Teoria i metody optymalizacji
Dr inŜ. Ewa Szlachcic
Wydział Elektroniki studia II st.
kier. Automatyka i Robotyka
Ilustracja warunków koniecznych i wystarczających Kuhn’a-Tucker’a-
Karuscha
2
1
2
2
2
1
2
1
*
5
.
0
*
)
(
min
x
x
x
x
x
x
f
−
−
+
+
=
∈
x
X
x
[
]
2
)
(
2
,
2
=
−
=
∧
∧
x
x
f
T
≥
≤
+
=
2
0
:
2
2
1
x
x
x
x
X
Przykład I
Minimalizacja funkcji f(x) przy zbiorze ograniczeń nierównościowych X
Teoria i metody optymalizacji
Dr inŜ. Ewa Szlachcic
Wydział Elektroniki studia II st.
kier. Automatyka i Robotyka
Sformułowanie zadania optymalizacji nieliniowej PN
z ograniczeniami dodatkowo na zmienne decyzyjne x :
m
i
R
R
x
g
R
R
x
f
m
i
g
X
f
f
n
i
n
i
X
,...,
1
,
:
)
(
oraz
:
)
(
},
,...,
1
,
0
,
0
)
(
:
{
:
gdzie
),
(
min
)
ˆ
(
1
1
=
→
→
=
≥
≤
=
=
∈
x
x
x
x
x
x
.
)
(
)
(
)
(
1
∑
=
+
=
m
i
i
i
g
f
L
x
x
λ
x,
λ
Teoria i metody optymalizacji
Dr inŜ. Ewa Szlachcic
Wydział Elektroniki studia II st.
kier. Automatyka i Robotyka
Warunki Lagrange’a dla ZPN z ograniczeniami na zmienne decyzyjne
x≥0
0
,
,
=
∇
∧
∧
∧
λ
x
L
x
x
0
≥
∧
x
0
,
≥
∇
∧
∧
λ
x
L
x
0
,
≤
∇
∧
∧
λ
λ
x
L
0
,
,
=
∇
∧
∧
∧
λ
λ
λ
x
L
0
≥
∧
λ
Teoria i metody optymalizacji
Dr inŜ. Ewa Szlachcic
Wydział Elektroniki studia II st.
kier. Automatyka i Robotyka
Ilustracja warunków koniecznych i wystarczających Kuhn’a-Tucker’a-
Karuscha
2
1
2
2
2
1
2
1
*
5
.
0
*
)
(
min
x
x
x
x
x
x
f
−
−
+
+
=
∈
x
X
x
[
]
2
)
(
0
,
2
=
=
∧
∧
x
x
f
T
≥
≤
+
=
0
0
:
2
2
1
x
x
x
x
X
Przykład II
Minimalizacja funkcji f(x) przy zbiorze ograniczeń nierównościowych oraz
ograniczeniach na znak zmiennej decyzyjnej
Teoria i metody optymalizacji
Dr inŜ. Ewa Szlachcic
Wydział Elektroniki studia II st.
kier. Automatyka i Robotyka
Sformułowanie zadania optymalizacji nieliniowej PN
z ograniczeniami mniejszościowymi i równościowymi:
m
p
i
R
R
X
x
h
p
i
R
R
X
x
g
R
R
X
x
f
n
i
n
i
n
,...,
1
,
:
)
(
,...,
1
,
:
)
(
:
)
(
1
1
1
+
=
→
=
=
→
=
→
=
},
,...,
1
,
0
)
(
,
,...,
1
,
0
)
(
:
{
:
gdzie
m
p
i
x
h
p
i
g
X
i
i
+
=
=
=
≤
=
x
x
.
)
(
)
(
)
(
1
∑
=
+
=
m
i
i
i
g
f
L
x
x
λ
x,
λ
gdzie
)
(
min
)
(
x
f
x
f
X
x∈
∧
=
Teoria i metody optymalizacji
Dr inŜ. Ewa Szlachcic
Wydział Elektroniki studia II st.
kier. Automatyka i Robotyka
Warunki Kuhn’a-Tuckera dla ZPN z ograniczeniami
mniejszościowymi i równościowymi
m
p
i
i
,...,
1
,
+
=
∧
λ
a) funkcje
są róŜniczkowalne;
b) jest lokalnym minimum ZPN,
To istnieją
oraz istnieją
o nieograniczonym znaku, takie Ŝe:
p
i
i
,...,
1
, =
∧
λ
p
1,...,
i
,
0
)
ˆ
(
ˆ
0
)
ˆ
(
ˆ
)
ˆ
(
1
=
=
=
∇
+
∇
∑
=
x
x
λ
x
i
i
m
i
i
i
g
g
f
λ
Jeśli
i
g
f
i
xˆ
Teoria i metody optymalizacji
Dr inŜ. Ewa Szlachcic
Wydział Elektroniki studia II st.
kier. Automatyka i Robotyka
Ilustracja warunków koniecznych i wystarczających Kuhn’a-Tucker’a-
Karusch’a
2
2
2
1
2
1
*
)
(
min
x
x
x
x
f
+
+
=
∈
x
X
x
[
]
19
)
(
2
,
3
=
=
∧
∧
x
x
f
T
Przykład III
Minimalizacja funkcji f(x) przy zbiorze ograniczeń nierównościowych oraz
zbiorze ograniczeń równościowych
=
≥
−
=
0
4
*
2
:
2
2
1
x
x
x
x
X