1
00512 Mechanika nieba D – part 2
TEORIA
00512
Mechanika nieba D
Część 2
Pole grawitacyjne.
Praca w polu grawitacyjnym.
Energia potencjalna w polu centralnym.
Potencjał grawitacyjny.
Instrukcja dla zdającego
1.
Proszę sprawdzić, czy arkusz teoretyczny zawiera 8
stron. Ewentualny brak naleŜy zgłosić.
2.
Do arkusza moŜe być dołączona karta wzorów i sta-
łych fizycznych. Jeśli jest, naleŜy ją dołączyć do od-
dawanej pracy.
3.
Proszę uwaŜnie i ze zrozumieniem przeczytać zawar-
tość arkusza.
4.
Proszę precyzyjnie wykonywać polecenia zawarte w
arkuszu: rozwiązać przykładowe zadania, wyprowa-
dzić wzory, gdy jest takie polecenie.
5.
Proszę analizować wszelkie wykresy i rysunki pod
kątem ich zrozumienia.
6.
W trakcie obliczeń moŜna korzystać z kalkulatora.
7.
Wszelkie fragmenty trudniejsze proszę zaznaczyć w
celu ich późniejszego przedyskutowania.
8.
Uzupełniaj wiadomości zawarte w arkuszu o informa-
cje zawarte w Internecie i dostępnej ci literaturze.
9.
Znak * dotyczy wiadomości wykraczających poza
ramy programu „maturalnego”.
ś
yczymy powodzenia!
(Wpisuje zdający przed rozpoczęciem pracy)
PESEL ZDAJĄCEGO
Aktualizacja
Maj
ROK 2008
Dane osobowe właściciela arkusza
2
00512 Mechanika nieba D – part 2
TEORIA
Temat: 61
Pole grawitacyjne.
1.
Oddziaływanie grawitacyjne między punktami materialnymi wykorzystamy do bliŜszego omówie-
nia własności tzw. pola grawitacyjnego.
2.
Niech w idealnie pustej przestrzeni znajdzie się cząstka A: zgodnie z tym załoŜeniem, nie działa na
nią Ŝadna siła. Wpuszczamy teraz do tej przestrzeni cząstkę B. Nastąpi teraz, zgodnie z prawem
ciąŜenia powszechnego, oddziaływanie cząstki A na cząstkę B (i odwrotnie - zgodnie z kolei z III
zasadą dynamiki). MoŜna to zjawisko opisać inaczej: obecność cząstki A w rozpatrywanej prze-
strzeni wpłynęła na właściwości tego obszaru, a mianowicie wytworzyła pole grawitacyjne obja-
wiające się tym, Ŝe dowolny punkt materialny (np. cząstka B) umieszczony w tej przestrzeni pod-
lega działaniu pewnej siły (grawitacyjnej) i zyskuje pewną energię (potencjalną). W tym ujęciu nie
ma bezpośrednio działania między cząstkami A i B, lecz istnieje pewien pośrednik, którym jest wy-
tworzone pole: cząstka A wytwarza w swym otoczeniu pole, które z kolei działa na cząstkę B.
3.
Zatem: pole grawitacyjne to obszar, w którym występują oddziaływania grawitacyjne Jest ono
polem wektorowym, gdyŜ działające w kaŜdym jego punkcie siły mają określony kierunek, zwrot i
wartość.
4.
Tor, po którym porusza się masa próbna w polu grawitacyjnym pod działaniem sil przyciągania
nosi nazwę linii pola. Liniom tym przypisuje się zwrot odpowiadający zwrotowi ruchu masy prób-
nej, a więc np. ku środkowi kuli ziemskiej (gdy stanowi ona rozpatrywane źródło pola).
5.
Charakteryzująca pole grawitacyjne siła przyciągania
(1) F
G
M m
r
=
⋅
2
,
której podlega w danym punkcie masa m, zaleŜy od wielkości tej masy. Dlatego lepiej określa pole
grawitacyjne charakterystyczna dla kaŜdego jego punktu wielkość niezaleŜna od masy m znajdują-
cego się w nim ciała, zwana natęŜeniem pola.
Miarą natęŜenia pola grawitacyjnego jest stosunek siły przyciągania F działającej na ciało w da-
nym jego punkcie do masy m tego ciała
(2)
γ
=
F
m
NatęŜenie
r
γ
pola grawitacyjnego jest wektorem mającym kierunek i zwrot zgodny z kierunkiem i
zwrotem siły przyciągania działającej na ciało w danym punkcie pola
(3)
r
r
γ
=
F
m
6.
Jak widać ze wzoru (3) natęŜenie pola grawitacyjnego w danym punkcie pola jest równe liczbowo
przyspieszeniu, jakiego doznaje w tymŜe punkcie ciało pod działaniem sił przyciągania.
7.
Wstawiając do wzoru (2) równanie (1) otrzymamy
(4)
γ
= ⋅
G M
r
2
,
zatem: wartość natęŜenia pola grawitacyjnego w danym jego punkcie maleje proporcjonalnie do
kwadratu odległości tego punktu od źródła pola.
3
00512 Mechanika nieba D – part 2
TEORIA
Graficznie przedstawia się ten fakt zmniejszając gęstość linii pola
M m
r
Rys. 1 Pole grawitacyjne centralne.
8.
Dla niewielkich wysokości i niewielkiego obszaru powierzchni Ziemi moŜna z duŜym przybliŜe-
niem przyjąć, Ŝe linie pola grawitacyjnego są wzajemnie równoległe, a jego natęŜenie jest we
wszystkich punktach pola stałe i liczbowo równe wartości miejscowego przyspieszenia ziemskiego
g. Pole takie nazywa się polem jednorodnym.
Rys. 2 Pole grawitacyjne jednorodne.
Zadanie: 1
Masa KsięŜyca wynosi
7 4 10
22
,
⋅
kg
, zaś jego promień 1720 km. Obliczyć natęŜenie pola grawitacyj-
nego na powierzchni KsięŜyca oraz jego stosunek do natęŜenia pola grawitacyjnego na powierzchni
Ziemi.
(Odp.
γ
γ
γ
k
k
z
m
s
=
=
1 67
0 17
2
,
,
,
)
Zadanie: 2
Jaką wartość ma przyspieszenie ziemskie na wysokości a) 1 km, b) 32 km od powierzchni Ziemi ?
(Odp.
a g
m
s
b g
m
s
a
b
)
,
,
)
,
=
=
9 8
9 71
2
2
)
4
00512 Mechanika nieba D – part 2
TEORIA
Temat: 62 Praca w polu grawitacyjnym jednorodnym i centralnym.
1.
JuŜ wcześniej zwróciliśmy uwagę na zachowawczy charakter siły cięŜkości, co sprowadzi-
liśmy do wniosków:
⇒
praca wykonywana przez siłę cięŜkości (lub siłę zewnętrzną, która ją równowaŜy) nie
zaleŜy od kształtu drogi, po której ciało się przesuwa, lecz od połoŜenia początkowego
i końcowego tego ciała, czyli
⇒
praca wykonana przez siłę cięŜkości po drodze zamkniętej jest zawsze równa zeru.
Teraz, gdy znamy pojęcie pola, stwierdzamy, Ŝe pole grawitacyjne jednorodne jest polem
zachowawczym. (rys. 1)
r
F
z
r
F
g
r
F
z
r
F
z
r
F
g
r
F
g
Rys. 1
Przesuwanie masy próbnej w polu grawitacyjnym jednorodnym po róŜnych dro-
gach, ale z zachowaniem początkowego i końcowego połoŜenia daje w sumie wy-
konanie tej samej pracy..(
r
F
g
- siła cięŜkości,
r
F
z
- siła zewnętrzna)
(1) W
F r
F r
F
h
m g h
g
= ⋅ = ⋅ ⋅
=
⋅ = ⋅ ⋅
r r
cos
α
(rys. 2)
Y
h
r
F
z
r
F
g
α
0 r X
Rys. 2
5
00512 Mechanika nieba D – part 2
TEORIA
2.
JednakŜe nie kaŜde pole grawitacyjne jest jednorodne. Rozpatrując ruch niewielkiego ciała
niebieskiego w pobliŜu jakiejś planety (np. Ziemi) moŜemy uwaŜać, iŜ ciało to jest pod
wpływem pola grawitacyjnego centralnego (rys. 3)
B A
M m
r
B
r
A
Rys. 3
Obliczanie pracy wykonanej przez siłę cięŜkości (lub siłę zewnętrzną przy przesu-
waniu masy próbnej z jednego do drugiego punktu w polu grawitacyjnym central-
nym.
*Proste rachunki prowadzą do wniosku, Ŝe i takie pole jest zachowawcze. Uogólniając
nasze badania, moŜemy stwierdzić, Ŝe kaŜe pole grawitacyjne jest polem zachowawczym.
(2) W
Fdr
G M m
r
dr
G M m
dr
r
G M m
r
r
r
r
r
r
r
r
A
B
A
B
A
B
A
B
=
=
⋅
⋅
= ⋅
⋅
= ⋅
⋅
−
∫
∫
∫
r r
2
2
1
1
Wzór (2) opisuje pracę wykonaną przez siłę zewnętrzną
r
F
z
, natomiast analogicznie moŜ-
na znaleźć wzór określający pracę siły grawitacji:
(3)
W
G M m
r
r
B
A
= ⋅
⋅ ⋅
−
1
1
Zadanie:
Wyznaczyć okres obrotu T KsięŜyca dokoła Ziemi wiedząc, Ŝe przyspieszenie ziemskie na biegunie wynosi
g
0
=
2
83
,
9
s
m
, promień Ziemi R = 6370[km], odległość między KsięŜycem a Ziemią wynosi h =
3 84 10
8
,
⋅
[m].
(Odp. 27,4 doby)
6
00512 Mechanika nieba D – part 2
TEORIA
Temat: 63 Energia potencjalna ciała w polu grawitacyjnym.
1.
Za miarę zmiany energii potencjalnej w polu grawitacyjnym przyjmujemy pracę siły ze-
wnętrznej równowaŜącej w kaŜdym punkcie siłę grawitacji. W przypadku pola centralne-
go, mamy
(1)
∆
E
GMm
r
r
p
A
B
=
−
1
1
2.
*Zmiany energii potencjalnej ciała moŜemy rozpatrywać w przypadkach, gdy
a)
ciała oddala się od źródła pola (rys. 1)
m A
B
M m
Rys. 1
b)
ciało zbliŜa się do źródła pola (rys. 2)
m B
A
M m
Rys. 2
c) ciało nie zmienia odległości względem źródła pola (rys. 3)
m
M
m
Rys. 3
Mamy tu do czynienia z przyro-
stem energii potencjalnej
∆
E
p
>
0
Mamy tu do czynienia z ubyt-
kiem energii potencjalnej
∆
E
p
<
0
Energia potencjalna nie ulega zmianie
∆
E
p
= 0
Ciało porusza się po powierzchni ekwipo-
tencjalnej (powierzchni kuli o promieniu r
na której panuje ta sama wartość potencjału
grawitacyjnego)
7
00512 Mechanika nieba D – part 2
TEORIA
3.
W kaŜdym polu zachowawczym zmiana energii potencjalnej ciała przy zmianie jego poło-
Ŝ
enia między danymi punktami pola jest określona jednoznacznie, bo zaleŜy tylko od po-
łoŜenia tych punktów.
4.
*Obliczamy teraz energię potencjalną ciała w danym punkcie pola, czyli analizujemy pracę
siły zewnętrznej przesuwania ciała z danego punktu pola do nieskończoności (lub inaczej:
punkt B przeniesiony został do nieskończoności, punkt A znajduje się w analizowanym
polu)
(2) E
E
E
GMm
r
r
B
A
pot
r
A
B
B
−
=
=
−
→∞
∆
lim
1
1
Zwykle umawiamy się, Ŝe energia potencjalna w nieskończoności jest równa zeru (w
przypadku badania pól centralnych), czyli E
B
= 0, wtedy mamy
0
1
0
−
=
→
E
GMm
r
bowiem
r
A
A
B
,
Ostatecznie:
Wzór i jego interpretacja – obowiązkowe!
E
G M m
r
p
A
= − ⋅
⋅
5.
*Energia potencjalna w danym punkcie pola grawitacyjnego jednorodnego moŜe być obli-
czona następująco:
y
B
h m
m A
x
Rys. 4
Teraz wygodnie jest przyjąć energię potencjalną ciał leŜących na osi X (rys. 4) za równą
zeru (czyli E
A
= 0). Wtedy
∆
E
E
E
E
F h
m g h
pot
B
A
B
g
=
−
=
− =
⋅ = ⋅ ⋅
0
,
czyli:
Wzór i jego interpretacja – obowiązkowe!
( )
4
E
m g h
p
= ⋅ ⋅
(3)
8
00512 Mechanika nieba D – part 2
TEORIA
Temat: 64
Potencjał pola grawitacyjnego.
1.
Energia potencjalna nie charakteryzuje pola grawitacyjnego, bowiem dla róŜnych mas
przybiera róŜne wartości.
2.
Wielkością charakteryzującą pole grawitacyjne jest skalarna wielkość fizyczna zwana po-
tencjałem grawitacyjnym V:
(1) V
E
m
p
=
Zatem:
Potencjałem w określonym punkcie pola grawitacyjnego nazywamy stosunek
energii potencjalnej, jaką ma umieszczone w tym punkcie ciało, do masy tego ciała.
Jednostką potencjału grawitacyjnego w układzie SI jest
(2)
[ ]
V
J
kg
N m
kg
m
s
=
=
⋅ =
2
2
3.
Korzystając ze wzoru (1) moŜemy określić potencjał grawitacyjny w przypadku pola cen-
tralnego (rys. 1)
(3) V
G M m
r m
G M
r
= − ⋅
⋅
⋅
= − ⋅
4.
W przypadku pola jednorodnego otrzymujemy:
(4) V
m g h
m
g h
= ⋅ ⋅ = ⋅
5.
Ostatecznie wnioskujemy:
Pole grawitacyjne moŜemy opisać podając rozkład natęŜenia pola lub rozkład potencjału,
bowiem obie wymienione wielkości fizyczne nie zaleŜą od masy umieszczanej w polu gra-
witacyjnym, lecz wyłącznie od własności pola.
MoŜemy stosować opis wektorowy (za pomocą natęŜenia grawitacyjnego) lub skalarny (za
pomocą potencjału grawitacyjnego) pola w zaleŜności od potrzeby.
Rys. 1 Graficzny obraz zaleŜności (3)
Rys. 2 Graficzny obraz zaleŜności (4)
r
r
V
V