Przykład 5.4. Układ przestrzenny II
Wyznaczyć reakcje i siły w prętach zakończonych obustronnie przegubami, w ramie
przestrzennej o podanym schemacie.
Rozwiązanie.
Uwalniamy układ z więzów wprowadzając odpowiadające im reakcje.
Przykład 5.4. Układ przestrzenny II
Wyznaczyć reakcje i siły w prętach zakończonych obustronnie przegubami, w ramie
przestrzennej o podanym schemacie.
Rozwiązanie.
Uwalniamy układ z więzów wprowadzając odpowiadające im reakcje.
2
Przedmiotowy układ przestrzenny możemy potraktować jako dwa elementy przestrzenne
połączone ze sobą za pośrednictwem tulei. Element I oparty jest na podporze przegubowej
nieprzesuwnej w punkcie A i na podporze nieprzesuwnej B za pośrednictwem pręta
dwuprzegubowego. Element II oparty jest na podporze przegubowej nieprzesuwnej w
punkcie C i na podporze nieprzesuwnej D za pośrednictwem pręta dwuprzegubowego. W
prętach (obustronnie zakończonych przegubami), które nie są obciążone w przęśle występują
tylko siły osiowe. Z równowagi węzła B wynika, że siła S
1
ma tę samą wartość i kierunek
działania co reakcja R
B
. Podobnie z równowagi węzła D wynika, że siła S
2
ma tę samą
wartość i kierunek działania co reakcja R
D
. Nie znamy dwunastu reakcji i oddziaływań: R
Ax
,
R
Ay
, R
Az
, R
B
(lub S
1
), R
Cx
, R
Cy
, R
Cz
, R
D
(lub S
2
), R
2x
, R
2z
, M
2x
i M
2z
. Dla przedstawionego na
schemacie układu ramowego można zapisać dwanaście warunków równowagi (2 x 6). Zatem
układ jest statycznie wyznaczalny. Zapisując kolejne równania równowagi należy dążyć do
tego, aby były to równania z jedną niewiadomą (o ile to możliwe). Pamiętać należy przy tym,
że moment siły (siła ≠ 0) względem osi jest równy zeru, jeśli wektor siły jest równoległy do
osi lub linia działania siły przecina się z osią. Należy zauważyć, że do rozwiązania
niniejszego zadania wystarczy wykorzystać osiem równań, bez konieczności obliczania
oddziaływań w tulei.
Element I
3
Element II
Dowolny przestrzenny układ sił
i
P znajduje się w równowadze, jeżeli sumy rzutów
wszystkich sił na trzy osie układu są równe zeru i sumy momentów wszystkich sił względem
trzech osi układu są równe zeru:
∑
∑
∑
=
=
=
0
,
0
,
0
iz
iy
ix
P
P
P
∑
∑
∑
=
=
=
0
,
0
,
0
iz
iy
ix
M
M
M
Zapisujemy warunki równowagi. Należy zauważyć, że z uwagi na sposób połączenia
elementów (tuleja), obciążenia poziome równoległe do osi y z elementu I na II i z elementu II
na I nie przekazują się.
∑
= 0
I
iy
P
0
=
Ay
R
∑
= 0
II
iy
P
0
=
+ P
R
Cy
→
ql
P
R
Cy
−
=
−
=
Znak minus oznacza, że zwrot wektora siły R
Cy
jest przeciwny do założonego.
Warunek równowagi dla całości
∑
= 0
iy
P
spełniony jest tożsamościowo.
Tuleja nie przenosi także momentu skręcającego (
0
1
=
y
M
). Zatem
0
1
=
∑
I
iy
M
0
2
=
⋅
−
l
R
Ax
→
0
=
Ax
R
Równania równowagi możemy zapisywać zarówno dla całego układu przestrzennego, jak i
dla każdej z części z osobna.
0
1
=
∑
ix
M
0
2
2
=
⋅
+
+
⋅
−
l
R
M
l
ql
Cz
→
4
2
2
2
ql
l
ql
M
R
Cz
−
=
+
−
=
4
0
1
=
∑
II
iy
M
0
2
2
=
⋅
+
⋅
−
l
R
l
S
Cz
→
8
2
2
ql
R
R
S
Cz
D
−
=
=
=
∑
= 0
iz
P
0
=
+
+
−
Cz
Az
R
R
ql
→
ql
ql
ql
R
Az
4
5
4
=
+
=
0
1
=
∑
iz
M
0
2
2
1
=
⋅
−
⋅
+
⋅
l
R
l
S
l
R
Cy
Ax
→
ql
R
S
B
2
1
1
−
=
=
Znak minus oznacza, że zwroty wektorów sił: R
B
, R
Cz
i R
D
są przeciwne do założonych.
∑
= 0
ix
P
0
1
=
+
+
+
D
Cx
Ax
R
R
S
R
→
ql
R
Cx
8
5
=
W celu sprawdzenia poprawności obliczeń korzystamy z warunku równowagi, z którego nie
korzystaliśmy poprzednio
0
2
=
∑
iz
M
0
2
=
⋅
−
⋅
−
⋅
l
R
l
R
l
ql
Cy
Cx
→
0
2
2
2
2
=
+
−
ql
ql
ql
W prętach zakończonych obustronnie przegubami występują siły:
ql
S
2
1
1
−
=
(rozciągająca) i
8
2
ql
S
−
=
(rozciągająca).