Egzamin sesyjny z matematyki - semestr I, zestaw I
10 II 2011
1. (5 pkt) Oblicz granice
lim
x→2
x
3
− x
2
− 8x + 12
x
3
− 2x
2
− 4x + 8
,
lim
n→∞
3n + 4
3n − 1
!5n+3
.
2. (2 pkt) Sprowadź pochodną funkcji f (x) = ln(x +
√
x
2
+ 1) do najprostszej postaci .
3. (4 pkt) Wyznacz ekstrema i przedziały monotoniczności funkcji
f (x) =
1
2
x
2
− x − 3 ln(x + 1) .
4. (4+3 pkt) Oblicz całki
Z
2x
2
+ 8x − 6
x
3
+ 2x
2
− 3x
dx ,
Z
1
√
3 + 2x − x
2
.
5. (4 pkt) Oblicz objętość bryły powstałej z obrotu krzywej y = x
√
sin x, x ∈ [0, π] wokół osi
OX.
6. (3 pkt) Oblicz pole figury ograniczonej krzywymi y = −x
2
+ 4x oraz y = −2x
2
.
Egzamin sesyjny z matematyki - semestr I, zestaw II
10 II 2011
1. (5 pkt) Oblicz granice
lim
x→2
x
3
− 8x
2
+ 20x − 16
x
3
− 3x
2
+ 4
,
lim
n→∞
2n + 4
2n − 1
!5n+2
.
2. (2 pkt) Sprowadź pochodną funkcji f (x) = ln(
√
x
2
+ 1 − x) do najprostszej postaci .
3. (4 pkt) Wyznacz ekstrema i przedziały monotoniczności funkcji
f (x) =
1
2
x
2
+ 2x − 5 ln(x − 2) .
4. (4+3 pkt) Oblicz całki
Z
x
2
+ 10x + 18
x
3
+ 5x
2
+ 6x
dx ,
Z
1
√
5 − 4x − x
2
.
5. (4 pkt) Oblicz objętość bryły powstałej z obrotu krzywej y = xe
−x
, x ∈ [0, 2] wokół osi
OX.
6. (3 pkt) Oblicz pole figury ograniczonej krzywymi y = x
2
+ 2x oraz y = 2x
2
.
1
