorzystujemy współrzędnych kartezjańskich , a
wybieramy współrzędne stosowne dla rozwiązywanego zagadnienia , przykładowo - zadanie które posiada
symetrię sferyczną rozwiązujemy we współrzędnych sferycznych itp.

Takie indywidualne podejście do budowy równań Lagrange’a stosuje się z powodzeniem w wielu przypadkach.
Przy tym współrzędne nie koniecznie maja wymiar długości  (kąt , przykładowo jest wielkością bezwymiarową )
Dlatego teŜ mówimy o „współrzędnych uogólnionych”, współrzędne takie oznaczamy przez :  qk .
Rozpatrzmy układ składający się z N punktów materialnych , mających zatem 3N stopni swobody. JeŜeli na ten
układ nałoŜymy tylko więzy holonomiczne, to moŜna wykorzystać równania więzów w celu wykluczenia tylu
współrzędnych ile nałoŜono więzów. Wtedy uwzględniając więzy zasadę Hamiltona (4.30) moŜemy zapisać w
postaci ;
    t1

∫

L( qk , q

k , t )dt = 0 ; k = 1 ... p (5.1)

t0
Odpowiednie równania Lagrange’a drugiego rodzaju we współrzędnych uogólnionych mają postać :

∂

qk =

∂

qk – d/dt (

∂

q.k ) = 0 (5.2)

JeŜeli teraz oprócz więzów holonomicznych nałoŜymy na układ jeszcze więzy nieholonomiczne, to otrzymamy
zapis zasady Hamiltona w postaci (4.28), przy czym równania więzów nieholonomicznych powinny być
przedstawione we współrzędnych uogólnionych.
(* Autor postępuje tutaj dosyć nietypowo. Na początku uwzględnia tylko więzy holonomiczne i wyprowadza p
niezaleŜnych współrzędnych uogólnionych qk . To pozwala mu zapisać zaleŜności (5.4) i (5.5) które nie były by
spełnione przy uwzględnieniu więzów nieholonomicznych . Po czym uwzględnia i więzy nieholonomiczne
( wzór (5.7) ) nie mówiąc przy tym ,Ŝe z p wariacji

qk , niezaleŜnymi pozostają tylko p – n, gdzie n – jest liczbą

więzów nieholonomicznych , i Ŝe z p równań (5.10) - n spełnionych jest poprzez odpowiedni wybór n
mnoŜników

λµ

. ZauwaŜmy oprócz tego , Ŝe , zaleŜność (5.4) ma miejsce tylko dla więzów skleronomicznych ,

w przypadku więzów reonomicznych naleŜy ją zmienić zaleŜnością rΩ = rΩ (qΩ , t ) – przypis tłumacza. *)
PoniewaŜ liczba p niezaleŜnych współrzędnych uogólnionych spełnia nierówność :
p

≤

3N (5.3)

ma miejsce zaleŜność :
rΩ =  rΩ (qk )                                                                                                                                                      (5.4)
tak , Ŝe współrzędne qk  grają teraz rolę parametrów
Z równości (5.4) znajdujemy :
            p

rΩ = Σ (

∂

rΩ /

∂

qk )

qk (5.5)

k=1
JeŜeli teraz wprowadzimy dla uproszczenia zapisu wielkość :
p
e

k = Σ (

∂

rΩ /

∂

qk ) a

µΩ

(5.6)

Ω

to w miejsce (4.28) otrzymamy :
t1 p m

∫

(

L +

Σ Σ

λµ

qk ) dt = 0 (5.7)

t0 k=1

lub
p t1 m

∫

[ (

∂

qk ) + Σ

λµ

k ]

qk dt = 0 (5.8)

k=1 t0

Wielkości :
m
Qk = Σ

λµ

k (5.9)

wiąŜące się z reakcjami więzów nieholonomicznych , nazywamy „siłami uogólnionymi”. Zatem z zaleŜności
(5.8) otrzymujemy uogólnione równania Lagrange’a:

d/dt (

∂

q.k ) - (

∂

qk ) = Qk (5.10)

5.2 RÓWNANIA LAGRANGE’A DLA UKŁADÓW DYSYPATYWNYCH.

W tym rozdziale wyjaśnimy , czy moŜliwe jest opisanie ruchu układu mechanicznego , na którego punkty
działają siły oporu ośrodka , przez uogólnione równania Lagrange’a postaci (5.10) tj. przez równania :

d/dt (

∂

q.k ) - (

∂

qk ) = Rk (5.11)

gdzie : Rk – są uogólnionymi siłami oporu.
W tym celu rozpatrzymy tak zwaną „dysypatywną funkcje Rayleigha”

( r

Ω ), zaleŜną jedynie od prędkości

r.Ω i z której siły oporu RΩ otrzymujemy za pomocą operatora gradientu działającego w przestrzeni prędkości :
RΩ =

∂Φ

∂

Ω (5.12)

Zatem uogólnione równania Lagrange’a (5.11) moŜemy zapisać w postaci wektorowej :

d/dt (

∂

Ω

) -

∂

Ω

∂Φ

∂

Ω = RΩ (5.13)

Moc sił oporu (prędkość z jaką energia mechaniczna przechodzi w ciepło) jest dana :
N N N

dA(oporu) /dt =

Σ RΩ r.

Ω

Σ (

∂Φ

∂

Ω ) r

Ω

Σ [ (

∂Φ

∂

Ω ) x

Ω

+ (

∂Φ

∂

Ω ) y

Ω

+ (

∂Φ

∂

z.Ω )z

Ω

]

Ω

=1 (5.14)

W charakterze przykładu rozpatrzymy przypadek oporu ośrodka liniowego i anizotropowego, dla którego
funkcja Rayleigha ma postać :
N

= ½

Σ (

. 2

Ω

2 y

. 2

Ω

3 z

. 2

Ω

) (5.15)

Ω

W przypadku ośrodka anizotropowego dodatnie współczynniki

3 będą róŜne tj. wielkość siły oporu

zaleŜna będzie od kierunku. Zgodnie z równaniem (5.12) przez róŜniczkowanie znajdujemy siłę oporu :

RΩ = i

Ω

+ j

2 y

Ω

+ k

3 z

Ω

(5.16)

wynika z niej jasno , Ŝe opór jest liniowy i anizotropowy. Podstawiając to wyraŜenie do wzoru (5.14) ,
otrzymujmy :
N

dA(oporu) /dt =

Σ (

. 2

Ω

2 y

. 2

Ω

3 z

. 2

Ω

) = 2

≥

0 (5.17)

Ω

Zatem, funkcja dysypatywna Rayleigha

jest miarą prędkości z jaką energia mechaniczna przechodzi w ciepło.

W przypadku oporu ośrodka liniowego i izotropowego wszystkie trzy współczynniki

i są sobie równe :

1 =

2 =

3 =

(5.18)

Aby ustanowić związek między dwoma postaciami uogólnionych równań Lagrange’a (5.11) i (5.13),
wykorzystamy na początku zaleŜność :
p

Ω= Σ ( rΩ /

∂

qk ) q

k (5.19)

k=1
wynikającą z równości (5.4). PoniewaŜ w formaliźmie Lagrange’a współrzędne uogólnione qk i prędkości
uogólnione q.k są zmiennymi niezaleŜnymi , róŜniczkowanie ostatniej zaleŜności daje nam :

∂

Ω

∂

q.k =

∂

Ω

∂

qk (5.20)

ZauwaŜmy ,Ŝe w rozpatrywanym przypadku liczba współrzędnych kartezjańskich x

Ω

, y

Ω

, z

Ω

, jest równa

liczbie współrzędnych uogólnionych qk. Przejścia od równań (5.11) do równań (5.13) dokonujemy w
następujący sposób : na początku zgodnie z zasadami róŜniczkowania funkcji złoŜonych znajdujemy :
N N

∂

qk = Σ (

∂

rΩ ) (

∂

rΩ /

∂

qk ) + Σ (

∂

Ω ) (

∂

Ω/

∂

qk ) (5.21)

Ω

∂

q.k = Σ (

∂

Ω ) (

∂

Ω/

∂

q.k ) (5.22)

Ω

Podstawiając te wyraŜenia do równań (5.11) i uwzględniając równość (5.20) , otrzymujemy :

N N
Σ [ d/dt (

∂

Ω ) - (

∂

rΩ ) ] (

∂

rΩ /

∂

qk ) + Σ (

∂

Ω )[d/dt (

∂

rΩ /

∂

qk ) - (

∂

Ω/

∂

qk ) ] = Rk (5.23)

Ω

I dalej zgodnie z zasadą róŜniczkowania funkcji złoŜonej i na mocy zaleŜności (5.19) mamy :
p p

d/dt (

∂

rΩ /

∂

qk ) - (

∂

Ω/

∂

qk ) = Σ (

∂

2rΩ /

∂

qk )q

L - Σ (

∂

2rΩ /

∂

qL )q

L = 0

L=1 L=1
zatem :
N
Σ [ d/dt (

∂

Ω ) - (

∂

rΩ ) ] (

∂

rΩ /

∂

qk ) = Rk (5.24)

Ω

Skąd znajdujemy :
N
Rk =Σ RΩ (

∂

rΩ /

∂

qk ) (5.25)

Ω

6. RÓWNANIA HAMILTONA

6.1 WYPROWADZENIE RÓWNAŃ HAMILTONA PRZY POMOCY PRZEKSZTAŁCENIA LEGENDRE’A
W formaliźmie Legendre’a w charakterze podstawowej funkcji wykorzystujemy funkcje Lagrange’a L, a w

charakterze zmiennych niezaleŜnych – współrzędne uogólnione qk i prędkości uogólnione q

k . Czas t ,odgrywa

rolę parametru.
W formaliźmie Hamiltona funkcją podstawową jest funkcja Hamiltona (hamiltonian) H, a zmiennymi
niezaleŜnymi są -współrzędne uogólnione qk i nie omówione do tej pory ,pędy uogólnione pk. Czas t ,podobnie
jak wczesniej odgrywa rolę parametru.
Przejście od formalizmu Lagrange’a , w którym uwzględniono juŜ obecność nałoŜonych na układ więzów
(liczba stopni swobody jest równa f ), do formalizmu Hamiltona :

qk , q

k , L(qk , q

k , t)

→

qk , pk , H(qk , pk , t) (6.1)

dokonywane jest za pomocą „przekształcenia Legendre’a“ , o postaci :
f

H(qk , pk , t) = Σ pk q

k - L(qk , q

k , t) (6.2)

k=1
Przekształcenia Legendre’a przy których razem ze zmiennymi niezaleŜnymi przekształcają się równieŜ zmienne
zaleŜne naleŜą do ogólnej klasy tak zwanych przekształceń stycznościowych (kontaktowych). Wychodzą one
poza ramy zwykłych przekształceń punktowych (przykładowo przekształceń typu przejście od współrzędnych
kartezjańskich do współrzędnych biegunowych ). ZaleŜność (6.2) jest równaniem definicyjnym omawianego
przekształcenia Legendre’a . Na mocy (6.2) mamy :
f

dH =

Σ [ pk dq.k + q.k pk – (

∂

dqk )dqk – (

∂

q.k )dq

k ] – (

∂

t) dt (6.3)

k=1

Zgodnie z definicją funkcja Hamiltona H nie powinna zaleŜeć od q.k. Osiągniemy ten cel , określając pędy
uogólnione w następujący sposób :

pk = (

∂

L/q.k ) (6.4)

Zatem otrzymujemy :
f

dH =

Σ [ q.k dpk – (

∂

dqk )dqk ] – (

∂

t) dt (6.5)

k=1
Podstawienie wielkości (6.4) do równania (5.2) daje :

p.k =

∂

qk (6.6)

Zatem (6.5) moŜemy zapisać następująco :
f

dH =

Σ (q.k dpk – p.kdqk ) – (

∂

t) dt (6.7)

k=1

A następnie przedstawmy róŜniczkę zupełną funkcji H = H( qk , pk , t) :
f
dH =

Σ [ (

∂

qk )dqk + (

∂

pk) dpk ] + (

∂

t) dt (6.8)

k=1
Przyrównując współczynniki przy róŜniczkach zmiennych niezaleŜnych w wyraŜeniach (6.7) i (6.8) ,
dochodzimy do „kanonicznych równań róŜniczkowych Hamiltona” :

q.k =

∂

pk ; p

k = -

∂

qk (6.9)

Równania (6.9) to układ 2f równań róŜniczkowych zwyczajnych pierwszego rzędu , opisują one ruch danego
układu mechanicznego. Z matematycznego punktu widzenia jest on ekwiwalentny układowi równań Lagrange’a
, które to – jak wiadomo – są równaniami róŜniczkowymi zwyczajnymi drugiego rzędu.
Współrzędne uogólnione i pędy uogólnione figurujące w równaniach kanonicznych Hamiltona nazywane są
„zmiennymi kanonicznie sprzęŜonymi”. Z równości (6.7) wynika jeszcze jedna , waŜna zaleŜność, a mianowicie

∂

t = -

∂

t (6.10)

Przy pomocy równania Hamiltona otrzymujemy z (6.8) równość :
f

dH/dt =

Σ [ (

∂

qk ) dq

k + (

∂

pk) dp

k ] + (

∂

t) =

∂

t (6.11)

k=1
Układ mechaniczny będziemy nazywali „układem mechanicznym zachowawczym“ jeŜeli dla niego funkcja
Lagrange’a nie zaleŜy w sposób jawny od czasu tj. :

∂

t = 0 (6.12)

wtedy na mocy (6.10) otrzymamy równieŜ :

∂

t = 0 (6.13)

zatem , zgodnie z (6.11) :
dH/dt = 0 lub H = E = const. (6.14)
Stałą wielkość E będziemy nazywać energią układu zachowawczego.
Wprowadzone w ten sposób pojęcie energii pokrywa się z powszechnie rozumianym pojęciem energii
zachowawczego układu mechanicznego. Dla takiego układu potencjał U nie zaleŜy od prędkości (i przedstawia
sobą energię potencjalną ). Wtedy w miejsce równości (4.24) mamy równość :
L = T – U(rΩ ) (6.15)
zatem w miejsce (6.4) moŜemy podstawić :

pk =

∂

q. k (6.16)

Na mocy tych zaleŜności wyraŜenie (6.2) przyjmuje postać :
f

H =

Σ [ (

∂

dq.k ) q

k - T + U (6.17)

       k =1
Energia kinetyczna T przedstawia sobą formę kwadratową prędkości :
*) We wzorze (6.18) druga równość spełniona jest tylko dla układu konserwatywnego , przy czym
współczynniki akL są funkcjami współrzędnych uogólnionych. – przypis tłumacza )
           N                      f

T = ½

Σ mΩ r.Ω2 = Σ akL q.k q.L (6.18)

Ω

=1 k,L=1

(współczynniki akL są dla nas nie istotne ). PoniewaŜ T – jest jednorodną funkcją drugiego rzędu , zgodnie z
twierdzeniem Eulera dotyczącym funkcji jednorodnych ma miejsce równość :
f

Σ (

∂

dq.k ) q

k = 2T (6.19)

k =1
na mocy której z (6.17) wynika :
H = T + U = E (6.20)
Co dowodzi naszego stwierdzenia.
MoŜe się okazać , Ŝe do liczby argumentów funkcji Hamiltona nie wchodzi pewna współrzędna uogólniona qk .
Taka współrzędną nazywamy „zmienną cykliczną” (pochodzenie tej nazwy związane jest badaniem ruchu
obrotowego ). WaŜność takiej współrzędnej spowodowana jest tym ,Ŝe na mocy równań Hamiltona (6.9) pęd
uogólniony odpowiadający zmiennej cyklicznej jest stałą ruchu :

p. = -

∂

q =

∂

q = 0 tj. p = const.

6.2 PRZYKŁAD FORMALIZMU LAGRANGE’A –HAMILTONA (WAHADŁO MATEMATYCZNE )

Na prostym przykładzie pokaŜe zasadnicze kroki rozwiązywania zadań mechanicznych w ramach formalizmu
Lagrange’a- Hamiltona.
Rozpatrzmy ruch płaski punktu materialnego m , w jednorodnym polu ciąŜenia (rysunek 5 )

RYS 5

PoniewaŜ ruch jest ruchem płaskim – załóŜmy, Ŝe zachodzi on na płaszczyźnie x, z – połoŜenie punktu m
będziemy określać za pomocą współrzędnych x, y. Równanie więzów otrzymujemy z warunku , Ŝe ruch punktu
zachodzi po okręgu K. Dlatego z dwóch stopni swobody ruchu płaskiego zostaje tylko jedna.
Oczywiści taki tok rozumowania nie jest w kaŜdej sytuacji oczywistym. W naszym zadaniu jest jasne , Ŝe za
współrzędną uogólnioną najlepiej przyjąć kąt odchylenia

, wahadła od pionu.

PoniewaŜ mówimy o układzie zachowawczym w którym potencjał nie zaleŜy od prędkości, zgodnie z (4.24)
mamy :

L = T – U = ½ mL2

. 2 – mgL [ 1 – cos (

) ] (6.21)

gdzie L – jest długością wahadła , g- przyspieszeniem wywołanym przez siłę ciąŜenia.
Dokładne rozwiązanie tego zadania prowadzi do całki eliptycznej. PoniewaŜ interesuje nas jedynie zasada
rozwiązywania podobnych zadań , ograniczymy się do przypadku małych katów odchylenia |

| << 1 i dlatego

zadowolimy się przybliŜeniem :

cos(

) = 1 – ½

2 (6.22)

Przy takim warunku wyraŜenie (6.21) przyjmuje postać :

L = ½ mL2

. 2 – ½ mg L

2 ( 6.23)

skąd otrzymujemy :

∂

∂ϕ

= - mgL

;

∂

∂ϕ

. = mL2

. (6.24)

Równanie Lagrange’a (5.2) w naszym przypadku moŜemy zapisać następująco :

d/dt (

∂

∂ϕ

. ) - (

∂

∂ϕ

) = 0

Podstawiając do niego wyraŜenia (6.24) otrzymujemy równanie róŜniczkowe zwyczajne drugiego rzędu :

. . + (g/L)

= 0 (6.25)

ogólnym rozwiązaniem tego równania jest funkcja :

0 cos [ sqrt(g/L) +

0 ) (6.26)

gdzie :

0 i

0 – są stałymi całkowania.

Stąd znajdujemy częstotliwość wychylenia wahadła :
ω = sqrt (g/L) (6.27)
PokaŜe teraz , jak rozwiązuje się to zadanie w formaliźmie Hamiltona. W tym celu wprowadzimy zgodnie z
(6.4) pęd uogólniony p, wykorzystując drugą równość (6.24) :

p =

∂

∂ϕ

. = mL2

. (6.28)

skąd :

. = p/ mL2 (6.29)

Zatem stosownie do naszego zadania funkcja Hamiltona (6.2) ma postać :

H = p

. – L (6.30)

Podstawiając do niej wyraŜenie (6.23) dla L i wyraŜenie (6.29) dla

. otrzymujemy funkcje Hamiltona ,

zapisaną w jej zmiennych istotnych :

H = T + U = p2 / 2mL2 + ½ mgL

2 (6.31)

RóŜniczkując ją znajdujemy :

∂

∂ϕ

= mgL

∂

p = p/ mL2 (6.32)

A równania Hamiltona (6.9) przyjmują postać :

. =

∂

p ; p. = -

∂

∂ϕ

(6.33)

Podstawiając wyraŜenia (6.32) otrzymamy układ składający się z dwóch równań róŜniczkowych zwyczajnych
pierwszego rzędu :

. = p/ mL2 ; p. = - mgL

(6.34)

Teraz musimy rozwiązać ten układ równań. MoŜemy w tym celu wykorzystać metodę wykluczania , i
wykluczyć zmienną p, prowadzi to do równania róŜniczkowemu drugiego rzędu (6.25).
PoniewaŜ mamy do czynienia z układem zachowawczym tj. :

∂

t = 0 (6.35)

to ,zgodnie z (6.20) spełnione jest prawo zachowania energii :

E = ½ p / mL2 + ½ mgL

2 = const. (6.36)

7. ZAPIS FORMALIZMU HAMILTONA PRZEZ NAWIASY POISSONA

7.1 DEFINICJA NAWIASÓW POISSONA

Przestrzeń współrzędnych uogólnionych qk nazywamy „przestrzenią konfiguracyjną”, przestrzeń pędów
uogólnionych  pk nazywamy „przestrzenią pędów”. Wymiar kaŜdej z tych przestrzeni jest równy f, iloczyn tych
dwóch przestrzeni nazywamy „przestrzenią fazową” (dokładniejszą klasyfikacje przestrzeni wprowadza się w
mechanice statystycznej ) – przestrzeń fazowa ma wymiar 2f. Przestrzeń ta moŜna powiedzieć ,  jest areną
formalizmu Hamiltona. Taki formalizm moŜemy przenieść równieŜ na semiklasyczną mechanikę kwantową.
W ściślejszym sformułowaniu mechaniki kwantowej oraz w kwantowej teorii pola szeroko wykorzystywane jest
pojecie „komutatora”. Klasycznym obrazem takich komutatorów są – nawiasy Poissona, które odgrywają istotną
rolę przy przejściu od mechaniki klasycznej do mechaniki kwantowej. Z tego względu chciałbym dokładnie
omówić te nawiasy.
Dla dwóch dowolnych funkcji : u (qk , pk , t ) i v (qk , pk , t ) zadanych w przestrzeni fazowej nawias(nawiasy)
Poissona określone są następująco :
                 f
[ u, v ] =

Σ { (

∂

qk)(

∂

pk) – (

∂

qk) (

∂

pk) } (7.1)

              k=1
Dla nawiasów Poissona spełnione są następujące zaleŜności :
1. [ u, v ] = - [v, u ]   (antysymetria )                                                                                                                   (7.2)
2. [ u, c ] = 0 jeŜeli c = const                                                                                                                               (7.2)
3. a) [u1+ u2, v ] = [u1, v ] + [u2, v ]                                                                                                                  (7.2)
3. b) [u1, v1+ v2 ] = [u, v1] + [u, v2 ]                                                                                                                 (7.2)
4. a) [u1u2, v ] = u1[u2, v ] + [u21, v ] u2                                                                                                           (7.2)
4. b) [u1, v1v2 ] = v1[u, v2] + [u, v1] v2                                                                                                            (7.2)
5. [ u, [v, w ] ] + [ v, [w, u] ] + [ w, [ u, v ] ] = 0 (toŜsamość Jakobiego )                                                          (7.2)
Słuszność tych zaleŜności wynika z samej definicji (7.1). ZaleŜność 1. moŜemy wywieść w oczywisty sposób z
zaleŜność (7.1). ZaleŜność (7.2) jest równieŜ jasna - poniewaŜ pochodna od stałej jest równa zeru. ZaleŜność 3a.
wynika z tego ,Ŝe pochodna od sumy jest równa sumie pochodnych. ZaleŜność 3b. moŜna otrzymać z zaleŜności
3a. na mocy zaleŜności 1. ZaleŜność 4a. jest następstwem zasady Leibniza dla róŜniczki iloczynu , zaleŜność 4b.
otrzymujemy z 4a. na mocy 1. ZaleŜności 5. (toŜsamość Jakobiego ) moŜna dowieść przez bezpośredni
rachunek.
Interesujące jest to ,Ŝe dla „komutatora” dwóch operatorów kwantowych

ℑ

ℜ

- zdefiniowanym równością :

[

ℑ

ℜ

] =

ℑℜ

ℜℑ

(7.3)

spełnione są takie same formalne zaleŜności postaci (7.2). Dlatego wynikła nadzieja ( która się spełniła ) na
otrzymanie równań kwantowych odzwierciedlających zjawiska badane w fizyce kwantowej , poprzez formalną
zmianę nawiasów Poissona na komutator :
[ u , v ]

→

(1/i ħ )[

ℑ

ℜ

] (7.4)

do którego wchodzi odpowiedni czynnik wymiarowy.
( i – jest jednostką urojoną ; ħ = h /2

- zmodyfikowana stała Plancka ).

7.2 RÓWNANIA RUCHU I KLASYCZNE ANALOGI KOMUTACYJNYCH ZALEZNOŚCI HEISENBERGA

Na mocy równań Hamiltona dla dowolnej funkcji A(qk , pk , t ) spełniona jest zaleŜność :
f f

dA/dt =

∂

t +

Σ [(

∂

qk ) q

k + (

∂

pk) p

k ] =

∂

t +

Σ [(

∂

qk ) (

∂

pk) - (

∂

pk ) (

∂

qk)]

k=1 k=1
lub stosując nawiasy Poissona :
dA/dt =

∂

t + [ A, H ] (7.5)

Równanie to moŜna rozpatrywać jako ogólne prawo ruchu (zmiany w czasie ) wielkości A.
JeŜeli przyjąć w szczególności A = qk i A = pk, to otrzymamy równania Hamiltona w zupełnie symetrycznej
postaci :

q.k = [qk , H ] ; p

k = [ pk , H ] (7.6)

PoniŜej obliczymy pewne nawiasy Poissona , które odgrywają waŜną rolę przy przejściu do mechaniki
kwantowej. PoniewaŜ w formaliźmie Hamiltona qk , pk są zmiennymi niezaleŜnymi , słuszne są zaleŜności :

∂

qL /

∂

qk =

Lk ;

∂

pL /

∂

pk =

Lk ;

∂

pL /

∂

qk = 0 ;

∂

qL /

∂

pk = 0 (7.7)

gdzie :

Lk - jest symbolem Kroneckera;

Podstawiając te wyraŜenia do równości :
f
[ A, pL ] = Σ {(

∂

qk ) (

∂

pL/

∂

pk ) - (

∂

pk)(

∂

pL/

∂

qk)}

k=1
Otrzymujemy :
[ A, pL ] =

∂

qL (7.8)

Pochodną po pL moŜna zapisać w sposób analogiczny :
[ A, qL ] = -

∂

pL (7.9)

Zastosowanie tych wzorów do przypadków szczególnych daje :
zgodnie z (7.8) dla A = qk :
[ qk , pL ] =

kL (7.10)

      zgodnie z (7.8) dla A = pk :
       [ pk , pL ] = 0                                                                                                                                              (7.11)
      zgodnie z (7.9) dla A = qk :
       [ qk , qL ] = 0                                                                                                                                              (7.12)
Analogi tych trzech waŜnych zaleŜności występują w mechanice kwantowej , gdzie słuŜą jako podstawa dla
ustanowienia zaleŜności nieoznaczoności Heisenberga.

7.3 PRZYKŁAD (LINIOWY OSCYLATOR HARMONICZNY )

Liniowy oscylator harmoniczny jest układem zachowawczym o jednym stopniu swobody. Przy wyborze – w
charakterze współrzędnej uogólnionej zmiennej x , funkcja Lagrange’a moŜe być zapisana w postaci :

L = T – U = ½ mx.2 – ½ kx2 (7.13)
( k- stała spręŜystości spręŜyny ). Pęd uogólniony moŜemy zatem zapisać w postaci :

p =

∂

x. = m x. (7.14)

co pokrywa się w tym przypadku ze zwykłym pędem znanym z mechaniki. Funkcja Hamiltona jest równa :

H = px. – L = p2/2m + ½ kx2 (7.15)
Podstawmy tę funkcję do równania Hamiltona (7.6) I wykorzystajmy własności nawiasów Poissona , daje to
nam :

x. = [ x, H ] =

∂

p = p/m (7.16)

p. = [ p, H ] = -

∂

p = -kx (7.17)

Teraz naleŜy rozwiązać ten układ równań róŜniczkowych. RóŜniczkujemy pierwsze równanie względem t i

podstawiamy obliczoną zaleŜność na p. ,z drugiego równania :

x.. + (k/m)x = 0 (7.18)
Równanie róŜniczkowe drugiego rzędu (7.18) ma ogólne rozwiązanie postaci :
x = C sin[ ω ( t – t0 ) +

] = C sin ( ωt +

0 ) (7.19)

( C i

0 =

- ωt0 - są stałymi całkowania ). Stąd otrzymujemy częstotliwość :

ω = sqrt ( k/m )                                                                                                                                                   (7.20)

8. TEORIA HAMILTONA-JAKOBIEGO

8.1 RÓWNANIE HAMILTONA -JAKOBIEGO.

Do tej pory spotykaliśmy  się z prawami ruchu mechaniki klasycznej , przedstawianymi w postaci równań
róŜniczkowych zwyczajnych , jak równieŜ zasad całkowych i róŜniczkowych. W tym rozdziale wprowadzimy
zapis tych praw mechaniki klasycznej w postaci nieliniowego równania róŜniczkowego pierwszego rzędu o
pochodnych cząstkowych , jest to równanie Hamiltona – Jakobiego. Pierwszy wprowadził to równanie Hamilton
(w 1827 roku a w latach 1830 i 1832 uzupełnił je ) podstawą dla ich wyprowadzenia stały się badania nad drogą
promienia światła w instrumentach optycznych. Prace Jakobiego związane są z przekształceniami kanonicznymi
oraz z dalszym rozwojem formalizmu kanonicznego.
Teoria Hamiltona – Jakobiego ma duŜe znaczenie dla rozumienia drogi rozwoju fizyki a ściśle przejścia od
mechaniki klasycznej do kwantowej. Przejście to we współczesnym rozumieniu miało swój analog w rozwoju
elektromagnetycznej teorii światła.
Jak wiadomo , koniec sporu miedzy korpuskularną teorią Newtona a falową Huyghensa wiąŜe się ze
współczesną elektrodynamiką kwantową i koncepcją dualizmu korpuskularno-falowego. W mechanice
korpuskularna teoria cząstek (punktów materialnych ) nie budziła wątpliwości aŜ do końca XIX wieku, kiedy to
zaczęły się badania zjawisk zachodzących w atomach. W 1924 roku L. de Broglie wysunął idee przypisaniu
cząstce klasycznej własności falowych ,wprowadzając dualizm korpuskularno-falowy cząstek.
E. Schrodinger rozwinął tą koncepcje wprowadzając w 1926 roku mechanikę falową , która okazała się
równowaŜna mechanice macierzowej – początki której wiąŜą się z pracami W. Heisenberga ( 1925 ).
Mechanika falowa i mechanika macierzowa są pod względem matematycznym równowaŜnymi sposobami
sformułowania mechaniki kwantowej.
W jakim stopniu w teorii Hamiltona-Jakobiego jest juŜ obecna mechanika kwantowa ?
Na to pytanie odpowiemy w miarę jak będziemy omawiać tą teorie.
W pierwszym kroku wyjdziemy od definicji (4.34) S , przy czym funkcje Lagrange’a zapiszemy we
współrzędnych uogólnionych :
         t1

S =

∫

L(qk , q

k , t ) dt + S0 (8.1)

t0
Przy tym stała całkowania S0 wybieramy w ten sposób aby : S(t0 ) = S0.
Jak wiadomo , zadanie polega na tym aby scałkować równania ruchu Newtona określając z nich współrzędne w
następujący sposób :

qk = qk ( t, t0 , q

L , q

L ) ; k , L = 1 ..... f (8.2)

Jest to parametryczne przedstawienie toru cząstek. Wchodzące w niego stałe całkowania q0L i q

k ( L = 1... f)

mają sens wartości początkowych odpowiednio współrzędnych i prędkości cząstek.
Chwila początkowa t0 - jest parametrem nie istotnym z fizycznego punktu widzenia. PoniewaŜ w mechanice
newtonowskiej nie wyróŜniamy Ŝadnej chwili czasu , problem jest jedynie w ustaleniu punktu początkowego
odczytu czasu. RóŜniczkowanie wyraŜeń (8.2) pozwala w sposób parametryczny przedstawić prędkości :

q.k = q

k ( t, t0 , q

L , q

L ) (8.3)

Przypuśćmy teraz , Ŝe rozwiązaliśmy w ten sposób przedstawione zadanie i znaleźliśmy funkcje (8.2) i (8.3).
A następnie podstawiliśmy te wyraŜenia do funkcji Lagrange’a (8.1) i wykonaliśmy całkowanie po czasie. To
daje nam następującą strukturę funkcji działania :

S = Ŝ(t, t0 , q

L , q

L ) + S0 ; Ŝ(t, t0 , q

L , q

. 0

) = 0 (8.4)

Następny krok będzie polegał na tym aby rozwiązać układ równań (8.2) względem prędkości początkowych.
Przy tym dochodzimy do układu :

q.0k = q

. 0

k ( t, t0 , qL , q

L ) (8.5)

Teraz podstawmy te wyraŜenia do funkcji Ŝ, co daje :

S = S(qk ,t , q

k , t0 , S0 ) = Ŝ( qk , t , q

k , t0 ) + S0 (8.6)

gdzie

Ŝ(q0k , t0 , q

k , t0 ) = 0

Przeprowadzone wyŜej wywody pozwalają na sformułowanie pewnych waŜnych wniosków.
Pochodna zupełna po czasie całki (8.1) równa jest :

dS./dt = L (8.7)
Podstawmy do funkcji podcałkowej (8.1) wyraŜenie na funkcje Lagrange’a zapisane za pomocą funkcji
Hamiltona, otrzymane z zaleŜności (6.2) :
t1 f

S =

∫

(

Σ pk q.k – H ) dt + S0 (8.8)

t0 k=1
Znak sumy moŜna wyprowadzić poza znak całki . Oprócz tego podstawmy : q.kdt = dqk i odpowiednio do tego
zmieńmy granice całkowania :
f qk t

S =

∫

pk dqk –

∫

H dt + S0 (8.9)

k=1 q0k t0
PoniewaŜ : p0k = p

0(t

0 ) , wynika stąd równość :

f f

dS. =

Σ pk dqk – Σ p0k dq0k – H dt + H0 dt0 + dS0 (8.10)

k=1 k=1
która to ponownie potwierdza strukturę (8.6) działania. Z równości (8.10) wynika ,Ŝe :
pk =

∂

qk (8.11)

p0k = -

∂

q0k (8.12)

jak równieŜ :
H = -

∂

t (8.13)

Przepiszmy jeszcze raz ostatnią równość zapisując argumenty funkcji H ( za wyjątkiem stałych całkowania ) i
przyjmując do wiadomości zaleŜność (8.11) :

∂

t = H( qk ,

∂

qk , t ) = 0 (8.14)

Otrzymane w ten sposób równanie jest szukanym równaniem Hamiltona –Jakobiego o pochodnych cząstkowych
dla działania S. PoniewaŜ funkcja Hamiltona jest funkcja kwadratową względem pędów , jest to równanie
nieliniowe pierwszego rzędu o pochodnych cząstkowych. Z fizycznego punktu widzenia równanie to jest
równowaŜne prawu ruchu Newtona.
Na początku tego rozdziału wspominałem , Ŝe teoria Hamiltona-Jakobiego w istocie związana jest z mechanika
falową. Dlatego teŜ teraz , na zakończenie warto zauwaŜyć , Ŝe równanie Hamiltona –Jakobiego (8.14)
otrzymujemy z równania falowego Schrodingera :
H ( qk , ( h/i )

∂

qk , t )

= iħ

∂Ψ

∂

t (8.15)

będącym równaniem liniowym, drugiego rzędu o pochodnych cząstkowych względem funkcji

, w/w równanie

otrzymamy w granicy ħ

→

0. Przy tym funkcje

, przyjmujące wartości zespolone , funkcja działania S –

przyjmująca wartości rzeczywiste i funkcja Z - przyjmująca równieŜ wartości rzeczywiste ( funkcja amplitudy )
,związane są zaleŜnością :

= Zei S/h (8.15)

Niniejszy rozdział zakończymy ponownym rozpatrzeniem zaleŜności (8.12). Jest to układ f równań wiąŜących

wielkości : qk , q

k , p

k , t . JeŜeli rozwiąŜemy go względem współrzędnych qk , otrzymamy nowy układ

równań :

qk = fk ( t, t0 , q

L , p

L ) (8.16)

który odróŜnia się od układu (8.2) tym, Ŝe w miejsce prędkości początkowych q. 0L wchodzą do niego pędy
początkowe p0L. Dlatego moŜna twierdzić , Ŝe równania (8.12) odtwarzają tor.
MoŜemy zatem, znaleźć tor przez obliczenie działania, które otrzymujemy w wyniku rozwiązania równania
Hamiltona – Jakobiego (8.14). Oczywiście to rozwiązanie S nie jest otrzymywane w sposób automatyczny o
zadanej strukturze (8.6), a bez załoŜenia takiej struktury nie moŜna otrzymać zaleŜności (8.12). W dalszej części
będziemy dokładnie zajmowali się tymi zagadnieniami.

8.2 CAŁKA ZUPEŁNA.

Na początku rozpatrzymy dowolne równanie pierwszego rzędu o pochodnych cząstkowych o n zmiennych yi :
F ( yi ,

∂σ

∂

yi ) = 0 ; i = 1 ... n (8.17)

Całką zupełną tego równania , nazywamy funkcję

- spełniającą to równanie , zaleŜną oprócz n – zmiennych yi,

od n- zmiennych parametrów

i :

( yi ,

i ) (8.18)

Dla równania Hamiltona- Jakobiego , w szczególności mamy :
yi = (q1 , … ,qf , t ) ; n = f + 1 (8.19)

= S (8.20)

F = H( qk ,

∂

qk , t ) +

∂

t (8.21)

PoniewaŜ funkcja S wchodzi do równania Hamiltona – Jakobiego tylko poprzez swoje pochodne , jest ona
określona tylko z dokładnością do stałej addytywnej, którą wcześniej oznaczyliśmy przez S0 , zakładając przy
tym , Ŝe : S0 (t0 ) = S0 . Teraz równieŜ będziemy trzymali się tego załoŜenia, wtedy do funkcji S wejdzie nie
istotny parametr t0. Wielkość S0 moŜna określić poprzez jedną ze stałych całkowania :

n =

f+1 + S0 (8.22)

wtedy zaleŜność (8.18) przyjmie następującą postać :
S =

( qk , t ,

k , t0 , S0 ) = Ŝ(qk , t ,

k , t0 ) + S0 (8.23)

gdzie :

Ŝ( q0k , t0 ,

k , t0 ) = 0

Porównując ta funkcję – znalezioną z równania Hamiltona – Jakobiego – z funkcją (8.6) – otrzymaną
bezpośrednio z definicji działania S , otrzymujemy :

Ŝ(qk , t , q0k , t0 ) = Ŝ(qk , t ,

k , t0 ) (8.24)

8.3 „SKRÓCONE“ RÓWNANIE HAMILTONA- JAKOBIEGO.

JeŜeli mamy do czynienia z układem mechanicznym zachowawczym, to funkcja Hamiltona nie zaleŜy jawnie od
czasu , zatem równanie Hamiltona – Jakobiego (8.14) przechodzi w równanie :

∂

t + H (qk ,

∂

qk ) = 0 (8.25)

ZaleŜność od czasu moŜna przedstawić przez oddzielne składowe :

S = -E( t – t0 ) + W( qk , q

k ) (8.26)

gdzie : W(q0k , q

k ) = S0 ; E= const.

zatem z równania (8.25) otrzymujemy „skrócone” równanie Hamiltona – Jakobiego :
H(qk ,

∂

qk ) = E (8.27)

Własność taka, Ŝe t oraz t0 wchodzą do wyraŜenia (8.26) w postaci róŜnicy , wynika z niezaleŜności H od czasu
i wypływającej z tego inwariantności równania róŜniczkowego względem przesunięcia w czasie.
Z równania (8.27) od razu widać fizyczny sens stałej całkowania E – jest ona energią układu.
Teraz moŜna przepisać zaleŜność (8.11) następująco :
pk =

∂

qk (8.28)

Dane wzory otrzymujemy z (8.11) zakładając , Ŝe E przy róŜniczkowaniu pozostaje stałe. O tym naleŜy pamiętać
dlatego , Ŝe E nie wchodzi w liczbę stałych od których jest zaleŜna funkcja (8.6).
Znajdując całkę zupełną równania (8.27) dochodzimy do następującej struktury skróconego działania W :
W = Ŵ( qk ,

k ) (8.29)

Przy podstawieniu tego wyraŜenia do równania (8.27) otrzymamy energię E jako funkcję parametrów

k :

E = E(

k ) (8.30)

Dla prostych fizycznych zadań niekiedy udaje się , częściowo lub nawet całkowicie rozdzielić zmienne
(współrzędne) wchodzące do równań Hamiltona – Jakobiego (8.27). W przypadku , kiedy zmienne moŜna
całkowicie rozdzielić , funkcja W przyjmuje postać :
W = W1(q1) + W2(q2) + ... + Wf(qf) (8.31)

8.4 POGLĄDOWE GEOMETRYCZNE PRZEDSTAWIENIE DZIAŁANIA.

Z zaleŜności działania S od współrzędnych i czasu wynika , Ŝe działanie moŜna rozpatrywać jako pewne pole.
Odpowiadające mu przedstawienie geometryczne okazuje się być bardzo poglądowym w przypadku układu
zachowawczego , dlatego je przedstawię.

MnoŜąc tą równość przez dt i rozwiązując wynik ze względu na dF , otrzymujemy wyraŜenie na róŜniczkę
zupełną :
f f
dF = ( H – H^ )dt +

Σ p^k dq^k – Σ pk dqk (9.4)

k=1 k=1
Równanie to pokazuje , Ŝe funkcja F w istocie zaleŜy jedynie od qk , q^k oraz t. PoniewaŜ zgodnie z definicją
przekształcenia kanonicznego zmienne z daszkiem , równieŜ powinny spełniać formalizm Hamiltona –
Lagrange’a , razem z zaleŜnością :
f

L (qk , q

k , t ) = Σ pk q

k – H (qk , pk , t ) (9.5)

k=1
wynikającą z definicji (6.2), powinna być spełniona równieŜ zaleŜność :
f

L^ (q^k , q^

k , t ) = Σ p^k q^

k – H^ (q^k , p^k , t ) (9.6)

k=1
Stąd wynika , Ŝe :
dF = ( L^ - L ) dt (9.7)
lub , Ŝe :

L^ (q^k , q^

k , t ) – L (qk , q

k , t ) = d/dt F (qk , q^

k , t ) (9.8)

Całkując to równanie w przedziale miedzy dwoma ustalonymi chwilami t0 i t1 otrzymujemy :
t1 t1

∫

L^ dt -

∫

L dt = F( t1 ) - F( t0 ) (9.9)

t0             t0
a następnie wariując tą zaleŜność, dostajemy :
    t1              t1

∫

L^ dt -

∫

L dt =

F( t1 ) -

F( t0 ) (9.10)

t0 t0
Zgodnie z załoŜeniem dla zmiennych wejściowych słuszna jest zasada Hamiltona :
t1

∫

L dt = 0

t0
Wymagamy , aby w nowym układzie, tak jak i w starym wariacja współrzędnych w punktach końcowym i
początkowym była równa zeru :

q^k ( t0 ) =

q^k ( t1 ) = 0

PoniewaŜ F jest funkcją tylko q^k , qk i  t , to w punktach początkowym i końcowym zeruje się równieŜ wariacja
F. Stąd zgodnie z równością (9.9) wynika słuszność zasady Hamiltona w nowych zmiennych :
    t1

∫

L^ dt = 0 (9.11)

t0
a z tego bezpośrednio wynika równanie Lagrange’a :

L^ /

q^k =

∂

L^ /

∂

q^k - d/dt (

∂

L^ /q. ^k ) = 0 (9.12)

Przeprowadzając podobne rachunki i załoŜenia co powyŜej dla nowych zmiennych , w szczególności otrzymamy

p^k =

∂

L^ /q. ^k (9.13)

z czego od razu widać , Ŝe dla nowego układu w istocie spełnione są równania Hamiltona :

q. ^k =

∂

H^ /

∂

p^k , p

. ^

k = -

∂

H^ /

∂

q^k ,

∂

H^ /

∂

t = d H^ /dt (9.14)

9.2 BUDOWA FUNKCJI PROWADZĄCEJ ( TWORZĄCEJ ).

Aby powyŜsze rachunki były słuszne funkcja prowadząca F powinna mieć strukturę postaci (9.2). W dalszej
kolejności będziemy budować funkcję F wychodząc od czterech funkcji postaci :
R1(qk , q^k , t ) ; R2(pk , q^k , t ) ; R3(qk , p^k , t ) ;R4(pk , p^k , t ) (9.15)

które obrazują wszystkie cztery moŜliwe kombinacje zmiennych. Przy tym we wszystkie funkcje Ri powinna
wchodzić równa ilość starych i nowych zmiennych. KaŜdą funkcję Ri uzupełnimy pewnym dodatkowym
członem , który zapewni wymaganą strukturę funkcji F.
Rozpatrzmy kolejno :

Przypadek A :
F = R1(qk , q^k , t ) (9.16)
Zbudujemy róŜniczkę zupełną funkcji F i porównamy ją z otrzymanym wcześniej wyraŜeniem (9.4), w wyniku
czego otrzymujemy :
p^k =

∂

R1/

∂

q^k , pk =

∂

R1/

∂

qk , H – H^ =

∂

R1/

∂

t (9.17)

Jest to układ równań z którego znając postać funkcji R1 moŜemy znaleźć qk , pk , H  i tym samym rozwiązać
postawione zadanie.

Przypadek B :
                                    f
F = R2(pk , q^k , t ) - Σ  qk pk                                                                                                                           (9.18)
                                  k=1
Aby udowodnić , Ŝe takie podejście prowadzi do celu obliczmy róŜniczkę zupełną :
          f                                f                                                      f                 f
dF =

Σ (

∂

R2/

∂

pk ) dpk + Σ (

∂

R2/

∂

q^k ) dq^k + (

∂

R2/

∂

t)dt -

Σ pk dqk - Σ qk dpk (9.19)

k=1 k=1 k=1 k=1
Porównując ten wynik z wyraŜeniem (9.4) , otrzymamy :
qk =

∂

R2/

∂

pk ; p^k =

∂

R2/

∂

q^k ; H – H^ =

∂

R2/

∂

t (9.20)

Są to wzory przekształceń dla przypadku B.

Przypadek C :
                                    f
F = R3(qk , p^k , t ) + Σ q^k p^k                                                                                                                       (9.21)
                                  k=1
Dla tego przypadku mamy taką sama kolejność obliczeń jak w przypadku B. Obliczając róŜniczkę zupełną :
          f                                f                                                          f                     f
dF =

Σ (

∂

R3/

∂

qk ) dqk + Σ (

∂

R3/

∂

p^k ) dp^k + (

∂

R3/

∂

t)dt +

Σ q^k dp^k + Σ p^k dq^k (9.22)

k=1 k=1 k=1 k=1
i porównując go z wyraŜeniem (9.4) dochodzimy do wzorów przekształceń postaci :
q^k = -

∂

R3/

∂

p^k ; pk = -

∂

R3/

∂

qk ; H – H^ =

∂

R3/

∂

t (9.23)

Przypadek D :
                                    f                f
F = R4(pk , p^k , t ) - Σ qk pk +  Σ q^k p^k                                                                                                      (9.24)
                                  k=1            k=1
Obliczając róŜniczkę zupełną , otrzymujemy :
          f                                f                                                         f                f                  f
dF =

Σ (

∂

R4/

∂

pk ) dpk + Σ (

∂

R4/

∂

p^k ) dp^k + (

∂

R3/

∂

t)dt -

Σ qk dpk - Σ pk dqk + Σ q^k d^pk +

k=1 k=1 k=1 k=1 k=1
f
+

Σ p^k dq^k (9.25)

k=1
Porównując ten wynik do wyraŜenia (9.4) , znajdujemy wzory na przekształcenia :
qk = -

∂

R4/

∂

pk ; q^k = -

∂

R3/

∂

p^k ; H – H^ =

∂

R4/

∂

t (9.26)

PoniewaŜ funkcje Ri wybrane są dowolnie , zmienne q^k , p^k tracą zupełnie charakter współrzędnych i pędów.
Aby to wyjaśnić , wybierzemy, przykładowo :
                 f
F = R1 = Σ qk q^k                                                                                                                                            (9.27)
               k=1
co odpowiada przypadkowi A. Z zaleŜności (9.17) wynikają wzory przekształceń postaci :

p^k = qk ; q^k = - pk ; H^ = H (9.28)
Zatem w tym przypadku współrzędne uogólnione i pędy po prostu zamieniają się rolami ( z dokładnością do
znaku ) :
f
R3 = - Σ

L ( qM, t ) p^L (9.29)

L=1
gdzie, jeśli

L – są dowolnymi funkcjami to mamy przypadek C. Przy tym z zaleŜności (9.23) wynikają wzory

przekształceń postaci :
f
q^k =

k ( qM, t ) ; pk = Σ [

∂λ

L( qM, t ) /

∂

qk ] p^L (9.30)

L=1
f
H^ = H +

Σ [

∂λ

L( qM, t ) /

∂

t ] p^L (9.30)

L=1
Pierwsza z tych równości pokazuje ,Ŝe mamy do czynienia z ogólnym przekształceniem punktowym.
Odpowiednio zatem wszystkie przekształcenia punktowe są kanoniczne.
Przedstawione powyŜej wyniki opierają się na tym, Ŝe zmienne qk , pk , q^k , p^k rozpatrywaliśmy jako
zmienne niezaleŜne. Jeśli przyjmować, Ŝe między nimi zachodzą pewne związki to przebieg przedstawionego
toku rozumowania powinien ulec zmianie i tak przykładowo jeŜeli : q^k

≡

qk to w przypadku A , z równości

(9.4) wynikać będą zaleŜności :
p^k = pk +

∂

qk ; H – H^ =

∂

t .

9.3 INWARIANTNOŚĆ ZALEśNOŚCI KOMUTACYJNYCH PRZY PRZEKSZTAŁCENIACH
KANONICZNYCH
Wcześniej ( zobacz wzory (7.10) – ( 7.12) ) spotkaliśmy się z interesującą zaleŜnością - wiąŜącą zmienne
kanoniczne przypominającą zaleŜności komutacyjne Heisenberga występujące w mechanice kwantowej.
Te trzy równości w ramach mechaniki klasycznej dla uproszczenia będziemy nazywali zaleŜnościami
komutacyjnymi. Dalej pokaŜę , Ŝe przy przekształceniach kanonicznych zaleŜności te zachowują swoją postać .
Jednak na początku wprowadzimy cztery pomocnicze wzory.
Na mocy twierdzenia Schwartza o równości pochodnych mieszanych , z (9.17) , (9.23) i (9.26) wynikają
następujące zaleŜności :

∂

p^k / q^L = -

∂

pL / q^k ;

∂

qk / q^L =

∂

pL / pk (9.31)

∂

q^k / qL =

∂

pL / p^k ;

∂

qk / p^L = -

∂

q^L / pk (9.31)

Podstawiając te waŜne zaleŜności do równości określonych przez nawiasy Poissona, otrzymamy :
f
[ q^k , q^L ] = - Σ { (

∂

q^k /

∂

qM ) (

∂

qM /

∂

p^L ) + (

∂

q^k /

∂

pM ) (

∂

pM /

∂

p^L ) } = - (

∂

q^k /

∂

p^L ) = 0 (9.32)

M=1
f
[ p^k , p^L ] = - Σ { (

∂

p^k /

∂

qM ) (

∂

qM /

∂

q^L ) + (

∂

p^k /

∂

pM ) (

∂

pM /

∂

q^L ) } = (

∂

p^k /

∂

q^L ) = 0 (9.33)

M=1
f
[ q^k , p^L ] = - Σ { (

∂

q^k /

∂

qM ) (

∂

qM /

∂

q^L ) + (

∂

q^k /

∂

pM ) (

∂

pM /

∂

q^L ) } = (

∂

p^k /

∂

q^L ) =

qkL (9.34)

M=1
Pochodne cząstkowe w pierwszych dwóch równościach zerują się , poniewaŜ jedna ze zmiennych niezaleŜnych
jest róŜniczkowana względem drugiej zmiennej niezaleŜnej. Zatem dowiedliśmy naszego twierdzenia. Jest to
jeszcze jedna fundamentalna własność przekształceń kanonicznych.

9.4 JAKOBIAN PRZEKSZTAŁCENIA KANONICZNEGO.
Jakobian wchodzący w przekształcenie kanoniczne ma postać :
|

∂

q1 /

∂

q^1 , … ,

∂

q1 /

∂

q^f ,

∂

q1 /

∂

p^1 , ... ,

∂

q1 /

∂

p^f |

|....................................................................................... |

∆

= |

∂

qf /

∂

q^1 , … ,

∂

qf /

∂

q^f ,

∂

qf /

∂

p^1 , ... ,

∂

qf /

∂

p^f |

∂

p1 /

∂

q^1 , … ,

∂

p1 /

∂

q^f ,

∂

qf /

∂

p^1 , ... ,

∂

qf /

∂

p^f | (9.35)

|....................................................................................... |
|

∂

pf /

∂

q^1 , … ,

∂

pf /

∂

q^f ,

∂

pf /

∂

p^1 , ... ,

∂

pf /

∂

p^f |

∆

∂

( q1 , … , qf , p1 , … , pf ) /

∂

( q^1 , … , q^f , p^1 , … , p^f )

Rozpatrzmy ( f + 1)-wiersz. Wykorzystując wzory na przekształcenie (9.23) dla przypadku C, moŜna zapisać
elementy tego wiersza tak :

∂

p1/

∂

q^M = - Σ (

∂

3 /

∂

q1 )

∂

qL /

∂

q^M (9.36)

∂

p1/

∂

p^M = - Σ (

∂

3 /

∂

q1 )

∂

qL /

∂

p^M = - Σ (

∂

3 /

∂

q1 ) (

∂

qL /

∂

p^M ) + (

∂

q^M /

∂

q1 ) (9.36)

L
Podstawiając te wyraŜenia do (f + 1) –wiersza i dodając je do poprzednich f-wierszy pomnoŜonych przez :

(

∂

3 /

∂

q1 ) ….. (

∂

3 /

∂

q1 )

sprowadzimy jakobian do następującej postaci :

|

∂

q1 /

∂

q^1 , … ,

∂

q1 /

∂

q^f ,

∂

q1 /

∂

p^1 , ... ,

∂

q1 /

∂

p^f |

|....................................................................................... |

∆

= |

∂

qf /

∂

q^1 , … ,

∂

qf /

∂

q^f ,

∂

qf /

∂

p^1 , ... ,

∂

qf /

∂

p^f |

| 0 , … , 0 ,

∂

qf /

∂

p^1 , ... ,

∂

qf /

∂

p^f |

|....................................................................................... |
|

∂

pf /

∂

q^1 , … ,

∂

pf /

∂

q^f ,

∂

pf /

∂

p^1 , ... ,

∂

pf /

∂

p^f |

Wykonując analogiczną operacje dla wszystkich pozostałych wierszy od (f+2) –go do 2f-go , otrzymamy :
|

∂

q1 /

∂

q^1 , … ,

∂

q1 /

∂

q^f ,

∂

q1 /

∂

p^1 , ... ,

∂

q1 /

∂

p^f |

|....................................................................................... |

∆

= |

∂

qf /

∂

q^1 , … ,

∂

qf /

∂

q^f ,

∂

qf /

∂

p^1 , ... ,

∂

qf /

∂

p^f |

| 0 , … , 0 ,

∂

qf /

∂

p^1 , ... ,

∂

qf /

∂

p^f |

|....................................................................................... |
| 0 , … , 0 ,

∂

pf /

∂

p^1 , ... ,

∂

pf /

∂

p^f |

Zgodnie z zasadami obliczenia wyznaczników , wyraŜenie to moŜemy zapisać jako iloczyn :
|

∂

q1 /

∂

q^1 , … ,

∂

q1 /

∂

q^f | |

∂

q1 /

∂

p^1 , ... ,

∂

q1 /

∂

p^f |

|.......................................... | | ........................................... | =

∆

= |

∂

qf /

∂

q^1 , … ,

∂

qf /

∂

q^f | |

∂

qf /

∂

p^1 , ... ,

∂

qf /

∂

p^f |

= [

∂

(q1 , … , qf ) /

∂

( q^1 , … , q^f )] [

∂

(q^1 , … , q^f ) /

∂

(q1 , … , qf ) ] (9.38)

Pierwszy czynnik jest jakobianem przekształcenia qk

→

q^k przy ustalonej wartości p^k , drugi - jakobianem

przekształcenia odwrotnego. Z tego wynika , Ŝe :

∆

= 1 (9.39)

Zatem , pokazałem ,Ŝe przekształcenie kanoniczne prowadzi do zachowania objętości przestrzeni fazowej , jak
bowiem wiadomo jakobian określa zaleŜność między objętościami przy odwzorowaniach. Bezpośrednim
następstwem takiego faktu jest to , Ŝe całka :

I =

∫

....

∫

dq1… dqf dp1 … pf (9.40)

brana względem pewnego obszaru przestrzeni fazowej , jest inwariantem , co wynika z tego ,Ŝe funkcja pod
całkowa przedstawia inwariant. Związek między tym rezultatem a twierdzeniem Liouville’a jest oczywisty.

9.5 TWIERDZENIE JAKOBIEGO O OKREŚLONOŚCI TORU.
W rozdziale 8.1 byłem zmuszony pozostawić pytanie o to jak praktycznie wykorzystać układ równań  (8.12) w
celu określenia toru, działanie bowiem jak wiadomo w tym równaniu zadaje się nie zakładając jakiś konkretnych
zmiennych. Teraz mogę odpowiedzieć na to pytanie przy pomocy przekształcenia kanonicznego . PokaŜe w jaki
sposób w postawionym celu moŜna zastosować działanie w postaci całki zupełnej (8.23) ( Jakobi 1834 rok ).
Powróćmy do przypadku C. ZaleŜności (9.23) pokazują , Ŝe funkcja R3 związana jest z działaniem S w
następujący sposób :
R3  = - S                                                                                                                                                             (9.41)
Zakładając , Ŝe S ma postać (8.23) , na mocy warunku swobody  wyboru nowych zmiennych kanonicznych
załoŜymy :
p^k =

k (9.42)

Wtedy równania (9.23) zapiszemy następująco :

q^k =

∂

∂α

k ; pk =

∂

S /

∂

qk ; H^ = H +

∂

t (9.43)

Druga z tych równości jest zgodna z równaniem (8.11) – to właśnie przywiodło nas do równości (9.41).
Porównując trzecie równanie z równaniem Hamiltona – Jakobiego (8.25) otrzymujemy :
H^ = 0 (9.44)
Zatem , nowa funkcja Hamiltona jest toŜsamościowo równa zeru. Wypiszemy teraz równania Hamiltona w
nowych zmiennych :

q^ .k =

∂

H^ /

∂

p^k ; p^

k = -

∂

H^ /

∂

q^ .k (9.45)

Z tego na mocy (9.44) , wynika , Ŝe :
q^ k = const. p^ k = const. (9.46)
Druga z tych równości w istocie jest zgodna z równością (9.42). Podstawiając dla wygody q^k =

k ,

sprowadzamy pierwsze równanie (9.43) do postaci :

∂

S /

∂α

k =

k (9.47)

Jak widać przeprowadzone przekształcenie kanoniczne prowadzi do tego ,Ŝe nowe współrzędne i pędy okazały
się wielkościami stałymi.
Istota twierdzenia Jakobiego wynika z równań (9.47) które są analogiczne do równań ( 8.12) i które są układem
równań określających tor. Praktycznie oznacza to ,Ŝe aby otrzymać układ równań opisujących tor , naleŜy
znaleźć całkę zupełną S równania Hamiltona – Jakobiego – następnie ją zróŜniczkować względem stałych
niezaleŜnych

k i porównać pochodne cząstkowe do nowych stałych

k .

10. PRZYKŁADY ZWI

ĄZANE Z TEORIĄ HAMILTONA – JAKOBIEGO.

10.1 LINIOWY OSCYLATOR HARMONICZNY.

W rozdziale 7.3 badaliśmy oscylator harmoniczny jako przykład teorii Hamiltona. Teraz rozpatrzymy ten sam
charakterystyczny przykład w celu poglądowego przedstawienia teorii Hamiltona – Jakobiego , moŜna bowiem
na tym przykładzie zademonstrować pewne charakterystyczne cechy tej teorii.
Funkcja Hamiltona zadana jest wzorem (7.15) :

H = p2 / 2m + ½ k x2 (10.1)
PoniewaŜ mamy do czynienia z układem zachowawczym , moŜna wykorzystać równanie Hamiltona – Jakobiego
w postaci ( 8.27) :

½ (1/m) ( dW/ dx )2 + ½ k x2 = E (10.2)
MoŜna było tutaj zamienić pochodną cząstkową W na pochodną zupełną , poniewaŜ x jest jedyną współrzędną
zalezną. Z równania (10.2) wynika ,Ŝe :

dW/ dx =

sqrt ( 2mE – m k x2 ) (10.3)

Całkując to równanie , znajdujemy W i zgodnie z wzorem (8.26) otrzymujemy :

S = - Et

sqrt ( 2mE )

∫

sqrt [ 1- ( kx2 /2E ) ] dx + const. (10.4)

Zatem całka zupełna została znaleziona. Jedynym istotnym parametrem ( oprócz stałej addytywnej całkowania
która jednak nie odgrywa Ŝadnej roli ) jest energia E. W zagadnieniu tym występuje tylko jedna współrzędna x,
dlatego moŜna podstawić E =

PoniewaŜ w wielu przypadkach z fizycznego punktu widzenia interesuje nas jedynie tor ruchu , moŜna nie
obliczać całki.
Znajdziemy pochodną cząstkową od S po E :

∂

E = - t

sqrt ( m /2E)

∫

sqrt [ 1- (x2k /2E) ] dx

[ k sqrt ( 2mE)/4E2 ]

∫

{x2dx /sqrt [ 1- (k x2/2E) ] }dx

= - t

sqrt ( m /2E)

∫

dx / sqrt [ 1- ( x2k /2E ) ]

Dokonując całkowania , co na tym etapie jest konieczne, wygodnie jest podstawić :

= sqrt ( k/2E ) x (10.5)

oraz przyjmując :
ω = sqrt ( k/m) ( zobacz równość (7.2) ).
Otrzymujmy :

∂

E = - t

( 1/ω)

∫

/ sqrt ( 1-

2 ) = - t

( 1/ω) arcsin [ sqrt ( k/ 2E ) x ] (10.6)

Teraz wykorzystamy wzór (9.47) tj. podstawimy :

∂

S /

∂

E =

(10.7)

co prowadzi do równania :
x =

sqrt ( 2E / k ) sin [ ω ( t +

)] (10.8)

Wynik ten jest zgodny ze wzorem (7.19) – odróŜnia się od niego jedynie wyborem stałej całkowania.
Porównanie tych dwóch wyników - w szczególności - prowadzi do zaleŜności :
C =

sqrt ( 2E / k ) (10.9)

Wykorzystaliśmy ten poglądowy przykład aby na konkrecie pokazać zastosowanie wprowadzonej wcześniej
teorii , warto podkreślić jeszcze kilka interesujących w nim faktów.
Po pierwsze moŜna zdefiniować stałą addytywną całkowania w wyraŜeniu (10.4) w ten sposób aby sprowadzić
funkcję S do postaci (8.26) . Co daje nam :
x

S = - E ( t – t0 )

sqrt ( 2mE )

∫

sqrt [ 1 - ( kx2 /2E)] dx + S0 (10.10)

x0
gdzie : x0 = x (t0 ) – odpowiada początkowemu połoŜeniu punktu materialnego. Dokonując całkowania ,
znajdujemy :

S = - E ( t – t0 )

(E/ω){ arcsin [x sqrt ( k/2E)] – arcsin [ x0 sqrt (k/2E)] + x sqrt (k/2E) sqrt ( 1 – (kx

2 /2E)) –

- x0 sqrt ( k/2E) sqrt ( 1 – (kx0

2 /2E)) + S

0 (10.11)

Porównajmy ten wynik z wyraŜeniem dla działania otrzymanym przez bezpośrednie całkowanie. W tym celu
zróŜniczkujmy funkcje (7.19) względem czasu :
dx/dt = C ω cos [ ω( t – t0 ) +

] (10.12)

podstawmy to wyraŜenie razem z wyraŜeniem (7.19) do wyraŜenia (7.13) co prowadzi do następującej funkcji
Lagrange’a :

L = (k/2)C2 { cos2 [ ω ( t – t0 ) +

] - sin2 [ ω ( t – t0 ) +

] }= (k/2)C2 cos2 [ 2ω ( t – t0 ) + 2

] (10.13)

Skąd przez całkowanie , zgodnie z (8.1) , znajdujemy działanie :

S = (kC2/2) { sin [ 2ω ( t – t0 ) + 2

] - sin (2

) } + S0 (10.14)

Wartość początkowa współrzędnej x , na mocy (7.19) jest równa :
x0 = C sin (

) (10.15)

a prędkość początkowa na mocy (10.12) jest równa :
v0 = Cω cos (

) (10.16)

Wykorzystując te równania , moŜna wyrazić stałe całkowania C i

przez x0 i v0 :

C =

(v0 /ω) sqrt [ 1 + (x

0 / v

0 ) ] ;

= arctg (x0ω / v0 ) (10.17)

Podstawiając te wartości do wyraŜeń (7.19) , (10.12) i (10.14) dochodzimy do wprowadzonych wcześniej
wyraŜeń postaci odpowiednio : (8.2) , (8.3) i (8.4). Rozwiązując otrzymaną z (7.19) równość względem v0 ,
znajdujemy :
v0 = [ ω / sin(ω ( t – t0 )] { x - x0 cos [ω ( t – t0 )] } (10.18)
co jest wynikiem analogicznym do (8.5). Podstawienie tego wyraŜenia do (10.17) daje :

C2 ={ x2 + x20 – 2xx0 cos[ ω ( t – t0 ) ]} / sin

2 [ ω ( t – t

0 ) +

] (10.19)

= arctg {x0 sin[ ω ( t – t0 )] } / [ x - x0 cos [ ω ( t – t0 ) ] (10.19)

zatem wyraŜenie (10.14) przyjmuje postać :

S = (k/2ω)C2 cos[ ω ( t – t0 ) + 2

] + S0 .

lub – z uwzględnieniem równości :

cos[ ω ( t – t0 ) + 2

] = {(x2 + x20 ) cos[ ω ( t – t0 ) ] – 2xx0}/ {x

2 + x2

0 – 2xx0 cos[ ω ( t – t0 ) ]} (10.20)

postać :

S = {(k/2ω)(x2 + x20 ) cos[ ω ( t – t0 ) ] – 2xx0}/ sin[ ω ( t – t0 )] (10.21)
- która odpowiada strukturze funkcji (8.6).
Podkreślam jeszcze raz następujący fakt : wyraŜenie dla działania (10.11) przedstawia sobą całkę zupełną
równania Hamiltona- Jakobiego , podczas gdy zaleŜność (10.21) podaje działanie, opisujące faktyczny proces
ruchu i dlatego teŜ proces ten ma odzwierciedlenie w tej zaleŜności poprzez wzory (7.19) i (10.12). Dlatego ,
wykorzystując równania (7.19) moŜna sprowadzić wyraŜenie (10.11) do postaci (10.21). Co zapisałem poniŜej.
uwzględniając równość :

arcsin ( A) – arcsin(B) = arcsin [ A – sqrt(1 - B2 ) – B sqrt ( 1- A2 ) ] (10.22)
wyraŜenie (10.11) moŜna przepisać następująco :

S = - E ( t – t0 )

(E/ω) arcsin [x sqrt ( k/2E) sqrt ( 1 – (kx2 /2E) - x0 sqrt (k/2E)sqrt ( 1 – (kx

2 /2E)] +

+ x sqrt (k/2E) sqrt ( 1 – (kx2 /2E) ) – x0 sqrt (k/2E)sqrt ( 1 – (kx0

2 /2E) + S

0 . (10.23)

Na mocy (10.9) wynika z tego , Ŝe :

S = - E ( t – t0 ) + (E/ω) arcsin {(x/C)sqrt [ 1 – (x0

2/C2 ) ] – (x

0 / C) sqrt [ 1 – (x

2/C2 )] } +

+ (x / C) sqrt [ 1 – (x2/C2 )] – (x0 / C) sqrt [ 1 – (x0

2/C2 )] + S

0 . (10.24)

Podstawiając wyraŜenie (7.19) otrzymujemy :
S = - E ( t – t0 ) + (E/ω) { arcsin [sin [ ω ( t – t0 ) +

] cos (

) – sin(

)cos [ ω ( t – t0 ) +

] ] +

+ sin[ ω ( t – t0 ) +

] cos[ ω ( t – t0 ) +

] – sin(

) cos(

) } + S0 . (10.25)

lub :
S =( E/2ω) { sin[ 2ω ( t – t0 ) + 2

] – sin (2

)} + S0 . (10.25)

Wynik ten jest zgodny z wyraŜeniem (10.14), co dowodzi naszego stwierdzenia.
Rozbudujmy dalej nasz przykład. RóŜniczkowanie funkcji (10.21) daje :

∂

x = {k [x cos[ ω ( t – t0 ) ] - x0 }/ ω sin[ ω ( t – t0 )] (10.26)

∂

x0 = {k [x0 cos[ ω ( t – t0 ) ] - x }/ ω sin[ ω ( t – t0 )] (10.26)

A następnie wykorzystując (10.19), wyraŜenie (10.12) moŜna sprowadzić do następującej postaci :
dx/dt = { ω/sin[ ω ( t – t0 )] } { x cos[ ω ( t – t0 )] – x0 } (10.27)
Przy pomocy tego wzoru i wzoru (10.18) ze wzoru (10.26) otrzymamy równości :

∂

x = m (dx/dt) ;

∂

x0 = - mv0 (10.28)

bezpośrednio odpowiadającą zaleŜnościom (8.11) i (8.12) w teorii ogólnej.
RóŜniczkując oprócz tego funkcję (10.21) względem czasu otrzymujemy :

∂

t =- (k/2) [ x2 + x0

2 – 2x

0 x cos [ ω ( t – t0 )] ] / sin

2[ ω ( t – t

0 )] (10.29)

Z drugiej strony , zgodnie z (10.1) mamy :

H = E = (k/2)[ x2 + x0

2 – 2x

0 x cos [ ω ( t – t0 )] ] / sin

2[ ω ( t – t

0 )] (10.30)

Co jeszcze raz potwierdza , Ŝe działanie S, spełnia równanie Hamiltona – Jakobiego.

10.2 ZAGADNIENIE KEPLERA.

Zastosowanie teorii Hamiltona – Jakobiego do zagadnienia Keplera nie tylko pozwala rozwiązać samo to
zagadnienie ale posiada równieŜ duŜe znaczenie dla przybliŜenia półklasycznego teorii kwantowej. Na początku
będziemy rozpatrywali ruch płaski i zapiszemy funkcję Lagrange’a we współrzędnych biegunowych :

L = ½ m ( r. 2 + r2

. 2 ) + K/r (10.31)

gdzie : K =

N Mm (dla pola grawitacyjnego)

K = - eQ (dla pola Coulombowskiego)

N – stała grawitacyjna, m – (odpowiednio e ) – masa (ładunek ) poruszającej się cząstki

M – ( Q ) – masa ( ładunek ) ciała centralnego .
W tym zagadnieniu punkt posiada dwa stopnie swobody , czego odzwierciedleniem są dwie współrzędne
biegunowe r ,

. Znajdziemy pędy uogólnione :

pr =

∂

r. = mr. ; p

∂

. = mr2

. (10.32)

Wtedy funkcja Hamiltona przyjmuje postać :

H = prr

. + p

ϕϕ

. - L = ½ m ( r. 2 + r2

. 2 ) – (K/r ) = (1/2m) [ p

2 + (1/r2 ) p

2 ] – (K/r ) (10.33)

PoniewaŜ chodzi o zagadnienie stacjonarne , moŜna wyjść bezpośrednio z równania Hamiltona – Jakobiego w
postaci (8.27) :

(1/2m) [ (

∂

r)2 + (1/r2 )(

∂

∂ϕ

)2 ] – (K/r) = E (10.34)

przy czym :
pr

∂

r ; p

∂

∂ϕ

(10.35)

Zgodnie z zaleŜnością (8.31) zakładamy , Ŝe :
W = R(r) +

(

) (10.36)

podstawiając to wyraŜenie do równania (10.34), otrzymujemy :

R’2 + (1/r2 )

2 – (2mK/r) = 2mE

lub :

r2 R’2 – 2mKr – 2mEr2 =

’2

PoniewaŜ wielkości stojące po róŜnych stronach tego równania zaleŜne są od róŜnych zmiennych niezaleŜnych ,
kaŜda strona równania powinna równać się stałej. Odpowiednio ,zatem udało się rozdzielić zmienne i otrzymać
dwa równania róŜniczkowe zwyczajne :
p

’ =

(10.37)

= R’ =

sqrt [ 2m ( E + (k/r) ) – (

2 / r2 ) ] (10.38)

Pierwsza z tych równości wyraŜa prawo zachowania momentu pędu. Na mocy wzoru (8.26) otrzymujemy
działanie :

S = - Et

∫

sqrt {2m [ E + (K/r) – (

2 / r2 )} dr +

αϕ

+ const. (10.39)

Jest to całka zupełna równania Hamiltona – Jakobiego. Odpowiednimi parametrami niezaleŜnymi są E i

Zgodnie z twierdzeniem Jakobiego , aby znaleźć równanie ruchu , naleŜy zróŜniczkować całkę zupełną
względem tych parametrów. Na początku zróŜniczkujemy względem

∂

∂α

∫

{2m [ E + (K/r) – (

2 / r2 )}-1/2 dr/r2 +

Przejście do nowej zmiennej całkowania s = 1/r daje :

∫

[ 2m (E + Ks) –

2 s2 ]-1/2 ds =

∫

ds / sqrt [ ( s – s1) ( s2 – s ) ] (10.40)

Wykorzystaliśmy tutaj pierwiastki trójmianu s1 i s2 , dla których zachodzi równość :
s1 s2 = -2mE/

2 , s

1 + s2 = 2mK/

2 (10.41)

Fizyczny sens tych pierwiastków jest następujący :
s1 - jest wielkością odwrotną do odległości peryhelium.
s2 – jest wielkością odwrotną do odległości w aphelium.
Dalej, naleŜy dokonać podstawienia :
s = ½ (s1 + s2 ) + ½ (s2 – s1 ) u (10.42)
które sprowadza równanie (10.40) do postaci :

∫

du / sqrt ( 1 – u2 ) =

arcsin (u ) =

arcsin { [ 2 / ( s2 – s1 )] [ (1/r) – ½ (s2 + s1 )} (10.43)

Stąd otrzymujemy :
1/r = ½ (s2 + s1)

½ ( s2 – s1 )] sin (

) (10.44)

Przywołując zaleŜności wiąŜące wielkości s1 i s2 z półosią wielką a i mimośrodem

tj. zaleŜności :

s1 = 1 / a(1 +

) ; s2 = 1/ a( 1-

) (10.45)

równanie (10.44) moŜna zapisać w postaci :

1/r = [ 1

sin (

) ] / a ( 1 -

2 ) (10.46)

Jest to równanie wiąŜące r oraz

, określa ono postać geometryczną toru , który jest przecięciem stoŜka.

Drugie równanie opisujące prawo ruchu w czasie – otrzymujemy przez zróŜniczkowanie funkcji (10.39)
względem E. Zgodnie z twierdzeniem Jakobiego mamy :

∂

E = - t

∫

{ 2m [E + (K/r)] – (

2 / r2 )}-1/2 dr

Dokonując zamiany zmiennych całkowania i wykorzystując wyŜej wprowadzone oznaczenia , znajdujemy :

t +

(m/

)

∫

ds / s2 sqrt [ ( s – s1) ( s2 – s )] (10.47)

tj. ustanawiamy zaleŜność między t i r. Całki tej jednak nie będziemy obliczać.
Jak widać z wyraŜenia (10.31) w tym przykładzie kąt

przedstawia współrzędną cykliczną.

11. RUCH PERIODYCZNY I WARUKOWO-PERIODYCZNY (quasiokresowy)

11 UKŁAD PERIODYCZNY Z JEDNYM STOPNIEM SWOBODY.

Libracja. W tym przypadku współrzędna i pęd są periodycznymi funkcjami czasu o jednakowym okresie

q( t +

) = q(t) ; p( t +

) = p(t) (11.1)

Jako przykład libracji moŜe słuŜyć ruch liniowego oscylatora harmonicznego oraz wahadła matematycznego w
przypadku braku tarcia.
Na skutek periodyczności q i p ruch w dwuwymiarowej przestrzeni fazowej (na płaszczyźnie fazowej ) odbywa
się po pewnej krzywej zamkniętej. Taka krzywą nazywaną „trajektorią fazową” przedstawiono na rysunku 7.
RozłoŜenie w szereg Fouriera daje :

∝

q =

Σ q0L exp [ 2

i L (

t +

) ] (11.2)

L = -

∝

Rys. 7

∝

p =

Σ p0L exp [ 2

i L (

t +

) ] (11.2)

L = -

∝

gdzie :

= 1/

- jest częstotliwością drgań,

- to stała fazowa. Wykorzystując zmienną :

ω =

t +

(11.3)

zmieniającą się o jeden przez okres, moŜna odzwierciedlić okresowość współrzędnej q poprzez następujący
zapis :
q(w + 1) = q(w) (11.4)
Wtedy rozkład w szereg Fouriera dla tej współrzędnej przyjmie postać :

∝

q =

Σ q0L exp ( 2

i L w ) ] (11.5)

L = -

∝

Obrót.
Wybierając przy ruchu szczególną postać współrzędnej , którą oznaczymy przez w, i którą moŜemy
rozpatrywać jako kąt w procesie ruchu ( będzie ona wzrastała z czasem).
ChociaŜ periodyczność „w” , w czasie nie jest zakładana , w czasie

układ powraca do swojego punktu

początkowego. W czasie

współrzędna w zmienia się o jednostkę :

w = (1/

) ( t – t0) + w0 =

t +

(11.6)

W przeciwieństwie do niej pęd J przedstawia periodyczną funkcję współrzędnej w :
J( w + 1) = J(w)
(11.7)lub na mocy równości (11.6) – periodyczną funkcję czasu :
J ( t +

) = J(t) (11.8)

Ten przypadek przedstawiono na rysunku 8.

Rys. 8

Przykładami takiego rodzaju ruchu są róŜne przypadki obrotu wokół stałej osi. Aby znormalizować okres tak
jak to było zrobione powyŜej między współrzędną w i kątem obrotu

wokół osi naleŜy ustanowić następującą

zaleŜność :
w =

/ 2

(11.9)

Jeśli dla opisania ruchu wykorzystamy współrzędne ortokartezjańskie XK ( XK -oznacza współrzędne postaci :
x

Ω

, y

Ω

, z

Ω

) , to współrzędna i pęd okaŜą się funkcjami okresowymi czasu , zatem w tym przypadku pozostaje

w mocy równość (11.4) :

XK ( w + 1 ) = XK (w ) (11.10)

11.2 UKŁAD PERIODYCZNY Z WIELOMA STOPNIAMI SWOBODY.

Układem periodycznym z wieloma stopniami swobody będziemy nazywać taki układ , którego ruch opisywany
we współrzędnych ortokartezjańskich moŜemy – uogólniając zaleŜności (11.4) lub (11.10) przedstawić za
pomocą funkcji :

XK ( w1 + 1 , w2 + 1 , ... ) = X

K ( w

1, w2 , ... ) (11.11)

Przy tym mają miejsce następujące uogólnione równości (11.3) :
w1 =

1t +

1 , w2 =

2t +

2 , ... , (11.12)

gdzie :

1 = 1/

1 , ... a wielkości :

2, .. przedstawiają okresy zmienności zmiennych w1, w2, ...

Analogicznie do (11.5) moŜna przedstawić funkcję XK jako szereg Fouriera :

∝

XK =

Σ CKL1,L2 exp [ 2

i (L1w1 + L2 w2 + ... ) ] (11.13)

L1L1= -

∝

Uwzględniając równości (11.12) rozkład ten moŜna zapisać następująco :

∝

XK =

Σ DKL1,L2 exp [ 2

i (L1

1 + L2

2 + ... ) ] (11.14)

L1L1= -

∝

( gdzie wszystkie stałe fazowe są odpowiednio uwzględniane poprzez współczynniki DKL1,L2 ).
W ogólnym przypadku szereg Fouriera (11.14) nie przedstawia okresowej w czasie t, funkcji - chociaŜ kaŜda
oddzielnie wzięta eksponenta moŜe być okresowa. Periodyczność będzie miała miejsce tylko wtedy , kiedy
częstotliwości

2 ... będą się miały do siebie jak liczby całkowite. Dlatego układy z wieloma stopniami

swobody nazywane są „układami warunkowo periodycznymi”.
Ilość częstotliwości których stosunek wyraŜony być moŜe liczbą całkowitą określa tzw. „stopień
zdegenerowania” układu. JeŜeli nie ma takich częstotliwości układ jest niezdegenerowany. JeŜeli wszystkie
częstotliwości związane są przez zaleŜności całkowite , to układ nazywamy „zupełnie zdegenerowanym” – w
tym przypadku mamy do czynienia z okresową funkcją czasu.
Omówiony wcześniej przykład zagadnienia Keplera , jest przykładem układu zdegenerowanego o dwóch
stopniach swobody ( niezaleŜne współrzędne r ,

) , w którym istnieje tylko jedna częstotliwość . Poprzez

nałoŜenie pewnego zaburzenia (perturbacji) moŜemy pozbyć się degeneracji , jednak wtedy ruch odbywać się
będzie po rozecie.
W charakterze przykładu układu warunkowo periodycznego , moŜna przywołać oscylator anizotropowy tj. punkt
materialny , dla którego stałe spręŜystości są róŜne w róŜnych kierunkach . Tor takiego punktu przedstawia
pewną figurę Lissajous – jest to krzywa nie zamknięta w sposób gęsty pokrywająca pewien obszar. Ruch jest
periodyczny tylko w przypadku zdegenerowanym.
Układ mechaniczny moŜe poruszać się ruchem periodycznym tylko w przypadku konserwatywności – wynika to
z warunków energetycznych. Dlatego w dalszej części przyjmiemy , Ŝe :
H = H(qK , pK ) (11.15)
Przy badaniu ruchu periodycznego wygodnie jest wykorzystywać przekształcenia kanoniczne.

11.3 ZMIENNE KĄT-DZIAŁANIE.

Rozpatrzmy przypadek C , przekształcenia kanonicznego , tj. zastosujmy wzory przekształcenia (9.23) :
q^k = -

∂

R3(qk ,p^k , t) /

∂

p^k ; pk = -

∂

R3(qk ,p^k , t)/

∂

qk ;

H – H^ =

∂

R3(qk ,p^k , t)/

∂

t (11.16)

Przy pomocy takiego przekształcenia równania Hamiltona w nowych zmiennych kanonicznych przyjmą postać

q. ^k = -

∂

H^ /

∂

p^k ; p

. ^

k = -

∂

H^ /

∂

q^k (11.17)

Funkcje R3 , względem której wcześniej nie zakładaliśmy Ŝadnych dodatkowych warunków , teraz wybieramy
tak aby nowa funkcja Hamiltona zaleŜała tylko od nowych pędów :

H^ = H^ (p. ^k )                                                                                                                                               (11.18)
W tym przypadku z drugiego równania Hamiltona wynika , Ŝe :
p^k  = const.                                                                                                                                                     (11.19)
I dlatego z pierwszego całkowania otrzymujemy równości :
q^k  =

^k t +

^k (11.20)

gdzie :

^k ,

^k - są stałymi. Wtedy :

^k =

∂

H^ ( p^k ) /

∂

p^k (11.21)

Wcześniej, współrzędne które nie wchodziły do funkcji Hamiltona nazwaliśmy „zmiennymi cyklicznymi”.
Zatem, jak widać zmienna cykliczna rośnie liniowo w czasie. Jeśli zmienna cykliczna posiada w szczególności ,
własność , taką Ŝe w okresie rośnie do jedności , to nazywamy ją „zmienną kątową”. Dlatego zgodnie z juŜ
wykorzystywanymi we wzorach (11.3) i (11.6) oznaczeniami przyjmiemy dla niej symbol w. MnoŜąc równość
(11.20) przez pewną stałą

, moŜemy przejść od współrzędne q^k do odpowiadającej jej zmiennej wk :

wk =

^k t +

^k (11.22)

gdzie :
wk =

q^k ,

k =

λν

^k ,

k =

λϕ

^k (11.23)

Pęd – sprzęŜony kanonicznie ze zmienną wk nazywamy „zmienną działania” i oznaczamy ją przez Jk , zatem
zaleŜności (11.21) moŜemy przepisać do postaci :

k =

∂

H^ /

∂

Jk (11.24)

gdzie :
Jk =

∂

p^k /

(11.25)

PoniewaŜ , na mocy warunków (11.15) i (11.18) lewa strona trzeciego ze wzorów (11.16) nie zaleŜny w sposób
jawny od czasu , funkcja R3 moŜe być liniową funkcją czasu. Bez ograniczenia ogólności moŜemy załoŜyć :

∂

R3 /

∂

t = 0 (11.26)

Zatem , z (11.16) wynikają wzory przekształcenia :
wk = -

∂

R3 /

∂

Jk ; pk = -

∂

R3 /

∂

qk ; H = H^ = E (11.27)

Ostatni z nich przedstawia skrócone równanie Hamiltona – Jakobiego a drugi ustanawia toŜsamość :
R3 = - W (11.28)
( W – jest skróconym działaniem ). Dlatego wzory (11.27) moŜna zapisać następująco :
wk =

k t +

k =

∂

W /

∂

Jk , pk =

∂

qk , H( qk ,

∂

qk ) =E (11.29)

11.4 UKŁADY O ZMIENNYCH ROZDZIELONYCH.
Aby mieć moŜliwość rozwinięcia dalej teorii w Ŝądanym kierunku , musimy ograniczyć się do układów o
zmiennych rozdzielonych. Nasze dalsze kroki będą polegały na tym co następuje.
Będziemy poszukiwali całki zupełnej skróconego równania Hamiltona – Jakobiego w postaci sumy :
W =

Σ WL (qL ,

M ) = W1 (q1 ,

M ) + W2 (q2 ,

M ) + ... (11.30)

L
Przy tym otrzymamy :
E = E (

M ) (11.31)

Wtedy pierwsze i drugie równanie (11.29) wyglądać następująco :
wk =

k t +

k = Σ (

∂

WL /

∂

JK ) , pk =

∂

Wk /

∂

qk (11.32)

Ustalmy następnie wartość wszystkich współrzędnych , oprócz qk , i dla ruchu wzdłuŜ odpowiadającej linii
współrzędnościowej ( zakładając Jk = const. ) znajdujemy :
dM wk = (

∂

M /

∂

JK ) dqM (11.33)

Całkując w okresie , znajdujemy przyrost :

∆

M wk =

∂

∫

(

∂

WM /

∂

qM) dqM =

∂

∫

pM dqM (11.34)

(symbol

∫

- oznacza , Ŝe całkowania dokonujemy w ciągu pełnego okresu ). Przy M = K otrzymujemy

∆

M wk = 1, skąd wynika , Ŝe :

JK =

∫

pK dqK (11.35)

zakładając stałe całkowania równe zeru. Przy M

≠

K otrzymamy :

∆

M wk = 0, chociaŜ wartość wk zmienia się

podczas ruchu.
Całkę po prawej stronie równości (11.35) nazywamy „całką fazową” jest ona identyczna z odpowiadającą jej
zmienną działania. Dlatego zmienna działania równa jest powierzchni obszaru zakreskowanego na rysunkach
7 i 8 .

PoniewaŜ w całce , wchodzącej do równania (11.35) całkowanie prowadzimy względem współrzędnej wchodzi
do niej jeszcze równieŜ parametr

M , moŜemy zatem zapisać :

JK = JK (

M ) (11.36)

Rozwiązując ten układ względem

M :

M =

M ( JK ) (11.37)

a następnie podstawiając wynik do wzoru (11.31) , otrzymamy :
E = E (

M ( JK ) ) (11.38)

Obliczając pochodną cząstkową od tej wielkości względem JK i uwzględniając równości (11.27) i (11.24)
znajdujemy wartości częstotliwości :

K =

∂

M ( JK )) /

∂

JK (11.39)

Podsumowując najistotniejsze z otrzymanych rezultatów moŜemy powiedzieć :
1. Rozwiązując równanie Hamiltona – Jakobiego , otrzymujmy funkcję tworzącą przekształcenia kanonicznego.
2. Obliczając całki fazowe (11.35) , znajdujemy zmienne działania , kanonicznie sprzęŜone do zmiennych
kątowych (11.22). Tym samym rozpatrywane zagadnienie dynamiczne okazuje się rozwiązywalna w nowych
zmiennych. Przekształcenie odwrotne do zmiennych pierwotnych moŜna wykonać przy pomocy wspomnianej
powyŜej funkcji tworzącej.
3. Zgodnie z równościami (11.39) , róŜniczkowanie energii względem zmiennych działania daje wartości
częstotliwości.

11.5 ZASADA KWANTOWANIA BOHRA – SOMMERFELDA.

Przejście do pół klasycznej mechaniki kwantowej dokonywane jest z zastosowaniem do całki fazowej zasady
kwantowania Bohra – Sommerfelda :

JK =

∫

pK dqK = nK h (11.40)

( h - jest stałą Plancka ). Przy tym liczba kwantowa nK moŜe przyjmować wartości ze zbioru liczb całkowitych.
Pochodna cząstkowa (11.39) przechodzi w zaleŜność róŜnicową , co związane jest z tym ,Ŝe na mocy warunku :

∆

JK = h (11.41)

zmiana zmiennej działania mniejsza niŜ h jest niemoŜliwa. Stąd otrzymujemy następująca zaleŜność :

∆

E / h lub

∆

E =

h (11.42)

w której rozpoznajemy wzory Plancka.
Stosując zasadę Bohra – Sommerfelda (11.40) do rozpatrywanego w rozdziale 10.2 zagadnienia Keplera ,
otrzymamy zgodnie z równaniem (10.37) :

∫

= 2

πα

= n

h lub

= (h /2

) n

= ħ n

(11.43)

( wielkość n

nazywamy „azymutalną liczbą kwantową” )

i zgodnie z równaniem (10.38) :
rmax

Jr =

∫

pr dr =

∫

sqrt [ 2m ( E + (k/r) ) – [ ( ħ n

)2 / r2 ] ] dr = ħ nr (11.44)

rmin

( wielkość nr nazywamy „radialna liczbą kwantową” ; ħ = h /2

)

Wybieramy zazwyczaj znak plus aby  nr , mogło przyjmować tylko dodatnie wartości. Wielkości :
rmin = 1/ s2  ,  rmax = 1/ s1   reprezentują minimalną I maksymalną wartość kąta biegunowego.
Obliczenie całki  ( przykładowo na płaszczyźnie zespolonej ) daje :
Jr  =  - n

h - 2

i [ mK/ sqrt (2mE) ] = h nr

skąd otrzymujemy dyskretne poziomy energii :

En = - ( mK

2/ 2ħ2r2 ) (11.45)

do którego wchodzi „główna liczba kwantowa“ :
n = nr + n

(11.46)

Energia jest ujemna dlatego , Ŝe mamy stany związane. Odpowiednio z wprowadzonymi powyŜej oznaczeniami
dla atomów stosujemy K = - eQ. Wzór (11.45) jest słuszny dla atomu wodoru , jak równieŜ dla układów
wodoropodobnych.

12. TOR JAKO CHARAKTERYSTYKI RÓWNANIA HAMILTONA – JAKOBIEGO.

W tym rozdziale dokładnie zaznajomimy się z matematycznymi aspektami teorii Hamiltona – Jakobiego. Przy
tym będziemy opierali się dokładnie na opracowaniu teorii równań o pochodnych cząstkowych drugiego rzędu.
Jak wiadomo charakterystykami takiego równania róŜniczkowego są specjalnie wydzielone krzywe osobliwe. W
dalszej części pokaŜe , Ŝe charakterystyki równania Hamiltona – Jakobiego odpowiadają torom punktu
materialnego.
Powróćmy do rozdziału 8.2 , w którym podana była definicja całki zupełnej , równania o pochodnych
cząstkowych pierwszego rzędu o n zmiennych niezaleŜnych – przyjęto dla tej całki następujące oznaczenie :
σ = σ ( yi ,

i ) (12.1)

Całka ogólną równania o pochodnych cząstkowych pierwszego rzędu o n zmiennych niezaleŜnych nazywamy
rozwiązanie tego równania , zawierające pewną dowolną funkcję n-1 zmiennych . Całkę ogólna moŜna znaleźć z
całki zupełnej w następujący sposób.
ZałóŜmy , Ŝe :

n = f (

i , … ,

n-1 ) (12.2)

gdzie f – jest dowolna funkcją n-1 zmiennych , wtedy całka zupełna (12.1) przechodzi w funkcję :
σ = σ ( yi ,

i , … ,

n-1, f(

i , … ,

n-1)) =

( yi ,

i , … ,

n-1) (12.3)

Funkcja

, oczywiście , jest równieŜ rozwiązaniem naszego równania róŜniczkowego

Funkcje (12.1) obrazują n-parametryczny zbiór rozwiązań. Przy podstawieniu (12.2) otrzymujemy (n-1) –
parametryczny zbiór rozwiązań (12.3). RóŜniczkując (12.3) względem parametrów

i , … ,

n-1, otrzymujemy

układ (przypomina to budowę krzywej rozwijającej ) :

∂

σ/

∂α

i + (

∂

f)(

∂

∂α

1) = 0 , … ,

∂

σ/

∂α

n-1 + (

∂

f)(

∂

∂α

n-1) = 0 (12.4)

składający się z n-1 równań. Rozwiązując ten układ względem

i , … ,

n-1 , znajdujemy :

i =

1(yi ) , … ,

n-1 =

n-1(yi ) (12.5)

Do zaleŜności tych wchodzi dowolna funkcja f. Wynikiem podstawienia wyraŜeń (12.5) do wzorów (12.3)
będzie całka ogólna :
σ =

( yi ,

1(yi ) , … ,

n-1(yi ) ) (12.6)

Całkę osobliwą równania o pochodnych cząstkowych pierwszego rzędu , otrzymujemy w analogiczny sposób.
Z (12.1) moŜna wyprowadzić układ :

∂

σ( yi ,

i )/

∂

1 = 0 , … ,

∂

σ( yi ,

i )/

∂

n = 0 (12.7)

Składający się z n równań. Rozwiązując ten układ względem zmiennych

i , dochodzimy do n zaleŜności

postaci :

1 = h1(yi ) , … ,

n hn (yi ) (12.8)

Podstawiając te wyraŜenia do (12.1) otrzymamy funkcję :
σ = σ( yi , hi (yi ))                                                                                                                                             (12.9)
Jeśli funkcja ta spełnia równanie róŜniczkowe , to nazywamy ją całką osobliwą. Opisuje ona ogólną rozwijającą
wszystkich powierzchni całkowych , wchodzących do całki zupełnej.
Rozpatrzmy teraz (n+1) – wymiarową przestrzeń zmiennych (yi , σ ), w której rozwiązanie równania
róŜniczkowego zapisane będzie w postaci nie jawnej :
G(yi , σ ) = 0                                                                                                                                                    (12.10)
przedstawiającej pewną hiperpowierzchnię. Przy tym (n+1)-wymiar odpowiada zmiennej zaleŜnej σ.
Niech w tej przestrzeni w sposób parametryczny będzie zadana pewna krzywa :
yi = yi (

) , σ = σ (

) (12.11)

(

- jest parametrem krzywej). PoniewaŜ gradient

∂

yi , określa kierunek normalnej do tej hiperpowierzchni ,

kaŜdemu ustalonemu punktowi krzywej (12.11) moŜna przyporządkować poprzez określenie kierunków
normalnych na tej krzywej, stoŜek normalnych ( stoŜek normalny) , jest to moŜliwe na mocy zaleŜności :

∂

σ/

∂

yi = - (

∂

yi ) / (

∂

σ) (12.12)

wynikających z równania róŜniczkowego (12.10). Przy tym w szczególnym przypadku n = 2 , mamy
dwuwymiarową powierzchnię stoŜkową.
W tym ustalonym punkcie krzywej, elementy powierzchni całkowych , prostopadłe do kierunków normalnych
równieŜ tworzą stoŜek – nazywany stoŜkiem Moongea.

Przy przesunięciu wzdłuŜ zadanej krzywej elementy powierzchni całkowej przedstawiają półoś  - przedłuŜając tą
półoś w kierunku normalnym moŜna zbudować powierzchnię całkową. Dokonać tego moŜna przez rozłoŜenie w
szereg potęgowy funkcji  σ( yi ). W celu zbudowania tej półosi wykorzystamy zaleŜność :

                                n
(

∂

σ) (

∂

σ/

∂λ

) +

Σ (

∂

yi ) (

∂

yi /

∂λ

) = 0 (12.13)

                              i=1
spełnioną wzdłuŜ krzywej (12.11) i otrzymanej przez róŜniczkowanie równań (12.10).
Charakterystykami równania róŜniczkowego pierwszego rzędu są takie krzywe , dla których jednoznaczne
przedłuŜenie tj. jednoznaczne zbudowanie hiperpowierzchni całkowej jest nie moŜliwe. Zatem, charakterystyki
reprezentują sobą krzywe osobliwe , którym odpowiada nieprzeliczalny zbiór powierzchni całkowych.
Charakterystyki równania o pochodnych cząstkowych (8.17) moŜna opisać następującym układem równań :
               n
dσ/d

Σ [

∂

(

∂

σ/

∂

yi )] (

∂

σ/

∂

yi ) (12.14)

i=1
dyi /

∂λ

= (

∂

(

∂

σ/

∂

yi )) (12.15)

∂

σ/

∂

yi)/d

= - (

∂

yi ) – (

∂

σ) (

∂

σ/

∂

yi ) (12.16)

Równania te zastosujemy do równania Hamiltona – Jakobiego, dla którego funkcja F określona jest wzorem
(8.21) i spełnia zaleŜności (8.19) i (8.20). Wypisze jeszcze raz te wyniki :
F = H( qk , (

∂

qk ), t ) +

∂

t (12.17)

yi = (qk , t ) ; σ = S (12.18)
Z tego , Ŝe F nie zaleŜy jawnie od S wynika równość :

∂

S = 0 (12.19)

Zatem , z układu równań (12.14) – (12.16) po uwzględnieniu równości :

∂

qk = pk , otrzymujemy następujące

zaleŜności ( n = f + 1 ) :
f
dS/d

Σ (

∂

pk ) pk +

∂

t (12.20)

k=1
dqk /d

∂

pk , dt/d

= 1 (12.21)

dpk /d

= -

∂

H/qpk , d(

∂

t)/ d

= -

∂

H /

∂

t (12.22)

Z drugiego równania (12.21) moŜna bez ograniczenia ogólności załoŜyć , Ŝe :

= t (12.23)

tj. wybrać w charakterze parametru krzywej czas t. Przy tym równania (12.20) – (12.22) moŜemy zapisać
następująco :
f f
dS/dt = (

∂

t ) +

Σ (

∂

pk ) pk = (

∂

t) +

Σ (

∂

qk ) (dqk/dt) (12.24)

k=1 k=1
(dqk/dt) =

∂

pk , (dpk/dt) = -

∂

qk , dH/dt =

∂

t (12.25)

MoŜemy od razu rozpoznać w powyŜszym układ równań zapisany w formaliźmie Hamiltona , opisujący
trajektorię punktu materialnego. Tym samym twierdzenie , Ŝe tor jest charakterystyką równania Hamiltona –
Jakobiego jest dowiedzione.
Zaprezentowane poniŜej wywody prowadzą do geometrycznej interpretacji twierdzenia Jakobiego o
znajdywaniu trajektorii z całki zupełnej równania Hamiltona – Jakobiego .
Wyjdziemy z zaleŜności (8.23) , którą zapiszemy teraz następująco :
T = S – S^( qk ,t ,

k , t0 ) – S0 = 0 (12.26)

Zgodnie z tym co powiedziano wcześniej , równanie to przedstawia hiperpowierzchnię w (f + 2)-wymiarowej
przestrzeni zmiennych qk , t , S (jak pokazałem wcześniej t0 – jest parametrem nie istotnym). Wobec istnienia
f +1 niezaleŜnych parametrów

k , S0 , hiperpowierzchnia ta jest (f + 1)-parametrycznym zbiorem

hiperpowierzchni , przy czym addytywnie wchodzący do równania (12.26) parametr powoduje jedynie
przesunięcie wzdłuŜ osi S. Budowa krzywych rozwijających rodziny (12.26) prowadzi do równań :

∂

∂α

k = -

∂

S^/

∂α

k = 0 ;

∂

Sk = - 1 = 0 (12.27)

tj. jak widać do sprzeczności w drugim z równań. Zatem, względem parametru S0 ( na skutek powodowanego
przez niego przesunięcia ) rozwijające nie istnieją. Z twierdzenia Jakobiego (9.47), które moŜna zapisać na mocy
zaleŜności (8.23) następująco :

∂

S^ /

∂α

k =

k (12.28)

wynika, Ŝe określone przez równania (12,27) krzywe osobliwe w ogólnym przypadku nie są charakterystykami.
Jeśli , jednak, zmniejszyć liczbę parametrów o jeden i wziąć ich nie f + 1, a f – przyjmując przykładowo :

k =

k (

1 , ... ,

f ) =

k = (

L ) (12.29)

S0 = S0 (

1 , ... ,

f ) = S0 = (

L ) (12.30)

to równość (12.26) moŜemy zapisać w postaci :
T = S – S^( qk ,t ,

k (

L ), t0 ) - S0 (

L ) = 0 (12.31)

Budując teraz rozwinięte, względem parametrów

L , tj. zakładając :

∂

∂γ

L = Σ (

∂

S^/

∂α

k )(

∂α

k /

∂γ

k ) – (

∂

S0 /

∂γ

L ) = 0 (12.32)

k=1
otrzymujemy niejednorodny układ równań :
f
Σ (

∂

S^/

∂α

k )(

∂α

k /

∂γ

k ) = (

∂

S0 /

∂γ

L ) (12.33)

k=1
dla wielkości

∂

S^/

∂α

k . Poprzez odpowiedni wybór funkcji

k (

L ) moŜna osiągnąć to ,Ŝe wyznacznik złoŜony

ze współczynników przy tych wielkościach będzie róŜny od zera :
|

k /

L |

≠

0 (12.34)

i wtedy istnieje rozwiązanie :

∂

S^/

∂α

k = Bk (12.35)

UtoŜsamiając wielkości Bk z dowolnie wybieranymi wielkościami

k , dochodzimy do stwierdzenia (12.28)

twierdzenia Jakobiego i tym samym pokazaliśmy, Ŝe trajektorię ( odpowiednio charakterystyki ) są rozwiniętymi
f-parametrycznego zbioru powierzchni (12.31).

13. NIESKOŃCZENIE MAŁE PRZEKSZTAŁCENIA KANONICZNE.

W tym rozdziale pokaŜe jeszcze jedną waŜną moŜliwość zastosowania przekształceń kanonicznych. Przy tym
będę rozpatrywał nieskończenie mała zmianę zmiennych , które podlegają przekształceniu kanonicznemu.
Jak to zwykle robi się w rachunku róŜniczkowym, będziemy odrzucać małe drugiego rzędu w porównaniu z
małymi pierwszego rzędu.
Wyjdziemy od funkcji tworzącej postaci :
            f
F = I -

Σ pk (

∂

I /

∂

pk ) (13.1)

         k=1
przy czym :
I = I( qk , pk , t )                                                                                                                                                 (13.2)
jest wielkością nieskończenie małą – nazwiemy ją „nieskończenie mała funkcją tworzącą”. Zatem , funkcja F
jest równieŜ nieskończenie mała. *) Właśnie z powodu małości funkcji I i F w odróŜnieniu od zrobionych
wcześniej załoŜeń ( zobacz rozdział 9) autor w tej chwili zakłada , Ŝe funkcje te zaleŜne są tylko od starych
zmiennych – przypis redaktora. *)
Ze wzoru (13.1) otrzymujemy :
                            f                          f
dF = (

∂

t) dt +

Σ (

∂

qk ) dqk - Σ pk d (

∂

I /

∂

pk ) (13.3)

k=1 k=1
Z dokładnością do małych pierwszego rzędu wynik ten moŜna przepisać do następującej postaci :
f f
dF = (

∂

t) dt +

Σ [ pk + (

∂

qk )] + d [ qk – (

∂

pk 0 ] - Σ pk dqk (13.4)

k=1 k=1
Porównując go do zaleŜności dla przypadku ogólnego (9.4) , znajdujemy szukane wzory przekształcenia :
q^k = qk – (

∂

pk ) , p^k = pk – (

∂

qk ) , H^ = H – (

∂

t) (13.5)

Nieskończenie małe zmiany zmiennych w odróŜnieniu od ich wirtualnych przyrostów, będziemy oznaczali
symbolem

^ :

q^k = qk +

^qk , p^k = pk +

^pk , H^ = H +

^H (13.6)

Wtedy wzory (13.5) przyjmują postać :

^qk = -

∂

pk ,

^pk = -

∂

qk ,

^H = -

∂

t (13.7)

PoniŜej pokaŜe , Ŝe proces ruchu układu mechanicznego w czasie moŜna interpretować jako następstwo
nieskończenie małych przekształceń kanonicznych ( zmianie zmiennych w interwale między dwoma chwilami
czasu odpowiada zmiana tych zmiennych na skutek nieskończenie małego przekształcenia kanonicznego ).
W związku z tym zapiszemy równania Hamiltona w następujący sposób :
dqk = (

∂

pk ) dt ; dpk = (

∂

qk ) dt (13.8)

W związku z dowodzonym twierdzeniem utoŜsamimy róŜniczki w równaniach (13.8) z nieskończenie małymi
zmianami (13.7) :
dqk =

^qk ; dpk =

^pk (13.9)

Przy tym z równań (13.7) I (13.8) wynika , Ŝe :
(

∂

pk) dt = - (

∂

pk ) ; (

∂

qk) dt = - (

∂

qk ) (13.10)

poniewaŜ czas nie wpływa w Ŝaden sposób na róŜniczkowanie względem współrzędnych , otrzymujemy stąd , Ŝe
nieskończenie mała funkcja tworząca ma następującą postać :
I = - H dt (13.11)
ZaleŜność (13.11) pokazuje , Ŝe w czasie ruchu funkcja Hamiltona w określony sposób wchodzi w nieskończenie
małą funkcję tworzącą.
Na mocy ogólnego wzoru (7.5) dla nieskończenie małej funkcji tworzącej spełniona jest równość :
dI/dt =

∂

t + [ I , H ] (13.12)

W szczególnym przypadku , kiedy I przyjmuje postać wyraŜenia (13.11), otrzymujemy :
dI/dt =

∂

t (13.13)

zatem , dla tego przypadku ostatnia z równości (13.6) moŜe być zapisana następująco :
H^ = H + (

∂

t) dt (13.14)

14. PRZEKSZTAŁCENIA SYMETRII.

Zdefiniujmy wielkość

∆

^H równością :

∆

^H = H( q^k , p^k , t ) – H( qk , pk , t ) (14.1)

ZauwaŜmy , Ŝe w ogólnym przypadku :
H( q^k , p^k , t )

≠

H^( q^k , p^k , t ) (14.2)

Rozkładając prawą stronę równania (14.1) w szereg Taylora względem qk i pk otrzymamy :
f f

∆

^H =

Σ (

∂

qk )

^qk + Σ (

∂

qk )

^pk (14.3)

k=1 k=1
Po uwzględnieniu zaleŜności (13.7) otrzymamy :
f

∆

^H =

Σ [ - (

∂

qk )(

∂

pk ) + (

∂

pk )(

∂

qk )] = [ I, H ] (14.4)

k=1
Zgodnie z (13.12) dla pochodnej zupełnej względem czasu mamy :
dI/dt =

∂

t + [ I , H ] (14.5)

Skąd otrzymujemy , Ŝe :
dI/dt =

∂

t +

∆

^H (14.6)

Jest to nasza podstawowa zaleŜność.
Przekształcenie symetrii zdefiniowane jest warunkiem :

∂

t +

∆

^H = 0 (14.7)

Zatem , chodzi o nieskończenie małe przekształcenie kanoniczne posiadające taką własność , Ŝe podstawienie
przekształconych zmiennych do funkcji Hamiltona , zgodnie z równaniem (14.1) prowadzi do takiej wielkości

∆

^H , która związana jest z pochodną cząstkową względem czasu nieskończenie małej funkcji tworzącej

zaleŜnością (14.7). Dlatego dla przekształceń symetrii , zgodnie z (14.6) , mamy :
dI/dt = 0 lub I = const. (14.8)
Zatem , nieskończenie mała funkcja tworząca poddana przekształceniu symetrii jest stałą ruchu. PoniewaŜ
parametry wchodzą do takiej funkcji tworzącej w sposób liniowy , otrzymujemy stąd tyle niezaleŜnych stałych
ruchu ile mamy niezaleŜnych parametrów. Dalej zademonstruje konkretny sposób działania takiej metody.
Na mocy (13.7) i (14.7) dla przekształcenia symetrii :

∆

^H =

^H lub H^ = H( q^k , p^k , t ) (14.9)

15. PRAWA ZACHOWANIA MECHANIKI NEWTONOWSKIEJ.

Zastosujmy teraz rozwinięty powyŜej formalizm do układu zamkniętego, składającego się z N punktów
materialnych , poddanych działaniu tylko sił wewnętrznych. Wyjdziemy z nieskończenie małej funkcji tworzącej
, zawierającej wszystkie znane symetrię mechaniki newtonowskiej, odzwierciedlające waŜne fizyczne rezultaty
będące owocem wielu lat jej rozwoju. Funkcja o której mowa wygląda następująco :

N N N N
I = - a

Σ p

Ω

H - d

Σ (r

Ω

) – v [ t

Σ r

Ω

Σ m

Ω

] (15.1)

Ω

Gdzie : a ,

, d , v – są nieskończenie małymi parametrami (

- jest parametrem skalarnym , reszta to parametry

wektorowe ).
Zgodnie z ogólną teorią , potrzebne nam będą pochodne cząstkowe od I względem róŜnych zmiennych , dlatego
znajdujemy :

∂

Ω

(

∂

Ω

) + ( d

Ω

) – v m

Ω

(15.2)

∂

Ω

= -a +

(

∂

Ω

) - ( d

Ω

) – v t (15.3)

∂

t =

(

∂

t) + v

Σ p

Ω

(15.4)

Ω

Stąd , zgodnie ze wzorami (13.5) , teorii ogólnej, obliczamy przekształcone zmienne i przekształcone funkcje
Hamiltona :
r^

Ω

= r

Ω

∂

Ω

= r

Ω

+ a + ( d

Ω

) - v t -

(dr

Ω

/dt ) (15.5)

Ω

= p

Ω

∂

Ω

= p

Ω

+ ( d

Ω

) - v m

Ω

(dp

Ω

/dt ) (15.6)

N
H^ = H -

∂

t = H - v

Σ p

Ω

(

∂

t ) (15.7)

Ω

Równości te przedstawiają wzory na przekształcenia odpowiednich wielkości , otrzymane przy pomocy
nieskończenie małej funkcji tworzącej.
Teraz wyjaśnię sens nieskończenie małych parametrów i rozpatrzę wzór dotyczący przekształcenia zmiennej
r^

Ω

. Widać , Ŝe :

a – określa przesunięcie przestrzenne
d – określa obrót przestrzenny.
v – określa ruch jednostajny.

- określa przesunięcie czasu.

Przy przekształceniach Lorentza czterowymiarowej przestrzeni , a i

opisują przesunięcie czasoprzestrzenne , a

d i v – obrót czasoprzestrzenny.
Mając do dyspozycji te wyniki zbadamy funkcje Hamiltona dla zamkniętego układu mechanicznego ,
składającego się z N punktów materialnych . Miedzy tymi punktami mogą działać siły potencjalne , które
zaleŜne są tylko od wartości róŜnicy wektorów wodzących punktów materialnych. A tego, na mocy
zachowawczości układu wynika , Ŝe :
N

H = T + U =

Σ ½ m

Ω

(dr

Ω

/dt )2 + U (r

ΩΓ

) (15.8)

Ω

lub :
N

H = ½

Σ ( p2

Ω

) + U (r

ΩΓ

) ( r

ΩΓ

= | r

Ω

- r

| ) (15.9)

Ω

Teraz nasze zadanie polega na tym aby znaleźć symetrię w tej funkcji Hamiltona, poniewaŜ zgodnie z ogólną
teorią , kaŜda symetria daje pewne prawo zachowania ( całkę pierwszą ).
Jak juŜ wspomniałem , wprowadzona powyŜej nieskończenie mała funkcja tworząca I wyczerpuje wszystkie
symetrię funkcji Hamiltona. NaleŜy równieŜ pokazać , Ŝe spełniona jest równość :
(

∂

t ) +

∆

^H = 0 (15.10)

Zgodnie ze wzorem (14.1) obliczmy wielkość :
N N

∆

^H = ½

Σ ( p^2

Ω

) + U (r^

ΩΓ

) – ½

Σ ( p2

Ω

) + U (r

ΩΓ

)

Ω

W to wyraŜenie naleŜy podstawić wartości czterech zmiennych p

Ω

, p^

Ω

, r^

Ω

, r

Ω

. Przy zmiennych

podniesionych do kwadratu ,naleŜy mieć na uwadze , Ŝe małe drugiego rzędu odrzucamy :
Obliczmy :
r^

ΩΓ

= | r

Ω

- r

| :

ΩΓ

= sqrt ( r^

Ω

- r^

) = sqrt { [ r

Ω

- r

+ d

( r

Ω

- r

) -

( r.

Ω

- r.

)]2 } =

= [ ( r

Ω

- r

)2 + 2 ( r

Ω

- r

) [d

( r

Ω

- r

)] - 2

( r

Ω

- r

) ( r.

Ω

- r.

)]1/2 (15.11)

Dalej mamy :
N

∆

^H = ½

Σ (1/m

Ω

)[ p^2

Ω

+ 2 p

Ω

) - 2m

Ω

v - 2

Ω

- p2

Ω

] +

Ω

U {[ ( r

Ω

- r

)2 + 2 ( r

Ω

- r

) [d

( r

Ω

- r

)] - 2 ( r

Ω

- r

) ( r.

Ω

- r.

)

]1/2 } – U (r

ΩΓ

) (15.12)

Uproszczając ( uwzględniając m.in. to ,Ŝe iloczyn mieszany wektorów do którego wchodzą równe czynniki jest
równy zeru ) otrzymamy :
N N

∆

^H = - v

Σ p

Ω

- ½

d/dt

Σ (p^2

Ω

/ m

Ω

) + U ( r

ΩΓ

sqrt [1- 2

d/dt ( ln (r

ΩΓ

)] ) – U(r

ΩΓ

) }

Ω

( o słuszności wyraŜenia stojącego pod pierwiastkiem moŜna się przekonać róŜniczkując je ).
Teraz moŜemy rozłoŜyć pierwiastek , wchodzący jako argument funkcji U, w szereg Taylora :
sqrt [1- 2

d/dt ( ln (r

ΩΓ

) ]

≈

1 -

d/dt [ ln (r

ΩΓ

) ] (15.13)

Zatem , rozkładając w szereg Taylora samą funkcję U otrzymamy :
N
U = U ( r

ΩΓ

d/dt [ ln (r

ΩΓ

) ] = U(r

ΩΓ

) - ½

Σ (

∂

ΩΓ

) (dr

ΩΓ

/dt) (15.14)

Ω

PoniewaŜ do sumy po prawej stronie , kaŜda ze składowych wchodzi dwukrotnie postawiliśmy przed znakiem
sumy czynnik ½ . W wyniku tego wyraŜenie

∆

^H przyjmuje postać :

N N N

∆

^H = - v

Σ p

Ω

- ½

d/dt

Σ (p^2

Ω

/ m

Ω

) - ½

Σ (

∂

ΩΓ

) (dr

ΩΓ

/dt) (15.15)

Ω

PoniewaŜ :
N N

dH/dt =1/2 d/dt

Σ (p^2

Ω

/ m

Ω

) + ½

Σ (

∂

ΩΓ

) (dr

ΩΓ

/dt) (15.16)

Ω

ostatecznie otrzymujemy :
N

∆

^H = - v

Σ p

Ω

dH/dt (15.17)

Ω

Teraz obliczmy pochodną zupełną względem czasu wielkości I :
N N
dI/dt =

∂

t +

∆

^H = v

Σ p

Ω

dH/dt - v

Σ p

Ω

dH/dt (15.18)

Ω

Z tego , na mocy równości (6.11) wynika warunek postaci :
dI/dt = 0 lub I = const. (15.19)
Zatem nasza nieskończenie mała funkcja tworząca jest stałą ruchu , rozpatrywanego układu mechanicznego.
Wyjaśnię teraz co oznacza taki wynik.
PoniewaŜ parametry wybrane zostały dowolnie , moŜna ustalić wartość jednego z nich , a pozostałe przyjąć
równe zeru. Wykonując kolejno tą procedurę do kaŜdego z parametrów, znajdujemy dla kaŜdego z nich stałą
wielkość , będącą mnoŜnikiem przy danym parametrze w wyraŜeniu (15.1). Rozpatrzmy otrzymywane w taki
sposób wyraŜenia :

1). a

≠

0 , d = 0 , v = 0 ,

= 0

Z (15.1) wynika równość :
N
a

Σ p

Ω

= const.

Ω

Zatem :
N

Σ p

Ω

= const. ( zachowanie pędu ) (15.20)

Ω

Zatem ,jak widać , prawo zachowania pędu otrzymaliśmy z symetrii funkcji Hamiltona , względem przesunięcia
przestrzennego. Dlatego w przestrzeni konfiguracyjnej wszystkie punkty są „równouprawnione” Ŝadnego z
punktów nie moŜna uprzywilejować. Własność ta nazywamy „jednorodnością przestrzeni”.

2).

≠

0 , d = 0 , v = 0 , a = 0

W tym przypadku z (15.1) wynika równość :

H = const.

i dlatego :
H = E = const. ( zachowanie energii )                                                                                                             (15.21)
Prawo zachowania energii jest wynikiem symetrii funkcji Hamiltona względem przesunięcia czasowego.
Dlatego Ŝadna chwila czasu nie jest uprzywilejowana , stwierdzenie to nazywamy „jednorodnością czasu”.

3).  d

≠

0 , a = 0 , v = 0 ,

= 0

Przy tych warunkach ze wzoru (15.1) otrzymujemy :
N
d

Σ ( r

Ω

) = const.

Ω

Odpowiednio zatem :
N
Σ ( r

Ω

) = const. ( zachowanie momentu pędu ) (15.22)

Ω

Jak widzimy prawo zachowania momentu pędu wynika z symetrii funkcji Hamiltona względem obrotu
przestrzennego. Własność ta nazywa się „izotropowością” przestrzeni.

4). v

≠

0 , a = 0 , d = 0 ,

= 0

Zgodnie ze wzorem (15.1) mamy :
N N
v [ t

Σ r

Ω

Σ m

Ω

] = const.

Ω

skąd otrzymujemy :
N N
Σ m

Ω

- t

Σ p

Ω

= const. (prawo zachowania prędkości środka masy ) (15.23)

Ω

Zatem , jednostajny i prostoliniowy ruch środka masy wynika z odpowiedniej symetrii funkcji Hamiltona. W
podejściu czterowymiarowym fakt ten dotyczy obrotu czasoprzestrzennego ( obrót lorentzowski ), któremu
odpowiada „izotropowość continuum czasoprzestrzennego )
Prawa zachowania pędu, momentu pędu i prędkości środka masy wyraŜone są równaniami wektorowymi , kaŜde
takie równanie równowaŜne jest trzem równaniom skalarnym, zatem te trzy prawa łącznie dają dziewięć stałych
ruchu. Przy spełnieniu wszystkich wskazanych powyŜej symetrii w mechanice istnieje dziesięć stałych ruchu
( włączając stałą energii )

16.MECHANIKA RELATYWISTYCZNA PUNKTU MATERIALNEGO W TRÓJWYMIAROWYM
FORMALIŹMIE.

Przy duŜych prędkościach ruchu mechanika Newtonowska nie jest juŜ słuszna i naleŜy stosować wzory
szczególnej teorii względności stworzonej przez A. Einsteina w 1905 roku. Mechanika relatywistyczna układu
punktów materialnych nie istnieje , poniewaŜ wysokoenergetyczne cząstki oddziałują wzajemnie w wyniku
czego występują zjawiska których wyjaśnienie wymaga wyjścia poza ramy mechaniki ( przykładowo : anihilacja
par cząstek i promieniowanie fal elektromagnetycznych ).
W relatywistycznym sformułowaniu równanie ruchu punktu zapisujemy następująco :

d/dt { m0 r

. / sqrt [ 1 – (

. 2 / c2 )] } = K (16.1)

Równanie to przedstawia uogólnienie równania ruchu Newtona.
W mechanice relatywistycznej masa nie jest stała ale jest zmienną dynamiczną, zaleŜną od prędkości :

m = m0 / sqrt ( 1 – ( r

. 2 / c2 ) ) ( masa relatywistyczna ) (16.2)

PokaŜe teraz , Ŝe moŜna przenieść do mechaniki relatywistycznej teorię Lagrange’a – Jakobiego w
trójwymiarowym sformułowaniu.
Zdefiniujmy działanie w sposób analogiczny jak wcześniej ( zobacz wyraŜenie ( 8.1 ) ) :
t1

S =

∫

L(r , r

, t ) dt + S0 (16.3)

t0
PoniewaŜ nie nakładamy na funkcję Lagrange’a Ŝadnych ograniczeń , zasadę Hamiltona otrzymamy równieŜ w
znanej postaci :

∫

L(r , r. , t ) dt = 0 , przyczym :

r ( t1) =

r (t0 ) = 0 (16.4)

t0
Odpowiednio zatem równanie Lagrange’a wygląda następująco :

r =

∂

r – d/dt (

∂

r. ) = 0 (16.5)

Równanie ruchu (16.1) moŜemy otrzymać przy pomocy relatywistycznej funkcji Lagrange’a :

L = m0 c

2 [ 1 – (

. 2 / c2 ) ]1/2 - U(r , r. , t ) (16.6)

RozłoŜenie wyraŜenia pod pierwiastkiem w szereg Taylora daje :

[ 1 – ( r

. 2 / c2 ) ]1/2

≈

1 – ½ (r. 2 / c2 ) (16.7)

JeŜeli rozpatrujemy małe prędkości w porównaniu z prędkością światła ( r

. 2 << c2 ) , to człony wyŜszych

rzędów moŜna odrzucić. Wtedy z dokładnością do stałej addytywnej , która jak wiadomo nie figuruje w
równaniach ruchu , otrzymujemy juŜ znaną postać funkcji Lagrange’a mechaniki newtonowskiej (4.24):

≈

- m0 c

2 + ½ m r. 2 – U (16.8)

PokaŜe teraz ,Ŝe ta relatywistyczna funkcja Lagrange’a prowadzi do prawidłowych równań ruchu. RóŜniczkując
ją znajdujemy :

∂

r = -

∂

r (16.9)

p =

∂

r. = { m0 r

. / sqrt [ 1 – (

. 2 / c2 ) ] } -

∂

r. (16.10)

Wprowadzając masę relatywistyczną (16.2) otrzymujemy :

p = mr. -

∂

r. (16.11)

Podstawmy to wyraŜenie do równania Lagrange’a :

d/dt ( mr. ) = -

∂

r +d/dt (

∂

r. ) (16.12)

Porównując go z równaniem ruchu otrzymamy wyraŜenie dla siły :

K = -

∂

r +d/dt (

∂

r. ) (16.13)

identyczne z wyraŜeniem (4.27).
Zastosujmy powyŜsze wzory do opisu ruchu cząstki naładowanej poruszającej się w dowolnym polu
elektromagnetycznym ( efekty kwantowo-mechaniczne pomijamy ) i sprawdźmy czy otrzymamy znany wzór :
K = eE + (e/c) v

B (16.14)

gdzie : E – jest natęŜeniem pola elektrycznego, B – jest natęŜeniem pola magnetycznego.
W danym przypadku potencjał uogólniony wygląda następująco :

U = e

- (e/c) Ar. (16.15)

Podstawiając ten potencjał do wzoru (16.13) otrzymamy :

K = e(

∂ϕ

∂

r) + (e/c)

∂

r < A ,r. > - (e/c) dA/dt (16.16)

Aby dojść do ogólnego wyraŜenia na siłę naleŜy przekształcić ten wynik. W tym celu przejdziemy od zapisu
wektorowego do zapisu we współrzędnych. ( Indeksy górne greckie przybierają wartości od 1 do 3 .
Zgodnie z umową sumacyjną stosujemy równieŜ sumowanie względem powtarzających się indeksów )
Mamy zatem :

= - e (

∂ϕ

∂

) + (e/c) (

∂

)x.

- (e/c) (

∂

/dt ) (16.17)

Przy tym uwzględniliśmy , Ŝe w formaliźmie Lagrange’a współrzędne i prędkości rozpatruje się jako zmienne
niezaleŜne. Dalsze przekształcenia pokazują , Ŝe :

= - e (

∂ϕ

∂

) + (e/c) [ (

∂

) – (

∂

)x.

- (

∂

/dt ) ] (16.18)

Przyjmując zaleŜność między natęŜeniami pól i potencjałem skalarnym

oraz wektorowym A, postaci :

E = - grad

- (1/c)

∂

t) , B = rot A (16.19)

lub w zapisie we współrzędnych :

= - (

∂ϕ

∂

) - (1/c) (

∂

t ) ; B1 = (

∂

A3/

∂

x2 ) – (

∂

A2/

∂

x3 ) itd (16.20)

wzory (16.18) dla

= 1 moŜna przedstawić w następującej postaci :

K1 = eE1 + (e/c) { [(

∂

A2/

∂

x1 ) – (

∂

A1/

∂

x2 )] x.2 – [(

∂

A1/

∂

x3 ) – (

∂

A3/

∂

x1 )] x.3 } =

= eE1 + (e/c)( B3x

.2 – B

.3 ) = eE

1 + (e/c)( v

B)1

Dla pozostałych składowych moŜna przeprowadzić analogiczne rachunki, otrzymując zapis we współrzędnych
wzoru (16.14) . Zatem pokazaliśmy , Ŝe (16.15) przedstawia prawidłowe wyraŜenie dla potencjału uogólnionego.
Następnym etapem będzie obliczenie funkcji Hamiltona z funkcji Lagrange’a – w tym celu wykorzystamy wzór
(6.2) :

H( r ,p , t ) = r. p – L( r, r. , t ) (16.21)
W naszym przypadku spełnione są równieŜ równania kanoniczne (6.9) – (6.11) których zapis wektorowy ma
postać :

r. =

∂

p ; p. = -

∂

r ; dH/dt =

∂

t = -

∂

t (16.22)

Podstawiając wyraŜenia (16.6) do wzoru (16.21) otrzymamy :

H = r. p + m0 c

2 sqrt [ 1 – (

. 2 / c2 ) ] + U (16.23)

PoniewaŜ H jest funkcją współrzędnych i pędu r. naleŜy wyrazić przez p. Jednak celowe wydaje się

przeprowadzić to następująco : na początku wyrazić p przez r. a potem przejść od r. do p .
Zgodnie z definicją pędu kanonicznego (6.4) :

p =

∂

r. = { r. m0 / sqrt [ 1 – ( r

. 2 / c2 ) ] } -

∂

r. (16.24)

Podstawiając to wyraŜenie do wzoru (16.23) , otrzymamy :

H = { r. m0 / sqrt [ 1 – ( r

. 2 / c2 ) ] } + m

0 c

2 sqrt [ 1 – (

. 2 / c2 ) ] + U – (

∂

r. ) r. =

= m0 c

2 + U - (

∂

r. ) r. (16.25)

Zatem , dochodzimy do interesującego wyniku. W mechanice relatywistycznej energii kinetycznej odpowiada

wielkość m0 c

2. Jednak do funkcji Lagrange’a wyraŜenie to nie wchodzi tj. w mechanice relatywistycznej juŜ

nie zachodzi zaleŜność postaci ;
L = T – U

Teraz zapiszemy w funkcji Hamiltona r. przez p dla przypadku ruchu cząstki naładowanej w polu
elektromagnetycznym. W tym celu podstawimy do wyraŜenia (16.25) potencjał uogólniony (16.15) , co pozwoli
otrzymać :

H = m c2 + e

= { m0 c

2 / sqrt [ 1 – (

. 2 / c2 ) ] } + e

(16.26)

Stąd wynika , Ŝe :

( H - e

)2 = m0

2 c2 / [ 1 – (

. 2 / c2 ) ] (16.27)

I dalej , zgodnie ze wzorem (16.24) *) ZauwaŜmy ,Ŝe tutaj nie spełniona jest równość p = mr. , chociaŜ
wykorzystujemy współrzędne kartezjańskie. *) :

p = { r. m0 / sqrt [ 1 – ( r

. 2 / c2 ) ] } + (e/c) A = mr. + (e/c) A (16.28)

skąd :

[ p – (e/c) A ]2 = m0

. 2 / [ 1 – (

. 2 / c2 ) ] (16.29)

Rozwiązując to równanie względem r

. 2 / c2 , otrzymamy :

r. 2 / c2 = ( 1/c2 )[ p – (e/c) A ]2 / [ m0

2 + ( 1/c2 )[ p – (e/c) A ]2 (16.30)

I dalej :

1 - ( r

. 2 / c2 ) = { 1 + (1/m

2 c2 ) [ p – (e/c) A ]2 }-1 (16.31)

I ostatecznie (16.27) moŜemy zapisać w następujący sposób :

( H - e

)2 = m0

2 c4 + c2 [ p – (e/c) A ]2 (16.32)

Przy podstawieniu do tego równania następujących zaleŜności :
p =

∂

r ; H = -

∂

t (16.33)

(jak to było robione przy wyprowadzaniu równania Hamiltona – Jakobiego ) , otrzymujemy równanie Hamiltona
- Jakobiego dla cząstki relatywistycznej poruszającej się w polu elektromagnetycznym :

[ (

∂

r) – (e/c) A ]2 – (1/c2 ) [ (

∂

t) + e

]2 + m0

2 c2 = 0 (16.34)

W dalszej kolejności będziemy przyjmowali , Ŝe indeksy łacińskie przyjmują wartości od 1 do 4 , zgodnie z
liczbą wymiarów czasoprzestrzeni. Umowa sumacyjna pozostaje w mocy.
W zapisie czterowymiarowym równanie (16.34) znacznie się upraszcza. Wektor wodzący ma cztery składowe :

xi = ( x, y, z , ct ) (16.35)
a czteropotencjał ma postać :

Ai = ( A, -

) = ( A1, A2 , A3 , -

) (16.36)

W STW tensor metryczny ma postać :

gij = g

ij = ( 1 0 0 0 ) (16.37)

                  (  0  1  0  0  )
                  (  0  0  0  1  )
                  (  0  0  0 –1  )
Po uwzględnieniu tych zaleŜności równanie (16.34) przyjmuje postać :

gij [ (

∂

xi ) – (e/c) Ai ] [ (

∂

xi ) – (e/c) Aj ] + m0

2 c2 = 0 (16.38)

Jest to relatywistyczne równanie Hamiltona –Jakobiego . Poprzez niego ustanawia się związek z równaniem
Kleina-Gordona mechaniki kwantowej , opisującym ruch relatywistyczny cząstki przy braku spinu.

ĘŚĆ B

KLASYCZNA TEORIA POLA

17. WPROWADZENIE W TEORIE POLA.

Ta część ksiąŜki poświęconą jest klasycznej teorii pola. Na pierwszy plan wysuniemy formalizm kanoniczny,
mając wzgląd na prostotę i objętość ksiąŜki , nie będę jednak poruszał zagadnień metodologicznych związanych
z poruszanym tematem. Podstawowa ideą wykładu klasycznej teorii pola będzie polegała na wyjaśnieniu do
jakiego stopnia moŜna wykorzystać w klasycznej teorii pola, pojęcia mechaniki klasycznej i odpowiadający jej
formalizm. Jak pokaŜę – na klasyczna teorie pola ,moŜna przenieść całe rozdziały formalizmu Hamiltona –
Lagrange’a ; dlatego zasada Hamiltona , równania Lagrange’a i równania Hamiltona związane są ze sobą w taki
sam sposób jak w mechanice kanonicznej. Oczywiście pojęcia mechaniczne naleŜy rozszerzyć w taki sposób aby
miały one sens w teorii pola.
Podczas gdy w mechanice centralne miejsce zajmuje układ składający się z N-punktów materialnych , przy
czym proces ruchu opisujemy za pomocą wektorów wodzących lub współrzędnych uogólnionych :
rΩ = rΩ ( t )   lub  qk  = qk(t)                                                                                                                            (17.1)
w klasycznej teorii pola mamy do czynienia z układem pól klasycznych , który w ogólnym przypadku składa się
z pól róŜnych rodzajów ( postaci ). Układ ten moŜna opisać za pośrednictwem N funkcji polowych ( funkcji pól )

UΩ = UΩ (x

i ) = UΩ (r , t ) (17.2)

Indeksy :

Ω

itd. w tej części ksiąŜki przybierają wartości od 1 do N , jednak w obecnym przypadku N posiada

inny sens fizyczny.
Porównując równania (17.1) i (17.2) moŜemy ustanowić pewną analogię :

rΩ ( lub qk )

→

UΩ ; t

→

xi (17.3)

Zatem – uogólnionym współrzędnym mechaniki odpowiadają funkcje polowe , a mechanicznemu parametrowi

czasu - cztery czasoprzestrzenne współrzędne galileuszowe (xi ) = ( x

, ct). W teorii względności

współrzędne przestrzenne x

i współrzędna czasowa t , są nierozłącznie związane , wiąŜe się to z tym ,Ŝe tylko

przy takim związku jest słuszna STW , zgodnie z ta teorią prawa przyrody zapisane we współrzędnych
Galileusza , zachowują swoja formę przy przejściu od jednego IUO do drugiego IUO tj. przy przekształceniach
Lorentza
( mówimy wtedy o inwariantności lub kowariantności praw przyrody )  ( inwariantność i kowariantność to dwa
róŜne ( ogólnie ) pojęcia  - przypis własny )
Z drugiej strony , równieŜ w teorii pola przy opisie procesu ruchu czas odgrywa odmienną role niŜ współrzędne
przestrzenne  - ruch w ogólności odbywa się bowiem w czasie.
Jednak zgodnie z wyraŜeniem (17.2) do funkcji pola razem z czasem wchodzi wektor wodzący w postaci trzech
parametrów zmieniających się w sposób ciągły. Dlatego w odróŜnieniu od mechaniki w której mieliśmy
skończoną liczbę stopni swobody, w teorii pola mówimy o układach z nieskończoną  ( nieprzeliczalną ) liczbą
stopni swobody.

18. ZASADA HAMILTONA.

W teorii pola funkcja Lagrange’a L przedstawia sobą całkę względem ustalonego obszaru w trójwymiarowej
przestrzeni współrzędnych , funkcje podcałkową nazywamy „gęstością lagranŜjanu” ₤ :

L =

∫

₤ ( UΩ ,

∂

UΩ/

∂

r ,

∂

UΩ/

∂

t , r , t ) d3x (18.1)

V3
Gęstość lagranŜjanu zaleŜy od funkcji pola i ich pochodnych , jak równieŜ moŜe zaleŜeć w sposób jawny od
współrzędnych przestrzennych i czasu. Analogia z funkcją Lagrange’a (4.24) jest oczywista. W zapisie
relatywistycznym gęstość lagranŜajnu ma postać :

₤ = ₤ ( UΩ , UΩ | i , xi ) (18.2)
przy czym kreska pionowa w indeksie oznacza pochodną cząstkową :

UΩ | i =

∂

UΩ/

∂

xi (18.3)

Wprowadzona w taki sposób gęstość lagranŜjanu nazywa się „gęstością lagranŜjanu pierwszego rzędu”,
poniewaŜ wchodzą do niej tylko pochodne pierwszego stopnia.
Gęstość lagranŜjanu odgrywa w teorii pola tak waŜną rolę jak funkcja Lagrange’a w mechanice. Aby oparta na
tych podstawach teoria była zgodna z STW , gęstość lagranŜjanu powinna być relatywistycznym inwariantem.
Związane z postawionym tematem problemy będziemy dokładnie rozpatrywać w dalszym ciągu pracy.
Całkując równość (18.1) względem czasu od t0 do t oraz uwzględniając , Ŝe czterowymiarowy element objętości
d4x = d3x dx4  = c d3x dt                                                                                                                                 (18.4)
jest równieŜ relatywistycznym inwariantem, otrzymujemy ( analogicznie do (8.1) ) następujące relatywistyczne
wyraŜenie dla działania S :
        t

S =

∫

₤ d3x dt = (1/c)

∫

₤d4x (18.5)

t0 V3 V3
Przy tym czterowymiarowa objętość , względem której całkujemy , określona jest odpowiednim zapisem
trójwymiarowym. Dlatego dla ustalonego czterowymiarowej objętości czasoprzestrzennej działanie równieŜ jest
inwariantem. Dla uproszczenia wywodów będziemy , gdzie tylko to będzie moŜliwe posługiwali się
czterowymiarową forma zapisu. Oprócz tego , przypomnimy przyjęte wcześniej zasady :
1). litery greckie w indeksach przybierają wartości od 1 do 3
2). litery łacińskie w indeksach przybierają wartości od 1 do 4
3). duŜe litery greckie

Ω

itd. w indeksach przybierają wartości od 1 do N ( N – liczba funkcji polowych )

Dla wszystkich postaci indeksów stosujemy Einsteinowska umowę o sumowaniu , przy czym sumowanie
prowadzimy względem wszystkich zmiennych odpowiadającym wymiarom danej przestrzeni. Wprowadzimy
zapis w taki sposób aby z dwóch jednakowych indeksów , względem których prowadzimy sumowanie , jeden

był kowariantny (dolny ) drugi kontrawariantny (górny ). Przy tym operator róŜniczkowy

∂

i =

∂

xi uwaŜamy za

wielkość kowariantną , a operator róŜniczkowy :

∂

i =

∂

xi = g

∂

j – za wielkość kontrawariantną.

Tak jak i wcześniej będziemy wykorzystywali rzeczywiste współrzędne Galileusza xi. W porównaniu ze

współrzędnymi Minkowskiego ( x

, i ct ) posiadają one ta własność , Ŝe nie wnoszą warunkowej ( sztucznej )

zespoloności, zatem ciało liczb zespolonych pojawia się tylko w związku teorią kwantową. I w tym przypadku
naleŜy ściśle przestrzegać rozróŜnienia między indeksami ko- i kontrawariantnymi.
Teraz , po takim przygotowaniu moŜemy uogólnić równość (4.30) – formułując zasadę Hamiltona jako zasadę
kowariantną relatywistycznie. Zapiszemy ją następująco :

∫

₤ ( UΩ , UΩ | i , x

i ) d4x = 0 (18.6)

V4
Wariację funkcji polowych bierzemy w standardowy sposób stosowany w rachunku wariacyjnym. Analogicznie
do warunku (4.22) funkcje polowe powinny być stałe na granicy całkowania obszaru V4 :

UΩ | V4 = 0 (18.7)

19. RÓWNANIA LAGRANGE’A

W tym rozdziale wyprowadzimy dla teorii pola analog równań mechanicznych Lagrange’a. Jak wiadomo w
mechanice równania te przedstawiają sobą równania ruchu układu mechanicznego. W teorii pola równania
Lagrange’a równieŜ naleŜy rozpatrywać jako równania ruchu układu. Teraz jednak nazywają się one
„równaniami pola”.

Obliczmy wariację działania w zasadzie Hamiltona :

∫

₤ ( UΩ , UΩ | i , x

i ) d4x =

∫

[ (

∂

₤/

∂

UΩ )

UΩ + (

∂

₤/

∂

UΩ | i )

UΩ | i ] d

4x = 0 (19.1)

V4 V4
zmieńmy porządek operacji wariowania i róŜniczkowania, wtedy otrzymamy :

∫

[ (

∂

₤/

∂

UΩ )

UΩ + (

∂

₤/

∂

UΩ | i ) (

UΩ ) | i ] d

4x = 0

V4
lub :

∫

{ (

∂

₤/

∂

UΩ )

UΩ + [ (

∂

₤/

∂

UΩ | i )

UΩ ] | i – [ (

∂

₤/

∂

UΩ | i ) | i

UΩ ] } d

4x = 0 (19.2)

V4
W dalszych przekształceniach wykorzystamy twierdzenie Gaussa – Ostrogradskiego dla czterowymiarowej
przestrzeni. Przypomnijmy wektorowy zapis tego twierdzenia dla przypadku trójwymiarowego :

∫

div a d3x =

∫

a d

V3 V3
PoniewaŜ zapis wektorowy jest charakterystyczny dla przestrzeni trójwymiarowej ale nie wygodny dla
przypadku czterowymiarowego , przepisze to twierdzenie do zapisu indeksowego :

∫

3x =

∫

dσ

(19.3)

V3 V3
Przy tym tensorowy element powierzchni dσ

określony jest w następujący sposób :

dσ

= ½

εµαβ

αβ

(19.4)

gdzie :

εµαβ

- jest trójwymiarowym tensorem Levi-Civity, charakteryzującym się własnością absolutnej

antysymetrii , zatem :

123 = 1 (19.5)

αβ

- jest trójwymiarowym tensorowym elementem o określonej ( wewnętrznie ) orientacji , przy pewnym

specjalnym wyborze współrzędnych ma on postać :

( dV

αβ

) = ( 0 dx

-dx

3 ) (19.6)

( -dx1 dx

0 dx

3 )

( dx1 dx

-dx

3 0 )

W szczególności , wynika z tego , Ŝe :

dσ1 = dx

; dσ2 = dx

; dσ3 = dx

(19.7)

W przestrzeni trójwymiarowej twierdzenia Gaussa- Ostrogradskiego dowodzimy tak samo jak w przestrzeni
trójwymiarowej , co prowadzi to do następującej, analogicznej do (19.3) postaci :

∫

am | m d

4x = i

∫

am dfm (19.8)

V4 V4
Trójwymiarowy element tensorowy hiperpowierzchni w czterowymiarowej przestrzeni zdefiniowany jest
następująco :

dfm = (1/6i )

mijk dV

ijk

(19.9)

mijk – jest czterowymiarowym tensorem Levi-Civity , równieŜ absolutnie antysymetrycznym , zatem o

własności :

1234 = 1 (19.10)

dVijk - jest absolutnie antysymetrycznym czterowymiarowym elementem tensorowym o określonej orientacji.
Do wzoru (19.8) celowo wprowadzono mnoŜnik i , poniewaŜ będzie on miał związek z liczbą wymiarów
przestrzennych.
Wykorzystamy twierdzenie Gaussa – Ostrogradskiego w celu przekształcenia drugiej składowej równości (19.2)
w całkę po hiperpowierzchni :

∫

[ (

∂

₤/

∂

UΩ | i ) | i

UΩ ] d

4x = i

∫

[ (

∂

₤/

∂

UΩ | i )

UΩ ]

∂

(poprzez

∂

V4 oznaczam brzeg hiperpowierzchni V4- przypis własny )

PoniewaŜ zgodnie z załoŜeniem (18.7) funkcje polowe są ustalone i stałe na brzegu czterowymiarowej
powierzchni całkowania , funkcja podcałkowa na brzegu hiperpowierzchni V4 staje się równa zeru , zatem cała
całka jest równa zeru. Dlatego w miejsce wzoru (19.2) mamy :

∫

[ (

∂

₤/

∂

UΩ ) - (

∂

₤/

∂

UΩ | i ) ]

UΩ d

4x = 0 (19.11)

V4
Na mocy dowolności wyboru wielkości

UΩ , z równości zeru całki wynika równość zeru funkcji podcałkowej.

Tym samym otrzymujemy równania Lagrange’a teorii pola :
(

₤/

UΩ ) = (

∂

₤/

∂

UΩ ) – (

∂

₤/

∂

UΩ | i ) | i = 0 (19.12)

równania te wyraŜają ten fakt , Ŝe „pochodna wariacyjna” gęstości lagranŜjanu jest równa zeru. Struktura tych
równań odpowiada strukturze równań mechaniki Lagrange’a.
PoniewaŜ wyszliśmy od inwariantnego działania a następnie prowadziliśmy rachunki w sposób kowariantny ,
równania Lagrange’a są kowariantne. Odpowiednio zatem , spełniają one warunki STW i dlatego zapisane być
mogą w jednakowy sposób w dowolnym IUO.

20. RÓWNANIA HAMILTONA.

W teorii pola moŜna wprowadzić równania przedstawiające sobą analog równań mechaniki Hamiltona. W tym
celu wprowadzimy – analogicznie do pojęcia pędu kanonicznego (6.4) wielkości :

ΠΩ

i =

∂

₤ /

∂

UΩ | i (20.1)

Podczas gdy w mechanice mają miejsce zaleŜności :

→

pk =

∂

p.k

w teorii pola istnieje zaleŜność relatywistyczna :

UΩ

→

ΠΩ

i =

∂

₤ /

∂

UΩ | i (20.2)

W mechanice - jednej uogólnionej współrzędnej qk w miarę sposobności odpowiada jeden pęd uogólniony pk .
Jeśli jednak w teorii pola ściśle trzymać się zasad formalnych, to jednej funkcji pola UΩ naleŜało by

przyporządkować cztery wielkości postaci :

ΠΩ

i .

Wymaganie zgodności z ideami mechaniki zmusza nas jednak do odejścia od tej „dyrektywy” i wprowadzenia
pojęcia pędu stowarzyszonego z polem :

ΠΩ

i = (1/c)

ΠΩ

4 = (1/c)

∂

₤ /

∂

UΩ | 4 =

∂

₤ /

∂

(

∂

UΩ | t ) (20.3)

Zatem otrzymujemy następujące przyporządkowanie :

UΩ

→

ΠΩ

(20.4)

jednak jest ono okupione tym ,Ŝe wydzielamy czwartą składową (czas) i tym samym wychodzimy poza ramy
ścisłego czterowymiarowego formalizmu.
Analogicznie do funkcji Hamiltona (6.2) wprowadzamy w teorii pola „gęstość hamiltonianu” :

Ħ =

ΠΩ

(

∂

UΩ/

∂

t) - ₤ =

ΠΩ

4 UΩ | 4 - ₤ (20.5)

Tutaj jednak równieŜ odchodzimy od kowariantności , poniewaŜ przy określaniu w/w wielkości wydzielamy
czas. Odpowiednio zatem otrzymywane z tego równania Hamiltona nie powinny pojawiać się w
czterowymiarowym formaliźmie. Osiągamy tutaj pewną granicę ,do której moŜna jeszcze stosować idee
mechaniki.
Zbudujmy róŜniczkę zupełną wielkości Ħ :

dĦ = (

∂

UΩ/

∂

t) d

ΠΩ

d (

∂

UΩ/

∂

t) – (

∂

₤ /

∂

UΩ ) - (

∂

₤ /

∂

UΩ | i ) dUΩ | i - (

∂

₤ /

∂

xi )jaw dx

i (20.6)

Zapis (

∂

₤ /

∂

xi )jaw – oznacza pochodną względem współrzędnej x

i wchodzącej w sposób jawny do funkcji ₤ ,

w charakterze zmiennej niezaleŜnej. Wielkości (

∂

₤ /

∂

xi ) i (

∂

₤ /

∂

xi )jaw – związane są następującymi

zaleŜnościami :

(

∂

₤ /

∂

xi ) = (

∂

₤ /

∂

UΩ )UΩ | i + (

∂

₤ /

∂

UΩ | i ) UΩ | j | i + (

∂

₤ /

∂

xi )jaw (20.7)

Z zaleŜności :

ΠΩ

(

∂

UΩ/

∂

t) - (

∂

₤ /

∂

UΩ | i ) UΩ | i = - (

∂

₤ /

∂

UΩ |

) UΩ |

(20.8)

Wynika , Ŝe :

dĦ = (

∂

UΩ/

∂

t) d

ΠΩ

- (

∂

₤ /

∂

UΩ ) dUΩ - (

∂

₤ /

∂

UΩ |

) UΩ |

- (

∂

₤ /

∂

xi )jaw dx

i (20.9)

Stąd widać , Ŝe Ħ ma postać :

Ħ = Ħ ( UΩ , UΩ |

ΠΩ

, xi ) (20.10)

jeśli UΩ i

ΠΩ

są niezaleŜne. Będziemy rozwijać teorię właśnie dla takiego przypadku.

MoŜemy teraz zapisać następujące równania :

∂

UΩ/

∂

t =

∂

Ħ/

∂ΠΩ

;

∂

Ħ/

∂

UΩ = -

∂

₤ /

∂

UΩ (20.11)

∂

Ħ/

∂

UΩ |

∂

₤ /

∂

UΩ |

; (

∂

Ħ/

∂

xi )jaw = - (

∂

₤ /

∂

xi )jaw (20.12)

I dalej – dokonamy pewnego przekształcenia równania Lagrange’a :

∂

₤ /

∂

UΩ = (

∂

₤ /

∂

UΩ | i ) | i = (

∂

₤ /

∂

UΩ |

) |

∂

t [ (

∂

₤ /

∂

(

∂

UΩ /

∂

t ) ] =

= (

∂

₤ /

∂

UΩ |

) |

∂ΠΩ

∂

t (20.13)

Stąd wynika , Ŝe :

∂ΠΩ

∂

t = (

∂

₤ /

∂

UΩ ) - (

∂

₤ /

∂

UΩ |

) |

(20.14)

Podstawiając te wyraŜenia do układu (20.11) daje równania Hamiltona teorii pola :

∂

UΩ /

∂

t =

∂

Ħ/

∂ΠΩ

;

∂ΠΩ

∂

t = - [ (

∂

Ħ/

∂ΠΩ

) - (

∂

₤ /

∂

UΩ |

) |

] (20.15)

Równania te moŜna przybliŜyć do postaci podobnej do równań mechaniki Hamiltonowskiej , jeśli wprowadzić
pojęcie – „pochodnej funkcjonalnej”. Pochodne funkcjonalne od pewnego wyraŜenia całkowego :

F =

∫

f( UΩ , UΩ |

ΠΩ

, xi ) d3x (20.16)

V3
definiujemy w następujący sposób :
*) NaleŜy zauwaŜyć , Ŝe autor rozróŜnia pochodną wariacyjną i funkcjonalną – przypis redaktora *)

∂Φ

UΩ =

∂

UΩ – (

∂

UΩ |

) |

;

∂Φ

∂ΦΠΩ

∂

∂ΠΩ

(20.17)

Przedstawimy funkcję Hamiltona jako całkę gęstości hamiltonianu względem przestrzennej objętości :

H =

∫

Ħ ( UΩ , UΩ |

ΠΩ

, xi ) d3x (20.18)

V3
Biorąc pochodne funkcjonalne od H i podstawiając je do powyŜszego równania Hamiltona , otrzymamy :

∂

UΩ /

∂

t =

∂Φ

∂ΦΠΩ

;

∂ΠΩ

∂

t = -

∂Φ

UΩ (20.19)

tj. ustanowiliśmy daleko idącą formalną odpowiedniość z równaniami mechaniki Hamiltona (6.9).
*) ZauwaŜmy , Ŝe równania Lagrange’a teorii pola (19.12) zapisane przez pochodne funkcjonalne funkcji
Lagrange’a L (18.1) mają postać :

∂Φ

UΩ = -

∂

t [

∂Φ

(

∂

UΩ/

∂

t) ] = 0

i formalnie odpowiadają mechanicznym równaniom Lagrange’a (5.2) – przypis redaktora *)

21. ZAPIS FORMALIZMU HAMILTONA PRZY POMOCY NAWIASÓW POISSONA.

Na początku wyjdziemy od tych samych idei od jakich wyszliśmy definiując nawiasy Poissona w mechanice, w
tym celu rozpatrzymy dwie funkcje f , g , o następującej postaci :

f = f ( UΩ , UΩ |

ΠΩ

, xi ) ; g = g( UΩ , UΩ |

ΠΩ

, xi ) (21.1)

Dalej wprowadzimy wielkości F ,G jako całki względem przestrzennej objętości , funkcji f i g :

F =

∫

f d3x ; g =

∫

g d3x ; (21.2)

V3 V3
Nawiasy Poissona od F i G definiujemy przez pochodne funkcjonalne (20.17) w następujący sposób :

[ F, G ] =

∫

{ (

∂Φ

UΩ ) (

∂Φ

∂ΦΠΩ

) – (

∂Φ

UΩ )(

∂Φ

∂ΦΠΩ

) } d3x (21.3)

V3
Wykorzystując tą definicję , obliczymy nawiasy Poissona dla pewnych funkcji F , G szczególnej postaci.
Otrzymane wyniki odgrywają waŜną rolę przy formalnym przejściu do kwantowej teorii pola. Przy wyborze
jednej z tych funkcji – funkcji Hamiltona H otrzymamy :

[ F, H ] =

∫

{ (

∂Φ

UΩ ) (

∂Φ

∂ΦΠΩ

) – (

∂Φ

UΩ )(

∂Φ

∂ΦΠΩ

) } d3x (21.4)

V3
Zamieniając pochodne funkcjonalne od H równymi im na mocy równań Hamiltona wyraŜeniami (20.19) i
zapisując pochodne funkcjonalne od F w postaci (20.17) dochodzimy do następującego wyniku :

[ F , H ] =

∫

{ (

∂

UΩ – (

∂

UΩ |

) |

)(

∂

UΩ /

∂

t) + (

∂

∂ΠΩ

)(

∂ΠΩ

∂

t) }d3x (21.5)

V3
Pozbywając się nawiasów w wyraŜeniu pod całkowym oraz wykorzystując wzory dla pochodnej iloczynu ,
otrzymujemy :

[ F , H ] =

∫

{ (

∂

UΩ )(

∂

UΩ/

∂

t ) - (

∂

UΩ |

)(

∂

UΩ /

∂

t) + (

∂

UΩ |

)(

∂

UΩ |

∂

t) +

+ (

∂

∂ΠΩ

)(

∂ΠΩ

∂

t) }d3x (21.6)

Zastosujmy do drugiej składowej po prawej stronie tego równania twierdzenie Gaussa- Ostrogradskiego :

∫

(

∂

UΩ |

) (

∂

UΩ /

∂

t) d3x =

∫

(

∂

UΩ |

) (

∂

UΩ /

∂

t)dσ

(21.7)

∂

Jeśli przyjmiemy ,Ŝe przy przejściu granicznym do całki po nieskończonej objętości , funkcja całkowa w całce
po powierzchni dąŜy do zera szybciej niŜ pole obszaru tej powierzchni dąŜy do nieskończoności , to całka ta
dąŜyć będzie do zera.
PoniewaŜ :

∂

t = (

∂

UΩ )(

∂

UΩ /

∂

t) + (

∂

UΩ |

)(

∂

UΩ |

∂

t) + (

∂

UΩ )(

∂ΠΩ

∂

t) + (

∂

t )jaw (21.8)

to mamy :

[ F , H ] =

∫

[ (

∂

t) - (

∂

t )jaw ] d

3x (21.9)

V3
Teraz moŜna dokonać całkowania , poniewaŜ operacje – całkowania względem czasu i całkowania względem
objętości przestrzennej są zamienne, w wyniku tego otrzymujemy :
dF/dt =

∂

t + [ F , H ] (21.10)

Jest to „równanie ruchu“ dla wielkości F w teorii pola. Podstawiając , w szczególności F = H , otrzymamy :
dH/dt =

∂

t (21.11)

Jeśli funkcja Hamiltona nie zaleŜy w sposób jawny od czasu to H jest stałą ruchu i moŜna utoŜsamić powyŜszą
zaleŜność z prawem zachowania energii.
dH/dt = 0                                                                                                                                                          (21.12)
lub
H = const.                                                                                                                                                         (21.13)
W teorii pola nie przypadkowo wybraliśmy dla funkcji Lagrange’a L, funkcji Hamiltona H i działania S te same
symbole co i w mechanice. Nie bacząc na rozszerzenie fizycznych aspektów , mamy do czynienia z tą samą
fizyczna treścią  - odpowiada to ciągłości procesu rozwoju fizyki.

Zastosujemy teraz ogólne równania ruchu (21.10) do przypadków : F = UΩ i F =

ΠΩ

. Zgodnie z zaleŜnościami

(21.2) wykorzystamy przy tym wyraŜenia całkowe dla wielkości UΩ i

ΠΩ

, wyraŜonych przy pomocy funkcji

delta Diraca :

UΩ (x

, t ) =

∫

UΩ (

ξµ

, t )

ξµ

)d3

(21.14)

ΠΩ

, t ) =

∫

ΠΩ

(

ξµ

, t )

ξµ

)d3

(21.15)

V3
PoniewaŜ nie występuje tutaj jawna zaleŜność od czasu , z równania (21.10) otrzymujemy następujące
„równanie ruchu” dla funkcji polowych i pędów sprzęŜonych :

∂

UΩ /

∂

t = [ UΩ , H ] ;

∂ΠΩ

∂

t = [

ΠΩ

, H ] (21.16)

Równania te są „równaniami polowymi Hamiltona“ zapisanymi przez nawiasy Poissona.
PoniŜej obliczymy nawiasy Poissona dwóch funkcji polowych od dwóch funkcji pędów stowarzyszonych. Mając
na uwadze zastosowania kwantowomechaniczne , będziemy równieŜ mówić o zaleŜnościach komutacyjnych.
Przy obliczeniach będziemy wykorzystywali reprezentacje całkowe (21.14) i (21.15). Zgodnie z ogólną teorią
zakładamy :

F = UΩ (x

, t ) i f = UΩ (

ξµ

, t )

ξµ

) (21.17)

jak równieŜ :

G =

ΠΩ

, t ) i g =

ΠΩ

(

ξµ

, t )

ξµ

) (21.18)

Nawiasy Poissona od dwóch funkcji polowych zapisujemy następująco :

[ UΩ(x

, t ) ,U

(x^

, t )] =

∫

{(

∂Φ

UΩ /

∂Φ

)(

∂Φ

∂ΦΠΛ

) – (

∂Φ

)(

∂Φ

UΩ /

∂ΦΠΛ

) }d3

(21.19)

V3
naleŜy przy tym, wnikliwie śledzić względem jakiego argumentu bierzemy pochodne.
Zgodnie z definicją pochodnej funkcjonalnej (20.17) , otrzymujemy :

(

∂Φ

∂ΦΠΛ

) =

∂

∂Π

ξµ

) } = 0 (21.20)

co jest konsekwencją m.in. tego , Ŝe funkcje polowe U

i funkcje pędu

ΠΛ

zakładamy jako niezaleŜne jedna od

drugiej. Zatem z równości (21.19) wynika zaleŜność komutacyjna :

[ UΩ (x

, t ) , U

(x^

, t )] = 0 (21.21)

Obliczymy teraz nawiasy Poissona od dwóch funkcji pędów

ΠΩ

ΠΓ

[

ΠΩ

, t ),

ΠΓ

(x^

, t ) ] =

∫

{(

∂ΦΠΩ

∂Φ

)(

∂ΦΠΓ

∂ΦΠΛ

) – (

∂ΦΠΓ

∂Φ

)(

∂ΦΠΩ

∂ΦΠΛ

) }d3

(21.22)

V3
Następnie ponownie wykorzystamy definicję pochodnej funkcjonalnej (20.17) i znajdziemy :

(

∂ΦΠΩ

∂Φ

) =

∂

{

ΠΩ

ξµ

) } – {

∂

(

ΠΩ

ξµ

) ) }|

= 0 (21.33)

co wynika z tego , Ŝe wielkości

ΠΩ

i U

równieŜ rozpatrujemy jako niezaleŜne. Dlatego teŜ z równości

(21.22) wynika zaleŜność komutacyjna :

[

ΠΩ

, t ),

ΠΓ

(x^

, t ) ] = 0 (21.24)

Na zakończenie wprowadzimy zaleŜności komutacyjne zawierające funkcje polową UΩ i funkcje pędu

ΠΓ

[UΩ (x

, t ),

ΠΓ

(x^

, t ) ] =

∫

{

∂

[ UΩ

ξµ

)]

∂

∂ΠΛ

[ (

ΠΓδ

(x^

ξµ

)] -

∂

[

ΠΓδ

(x^

ξµ

)]

∂

∂ΠΛ

[ UΩ

ξµ

)] }d3

(21.25)

Ostatnia składowa zeruje się na mocy niezaleŜności U

ΠΓ

. Uwzględniając wyniki róŜniczkowania :

∂

[ UΩ

ξµ

)] =

Ω

ξµ

) (21.26)

∂

∂ΠΛ

[ (

ΠΓδ

(x^

ξµ

)] =

δΛΓ

Ω

(x^

ξµ

) (21.27)

dochodzimy do równości :

UΩ (x

, t ),

ΠΓ

(x^

, t ) ] =

∫

{

Ω

ξµ

)

δΛΓ

Ω

(x^

ξµ

) }d3

(21.28)

V3
Stąd poprzez całkowanie otrzymujemy zaleŜność komutacyjną :

[UΩ (x

, t ),

ΠΓ

(x^

, t ) ] =

Ω

- x^

) (21.29)

W odróŜnieniu od poprzednich wyników teraz nawiasy Poissona są róŜne od zera, jeśli zawierają one funkcje
polową i odpowiadającą jej funkcję pędu, przy czym wartości obu tych wielkości brane są w jednej i tej samej
chwili czasu i w jednym i tym samym punkcie przestrzeni.
Na zakończenie tego rozdziału obliczymy jeszcze nawiasy Poissona od dowolnej wielkości F i funkcji polowej

UΩ , oraz od dowolnej wielkości F i funkcji pędu

ΠΩ

. Mamy zatem :

[ F, UΩ (x

, t ) ] =

∫

{(

∂Φ

)(

∂Φ

UΩ /

∂ΦΠΛ

) – (

∂Φ

UΩ /

∂Φ

)(

∂Φ

∂ΦΠΛ

) }d3

(21.30)

W wyraŜeniu podcałkowym pierwsza składowa zeruje się na mocy niezaleŜności UΩ i

ΠΛ

, zatem pozostaje :

[ F, UΩ (x

, t ) ] =

∫

{

Ω

(

∂

f /

∂ΠΛ

)

ξµ

) }d3

(21.31)

V3
Po całkowaniu otrzymujemy :

[ F , UΩ ] = - (

∂Φ

∂ΦΠΩ

) (21.32)

Analogicznie prowadzimy obliczenia dla :

[ F ,

ΠΩ

, t ) ] =

∫

{(

∂Φ

)(

∂Φ

ΠΩ

∂ΦΠΛ

) – (

∂Φ

ΠΩ

∂Φ

)(

∂Φ

∂ΦΠΛ

) }d3

(21.33)

V3
Teraz zeruje się druga składowa w wyraŜeniu podcałkowym , zatem pozostaje :

[ F ,

ΠΩ

, t ) ] =

∫

{ [ (

∂

) - (

∂

) |

]

δΛΩ

ξµ

) }d3

(21.34)

V3
Zatem poprzez całkowanie otrzymujemy :

[ F ,

ΠΩ

, t ) ] =

δΛΩ

[ (

∂

) - (

∂

) |

] = (

∂

Ω

) - (

∂

Ω

) |

(21.35)

lub – przy wykorzystaniu pochodnej funkcjonalnej :

[ F ,

ΠΩ

] = (

∂Φ

Ω

) (21.36)

Dla równań (21.32) i (21.36) istnieją mechaniczne analogi – równania (7.8) i (7.9).
Wprowadzone w tym rozdziale zaleŜności , w których figurują nawiasy Poissona , mają zasadnicze znaczenie
przy formalnym przejściu do kwantowej teorii pola, jest tak poniewaŜ w kwantowej teorii pola nawiasy Poissona
są komutatorami od odpowiadających im polowych operatorów, podobnie jak to było dla zaleŜności
mechanicznych (7.4).

22. TEORIA NOETHER

22.1 PODSTAWOWE IDEE

W rozdziałach 13 – 15 rozpatrywaliśmy w ramach mechaniki newtonowskiej na początku nieskończenie małe
przekształcenia kanoniczne w ich ogólnej postaci , m.in. ich szczególny przypadek  - przekształcenia symetrii, na
końcu badaliśmy ich  zastosowanie do układu N punktów materialnych.
Kwintesencją wszystkich prowadzonych tam rozwaŜań był wniosek , Ŝe kaŜda symetria funkcji Hamiltona
prowadzi do „istnienia” pewnego zachowania , odpowiadającego tej symetrii.
Te pryncypialne dla rozwoju fizyki wnioski ( idee ) zostały sformułowane przez Emmę Noethet ( 1918 ), z
wykorzystaniem metody teorii grup w teorii pola o symetriach ciągłych . Prace Noether poprzedzały pisma
Poincarego dotyczące mechaniki. Przy tym nie rozpatrywano symetrii dyskretnych występujących w mechanice
kwantowej , co tłumaczy się faktem ,Ŝe mechanika kwantowa ukształtowała się później.
W 1921 roku Bessel-Hagen zastosował teorię Noether w swym autorskim , abstrakcyjnym sformułowaniu do
konkretnych pól fizycznych i tym samym udostępnił ją fizykom. Przez dziesięciolecia teoria Noether
pozostawała w cieniu aŜ w połowie XX wieku w związku z róŜnymi aktualnymi problemami fizyki , w
szczególności dotyczącymi fizyki cząstek elementarnych i ich symetriami , doceniono jej waŜność do tego
stopnia ,Ŝe w tej chwili trudno się bez niej obejść. Proces prawidłowej oceny  i waŜności symetrii w fizyce został
przyspieszony kiedy okazało się , Ŝe łamane jest prawo  „zachowania parzystości” , które to zawdzięczamy Lee i
Yangowi ( 1956 ).

22.2 PRZEKSZTAŁCENIA WŁAŚCIWE ( CIĄGŁE ) LORENTZA.

W teorii Noether podstawowa rolę odgrywają przekształcenia dwóch róŜnych postaci.
Po pierwsze – „przekształcenia współrzędnych” – pociągające za sobą przekształcenia funkcji polowych UΩ -
które są obiektami geometrycznymi  ( np. tensorami ,spinorami, bispinorami ) o ściśle określonych prawach
transformacyjnych.
Po drugie  - istnieją przekształcenia , które przy ustalonych współrzędnych zmieniają postać zaleŜności
funkcjonalnych – co będziemy nazywać „przekształceniami funkcjonalnymi” , do takich przekształceń naleŜą
przekształcenia cechowania , fazowe itp.
W teorii Noether , w których mowa o symetriach ciągłych  ( w odróŜnieniu od wspomnianych symetriach
dyskretnych ), przekształcenia obu rodzajów ograniczone są szczególnym przypadkiem nieskończenie małych
przekształceń , co sprawia, Ŝe upraszczają się one pod względem matematycznym.
Jak to było do tej pory będziemy oznaczali przekształcenia współrzędnych apostrofem przy indeksie , a
przekształcenia funkcjonalne  - daszkiem nad odpowiednią literą.
W poprzednich rozdziałach wykorzystywaliśmy w charakterze współrzędnych czasoprzestrzennych współrzędne
Galileusza. Tym samym kładliśmy nacisk na wykorzystanie IUO , w których powinny być opisane zjawiska
fizyczne. Jak wiadomo, przy wykorzystaniu takich współrzędnych, przejście od jednego IUO do drugiego IUO
dokonuje się za pomocą przekształcenia Lorentza, związanych oczywiście z szczególną zasadą względności.
PoniewaŜ einsteinowska teoria grawitacji ( 1915 ) w zasadzie wykorzystuje zakrzywioną czasoprzestrzeń, w
której nie moŜna juŜ stosować współrzędnych Galileusza , zjawiska grawitacyjne pozostawiamy poza ramami
naszego wykładu. Aby je uwzględnić musielibyśmy zastosować aparat matematyczny OTW , który oparty jest
na ogólnej zasadzie względności  i która to wprowadza opis zjawisk fizycznych we współrzędnych
krzywoliniowych.
W STW podstawowym przekształceniem współrzędnych są jednorodne i niejednorodne przekształcenia
Lorentza. Połączenie tych dwóch grup przekształceń nazywa się „grupą Poincarego”.

( W literaturze polskiej przyjęto niekiedy, nazywać grupą Poincarego niejednorodne przekształcenia Lorentza –
przypis własny )
W ogólnym przypadku jednorodne i niejednorodne przekształcenia Lorentza ( oba są to przekształcenia
liniowe) mogą być zapisane łącznie w następujący sposób :

xi’ = Ai’j x

j +

i’ (22.1)

Stałe mnoŜniki :

Ai’j =

∂

xi’ /

∂

xj (22.2)

nazywamy “współczynnikami Lorentza”. Określają one jednorodne przekształcenia Lorentza ( obroty

lorentzowskie). Stałe

i’ charakteryzują niejednorodne przekształcenia Lorentza , opisują one przesunięcia

czasoprzestrzenne.
PoniewaŜ przekształcenia Lorentza pozostawiają metrykę niezmienioną , spełniają one na mocy prawa
transformacji tensora metrycznego (16.37) :

gi’k’ = (

∂

xi’/

∂

xm ) (

∂

xk’/

∂

xn ) gmn (22.3)

równania róŜniczkowe postaci :

(

∂

xi’/

∂

xm ) (

∂

xk’/

∂

xn ) = gik (22.4)

ZaleŜności te prowadzą do następujących związków :

| Ai’m |

2 = 1 lub | Ai’

m | =

1 (22.5)

Właściwe (ciągłe ) przekształcenia Lorentza określone są warunkiem :

| Ai’m | = 1 przy A

4 > 0 (warunek ortochroniczności) (22.6)

Rozpatrzmy te przekształcenia dokładniej.
Pierwszy z warunków (22.6) jest warunkiem bardziej matematycznym ( nie koniecznie fizycznym ) – jest to
warunek dla przekształcenia ciągłego., drugi gwarantuje zachowanie wejściowej orientacji czasu.
( zachowanie wybranego kierunku upływu czasu – przypis własny )

Fakt ,Ŝe tensor metryczny jest inwariantny względem przesunięć czasoprzestrzennych

i’ , oznacza

„jednorodność czasoprzestrzeni”, a fakt , Ŝe jest on inwariantny względem obrotów czasoprzestrzennych Ai’j
jest wynikiem „izotropowości czasoprzestrzeni”.
W przypadku nieskończenie małych przekształceń Lorentza otrzymujemy :

Ai’j = g

j +

j i A

j’ = g

j +

j (22.7)

j – są wielkościami nieskończenie małymi.

Wzory te moŜna sprawdzić podstawiając je do zaleŜności (22.4) :

Ai’j A

i’ = g

j (22.8)

Podstawienie wyraŜeń (22.7) do równania (22.4) prowadzi do warunku antysymetryczności :

j = -

i (22.9)

przy tym wykorzystaliśmy prawa podnoszenia i opuszczania indeksów , przykładowo :

t… i… = g

ik t…

k .. lub t

…

k ... = gkm t

…m

... (22.10)

Zatem właściwe przekształcenia Lorentza (22.1) moŜemy zapisać w następującej postaci :

xi’ = xi +

i = xi +

j +

i tj.

i =

j x

i +

i (22.11)

i - to wielkości nieskończenie małe, w określony sposób związane z wielkościami

i’ .

Szesnaście współczynników Lorentza Ai’j związanych jest dziesięcioma warunkami (22.4), tak , Ŝe pozostaje
tylko sześć współczynników niezaleŜnych. Tymi niezaleŜnymi współczynnikami są :

2 ,

3 ,

4 ,

3 ,

4 ,

nazywamy je “nieskończenie małymi parametrami obrotów lorentzowskich”. Opisują one :
trzy wielkości - obroty przestrzenne (tylko przestrzenne )
trzy wielkości - obroty czasoprzestrzenne ( w tym ruch jednostajny )
Do nich moŜemy jeszcze dołączyć cztery niezaleŜne wielkości opisujące translacje czasoprzestrzenne tj. :
trzy wielkości – translacje przestrzenne.
jedna wielkość – przesunięcie czasu.

Teraz powiem kilka słów o tensorach i ich własnościach.

Tensor t ij ..

km .. przedstawia pewien obiekt geometryczny , który przy przekształceniu współrzędnych

charakteryzuje się ściśle określonymi prawami transformacyjnymi , przykładowo przy przekształceniu Lorntza

( tj, przejściu od jednego IUO do drugiego IUO ) Ilość indeksów nazywamy rzędem tensora. Indeksy dolne ,
nazywamy kowariantnymi, górne - kontrawariantnymi. Jeśli działanie dodawania ma być kowariantne , to
dodawać moŜemy tylko tensory o jednakowym „rozkładzie” indeksów.
Indeksy kowariantne przekształcają się według prawa :

t ..i’ .. ( x

k’ ) = Aj

i’ t .. j .. (x

k ) (22.12)

a kontrawariantne :

t ..i’ .. ( xk’ ) = Ai’j t

.. j .. (xk ) (22.13)

W powyŜszym zapisie pokazano argumenty odnoszące się do odpowiedniego układu współrzędnych. Często
argumenty te jako domyślne będziemy opuszczali. JeŜeli jednak na ich miejsce naleŜało by wpisać inne
argumenty to aby uniknąć nieporozumień naleŜy je wypisać w jawnej postaci.
Dla nieskończenie małych przekształceń Lorentza wskazane wyŜej zasady na mocy zaleŜności (22.7) przyjmują
postać :

t ..i’ .. ( x

k’ ) = t

.. i .. (x

k ) -

i t .. j .. (x

k ) (22.14)

t ..i’ .. ( xk’ ) = t .. i .. (xk ) +

j t

.. j .. (xk ) (22.15)

Wzory przekształceń spinorów lub bispinorów przy skończonych przekształceniach Lorentza są bardziej
złoŜone. Przy nieskończenie małych przekształceniach Lorentza dla bispinorów

^ otrzymujemy wzory

przekształcenia postaci :

’( xk’ ) =

( xk ) + ¼ i

( xk ) (22.16)

^’ ( xk’ ) =

^( xk ) + ¼ i

^( xk )

ij (22.17)

Przy tym macierz

ij zbudowana jest z wykorzystaniem macierzy Diraca

i w sposób następujący :

ij = (1/2i) (

j -

i ) (22.18)

Uogólniając zaleŜności (22.14) – (22.17) na dowolne funkcje polowe U

Ω

, moŜemy zapisać :

Ω

’ ( x

k’ ) = U

Ω

( x

k ) + S

ΓΩ

ij U

( x

k ) (22.19)

Zatem człon dopełniający związany z nieskończenie małym przekształceniem jest , jak widać proporcjonalny do

nieskończenie małych współczynników Lorentza. Stała S

ΓΩ

ij zaleŜna jest od charakteru rozpatrywanego

obiektu geometrycznego. Na mocy warunku antysymetrii (22.9) moŜna bez utraty ogólności zapisać :

ΓΩ

ij = - S

ΓΩ

ji (22.20)

Porównanie (22.19) z (22.14) pozwala otrzymać zaleŜność dla tensorów :

ΓΩ

→

Skmij = ½ ( gim g

j - g

i gjm ) (22.21)

a z (22.16) – dla bispinorów :

ΓΩ

→

Sij = ¼ i

ij (22.22)

22.3 WARIACJA MATERIAŁOWA I WARIACJA LOKALNA.

Po pewnych przygotowaniach prowadzonych powyŜej , jesteśmy gotowi do wprowadzenia definicji „wariacji
materiałowej” funkcji polowej. Pod tym pojęciem rozumiemy następująca wielkość :

∆

S U

Ω

= U

Ω

’ ( x

i’ ) - U

Ω

( x

i ) (22.23)

∆

S U

Ω

’ | k = U

Ω

’ | k’ ( x

i’ ) - U

Ω

| k ( x

i ) itd. (22.24)

RóŜniczkując wyraŜenie (22.23) względem xi , stwierdzamy , Ŝe operacja wariacji materiałowej jest nie
zamienna z róŜniczkowaniem cząstkowym. Zgodnie z zasadą róŜniczkowania funkcji złoŜonej mamy :

Ω

’ | k’ = U

Ω

| i A

k’ + (

∆

S U

Ω

) | k’ (22.25)

PoniewaŜ

∆

S U

Ω

jest wielkością nieskończenie małą , moŜna podstawić :

(

∆

S U

Ω

) | k’

→

(

∆

S U

Ω

) | k (22.26)

Podstawiając dla współczynników Aik’ wartości (22.7) , otrzymamy :
U

Ω

’ | k’ = U

Ω

| k - U

Ω

| i

k + (

∆

S U

Ω

) | k’ (22.27)

Porównanie tego wyniku z definicją (22.24) prowadzi do zaleŜności :

(

∆

S U

Ω

) | k =

∆

S U

Ω

| k + U

Ω

| i

k (22.28)

która dowodzi naszego twierdzenia. ( o nie przemienności wariacji materiałowej z róŜniczkowaniem
cząstkowym – przypis własny )

Teraz zdefiniujemy drugi typ wariacji , a mianowicie „wariacje lokalną”, charakteryzującą się własnością
przemienności z róŜniczkowaniem cząstkowym . Aby to osiągnąć dodamy do wyraŜenia na wariacje
materiałową nieskończenie mały człon poprawkowy :

∆

L U

Ω

∆

Ω

- U

Ω

| i

(22.29)

∆

L U

Ω

| k =

∆

Ω

| k - U

Ω

| k | i

(22.30)

RóŜniczkując wyraŜenie (22.29) , znajdujemy :

(

∆

L U

Ω

)| k = (

∆

S U

Ω

)| k - U

Ω

| i | k

- U

Ω

| i

| k

Na mocy (22.11) moŜemy przepisać ten wynik w następującej postaci :

(

∆

L U

Ω

)| k = (

∆

S U

Ω

)| k - U

Ω

| i | k

- U

Ω

| i

k =

∆

S U

Ω

| k - U

Ω

| i | k

(22.31)

Na mocy równości pochodnych mieszanych U

Ω

| i | k = U

Ω

| k | i mamy :

(

∆

S U

Ω

)| k = (

∆

L U

Ω

)| k (22.32)

co tym samym dowodzi przemienności operacji lokalnego wariowania i róŜniczkowania cząstkowego.
W teorii pola waŜną role odgrywa jeszcze jedno pojęcie , jest to „pochodna Liego” :

∆

£ U

Ω

= -

∆

L U

Ω

(22.33)

Aby lepiej wyjaśnić pojęcie wariacji lokalnej, przekształcimy troszkę jej wyraŜenie. Z definicji (22.29) wynika
następująca zaleŜność :

∆

L U

Ω

= U

Ω

’ ( x

j’ ) - U

Ω

( x

j ) - U

Ω

| j

(22.34)

RozłoŜenie jej w szereg Taylora pozwala otrzymać :

Ω

’ ( x

j’ ) - U

Ω

’ ( x

j ) + U

Ω

’ | j

lub – w przybliŜeniu :

Ω

’ ( x

j’ ) - U

Ω

’ ( x

j ) + U

Ω

| j

(22.35)

Zatem otrzymujemy :

∆

L U

Ω

= U

Ω

’ ( x

j ) - U

Ω

( x

j )

(22.36)

Jak zatem widać lokalną wariację moŜna interpretować jako zmianę funkcji polowej przy przekształceniu
współrzędnych , przy czym do funkcji podstawiane są „stare” ( nie przekształcone) argumenty. W odróŜnieniu
od tego wariacja materiałowa reprezentuje sobą zmianę funkcji polowej w której, jak pokazują indeksy,
uwzględniane są równieŜ zmiany argumentów przy przejściu do nowego układu odniesienia.
Wykorzystując definicje wariacji materiałowej i lokalnej , łatwo pokazać , Ŝe dla obu z nich słuszna jest
następująca zasada pochodnej iloczynu :

∆

S (U

Ω

) = (

∆

S U

Ω

) V

+ U

Ω

(

∆

) (22.37)

∆

L (U

Ω

) = (

∆

L U

Ω

) V

+ U

Ω

(

∆

) (22.38)

Przytoczę schemat dowodu powyŜszych równości dla wariacji materiałowej :

∆

S (U

Ω

) = U

Ω

’ V

’ + U

Ω

= ( U

Ω

∆

S U

Ω

) ( V

∆

) = (

∆

S U

Ω

) V

+ U

Ω

(

∆

) +

+ (

∆

S U

Ω

) + (

∆

)

PoniewaŜ ostatnia składowa po prawej stronie jest małą drugiego rzędu , moŜemy ją odrzucić – co kończy
dowód.
Zgodnie z definicją (22.29) wariacja lokalna róŜni się od materiałowej tylko o pewien człon dodatkowy
zawierający pochodną cząstkową. Zatem , na mocy faktu , Ŝe zasada róŜniczkowania iloczynu jest słuszna dla
róŜniczkowania cząstkowego , jest ona równieŜ słuszna dla wariacji lokalnej.

22.4 WARIACJA FUNKCJONALNA I WARIACJA ZUPEŁNA.

Wariacje które rozpatrywaliśmy do tej pory otrzymywane były w wyniku zmiany układu współrzędnych. Dla
wariacji funkcjonalnej , jak wspominałem wcześniej, zmieniamy nie układ współrzędnych , a strukturę funkcji
polowej. Zmieniona funkcję będziemy oznaczali tyldą. Zatem „wariacja funkcjonalna”

Ω

zdefiniowana jest

następująco :

Ω

= U

Ω

- U

Ω

(22.39)

PoniewaŜ obliczenie wariacji funkcjonalnej i przekształcenie współrzędnych są operacjami niezaleŜnymi moŜna
zmieniać ich porządek :

( U~

Ω

)’ = ( U

Ω

’ )

= U

Ω

’ (22.40)

Wariacja zupełna , którą oznaczymy przez

∆

Ω

, zgodnie z definicją reprezentuje sobą zmianę funkcji polowej

przy jednoczesnym przekształceniu funkcjonalnym i przekształceniu współrzędnych , mamy zatem :

∆

Ω

= U

Ω

’ - U

Ω

(22.41)

Wariacja zupełna jest sumą wariacji materiałowej i funkcjonalnej, dowodzimy tego przez następujące obliczenia
, w których małe drugiego rzędu odrzucamy :

∆

Ω

= U

Ω

’ - U

Ω

+ U~

Ω

- U

Ω

∆

S U

Ω

∆

S U

Ω

(22.42)

PoniewaŜ wariowanie funkcjonalne nie wpływa na współrzędne , oczywista jest jego przemienność z
róŜniczkowaniem cząstkowym :
(

Ω

)| k =

Ω

| k (22.43)

Ta zaleŜność przypomina analogiczną zaleŜność (4.15) z mechaniki. Dlatego teŜ nie przypadkowo
wykorzystaliśmy równieŜ tutaj ten sam symbol dla wariacji ( zauwaŜmy ,Ŝe ten sam symbol zastosowaliśmy
równieŜ przy wyprowadzeniu równań Lagrange’a z zasady Hamiltona w teorii pola ).
Z definicji (22.39) wariacji funkcjonalnej oraz z przeprowadzonych wyliczeń, wynika , Ŝe dla wariacji tej
słuszna jest zasada róŜniczkowania iloczynu :

Ω

) = (

Ω

+ U

Ω

(22.44)

Zatem na mocy równości (22.42) i (22.37) zasada róŜniczkowania iloczynu jest spełniona równieŜ dla wariacji
zupełnej :

∆

Ω

) = (

∆

Ω

+ U

Ω

∆

(22.45)

22.5 WARIACJA ZUPEŁNA GĘSTOŚCI LAGRANśJANU.

W tym rozdziale rozwiniemy wprowadzony wcześniej formalizm, wprowadzając go dla gęstości lagranŜjanu.
Ograniczymy się do gęstości lagranŜjanu pierwszego rzędu :

£ = £( U

Ω

, U

Ω

| i , x

) (22.46)

Wariację zupełną tej gęstości definiujemy następująco :

∆

£( U~

Ω

’ , U

Ω

’ | i’ , x

i’

) - £( U

Ω

, U

Ω

| i , x

) (22.47)

W związku z definicją (22.41) wynika z tego :

∆

£( U

Ω

∆

Ω

, U

Ω

| i , +

∆

Ω

| i , x

i’

) – £( U

Ω

, U

Ω

| i , x

) (22.48)

RozłoŜenie tej równości w szereg Taylora pozwala otrzymać :

∆

£ = (

∂

£ /

∂

Ω

)

∆

Ω

+ (

∂

£ /

∂

Ω

| j )

∆

Ω

| j + (

∂

£ /

∂

xi )jaw

(22.49)

Na mocy równości (22.42) i (22.29) wielkość

∆

Ω

moŜemy wyrazić w następujący sposób :

∆

Ω

∆

Ω

+ U

Ω

| i

Ω

(22.50)

Dla U

Ω

| j otrzymujemy analogiczne wyraŜenie :

Ω

| j =

∆

L U

Ω

| j + U

Ω

| j | i

Ω

| j (22.51)

Zatem , wyraŜenie (22.49) dla

∆

£ przyjmuje postać :

∆

£ = (

∂

£ /

∂

Ω

) (

∆

Ω

- U

Ω

| i

Ω

) + (

∂

£ /

∂

Ω

| j ) (

∆

Ω

| j + U

Ω

| j | i

Ω

| j ) +

+ (

∂

£ /

∂

xi)jaw

(22.52)

Na tym etapie wyrazimy pewne pochodne cząstkowe przez pochodną wariacyjną , która , zgodnie z równaniem
(19.12) , określimy następująco :

£/

Ω

∂

£ /

∂

Ω

- (

∂

£/

∂

Ω

| i ) | i (22.53)

Dodamy do tego wyraŜenia dwa dodatkowe człony , a potem odejmiemy je i miarę moŜliwości zamienimy dwa
wyraŜenia w jednej pochodnej wariacyjnej. Wyglądać to będzie następująco :

∆

£ = (

∂

£ /

∂

Ω

)

Ω

- (

∂

£ /

∂

Ω

| j ) | j

Ω

+ (

∂

£ /

∂

Ω

| j )U

Ω

| j + (

∂

£/

∂

Ω

| j ) | j

Ω

+ (

∂

£ /

∂

Ω

)

∆

Ω

+ (

∂

£ /

∂

Ω

| j )

∆

Ω

| j + (

∂

£ /

∂

Ω

| j ) | j

∆

Ω

+ [ (

∂

£ /

∂

xi)jaw + (

∂

£ /

∂

Ω

| i + (

∂

£ /

∂

Ω

| j )

Ω

| j | i ]

Skąd otrzymujemy :

∆

£ = (

∂

£ /

∂

Ω

)

Ω

+ [ (

∂

£ /

∂

Ω

| j )] | j + (

∂

£ /

∂

Ω

)

∆

Ω

+ [(

∂

£/

∂

Ω

| j )

∆

Ω

] | j +

+ [ (

∂

£ /

∂

xi)jaw + (

∂

£ /

∂

Ω

| i + (

∂

£ /

∂

Ω

| j )U

Ω

| j | i ]

. (22.54)

W dalszym ciągu wykorzystamy oznaczenia (20.1) i wyrugujemy pochodne (

∂

£ /

∂

xi )jaw przy pomocy

zaleŜności :

(£ g ji ) | j = £ | i = (

∂

£/

∂

Ω

| i + (

∂

£ /

∂

Ω

| j )U

Ω

| j | i + (

∂

£ /

∂

xi)jaw (22.55)

Przy tym wielkość

∆

£ zapisujemy w postaci :

∆

£ = (

∂

£ /

∂

Ω

)

Ω

+ (

ΠΩ

Ω

)| j + (

£ /

Ω

| j)

∆

Ω

+ (

ΠΩ

∆

Ω

)| j + (£ g

i ) | j

(22.56)

WyraŜając zgodnie ze wzorem (22.29) wariacje lokalną przez materiałową , otrzymujemy :

∆

£ = (

∂

£ /

∂

Ω

)

Ω

+ (

ΠΩ

Ω

)| j + (

£ /

Ω

) (

∆

Ω

+ U

Ω

| i

) + [

ΠΩ

j (

∆

Ω

- U

Ω

| i

)] | j +

+ (£ gji ) | j

(22.57)

Przekształcimy ostatni składnik zgodnie z zasadą róŜniczkowania iloczynu oraz uwzględniając warunek

i =

| i = 0 :

(£ gji ) | j

= (£ g

) | j - £ g

| j = (£ g

) | j - £

| i = (£ g

) | j

Zatem , dla

∆

£ ostatecznie otrzymujemy następujące wyraŜenie :

∆

£ = (

∂

£ /

∂

Ω

) (

Ω

∆

Ω

- U

Ω

| i

) + (

ΠΩ

Ω

) | j + [

ΠΩ

∆

Ω

- (

ΠΩ

∆

Ω

| i - £ g

i )

] | j

(22.58)

W przypadku szczególnym – wariacji czysto funkcjonalnej , z powyŜszego wynika , Ŝe :

£ = (

∂

£ /

∂

Ω

)

Ω

+ (

ΠΩ

Ω

) | j (22.59)

Całkowanie tego wyraŜenia względem ustalonej czterowymiarowej objętości V4 pozwala otrzymać :

∫

£ d4x =

∫

[(

∂

£ /

∂

Ω

)

Ω

+ (

ΠΩ

Ω

) | j ] d

4x (22.60)

V4 V4
Wynik ten jest zgodny z równaniem (19.2) , które zgodnie z tym, wchodzi do formalizmu Noether jako jego
szczególny przypadek. Odpowiednio zatem , symbol wariacji w zapisie zasady Hamiltona jest identyczny z
symbolem wykorzystanym dla wariacji funkcjonalnej.

22.6 PRZEKSZTAŁCENIA SYMETRII.

W mechanice pod przekształceniem symetrii rozumiemy przekształcenie określone przez nieskończenie małą
funkcją tworzącą , nie zaleŜne od czasu na mocy definicji (14.7) i gwarantujące inwariantność formy funkcji
Hamiltona. W teorii pola na pierwszy plan w miejsce formalizmu Hamiltona wprowadza się, jako wiodący
formalizm Lagrange’a , związane jest to z tym ,Ŝe zapewnia on relatywistyczną inwariantność. Dlatego przy
definiowaniu przekształcenia symetrii wyjdziemy z gęstości lagranŜjanu i wymaganej inwariantnej formy
gęstości ( względem wariacji funkcjonalnej i wariacji współrzędnych ) lagranŜjanu określonej z dokładnością do
pewnej dywergentnej składowej. Odpowiednio zatem, przekształcenie symetrii określimy przez równanie :

∆

£ = - Ŋ~j | j (22.61)

tj. przez równość :

£ ( U~

Ω

’ , U

Ω

’ | i’ , x

i’ ) = £ ( U

Ω

, U

Ω

| i , x

i ) - Ŋ~j

| j (22.62)

gdzie : Ŋ~j = Ŋ

j +

Ŋj – jest tensorem pierwszego rzędu, charakteryzującym się następującą strukturą

funkcjonalną : Ŋ~j = Ŋ~j ( U

Ω

, U

Ω

, x

i )

Całkując (22.62) względem czterowymiarowej objętości i stosując czterowymiarowy analog twierdzenia
Gaussa-Ostrogradskiego , otrzymujemy :

∫

£ ( U~

Ω

’ , U

Ω

’ | i’ , x

i’ ) d4x =

∫

£ ( U

Ω

, U

Ω

| i , x

i ) d4x -

∫

Ŋ~j dfi (22.63)

V4 V4

∂

PoniewaŜ czterowymiarowy element objętości jest inwariantem , po lewej stronie d4x moŜna zamienić na d4x’.
Weźmy teraz wariacje funkcjonalną od tego równania i zaŜądajmy aby dla układu wejściowego ( układu nie
primowanego ) słuszna była zasada Hamiltona. Wtedy będzie ona równieŜ słuszna dla układu otrzymanego w
wyniku przekształcenia symetrii ( układu primowanego ) , wynika to z tego ,Ŝe wariacja całki względem
hiperpowierzchni jest zerem. Zatem otrzymujemy :

∫

£ ( U~

Ω

’ , U

Ω

’ | i’ , x

i’ ) d4x’ =

∫

£ ( U

Ω

, U

Ω

| i , x

i ) d4x = 0 (22.64)

V4 V4
Stąd wynika ,Ŝe równieŜ dla układu primowanego spełnione są równania Lagrange’a :

£ /

Ω

’ =

∂

£ /

∂

Ω

’ – [

∂

£ /

∂

Ω

’ | i’ ] | i’ = 0 (22.65)

Wprowadzimy teraz jedno waŜne pojęcie - kanonicznego tensora energii-pędu Ŧij :

Ŧij =

ΠΩ

i U

Ω

| j - £ g

j (22.66)

Jest on zbudowany podobnie jak w mechanice funkcja Hamiltona :

f
H =

Σ pk qk – L

k=1

stąd bierze się określenie “kanoniczny”.
Dla przekształcenia symetrii z równości (22.58) wynika zalezność :

£ /

Ω

= (

Ω

∆

Ω

- U

Ω

| i

) + (

ΠΩ

Ω

Ŋj ) | j + [

ΠΩ

∆

Ω

- Ŧ

+ Ŋ

) | j = 0 (22.67)

którą naleŜy rozpatrywać jako „matematyczne sformułowanie twierdzenia Noether” dla gęstości lagranŜjanu
pierwszego rzędu. Strukturę tego równania rozpatrzymy dalej.

Twierdzenie Noether w tej formie jest tak zwanym „słabym prawem zachowania”. Tylko przy wypełnieniu
równań pola otrzymujemy prawo zachowania w postaci czterowymiarowego równania ciągłości.
W odróŜnieniu od słabego prawa zachowania „silne prawo zachowania” reprezentuje spełnioną toŜsamościowo
równość, słuszną nie zaleŜnie od tego czy spełnione są równania pola. (* zatem silne zasady zachowania
odzwierciedlają tylko formalne własności lagranŜjanu. W odróŜnieniu od nich , słabe prawa zachowania
spełnione są tylko przy uwzględnieniu równań pola, mających fizyczną interpretacje – przypis tłumacza. *)

22.7 RÓśNICZKOWE PRAWA ZACHOWANIA.

Przy załoŜeniu , Ŝe równania pola są spełnione, tj. Ŝe pochodne wariacyjne gęstości lagranŜjanu są równe zeru,
zaleŜność (22.67) przyjmuje postać :

(

ΠΩ

Ω

Ŋj ) | j + [

ΠΩ

∆

Ω

- Ŧ

+ Ŋ

) | j = 0 (22.68)

PoniewaŜ przekształcenia współrzędnych i przekształcenia funkcjonalne przedstawiają sobą wzajemnie
niezaleŜne operacje , równość ta rozpada się na dwa róŜniczkowe prawa zachowania :

(

ΠΩ

Ω

Ŋj ) | j = 0 (22.69)

[

ΠΩ

∆

Ω

- Ŧ

+ Ŋ

) | j = 0 (22.70)

mają one strukturę równań ciągłości tj. stwierdzają one równość zeru czterowymiarowej dywergencji.
Jak wiadomo „równanie ciągłości” w trójwymiarowym sformułowaniu tj. o postaci :
div j +

∂ρ

∂

t = 0 (22.71)

moŜna , zakładając j4 = c

, zdefiniować w postaci czterowymiarowej :

jm| m = j

+ j4| 4 = div j +

∂ρ

∂

t = 0 (22.72)

Jak widać równanie to ma taka strukturę jak (22.69) i (22.70).
Zakładając , Ŝe wariacje funkcjonalną moŜna zapisać w postaci :

Ω

= i a e

ΓΩ

(22.73)

w której : a- jest nieskończenie małym parametrem , e

ΓΩ

- są pewnymi współczynnikami, oraz wprowadzając

4-wektor gęstości prądu :

jm =

ΠΩ

m e

ΓΩ

(22.74)

z (22.69) otrzymamy ( zakładając

Ŋj = 0 ) róŜniczkowe prawo zachowania :

jm| m = 0 (22.75)
Teraz pozostaje nam dać fizyczną interpretację równości (22.70). Podstawiając do tego równania , wyraŜenia
otrzymane ze wzoru (22.19) dla wariacji materiałowej :

∆

Ω

= S

ΓΩ

mn U

(22.76)

na mocy (22.11) otrzymamy ( przy załoŜeniu Ŋ = 0 ) :

( S

ΓΩ

ΠΩ

- Ŧm

j xn

) | j -

m Ŧ

| j = 0 (22.77)

Na mocy niezaleŜności translacji i obrotu , wynika z tego „róŜniczkowe prawo zachowania energii-pędu” :

Ŧmj | j = 0 (22.78)
Wprowadzając oznaczenie :

ℵ

= S

ΓΩ

ΠΩ

= -

ℵ

m (22.79)

zapiszemy pozostałą część równania (22.77) następująco :

n (

ℵ

- Ŧm

j xn

) | j = 0 (22.80)

PoniewaŜ wielkości

n są antysymetryczne nie moŜna od razu zakładać ,Ŝe współczynniki przy tych

wielkościach są zerami, na początku naleŜy wydzielić w tych współczynnikach część symetryczną i
antysymetryczną. PoniewaŜ człony odpowiadające symetrycznej części są toŜsamościowo równe zeru , pozostaje

mn [

ℵ

jmn – ½ ( Ŧmjxn

- Ŧ

njxm

) ] | j = 0

z czego wynika , Ŝe :

( Ŧnjxm - Ŧ

mjxn

+ 2

ℵ

jmn )

| j = 0 (22.81)

Jeśli wprowadzimy „tensor momentu pędu” :

Dmnj = (1/c) ( Ŧmjxn - Ŧ

njxm

+ 2

ℵ

jmn )

(22.82)

to równanie (22.81) przyjmie postać róŜniczkowego prawa zachowania momentu pędu i prędkości środka mas :

Dmnj | j = 0 (22.83)
Niekiedy moŜe być pomocne rozłoŜenie tensora momentu pędu na składową orbitalną :
(orbit) Dmni = (1/c) ( Ŧmixn

- Ŧ

nixm

) (22.84)

oraz składową spinową, nie zaleŜną od współrzędnych :
(spin) Dmni = (2/c)

ℵ

inm (22.85)

Zatem :

Dmni = (orbit) Dmni + (spin) Dmni (22.86)
Na końcu pokaŜe , Ŝe prawo zachowania energii-pędu (22.78) zawiera cztery równania , a prawo zachowania
momentu pędu i prędkości środka mas (22.83) – sześć równań.
Fizyczny sens tych zaleŜności będzie wyjaśniony mając na uwadze ich związek z odpowiadającymi im
całkowymi prawami zachowania. Jednak, śledząc przytoczony tok rozumowania , juŜ teraz moŜna ustanowić
związek symetrii i odpowiadających jej praw zachowania, zupełnie analogicznie jak to zrobiliśmy w mechanice.
Związki te są następujące :

translacja przestrzenna

→

zachowanie pędu } jednorodność czasoprzestrzeni.

translacja czasowa

→

zachowanie energii }

obrót przestrzenny

→

zachowanie momentu pędu } izotropowość czasoprzestrzeni.

ruch jednostajny

→

zachowanie prędkości środka mas }

22.8 SYMETRYCZNY TENSOR ENERGII-PĘDU.

ChociaŜ kanoniczny tensor energii-pędu (22.66) Ŧs

odgrywa istotną rolę w aparacie kanonicznym , nie spełnia

on pewnych istotnych z punktu widzenia fizyki wymagań , przykładowo nie jest inwariantny ze względu na
przekształcenie cechowania dla przypadku pola maxwellowskiego.
Oprócz tego tensora istnieje „symetryczny tensor energii-pędu” :

i = Ti

s (22.87)

który wykorzystywany jest w einsteinowskich równaniach pola grawitacyjnego i definiowany jest w ramach
OTW. Belinfante i inni podjęli próbę wprowadzenia takiego tensora ad hoc , i otrzymali :

i = Ŧ

i + (

ℵ

s )| m (22.88)

RóŜniczkując to wyraŜenie względem xi i przyjmując do wiadomości równanie (22.78) oraz warunek
antysymetrii (22.79) otrzymamy :

| i =

ℵ

| m | i +

ℵ

| m | i +

ℵ

s | i | m

Pierwsza składowa po prawej stronie jest toŜsamościowo równa zeru ( zawęŜenie wyraŜeń antysymetrycznego i
symetrycznego ), druga i trzecia wzajemnie się znoszą przy zmianie indeksów m

↔

i , po których sumujemy.

Zatem , równieŜ dla symetrycznego tensora energii-pędu mają miejsce róŜniczkowe prawa zachowania :

| i = 0 (22.89)

W związku z tym , niektórzy autorzy , nie stosując formalizmu Noether , definiują tensor momentu pędu przez
symetryczny tensor energii-pędu , podstawiając :

D^mni = (1/c) ( Tmixn - T

nixm

) = - D^

nmi

(22.90)

RóŜniczkując to wyraŜenie oraz uwzględniając równość (22.89) jak równieŜ warunek symetrii (22.87),
dochodzimy do wniosku ,Ŝe słuszne jest, podobnie jak (22.83) , róŜniczkowe prawo zachowania :

D^mni | i = 0 (22.91)

Tensor który otrzymamy działając na tensor momentu pędu Dimj operatorem dywergencji a następnie mnoŜąc
wynik przez c :

Lik = c Dikj | j (22.92)
nazywamy „tensorem momentu obrotowego” – uogólnia on odpowiadające mu pojęcie tensora momentu
bezwładności w mechanice.

22.9 CAŁKOWE PRAWA ZACHOWANIA.

Przy wyprowadzaniu całkowych praw zachowania wyjdziemy od otrzymanych w rozdziale 22.7 róŜniczkowych
praw zachowania (22.75) , (22.78) i (22.83), formalnie odpowiadającym z równaniem ciągłości.
Przy tym operatorem dywergencji będziemy działali :

- w prawie (22.75) na tensor pierwszego rzędu jk .

- w prawie (22.78) na tensor drugiego rzędu Ŧm

- w prawie (22.83) na tensor trzeciego rzędu Dnmj.
PoniewaŜ współczynniki przekształcenia Lorentza są stałe, moŜna je wprowadzić pod znak pochodnej , tak ,Ŝe
wyprowadzenie całkowych praw zachowania dla tensorów o wspomnianym typie nie jest związane z jakimiś
szczególnymi problemami – nie dotyczy to OTW w której występuje problem z istnieniem prawa zachowania
energii-pędu.
MoŜemy zatem wyprowadzić całkowe prawo zachowania odpowiadające równaniu (22.75), a następnie
zmieniając indeksy swobodne w wyraŜeniu róŜniczkowym , przenieść otrzymane wyniki na pozostałe przypadki.
W sformułowaniu trójwymiarowym wyprowadzenie tego całkowego prawa zachowania będzie przebiegać
następująco :
Równanie ciągłości (22.71) całkujemy względem trójwymiarowej objętości V3 a następnie stosujemy do
uzyskanego wyniku twierdzenie Gaussa-Ostrogradskiego :

dQ/dt = -

∫

div j d3x = -

∫

div j d

σ (22.93)

∂

gdzie :

Q =

∫

d3x (22.94)

      V3
Jeśli całka po powierzchni zeruje się ( przykładowo jeśli prąd wewnątrz skończonego obszaru jest równy
prądowi na zewnątrz lub jeśli przy granicy obszaru dąŜącej do nieskończoności gęstość prądu ubywa szybciej
niŜ rośnie pole ograniczone tym obszarem ) to otrzymamy całkowe prawo zachowania
dQ/dt = 0 lub Q = const.                                                                                                                                  (22.95)
Wyprowadzenie tego wzoru moŜe być równieŜ dokonane w formaliźmie czterowymiarowym. Równanie
ciągłości (22.75) całkujemy po czterowymiarowym obszarze a następnie stosujemy twierdzenie Gaussa-
Ostrogradskiego :

∫

jm | m d

4x = i

∫

jm dfm = 0 (22.96)

∂

Wyobraźmy sobie czterowymiarowy obszar całkowania w postaci cylindra, który ograniczony jest „od góry” i
od „dołu” trójwymiarowymi przestrzennopodobnymi obszarami V3 i V^3 , a po „boku” czasoprzestrzenną
hiperpowierzchnią M, wtedy równość (22.96) moŜna zapisać następująco :

∫

jm dfm -

∫

jm dfm +

∫

jm dfm = 0 (22.97)

V^3 V3 M
Ostatnią składową po lewej stronie moŜna przyjąć równą zeru, podobnie jak w trójwymiarowym formaliźmie.
Z tego otrzymujemy prawo zachowania postaci :

∫

jm dfm = -

∫

jm dfm (22.98)

V^3 V3 M
MoŜemy przekonać się o równowaŜności tego wyniku i równości (22.95) przyjmując równość :

Q = (1/ic)

∫

jm dfm (22.99)

V3
Wynika ona z tego ,Ŝe jeśli w charakterze tójwymiarowego obszaru wybierzemy hiperpowierzchnię
przestrzennopodobną t = const. , to elementy tensorowe hiperpowierzchni (19.9) przyjmą postać :

= 0 ; df4 = i d

3x (22.100)

zatem z (22.99) i (22.94) wynika równość :

Q = (1/c)

∫

j4 d3x =

∫

d3x (22.101)

t = const. t = const.
Tym kończymy omówienie prawa (22.75). NaleŜy jedynie podkreślić , Ŝe pytanie o fizyczny sens wielkości Q do

tej pory pozostaje otwarte. Dalej pokaŜe jedynie ,Ŝe w przypadku pola maxwellowskiego: jm – reprezentuje
4-wektor gęstości prądu elektrycznego , a Q – ładunek elektryczny.

Aby omówić prawo (22.78) wprowadzę , analogicznie do wielkości (22.99) 4-pęd jako całkę :

Pm = (i/c)

∫

Ŧm

j df

j (22.102)

V3
Wybierając równieŜ dla tego przypadku obszar V3 w postaci hiperpowierzchni t = const, otrzymamy :

Pm = - (1/c)

∫

Ŧm

4 d3x (22.103)

                   t =const.
Prowadząc, podobne jak wcześniej rachunki dochodzimy do całkowego prawa zachowania energii-pędu :
d Pm / dt = 0 lub Pm = const.                                                                                                                        (22.104)
Trójwymiarowy pęd moŜemy przedstawić za pomocą trzech wielkości składowych przestrzennopodobnych
(22.103) , tj. :

= - (1/c)

∫

4 d3x (22.105)

t = const.
Całkowe prawo zachowania trójwymiarowego pędu wyraŜamy równościami postaci :
d P

/ dt = 0 lub P

= const. (22.106)

Energia układu związana jest z czwartą składową 4-pędu następująco :

ℜ

= - cP4 =

∫

Ŧ4

4 d3x (22.107)

t = const.
Całkowe prawo zachowania energii ma postać :
d

ℜ

/ dt =0 lub

ℜ

= const. (22.108)

JeŜeli przy dowodzie zachowania energii-pędu wyjdziemy od symetrycznego tensora energii-pędu tj. z
róŜniczkowego prawa zachowania (22.89) to otrzymamy te same wyniki , związane jest to z tym ,Ŝe
dywergentny człon w wyraŜeniu (22.88) przy całkowaniu względem przestrzeni moŜna wyzerować.

Zajmiemy się teraz prawem (22.83) i zdefiniujemy całkowy tensor momentu pędu :

Dnm = (1/ i)

∫

Dnmj dfj (22.109)

V3
Wybierając obszar całkowania w taki sam sposób jak wcześniej , otrzymujemy :

Dnm =

∫

Dmn4 d3x (22.110)

t = const.
Wprowadzając pojęcia „całkowego tensora orbitalnego momentu pędu” :

(orbit) Dnm =

∫

(orbit)Dnm4 d3x (22.111)

t = const.
oraz „całkowego tensora spinowego momentu pędu” :

(spin) Dnm =

∫

(spin)Dnm4 d3x (22.112)

t = const.
moŜemy zapisać równość :

Dnm = (orbit) Dnm + (spin) Dnm (22.113)
Postępując tak jak wcześniej , otrzymamy całkowe prawo zachowania momentu pędu i prędkości środka mas :

dDnm /dt = 0 lub Dnm = const. (22.114)

Zbadam teraz przestrzenną część D

µν

powyŜszego tensora i pokaŜe , Ŝe ta stała ruchu odpowiada pojęciu

zwykłego momentu pędu. Ona równieŜ składa się z części orbitalnej i spinowej :

µν

= (orbit) D

µν

+ (spin) D

µν

(22.115)

Zgodnie z definicją (22.84) , mamy :

(orbit) D

µν

∫

(orbit)D

µν

4 d3x =

∫

( x

(kan)

πν

- x

(kan)

πµ

) d3x (22.116)

t = const. t = const.
w równaniu tym wprowadziliśmy „kanoniczną gęstość pędu” :
(kan)

πµ

= - (1/c) Ŧ

4 (22.117)

To wszystko , oczywiście jest zgodne z mechaniczną definicją orbitalnego momentu pędu :

D = r

p lub D1 = D

23 = x2p

3 – x

2 (22.118)

Dla całkowego tensora momentu pędu spinowego ze wzoru (22.85) otrzymujemy :

(spin) D

µν

∫

(spin)D

µν

4 d3x = (2/c)

∫

ℵ

νµ

3x (22.119)

t = const. t = const.
Całkowe prawo zachowania momentu pędu zapisujemy następująco :

µν

/dt = 0 lub D

µν

= const. (22.120)

PoniewaŜ tensor D

µν

jest tensorem antysymetrycznym , równanie to jest równowaŜne trzem równaniom we

współrzędnych.

Rozpatrzymy teraz , pozostałą część równania (22.114), a dokładnie równanie :

4 /dt = 0 lub D

4 = const. (22.121)

które jest równieŜ równowaŜne trzem równaniom zapisanym we współrzędnych. Wprowadzając kanoniczny
tensor gęstości energii postaci :
(kan) w = Ŧ

4 (22.122)

oraz uwzględniając wzór (22.82), równaniu (22.122) moŜna nadać postać :

d/dt

∫

[ ( (kan)w /c2 ) x

πµ

t +2 c2

ℵ

] d

3x = 0 (22.123)

t = const.
Definiując centrum mas równaniem :

∫

( (kan)w /c2 ) x

3x / ( (kan)w /c2 ) d3x (22.124)

otrzymamy :

= [ t

∫

( (kan)

πµ

d3x - 2 c2

∫

ℵ

d3x + const. ] /

∫

(kan)w /c2 d

3x (22.125)

Równość tą moŜemy interpretować jako prawo zachowania prędkości środka mas.
Do takich samych wyników doszlibyśmy jeśli wyszlibyśmy od róŜniczkowego prawa zachowania (22.91),
opartego na symetrycznym tensorze energii-pędu , wynika to z tego, Ŝe dodatkowy człon przy całkowaniu
względem przestrzeni moŜna wyzerować.

23. ZASTOSOWANIE TEORII DO MECHANIKI NEWTONOWSKIEJ.

ChociaŜ prawa zachowania w mechanice newtonowskiej , juŜ omówiliśmy stosując formalizm Hamiltona ,
pouczające będzie pokazanie, w jaki sposób prawa te moŜna włączyć do teorii Noether , opartej na formaliźmie
Lagrange’a.
Teoria Noether w poprzednich rozdziałach była rozwinięta w teorii pola. PokaŜe jednak , Ŝe teorię tą moŜemy
stosować równieŜ do mechaniki newtonowskiej, w której funkcję Lagrange’a zadaje wzór (4.24) :

L = L( rΩ , r

Ω , t ) (23.1)

Zanim ustalimy konkretny związek z teorią Noether, rozszerzymy na formalizm Lagrange’a teorię nieskończenie
małych przekształceń kanonicznych , którą wyłoŜyłem w rozdziałach 13 i 14.
Przy tym , tak jak i wcześniej, wyjdziemy z nieskończenie małego przekształcenia kanonicznego , opisywanego
wzorami (13.6) , które to w zapisie wektorowym mają postać :
r^Ω = rΩ +

^ rΩ ; p^Ω = pΩ +

^ pΩ ; H^ = H +

^H (23.2)

PoniewaŜ w formaliźmie Lagrange’a wykorzystujemy zmienne rΩ , r

Ω oraz L , sensownie jest podstawić :

r^Ω = rΩ +

^ rΩ ; r^

Ω= r

Ω +

^ r.Ω ; L^ = L +

^L (23.3)

Ten formalny zapis będzie uzasadniony tylko przy dokładnym wyjaśnieniu sensu wielkości r^.Ω. Powróćmy
teraz do układu punktów materialnych , rozpatrzonym w rozdziale 15, i zauwaŜmy , Ŝe róŜniczkując wyraŜenie
(15.5) względem czasu a następnie porównując wynik z wyraŜeniem (15.6) , dochodzimy do równości :

r^. Ω = r

. ^Ω (23.4)

z której wynika równość :

d (

^ rΩ ) / dt =

^ r.Ω (23.5)

Przy przekształceniu kanonicznym wymagane jest aby związki :
N N

H =

Σ pΩ r.Ω – L oraz H^ = Σ p^Ω r. ^Ω – L^ (23.6)

Ω

były zachowane , a z tego wynika :
N

^L =

Σ (r.Ω

^ pΩ + pΩ

^ r.Ω ) -

^H (23.7)

Ω

ZaleŜności (13.7) moŜna równieŜ przedstawić w formie wektorowej :

^ rΩ = -

∂

pΩ ;

^ pΩ = -

∂

rΩ ;

^H = -

∂

t (23.8)

Podstawiając te wyraŜenia do (23.7) , otrzymamy :
N N

^L =

∂

t +

Σ [ (

∂

rΩ )r

Ω - pΩ d/dt (

∂

pΩ )] = d/dt [ I – Σ (

∂

pΩ ) pΩ] (23.9)

Ω

Zgodnie z ostatnim z równań (23.3) moŜemy zatem znaleźć L^.
Analogicznie do wielkości (14.1) zdefiniujemy wielkość :

∆

^L = L( r^Ω , r^

Ω , t ) – L( rΩ , r

Ω , t ) = L( rΩ +

^rΩ , r

Ω +

^r. Ω , t ) – L ( rΩ , r

Ω , t ) (23.10)

RozłoŜenie w szereg Taylora daje :
N N N

∆

^L =

Σ [ (

∂

rΩ )

^rΩ + (

∂

r.Ω )

^r. Ω ] = Σ (

∂

rΩ )

^rΩ + d/dt Σ pΩ

^rΩ (23.11)

Ω

Uwzględniając zaleŜność (23.6) , wyraŜenie (23.10) moŜna sprowadzić do postaci :
N N

∆

^L =

Σ ( p^Ω r^. Ω - pΩ r. Ω ) -

∆

^H = d/dt [ I -

Σ (

∂

pΩ ) pΩ ] -

∂

t -

∆

^H (23.12)

Ω

Z porównania tego wyniku z wyraŜeniem (23.9) wynika równość :

^L =

∆

^L +

∂

t +

∆

^H (23.13)

Przy pomocy zaleŜności (14.6) spełnionej przy dowolnych warunkach , wielkość (23.12) moŜna ostatecznie
zapisać w postaci :
N

∆

^L = - d/dt

Σ (

∂

pΩ ) pΩ (23.14)

Ω

identycznej z (23.11) na mocy równań ruchu.
Przyjmując do wiadomości równieŜ zaleŜność (13.1), która wiąŜe funkcje tworzącą F i nieskończenie małą
funkcje tworzącą I , a która w postaci wektorowej przedstawia się następująco :
N
F = I -

Σ (

∂

pΩ ) pΩ (23.15)

Ω

Wzory (23.9) i (23.14) moŜna zapisać następująco :

^L = dF /dt (23.16)

∆

^L = (dF/dt) – dI/dt (23.17)

Jak pokazałem wcześniej , nasze wywody oparte są na nieskończenie małych przekształceniach kanonicznych .
Ograniczając jeszcze bardziej wykorzystywane przekształcenia , tj. zakładając Ŝe są to przekształcenia symetrii ,
określone zaleŜnością (14.7) – podstawiając do wzoru (23.17) wynik (14.8) dochodzimy do równania :
(dF/dt ) -

∆

^L = 0 (23.18)

Jest to definicja przekształcenia symetrii w formaliźmie Lagrange’a , które naleŜy rozpatrywać jako analog
definicji (14.7).
I dalej, z równości (23.13) otrzymujemy analog zaleŜności (14.9) tj. :

∆

^L =

^L lub L^ = L( r^Ω , r

. ^Ω , t ) (23.19)

Łącząc teraz otrzymane powyŜej wyniki z wynikami uzyskanymi w teorii pola dochodzimy do następujących
odpowiedniości :

UΩ

→

rΩ , x

→

t , ₤

→

L (23.20)

W teorii pola wprowadziliśmy przekształcenie współrzędnych i przekształcenie funkcjonalne :

xi’ = xi +

i , U~Ω’ (xi ) = UΩ(xi ) +

∆

LUΩ +

UΩ (23.21)

Jak pokazuje powyŜszy przykład , analogiczne zaleŜności , postaci :
t’ = t +

, r^Ω (t) = rΩ (t) +

∆

LrΩ +

rΩ (23.22)

kryją się za badanymi wcześniej przekształceniami kanonicznymi , zachodzi zatem odpowiedniość :

U~Ω’ (x

i )

→

r^Ω (t) (23.23)

przy czym :

∆

LrΩ = r

Ω

(23.24)

Na mocy równości (22.29) wynika z tego ,Ŝe

∆

SrΩ = 0.

W dalszej kolejności będziemy zakładali , Ŝe rozpatrywane przekształcenia są przekształceniami symetrii.

Przepisując zaleŜność (22.61) teorii pola do odpowiadającej mechanice postaci , otrzymujemy (Ŋ^j

→

Ŋ^ ) :

∆

L + dŊ^ /dt = 0 (23.25)

gdzie :

Ŋ^ =

Ŋ + Ŋ

przy czym róŜniczkowe prawa zachowania (22.69) i (22.70) przechodzą w prawa :
N
d/dt [

Σ pΩ

r Ω +

Ŋ ] = 0 (23.26)

Ω

oraz
d/dt [ ( H - Ŋ )

] = 0 (23.27)

Teraz musimy znaleźć związek między

∆

L i

∆

^L. PoniewaŜ w definicji

∆

^L wszędzie figuruje jeden i ten sam

argument t, podczas gdy w definicji

∆

L do jednego członu wchodzi argument t’ , a do drugiego argument t , ten

związek jest następujący :

∆

L =

∆

^L + (dL/dt)

(23.28)

Podstawiając tutaj wartości

∆

L i

∆

^L , otrzymanych ze wzorów (23.18) i (23.25) odpowiednio otrzymamy :

dŊ^ /dt = - dF/dt – (dL/dt)

= d(

Ŋ/dt) + (dŊ /dt )

(23.29)

Dla poglądowego wyjaśnienia tej ogólnej teorii zastosujemy przedstawiony powyŜej formalizm do naszego
przypadku układu punktów materialnych. W tym celu koniecznie musimy znaleźć wielkości

Ŋ i Ŋ , wchodzące

do praw zachowania (23.26) i (23.27).
Zgodnie z równaniem (15.5) , mamy :

r Ω = a + d

r Ω - v

t (23.30)

WyraŜenie to podstawimy do prawa (23.26). Z równania (15.8) otrzymujemy odpowiadającą naszemu
przypadkowi funkcję Lagrange’a :
N

L = T – U =

Σ ( mΩ / 2) r. Ω2 – U( r Ω

) (23.31)

Ω

Skąd po uwzględnieniu równości (15.5) mamy :
N N N N

∆

^L = - v

Σ mΩ r. Ω – ½

[ d/dt

Σ mΩ r. Ω2 – Σ (

∂

r Ω

)(d r

Ω

/dt)] = - v Σ mΩ r

Ω–

(dL/dt) (23.32)

Ω

Na mocy zaleŜności (23.28) porównanie tego wyniku ze wzorem (23.25) daje :
N

dŊ^ /dt = v

Σ mΩ r. Ω (23.33)

Ω

Zatem , zgodnie z równaniem (23.29) :
N

Ŋ/dt) = v d/dt

Σ mΩ r. Ω ; dŊ/dt = 0 (23.34)

Ω

Podstawienie tych zaleŜności do wyraŜenia (23.30) dla

rΩ do równania (23.26) i (23.27) prowadzi do znanych

praw zachowania :
N N N N
d/dt [ a

Σ pΩ + d Σ r Ω

p Ω – v ( Σ pΩ - Σ mΩ rΩ ) ] = 0 (23.35)

Ω

d/dt (

H) = 0 (23.36)

które dokładnie zostały omówione w rozdziale 15.
Podstawiając wyraŜenie (15.1) dla nieskończenie małej funkcji tworzącej I do wzoru (23.15) , dla funkcji
tworzącej F, otrzymujemy :
N
F = - v

Σ mΩ rΩ -

L (23.37)

Ω

co w pełni zgadza się z zaleŜnościami (23.29) i (23.33).

24. ZASTOSOWANIE TEORII DO POLA SCHRÖDINGEROWSKIEGO.

W niniejszym rozdziale będziemy rozpatrywali pole schrödingerowskie ( pole typu Schrödingera ) Ψ,
oddziałujące wzajemnie z zewnętrznym polem elektromagnetycznym A,

. JeŜeli wyjdziemy od gęstości

lagranŜjanu , symetrycznej względem funkcji polowej Ψ i sprzęŜonej do niej w sposób zespolony ( hermitowsko

sprzęŜonej – przypis własny ) funkcji polowej Ψ*, postaci :

₤ = ½ ħ2/m0 { (grad Ψ*+ i

A Ψ* )(grad Ψ + i

A Ψ ) + (im0 /ħ ) [ (

∂

Ψ*/

∂

t) Ψ - Ψ*(

∂

Ψ*/

∂

t) ] +

+ (2m0V/ħ

2 ) Ψ* Ψ } (24.1)

gdzie :

= e/ ħc , V = e

- jest energią potencjalną .

to gęstość taka będzie wielkością rzeczywistą :

₤ = ₤* (24.2)
a to znacznie uprości nam obliczenia.
RóŜniczkując wyraŜenie (24.1) i wykorzystując oznaczenia wprowadzone w rozdziale 20, otrzymamy wzory :

∂

₤/

∂

Ψ = - (½ ħ2/m0) [ -i

A (grad Ψ*+ i

A Ψ* ) + (im0 /ħ) (

∂

Ψ*/

∂

t)+ (2m0V/ħ

2 ) VΨ* ] (24.3)

∂

₤/

∂

Ψ|

= - ½ ħ

2/m

0 ( Ψ

+ i

Ψ* ) (24.4)

Π =

∂

₤/

∂

(

∂

Ψ/

∂

t) = - ½ ħ

2/m

0 ( - im0Ψ

*/ ħ ) (24.5)

Warunek rzeczywistości gęstości lagranŜjanu (24.2) daje nam tą dogodność , Ŝe odpowiednie wzory odnoszące

się do Ψ*, otrzymujemy poprzez prostą zamianę wszystkich wielkości - wielkościami zespolenie sprzęŜonymi.
Równanie Lagrange’a (19.12) rozpada się w tym przypadku na dwa równania :

₤/

Ψ =

∂

₤/

∂

Ψ – (

∂

₤/

∂

Ψ|

) |

∂

t [

∂

₤/

∂

(

∂

Ψ/

∂

t) ] = 0 (24.6)

₤/

Ψ* =

∂

₤/

∂

Ψ* – (

∂

₤/

∂

Ψ*|

) |

∂

t [

∂

₤/

∂

(

∂

Ψ*/

∂

t) ] = 0 (24.7)

Podstawiając do ostatniego równania otrzymane wcześniej wyraŜenia dla pochodnych cząstkowych , prowadzi
do znanego ( z mechaniki kwantowej ) równania Schrödingera :

∆Ψ – 2i

Agrad Ψ - i

divA Ψ -

2A2 Ψ - (2m

0V/ħ

2 )Ψ = (2m

0/ iħ

) (

∂

Ψ /

∂

t) (24.8)

Równanie (24.6) przy tym przekształca się do równania Schrödingera dla funkcji hermitowsko sprzęŜonej.
Zgodnie z równaniem (20.5) , znajdujemy gęstość hamiltonianu :

Ħ = Π (

∂

Ψ/

∂

t) + Π* (

∂

Ψ*/

∂

t) - ₤ = (½ ħ2/m0) [ (grad Ψ

*+ i

A Ψ* )(grad Ψ + i

A Ψ ) +

+ (2m0V/ħ

2 ) Ψ* Ψ ] (24.9)

która równieŜ jest rzeczywista :

Ħ = Ħ* (24.10)
Na mocy równości (24.5) wyraŜenie (24.9) moŜna zapisać w następującej postaci :

Ħ = - (iħ/m0) [ (grad Π+ i

AΠ ) (grad Ψ + i

A Ψ ) + (2m0V/ħ

2 ) Π Ψ ] (24.11)

W tym przykładzie mamy do czynienia z pewnym osobnym przypadkiem , wynikającym z tego ,Ŝe na mocy

równości (24.5) funkcja pędu Π , z dokładnością do pewnego stałego czynnika jest zgodna z funkcją pola Ψ*;

analogiczna zaleŜność istnieje równieŜ między Π*i Ψ. Na tą okoliczność naleŜy zwrócić dokładniejszą uwagę ,

dlatego, Ŝe teraz nie jest juŜ spełniony warunek niezaleŜności wielkości UΩ i Π

Ω , wprowadzony w rozdziale 20

i odpowiednio zatem wprowadzone w tym rozdziale wzory nie są stosowalne bezpośrednio. W związku z tymi

związkami w wyraŜeniach dotyczących gęstości hamiltonianu pojawiają się człony grad Π i grad Π* , , naleŜy
zatem uogólnić równania Hamiltona (20.19) w następujący sposób :

∂

Ψ/

∂

t =

∂

ΦH/

∂

ΦΠ = (

∂

Ħ/

∂

Π) – (

∂

Ħ/

∂

Π|

) |

(24.12)

∂

Π/

∂

t = -

∂

ΦH/

∂

ΦΨ = - [ (

∂

Ħ/

∂

Π) – (

∂

Ħ/

∂

Ψ|

) ] (24.13)

Zgodnie z tym powinniśmy wybrać odpowiednie wyraŜenie dla gęstości Hamiltona. Uwzględniając zaleŜność :

Π Ψ = Π* Ψ* (24.14)

wyraŜenie (24.11) moŜna zapisać w następującej ,symetrycznej postaci :

Ħ = - (iħ/2m0) [ (grad Π+ i

AΠ ) (grad Ψ + i

AΨ ) - (grad Π*+ i

AΠ* )(grad Ψ* + i

AΨ* ) +

+ (2m0V/ħ

2 ) ( Π Ψ - Π* Ψ* ) ] (24.15)

Skąd znajdujemy :

∂

Ħ/

∂

Ψ = - (iħ/2m0) [ -i

A(grad Π + i

AΠ ) + (2m0V/ħ

2 )Π ] (24.16)

∂

Ħ/

∂

grad Ψ = - (iħ/2m0) ( grad Π + i

AΠ ) (24.17)

∂

Ħ/

∂

Π = - (iħ/2m0) [ i

A(grad Ψ + i

AΨ ) + (2m0V/ħ

2 )Ψ ] (24.18)

∂

Ħ/

∂

grad Π = - (iħ/2m0) ( grad Ψ + i

AΨ ) (24.19)

Podstawiając te wyraŜenia do równania Hamiltona (24.12) i (24.13) , otrzymamy :

∂

Ψ/

∂

t = (iħ/2m0) [ ∆Ψ – i

divAΨ - 2 i

grad Ψ -

2A2 Ψ - (2m

0V/ħ

2 )Ψ ) (24.20)

∂

Π/

∂

t = - (iħ/2m0) [ ∆Π – i

divAΠ - 2 i

grad Π -

2A2 Π - (2m

0V/ħ

2 )Π ) (24.21)

W tych dwóch równaniach Hamiltona bez trudu rozpoznajemy równania Schrödingera dla funkcji Ψ i Ψ* .
Teraz przejdę , konkretnie do zastosowania teorii Noether. PoniewaŜ teoria Schrödingera nie jest
relatywistycznie inwariantna nie będziemy zajmować się symetriami związanymi z przekształceniem
współrzędnych , zbadamy tylko „symetrię fazową”.
Przez bezpośrednie podstawienie moŜna przekonać się , Ŝe gęstość lagranŜjanu (24.1) jest inwariantna względem
„przekształcenia fazowego” :

Ψ~ = Ψei

; Ψ~* = Ψ*e-i

(24.22)

gdzie :

- jest pewną stałą rzeczywistą.

Dla nieskończenie małego przekształcenia ( z nieskończenie małą wartością

) mamy :

Ψ~ = Ψ + i

Ψ ; Ψ~* = Ψ* - i

Ψ* (24.23)

lub

Ψ = i

Ψ ;

Ψ* = - i

Ψ* (24.24)

Przy zastosowaniu ogólnej teorii wyjdziemy od róŜniczkowego prawa zachowania (22.69). Na mocy

inwariantności gęstości lagranŜjanu mamy ;

Ŋj = 0 , zatem :

(Πj

Ψ + Π*j

Ψ* ) | j = (Π

Ψ + Π*

Ψ* ) |

∂

t (Π

Ψ + Π*

Ψ* ) = 0 (24.25)

Podstawiając do tego równania wyraŜenia (24.4) , (24.5) i (24.24) dochodzimy do równania ciągłości :

∂

t ( Ψ Ψ* ) + (iħ/2m0) ( Ψ

* |

Ψ - Ψ |

Ψ* + 2 i

Ψ* Ψ ) |

= 0 (24.26)

W równaniu tym występuje „gęstość prawdopodobieństwa” :

w = Ψ Ψ* (24.27)
oraz „gęstość prądu prawdopodobieństwa” :

J = (ħ/2im0) ( Ψ

* grad Ψ - Ψ grad Ψ* - 2 i

A Ψ* Ψ ) (24.28)

Zatem , z symetrii fazowej wynika prawo zachowania prawdopodobieństwa. W teorii jednocząsteczkowej prawo
to moŜna utoŜsamić z prawem zachowania ładunku elektrycznego.

25. ZASTOSOWANIE TEORII DO UKŁADU POLA MAXWELOWSKIEGO I KLEIN-
GORDONOWSKIEGO.

Oznaczmy zespoloną funkcję falową pola Kleina-Gordona , przez

, a 4-potencjał pola Maxwella przez Ai

( tak jak w rozdziale 16 ) następnie zauwaŜmy ,Ŝe tensor pola elektromagnetycznego Bmn związany jest z 4-
potencjałem w następujący sposób :
Bmn = An | m – Am | n (25.1)
Gęstość lagranŜjanu dla naszego układu dwóch pól będzie maiła postać :

₤ = - (ħ2/ 2m0 ) [ (

* | m + i

* )(

| m + i

) + (m0

2c2/ħ2)

] – ¼ BmnB

mn (25.2)

gdzie :

= e/ħc , m0 – jest masą spoczynkową.

Przy tym 4-potencjał zgodnie z równaniem (16.36) , zbudowany jest z potencjału wektorowego A i potencjału
skalarnego

Ai = ( A , -

)

a tensor pola elektromagnetycznego wyraŜony jest przez składowe E

i B

- natęŜenia pól , odpowiednio

elektrycznego i magnetycznego :

[ 0 B3 -B2 | E1 ]
Bmn = [ -B

3 0 B1 | E

2 ] (25.3)

                 -----------------------
               [ -E1 -E2  -E3  |  0   ]
Układy równań Maxwella przy cyklicznym przestawieniu indeksów :
Bmn | k  =  Bmn | k  + Bkm | n + Bnk | m  = 0                                                                                                  (25.4)
w trójwymiarowym zapisie mające postać :
rot E = - (1/c)

∂

t ; div B = 0 (25.5)

są toŜsamościami na mocy (25.1)
Trójwymiarowy zapis zaleŜności (25.1) wygląda następująco :
E = - grad

- (1/c) (

∂

t ) ; B = rot A (25.6)

Gęstość lagranŜjanu (25.2) jest wielkością rzeczywistą :
₤ = ₤* (25.7)
Dla dalszych obliczeń korzystnie będzie jeśli zapiszemy wyraŜenie (25.2) w trójwymiarowej postaci , zakładając
V = e

₤ = - (ħ2/ 2m0 ) { (grad

* + i

* )(grad

+ i

) – (1/c2) [ (

∂Φ

∂

t) – (iV/ħ)

* )]

[(

∂Φ

∂

t) – (iV/ħ)

)] + (m0

2c2/ħ2)

} + ½ ( E2 – B2 ) (25.8)

RóŜniczkując to wyraŜenie , otrzymujemy następujące zaleŜności :

(

∂

₤ /

∂Φ

) = - (ħ2/ 2m0

) [ -i

Am (

* | m + i

* ) + (m0

2c2/ħ2)

* ] (25.9)

Πm = (

∂

₤ /

∂Φ

| m ) = - (ħ

2/ 2m

) (

* | m + i

* ) (25.10)

= (

∂

₤ /

∂Φ

) = - (ħ

2/ 2m

) (

* |

+ i

* ) (25.11)

Π =

∂

₤ /

∂

(

∂Φ

∂

t) = - (ħ

2/ 2m

) { - (1/c2) [(

∂Φ

∂

t) – (iV/ħ)

* ] (25.12)

(

∂

₤ /

∂

) = (eħ /2m

0ci) (

| i -

* | i

- 2i

Ai ) (25.13)

ij =

∂

₤ /

∂

A i | j = B

ij (25.14)

i = (1/c)

i4 =

∂

₤ /

∂

(

∂

t) = (1/c)Bi4 (25.15)

πµ

= (1/c)

πµ

4 =

∂

₤ /

∂

(

∂

t) = - (1/c)Ei (25.16)

4 = (1/c)

44 = 0 (25.17)

Aby nie utracić ogólnej perspektywy , jeszcze raz oddzielnie wypiszemy kanonicznie sprzęŜone zmienne :

↔

;

↔

* ; A

↔

- (1/c)E

;

↔

0 (25.18)

Zatem , dla potencjału skalarnego nie istnieje kanonicznie sprzęŜona funkcja pędu. Z danego wyniku wypływają
daleko idące wnioski dotyczące elektrodynamiki kwantowej , nie mam jednak moŜliwości zająć się tym
problemem dokładniej.
Równanie Lagrange’a (19.12) rozbijemy na trzy równania :
(

₤ /

δΦ

) = (

∂

₤ /

∂Φ

) – (

∂

₤ /

∂Φ

| m )| m

= 0 (25.19)

(

₤ /

δΦ

*) = (

∂

₤ /

∂Φ

*) – (

∂

₤ /

∂Φ

*| m )| m

= 0 (25.20)

(

₤ /

Ai ) = (

∂

₤ /

∂

Ai ) – (

∂

₤ /

∂

Ai | j )| j

= 0 (25.21)

Podstawienie do równania (25.20) wyraŜeń hermitowsko sprzęŜonych do wyraŜeń (25.9) i (25.10) pozwala
otrzymać równanie Kleina-Gordona :

| j

| j - 2i

| j

2 A

j A

- i

A| j | j

- (m

2c2/ħ2)

= 0 (25.22)

Równanie (25.19) przy tym przechodzi w równanie Kleina –Gordona dla funkcji hermitowsko sprzęŜonej.
Wprowadzimy skrócone oznaczenia :

j i = (eħ/2m0i) (

| i -

*| i

- 2 i

Ai ) (25.23)

dla 4-wektora gęstości prądu elektrycznego , odpowiadającemu polu Kleina –Gordona , wtedy z równania
(25.21) otrzymamy układ niejednorodnych równań Maxwella :

Bij | j = j

/ c (25.24)

Przechodząc do trójwymiarowego zapisu i zakładając :

ji = ( j , c

) (25.25)

otrzymamy znane równania Maxwella :
*) Równania (25.26) róŜnią się od bardziej rozpowszechnionej formy zapisu brakiem mnoŜnika 4

przy j oraz

Czynnik ten otrzymamy automatycznie jeŜeli w wyraŜeniu (25.2) dla gęstości lagranŜjanu zmienimy

współczynnik – ¼ , w ostatniej składowej na – 1/16

i odpowiednio we wzorze (25.8) zamienimy ½ na 1/8

przypis redaktora *)
rot B = (1/c) [ (

∂

t) + j ) , div E =

(25.26)

Teraz ze wzoru (20.5) obliczymy gęstość hamiltonianu :

Ħ =

(

∂Φ

∂

t) +

* (

∂Φ

∂

t) +

πµ

(

∂

t) - ₤ = (ħ2/2m0)[ (grad

* + i

* )(grad

+ i

) +

+ (1/c2)(

∂Φ

∂

t)(

∂Φ

∂

t) – (V2/c2ħ2)

ΦΦ

* + (m0

2c2/ħ2)

ΦΦ

* ] + ½ ( E2 – B2 ) + E grad

(25.27)

Przy pomocy zaleŜności (25.12) i (25.16) moŜna nadać temu wyraŜeniu elegancką formę

Ħ = (2m0c2/ħ2) [

+ ( iVħ/2m0c

2) (

* -

ΠΦ

)] + ½ c2

πµ

- c

πµ

+ (25.28)

+ ( ħ2/2m0) [ (grad

* + i

* )(grad

+ i

) + (m0

2c2/ħ2)

ΦΦ

* ] + ½ ( A

- A

) A

Przy tym zapisie wykorzystaliśmy toŜsamość :

( rot A )2 = ( A

- A

) A

(25.29)

RóŜniczkując , otrzymujemy wzory postaci :

∂

Ħ/

∂Φ

= ( ħ2/2m0) [ - i

A (grad

* + i

* ) + (m0

2c2/ħ2)

* ] – (iV/ħ)

(25.30)

∂

Ħ/

∂

grad

= ( ħ2/2m0) (grad

* + i

* ) (25.31)

∂

Ħ/

∂Π

= (2m0c

2/ħ2) [

* - ( iVħ/2m0c

) (25.32)

∂

Ħ/

∂

A = ( ieħ2/2m0c) (

* grad

grad

* - 2 i

) = - (1/c) j (25.33)

∂

Ħ/

∂

= B

νµ

(25.34)

∂

Ħ/

∂πµ

= c2

πµ

- c

(25.35)

∂

Ħ/

∂ϕ

= (ie/ħ ) (

* -

ΠΦ

) (25.36)

∂

Ħ/

∂ϕ

= -c

πµ

(25.37)

Równania Hamiltona (20.19) przyjmują następującą postać :

∂Φ

∂

t =

∂Φ

Ħ/

∂ΦΠ

∂

Ħ/

∂Π

(25.38)

∂Π

∂

t = -

∂Φ

Ħ/

∂ΦΠ

= - [ (

∂

Ħ/

∂Π

) – (

∂

Ħ/

∂Φ

) |

] (25.39)

∂

t =

∂Φ

Ħ/

∂Φπµ

∂

Ħ/

∂πµ

(25.40)

∂ϕ

∂

t =

∂Φ

Ħ/

∂Φπ

∂

Ħ/

∂π

(25.41)

∂πν

∂

t = -

∂Φ

Ħ/

∂Φ

= - [ (

∂

Ħ/

∂

) - (

∂

Ħ/

∂

) |

] (25.42)

∂π

∂

t = -

∂Φ

Ħ/

∂Φϕ

= - [ (

∂

Ħ/

∂ϕ

) - (

∂

Ħ/

∂ϕ

) |

] (25.43)

Jeśli do równania (25.38) podstawimy wyraŜenie (25.32) i wykorzystamy wzór (25.12) , to otrzymamy
toŜsamość.
Podstawienie (25.30) i (25.31) do (25.39) daje :

∂Π

∂

t = (iV/ħ )

+ ( ħ2/2m0) [

∆Φ

* + i

div A

* + 2i

A grad

* -

2A2

* - (m0

2c2/ħ2)

* ] (25.44)

Przy pomocy wzoru (25.12) równanie to moŜemy zapisać jako równanie Kleina-Gordona dla funkcji
hermitowsko sprzęŜonej :

* | m |m + i

Am |m

* + 2i

* |m -

2Am A

* - (m0

2c2/ħ2)

* = 0 (25.45)

Równanie (25.40) po uwzględnieniu równości (25.35) prowadzi do znanego juŜ nam równania :
E = - grad

- (1/c) (

∂

t) (25.46)

równania (25.41) dalej juŜ nie będziemy wykorzystywać.
Równanie (25.42) przy podstawieniu do niego wyraŜeń (25.33) i (25.34) przekształca się w równanie Maxwella :

νµ

= (1/c) [ (

∂

t) + j

] lub rot B = (1/c) [ (

∂

t) + j ] (25.47)

a z równania (25.43) i wzoru (25.12) wynika , Ŝe :

πµ

= -i

(

* -

ΠΦ

) = (eħ/2m0c

3i ) [

* (

∂Φ

∂

t) -

(

∂Φ

∂

t) + (2iV/ħ)

] (25.48)

Odpowiednio do zaleŜności (25.25) gęstość ładunku dla pola Kleina –Gordona definiowana jest zgodnie ze
wzorem :

= (ieħ/2m0c

2 ) [

* (

∂Φ

∂

t) -

(

∂Φ

∂

t) + (2iV/ħ)

] (25.49)

i dlatego na mocy równania (25.16) równanie (25.48) zapisujemy następująco :
div E =

(25.50)

PoniewaŜ dla pola maxwellowskiego w charakterze wyjściowych funkcji polowych bierzemy A i

, a B

definiujemy równością : B = rot A , skąd wynika , Ŝe :

div B = 0 (25.51)
a poniewaŜ zastosowanie operatora rot, do równania (25.46) prowadzi do równania :
rot E = - (1/c)

∂

t (25.52)

moŜemy dojść do stwierdzenia , Ŝe równania Hamiltona odpowiadają równaniom kombinowanego pola
Maxwella-Kleina-Gordona.
Zbadajmy teraz symetrię tego pola. Na mocy inwariantności gęstości lagranŜjanu (25.2) przy przekształceniach
jednorodnych Lorentza wynikają z tego prawa zachowania energii-pędu (22.78) ( odpowiednio równieŜ (22.89) )
, prawa zachowania momentu pędu oraz prawo zachowania prędkości środka mas (22.83 ) ( odpowiednio
równieŜ (22.91). Ogólne zaleŜności teoretyczne przedstawiliśmy powyŜej , dalej zatem moŜemy nimi się nie
zajmować. W tej chwili znajdziemy tylko tensory – energii-pędu (22.66) i (22.88) otrzymując tym samym
najistotniejsze informacje.
Kanoniczny tensor energii-pędu (22.66) ma teraz postać :

Ŧji =

| j +

* | j +

ki A

k | j - ₤g

j (25.53)

Podstawmy do tego wzoru wyraŜenia (25.10) I (25.14) , co pozwoli otrzymać :

Ŧji = (ħ2/2m0) [

*| i

| j +

*| j

| i + i

Ai (

| j -

*| j ) ] + B

i Ak | j - ₤gji (25.54)

Aby otrzymać symetryczny tensor energii-pędu (22.88) naleŜy przede wszystkim obliczyć wielkość (22.79).

PoniewaŜ pole Kleina-Gordona jest polem skalarnym , odpowiednie współczynniki S

ΓΩ

zerują się , co

powoduj e, Ŝe do sumy (22.79) wejdzie tylko 4-potencjał :

Ħjmn = Sikmn

Ai (25.55)

Dla tensorów spełniona jest zaleŜność (22.21), dlatego :

Ħjmn = ½ ( gmk gin - gim g nk )

Ai = ½ ( Bm

j An

- B

Am ) (25.56)

Podstawimy teraz ten rezultat do wzoru (22.88) I zgodnie z (25.24) otrzymamy :

Tji = Ŧji + ( B

Aj )| m = Ŧji + (1/c) ji Aj + Bi

Aj | k (25.57)

Zmiana ji na wyraŜenie (25.23) prowadzi do ostatecznego wyraŜenia dla symetrycznego tensora energii-pędu :
Tji = - (ħ

2/2m

0){ [ (

*| i + j

*) (

| i - i

) + (

*| i + i

*) (

| j - i

) ] –

- gmk [ (

*| m + i

*) (

| m k - i

) + (m0

2c2/ħ2)

] } + Eji (25.58)

Elektromagnetyczna część tego tensora :

Eji = Bj

k B

ki + ¼ gji BmnB

(25.59)

nazywa się „tensorem Minkowskiego“.
Podstawową rolę odgrywa gęstość energii :

4 = (ħ/2m

0) [(grad

* + i

* )(grad

+ i

) + (1/c2)(

∂Φ

∂

t) (

∂Φ

∂

t) + (V2/c2/ħ2)

+ (m0

2c2/ħ2)

ΦΦ

* + (iV/c2ħ)[ (

∂Φ

∂

- (

∂Φ

∂

* ] + ½ ( E2 – B2 ) (25.60)

Odejumując to wyraŜenie od wyraŜenia (25.27) oraz wykorzystując wzór (25.49), otrzymujemy :

Ħ -T44 = E grad

- ( ieħ/2m0c

[ (

∂Φ

∂

t) (

∂Φ

∂

t) + (V2/c2/ħ2)

] = E grad

ρϕ

= div (

E ) (25.61)

Zatem gęstość energii róŜni się od gęstości hamiltonianu o człon dywergentny. Kiedy ten człon staje się równy
zeru podczas całkowania względem przestrzeni funkcja Hamiltona zrównuje się z energia układu pól.
Na zakończenie rozpatrzymy „symetrię cechowania” – jedyną postać symetrii , która pozostała nam do zbadania.
Gęstość lagranŜjanu w oczywisty sposób jest inwariantna względem „przekształcenia cechowania” :

A~i = Ai +

| i ;

~ =

αχ

;

~* =

*e-i

αχ

(25.62)

gdzie :

- funkcja rzeczywista cechowania.

Dla nieskończenie małej funkcji

, mamy :

A~i = Ai +

| i ;

~ =

~ i

αχΦ

~ ;

~* =

* - i

αχΦ

* (25.63)

lub

Ai =

| i ;

δΦ

= i

αχΦ

;

δΦ

* = - i

αχΦ

* (25.64)

Stosując do tego przypadku róŜniczkowe prawo zachowania (22.69) na mocy równości :

Ŋj = 0 przyjmuje ono

następującą postać :

(

δΦ

* +

Ak ) | i = 0 (25.65)

Podstawiając do tego równania wartości :

i ,

ki ,

δΦ

* , odpowiadające odpowiednio wzorom (25.10)

, (25.14) i (25.64) oraz wprowadzając wielkość ji zgodnie ze wzorem (25.23) , otrzymujemy :

[ Bki | i - (1/c) j

k ]

| k - (1/c) j

| i

= 0 tj . ji | i = 0 (25.66)

Zatem , z warunku symetrii cechowania wynika prawo zachowania ładunku.

26. ZASTOSOWANIE TEORII DO UKŁADU PÓL MAXWELLOWSKIEGO I DIRAKOWSKIEGO.

Oznaczmy przez

bispinor Diraca , opisujący pole Diraca , przez

+ - bispinor hermitowsko sprzęŜony.

, a przez :

^ =

(26.1)

bispinor sprzęŜony. Wykorzystując „macierze Diraca”

k spełniające zaleŜność :

m +

k = 2gkm (26.2)

gęstość lagranŜjanu moŜna zapisać w następującej postaci :

₤ = - ½ ħc [

k (

| k - i

) – (

| k

+ i

^ )

+ (2m0c/ħ)

ΨΨ

^ ] – ¼ B

mnB

(26.3)

Uwzględniając zaleŜności komutacyjne :

βγ

k +

= 0 (26.4)

wiąŜące

= i

4 i

k , moŜemy pokazać , Ŝe gęstość lagranŜjanu jest rzeczywista :

₤ = ₤* (26.5)
RóŜniczkując otrzymamy następujące zaleŜności :

∂

₤/

∂Ψ

= - ½ ħc [ -

| k

k - 2i

k + (2m

0c/ħ)

^ ] (26.6)

∂

₤/

∂Ψ

+ = - ½ iħc

4 [

| k - 2i

k + (2m

0c/ħ)

] (26.7)

i =

∂

₤/

∂Ψ

| i = - ½ ħc

i (26.8)

i+ =

∂

₤/

∂Ψ

| i = ½ ħc

(26.9)

Πµ

∂

₤/

∂Ψ

= - ½ ħc

γµ

(26.10)

Πµ

+ =

∂

₤/

∂Ψ

= ½ ħc

γµ

(26.11)

∂

₤/

∂

(

∂Ψ

∂

t ) = ½ ħc

(26.12)

+ =

∂

₤/

∂

(

∂Ψ

∂

t) = ½ ħc

(26.13)

Wprowadzając , dla uproszczenia zapisu, „dirakowski 4-wektor gęstości prądu” :

jk = iec

(26.14)

otrzymamy :

∂

₤/

∂

Ai = (1/c) j

i (26.15)

Oprócz tego . mają miejsce podobne wzory jaki wprowadziliśmy w poprzednim rozdziale :

ij =

∂

₤/

∂

Ai | j = B

ij (26.16)

i = (1/c)

i4 =

∂

₤/

∂

(

∂

Ai /

∂

t) = (1/c) Bi4 (26.17)

πµ

= (1/c)

πµ

4 =

∂

₤/

∂

(

∂

t) = (1/c) Bi

(26.18)

44 /c = 0 (26.19)

Między kanonicznie sprzęŜonymi zmiennymi dirakowskiego pola mają miejsce następujące odpowiedniości :

↔

= ½ ħc

;

↔

= - ½ ħc

(26.20)

Zatem , funkcje polowe i funkcje pędów nie są wielkościami wzajemnie niezaleŜnymi – jest to sytuacja taka jak
dla pola schrödingerowskiego. Równanie Lagrange’a (19.12) zawiera obecnie trzy równania postaci :

₤/

δΨ

∂

₤/

∂Ψ

- (

∂

₤/

∂Ψ

| m ) | m = 0 (26.21)

₤/

δΨ

+ =

∂

₤/

∂Ψ

+ - (

∂

₤/

∂Ψ

| m ) | m = 0 (26.22)

₤/

Ai =

∂

₤/

∂

Ai – (

∂

₤/

∂

Ai | j ) | j = 0 (26.23)

Na mocy zaleŜności (26.15) od razu staje się jasne , Ŝe ostatnie równanie odtwarza układ niejednorodnych
równań Maxwella.
Podstawiając wyraŜenia (26.9) do równania (26.22) otrzymujemy znane równanie Diraca :

k (

| k - i

) + (m0c/ħ)

= 0 (26.24)

i przy tym równanie (26.21) przechodzi w równanie Diraca dla funkcji sprzęŜonej :

(

^ | k - i

^ )

k - (m

0c/ħ)

^ = 0 (26.25)

Przy podstawieniu tych równań pola do gęstości lagranŜjanu składowe, związane z polem dirackowskim
toŜsamościowo równają się zeru , zatem z wyraŜenia (26.3) otrzymamy :

₤ = ¼ BmnBmn (26.26)
Obliczymy teraz gęstość hamiltonianu zgodnie ze wzorem (20.5) :

Ħ =

(

∂Ψ

∂

t) + (

∂Ψ

∂

+ +

πµ

(

∂

t) - ₤ = ½ iħ [

+ (

∂Ψ

∂

t) - (

∂Ψ

∂

] + ½ ( E2 – B2 ) +

+ E grad

(26.27)

Aby nadać temu wyraŜeniu wymaganą strukturę , wykluczymy pochodne cząstkowe względem czasu przy
pomocy równań Diraca , co pozwala otrzymać w pierwszej kolejności :

Ħ = ½ iħc [

γµ

(

- i

µΨ

) - (

+ i

µΨ

+ )

γµ

- (2iV/ħc)

ΨΨ

+ + (2m

0c/ħ)

] +

+ ½ ( E2 – B2 ) + E grad

= ½ iħc [

γµ

+ (2m0c/ħ)

] – (1/c) jm Am +

+ ½ ( E2 – B2 ) + E grad

(26.28)

a następnie , przyjmując do wiadomości zaleŜności (26.12) i (26.13) otrzymujemy :

Ħ = c [

γµ

+ (2m0c/ħ)

] - (1/c) jm A

m + ½ ( E

2 – B2 ) + E grad

(26.29)

Równanie to jest analogiczne do równania (24.11) w teorii Schrödingera. Uwagi przedstawione w związku z
równaniem (24.11) pozostają w mocy równieŜ obecnie.
W związku z zaleŜnością miedzy funkcjami polowymi a funkcjami pędów równania Hamiltona dla pola Diraca
powinny mieć następującą postać :

∂Ψ

∂

t =

∂Φ

Ħ/

∂ΦΠ

∂

Ħ/

∂Π

- (

∂

Ħ/

∂Π

) |

(26.30)

∂Π

∂

t =

∂Φ

Ħ/

∂ΦΨ

= - [ (

∂

Ħ/

∂Ψ

) - (

∂

Ħ/

∂Ψ

) |

(26.31)

Przy tym gęstość hamiltonianu naleŜy przedstawić w postaci symetrycznej :

Ħ = ½ c [

γµ

+ -

γµ

+ 2i

(

γµ

+ -

γµ

) – (2iV/ħc) (

ΠΨ

+ ) + (2m

0c/ħ) (

Πγ

+ ) ] +

+ ½ ( E2 – B2 ) + E grad

(26.32)

o symetryczności takiego zapisu moŜemy od razu przekonać się z zaleŜności postaci :

....

= -

+ ....

+ (26.33)

RóŜniczkując znajdujemy :

∂

Ħ/

∂Ψ

= ½ c [ -

Πµ

γµ

- 2i

γµ

– (2iV/ħc)

+ (2m0c/ħ)

Πγ

4 ] (26.34)

∂

Ħ/

∂Ψ

= ½ c

Πµ

γµ

(26.35)

∂

Ħ/

∂Π

= ½ c [

γµ

- 2i

µγ

γµ

– (2iV/ħc)

+ (2m0c/ħ)

] (26.36)

∂

Ħ/

∂Π

= ½ c

γµ

(26.37)

∂

Ħ/

∂

= i

c (

γµ

+ -

γµ

) = - (1/c) j

(26.38)

∂

Ħ/

∂

= B

νµ

(26.39)

∂

Ħ/

∂πµ

= c2

πµ

- c

(26.40)

∂

Ħ/

∂ϕ

= - (ie/ħ) (

ΠΨ

+ ) (26.41)

∂

Ħ/

∂ϕ

= - c

πµ

(26.42)

Podstawmy teraz te wyraŜenia do równania Hamiltona (26.30) I (26.31). Przy tym pierwsze z nich zapiszemy
następująco :

∂Ψ

∂

t = c [

γµ

- 2i

γµ

– (iV/ħc)

+ (m0c/ħ)

] (26.43)

a drugie :

∂Π

∂

t = c [

γµ

- 2i

Πγ

γµ

– (iV/ħc)

+ (m0c/ħ)

4 ] (26.44)

Prostymi rachunkami moŜemy udowodnić , Ŝe te równania Hamiltona są identyczne jak równania Diraca (26.24)
i (26.25).
Dla wielkości elektromagnetycznych moŜna otrzymać równania Hamiltona w postaci równań (25.40) – (25.43).
Przy tym niczego nowego nie otrzymujemy - naleŜy jedynie uwzględnić to ,Ŝe dla 4-wektor gęstości prądu ma
teraz składowe :

= iec

= e

(26.45)

Teraz , podobnie jak w poprzednim rozdziale , zbadamy symetrię pola.
Na mocy inwariantności gęstości lagranŜjanu (26.3) przy niejednorodnych przekształceniach Lorentza znów
spełnione jest prawo zachowania energii-pędu (22.78) ( odpowiednio (22.89) ) oraz prawo zachowania momentu
pędu i prędkości środka mas (22.83). (odpowiednio (22.91) ). Obliczmy tensor energii-pędu , który jest dla nas
wielkością kluczową.

Dla kanonicznego tensora energii-pędu (22.66) mamy :

Ŧij =

| j +

| j

i+ +

ki A

k | j + ¼ g

j Bmn B

(25.46)

Podstawiając do tego wyraŜenia wartości (26.8) I (26.9) dla

i i

i+ , otrzymamy :

Ŧij = - ½ ħc [

| j -

^ | j

] + Bk i Ak | j + ¼ g

j Bmn B

(25.47)

Dla pól spinorowych znalezienie symetrycznego tensora energii-pędu , otrzymywanego z einsteinowskich
równań pola , związane jest z dosyć skomplikowanymi obliczeniami. ( zobacz Schmutzer [1] )
Dlatego wprowadzę tylko ostateczny wynik takich obliczeń tego symetrycznego tensora :
Ŧji = - ¼ ħc {

^ [

i (

| i - i

) +

i (

| j - i

)] – [ (

^| j - i

^ )

i + (

^| i - i

^ )

j ]

} + Eji (25.48)

Przy tym część elektromagnetyczna tensora, określona jest wzorem (25.59).
Stąd dla gęstości energii otrzymujemy następujące wyraŜenie :

Ŧ44 = ½ ħc [

+ (

∂Ψ

∂

t) – (

∂

+(2iV/ħ)

] + ½ ( E2 – B2 ) (25.49)

Odejmując to wyraŜenie od wyraŜenia (26.27) dla gęstości hamiltonianu , dochodzimy do następującego wyniku

Ħ - Ŧ44 = E grad

ϕρ

= div (E

) (26.50)

tj. do takiego samego wyniku co dla pola Maxwella-Kleina-Gordona. Odpowiednio zatem , równieŜ dla pola
Maxwella-Diraka funkcja Hamiltona i energia układu są , jak być powinno ,równe.
Pole Maxwella-Diraka charakteryzuje się równieŜ symetrią cechowania tj. gęstość lagranŜjanu jest inwariantna
względem przekształceń cechowania :

A~i = Ai +

| i ;

~ =

αχ

;

^~ =

^ e-i

αχ

(26.51)

(

- rzeczywista funkcja cechowania ). Dla nieskończenie małej funkcji

, otrzymujemy :

A~i = Ai +

| i ;

~ =

+ i

αχΨ

;

^~ =

^ - i

αχΨ

(26.52)

lub :

Ai =

| i ;

δΨ

= i

αχΨ

;

δΨ

^~ = - i

αχΨ

(26.53)

Stosując do tego przypadku róŜniczkowe prawo zachowania (22.69) na mocy równości :

Ŋj = 0 przyjmuje ono

następującą postać :

(

δΨ

I+ +

Ak ) | i = 0 (26.54)

Podstawiając tutaj wyraŜenia (26.8) , (26.9) , (26.16) I (26.53) z uwzględnieniem równości (26.14) otrzymujemy

[ Bki| i – (1/c)j

k )

| k - (1/c) j

| i

= 0 ; tj. ji | i = 0 (26.55)

Zatem równieŜ w tym przypadku prawo zachowania ładunku jest następstwem inwariantności ze względu na
cechowanie.