POLITECHNIKA BIAŁOSTOCKA
WYDZIAŁ MECHANICZNY
KATEDRA MECHANIKI I INFORMATYKI STOSOWANEJ

LABORATORIUM MECHANIKI TECHNICZNEJ

Kod:

Instrukcja do ćwiczenia

BADANIE DYNAMIKI RUCHU UKŁADU MECHANICZNEGO

Autor: ROBERT UŚCINOWICZ

BIAŁYSTOK

2011

1. CEL ĆWICZENIA 

Celem ćwiczenia jest doświadczalne wyznaczenie maksymalnej i średniej wartości siły 

napięcia  w  lince  łączącej  dwa  ciała  układu  mechanicznego  poruszającego  się  w  polu  sił 
ciężkości. Ćwiczenie powinno również dostarczyć informacji o wpływie sił tarcia na wartość 
siły w lince łączącej ciała układu mechanicznego. 

2. OPIS STANOWISKA 

Stanowisko  do  badania  dynamiki  ruchu  układu  mechanicznego  przedstawiono  na 

poniższej  fotografii  (

rys.  1

)  i  schematycznie  na 

rys.  2

.  Składa  się  ono  z  następujących 

elementów: równi pochyłej (1), prowadnicy (2), ułożyskowanego bloczka (3), kątomierza (4), 
linki  (5),  klocka  (6)  (z  wymiennymi  wkładkami  ciernymi),  szalki  z  ciężarem 

(7), 

wzmacniacza  tensometrycznego  Spider  8  (8).  Komputer  PC  współpracujący  ze 
wzmacniaczem,  który  jest  wymagany  do  zarejestrowania  i  wizualizacji  danych  nie  został 
przedstawiony na rysunkach.  

G

 

Rys. 1. Stanowisko do badania dynamiki ruchu układu mechanicznego 

Stanowisko  pomiarowe,  którego  ilustrację  zamieszczono  na 

rys.  1  i  2

  składa  się  z 

dwóch  ciał  powiązanych  ze  sobą  wiotką  linką.  Ruch  układu  jest  wymuszany  przez  ciężarek 

, który to za pośrednictwem linki wprawia w ruch obrotowy ułożyskowany bloczek (linkę 

nawinięto jednokrotnie na bloczek) i wymusza ruch klocka 

w górę równi. Klocek 

 (

rys. 3

) 

ślizga  się  po  prowadnicy  zamontowanej  na  równi  pochyłej,  której  kąt  nachylenia  można 
zmieniać  za  pomocą  pokrętła  umieszczonego  pod  płytą  równi  pochyłej  (

rys.  4

).  W  trakcie 

G

Q

Q

 

eksperymentu  rejestrowana  jest  wartość  siły 

  w  lince.  Pomiar  ten  realizowany  jest  przy 

pomocy tensometrycznego przetwornika siły, do którego jest zaczepiona linka. Przetwornik 
siły, zbudowany jest w oparciu o tensometryczny układ półmostkowy, naklejony na stalowej 
belce  i  zamontowany  na  górnej  powierzchni  klocka.  Sygnał  z  przetwornika  siły,  w  postaci 
względnych zmian napięcia jest przesyłany do wzmacniacza tensometrycznego Spider 8 (

rys. 

5

)  i  dalej  w  formie  cyfrowej  do  komputera  PC  w  celu  archiwizacji  i  późniejszej  wizualizacji 

wyników  pomiarów.  W  realizowanym  ćwiczeniu  zastosowanie  wzmacniacza  pomiarowego 
Spider  8  pozwala  na  rejestrację  siły  napięcia  linki  w  czasie  rzeczywistym  oraz  dokładny 
pomiar  czasu  ruchu  klocka  na  prowadnicy.  Klocek  posiada  wymienne  wkładki  wykonane  z 
różnych  materiałów.  Poprzez  wymianę  wkładek  możliwa  jest  ocena  wpływu  rodzaju 
ślizgających  się  po  sobie  tworzyw  na  wartość  siły 

  w  lince.  Możliwe  do  zastosowania  w 

ćwiczeniu pary trące  materiałów zestawiono w 

tab. 1

. 

S

S

 

a)  

 

 

 

b) 

c)   

d)              

Rys. 2. Schemat badanego układu mechanicznego: a) schemat ogólny stanowiska, b) obciążenie siłowe klocka 

o ciężarze 

, c) obciążenie bloczka, d) obciążenie ciężarka 

 

Q

G

 

2

 

Rys. 3. Klocek 

 z wymiennymi wkładkami: 1 – tensometryczny przetwornik siły, 2 – płytka mocująca 

wkładki , 3 – linka łącząca klocek z ciężarkiem, 4 – wymienna para wkładek 

Q

 

Tab. 1.  Zastosowane w ćwiczeniu pary trących materiałów 

powierzchnia prowadnicy 

wkładka klocka 

stal 

stal 

stal 

stop aluminium, 

stal 

tworzywo sztuczne (poliamid)

stal 

mosiądz 

 

 

Rys. 4.  Pomiar kąta nachylenia równi 

Rys. 5. Wzmacniacz tensometryczny Spider 8 

Tensometryczny przetwornik siły jest cienkościenną, jednostronnie utwierdzoną stalową 

belką,  na  której  naklejono  dwa  tensometry  opornościowe  w  układzie  półmostkowym.  W 
trakcie  doświadczenia  dochodzi  do  sprężystego  ugięcia  belki  (pod  wpływem  siły 
występującej  w  lince).  Jeden  z  tensometrów  (tzw.  czynny)  naklejony  na  belce  doznaje 

 

3

sprężystego odkształcenia zmieniając swoją oporność. Drugi tensometr ma kompensować w 
układzie  półmostkowym  zmiany  temperatury  zachodzące  w  strefie  działania  przetwornika. 
Jeżeli  do  układu  tensometrycznego  doprowadzi  się  stałe  napięcie  (w  gałęzi  zasilania)  to 
zmiana oporności tensometru czynnego wywoła zmianę napięcia w gałęzi pomiarowej. Aby 
określić zależność pomiędzy wielkościami mechanicznymi (siła) i wielkościami elektrycznymi 
(względny  przyrost  napięcia)  należy  dokonać  procesu  wzorcowania  i  zbudować  tzw. 
charakterystykę  statyczną  przetwarzania.  Najczęściej  jest  to  prosta  przechodząca  przez 
początek  układu  współrzędnych.  Jeżeli  zastosowany  w  ćwiczeniu  przetwornik 
tensometryczny będzie obciążało się (monotonicznie) znanymi, coraz większymi wartościami 
siły (odważniki o znanym ciężarze) i mierzyło odpowiadające im względne przyrosty napięcia 
(we wzmacniaczu Spider 8), to w prosty sposób można zbudować potrzebną charakterystykę 
statyczną przetwornika i określić jej równanie. Posłuży ona później do wyznaczenia wartości 
siły   (w lince) w trakcie przebiegu klocka po prowadnicy równi.  

S

 

3. WIADOMOŚCI OGÓLNE  

Dynamiczne równania różniczkowe dla klocka o ciężarze  Q  i masie 

 mają postać: 

Q

m

 

sin

Q

m

x

T

S

Q

α

⋅ = − + − ⋅

,

 

 

(1) 

 

cos

0

Q

m

y

N

Q

α

⋅ =

−

=

,

 

(2) 

gdzie: 

–  masa  klocka 

, 

–  siła  napięcia  nici, 

–  siła  tarcia, 

–  reakcja  normalna 

podłoża,

Q

m

Q

S

T

N

α

– kąt nachylenia równi. 

Drugie  równanie  jest  równaniem  statyki  (

0

y

=

)  i  wyznaczamy  z  niego  siłę  normalną

, 

będącą składową pionową reakcji równi pochyłej na spoczywające na niej ciało: 

N

 

cos

N

Q

α

=

.

 

(3) 

Wykorzystując  prawo  tarcia  Coulomba  przyjmujemy  wartość  siły  tarcia 

  dla  granicznego 

przypadku, zatem  

T

 

cos

T

N

Q

µ

µ

α

=

=

. 

(4)

 

 Wstawiając równanie (4) do różniczkowego równania (1) opisującego ruch klocka   mamy: 

Q

 

cos

sin ,

m x

Q

S

Q

cos

sin ,

Q

Q

Q

Q

m x

m

g

S

m

g

µ

α

α

µ

α

α

= − ⋅

⋅ ⋅

+ −

⋅ ⋅

= − ⋅

+ − ⋅

 

(5)

 

 

4

 

[

]

cos

sin

Q

S

x

g

m

µ

α

α

= −

+

+

. 

(6)

 

Dynamiczne równanie różniczkowe dla bloczka o ciężarze   jest następujące: 

P

 

1

o

J

S R

S R

ϕ

= − ⋅ + ⋅

J

,

 

(7) 

gdzie: 

  –  masowy    moment  bezwładności  bloczka  względem  osi  obrotu, 

o

R

  –  promień 

walca (bloczka); 

0.5

z

R

d

=

, 

 – siła w nici od strony ciężarka 

wymuszającego ruch układu 

mechanicznego. 

1

S

G

G

m

g

  Dynamiczne  równanie  różniczkowe  dla  ciężarka 

G

=

⋅

m

z

m g

S

  wymuszającego  ruch  układu 

mechanicznego jest następujące: 

 

1

G

G

⋅ =

−

 .

 

(8) 

z

x

=

Zakładając  brak  poślizgów  linki  na  bloczku  i  jej  nierozciągliwość  można  zapisać,  że 

,     

więc  

. Z równania (8) wyznaczono 

 i podstawiono do równania (7) otrzymując: 

z

x

=

S

(

)

G

J

S R

m g

m x R

1

o

G

ϕ

= − ⋅ +

−

⋅

Q

x

R

.

 

  (9) 

Uwzględniając  w  równaniu  (6),  zależność  między  przyspieszeniem  liniowym  klocka 

,  a 

przyspieszeniem kątowym bloczka, 

ϕ

= ⋅

 oraz mając na uwadze równanie (9) otrzymamy 

układ równań z dwiema niewiadomymi   i 

S

ϕ

: 

 

[

]

cos

sin

,

(

)

Q

o

G

G

R

g

m

J

S R

m g

m

R

S

ϕ

µ

α

α

ϕ

ϕ

⎧ ⋅ =−

+

+

⎪

⎨

⎪

R

= − ⋅ +

−

⋅

⋅

⎩

S

 

(10) 

Po rozwiązaniu układu równań ze względu na 

 będziemy mieli następujące wyrażenie na 

poszukiwaną siłę napięcia linki: 

 

(

)

2

2

2

2

cos

sin

2

2

2

2

z

z

G

o

z

o

G

z

Q

d

d

m g

g

J

m

S

d

J

m

d

m

µ

α

α

⎛

⎞

⎛

⎞

⎛

⎞

⋅

+ ⋅

+

⋅

+

⋅

⎜

⎟

⎜

⎟

⎜

⎟

⎜

⎟

⎝

⎠

⎝

⎠

⎝

⎠

=

⎛

⎞

+

⎜

⎟

⎛

⎞

⎝

⎠

+

⎜

⎟

⎝

⎠

G

.

 

(11) 

 

5

gdzie: 

µ

– współczynnik tarcia,  – przyspieszenie ziemskie. Współczynnik tarcia wyznaczony 

został  eksperymentalnie  w  ćwiczeniu  „Doświadczalne  wyznaczenie  współczynnika  tarcia 
kinetycznego”.  

g

W 

tab. 4

  podano  wartości  niektórych  współczynników  tarcia  suchego  (statycznego  i 

kinetycznego), które można wykorzystać w ćwiczeniu dla wybranych par trących. Bloczek jest 
cienkościenną  aluminiową  rurą  o  długości  h  i  średnicy  wewnętrznej 

53.5

φ

=

  oraz 

zewnętrznej 

.  Otwory  w  rurze  są  zaślepione  2  tarczami.  Wzdłuż  osi  bloczka  biegnie 

stalowa oś obrotowa o średnicy 

z

d

5

φ

=  i długości 

137

l

=

, która jest zespolona  z bloczkiem 

(na wcisk).

Do  wyznaczenia  momentu  bezwładności  całego  bloczka  (wraz  z  osią)  można 

wykorzystać następujące wzory: 

• moment bezwładności rury względem osi geometrycznej: 

 

(

)

4

4

1

32

rury

z

w

J

h d

d

π ρ

=

⋅ ⋅ ⋅ ⋅

−

,

 

(12) 

• moment bezwładności walca względem osi geometrycznej: 

4

1

32

walca

z

J

h

π

ρ

d

=

⋅ ⋅ ⋅ ⋅

,

 

(13) 

gdzie: 

ρ

–  gęstość  materiału, 

–  średnica  zewnętrzna, 

–  średnica  wewnętrzna, 

‐

 wysokość walca. 

z

d

w

d

h

 

Rys. 6. Wymiary geometryczne bloczka 

 

 

6

4. PRZEBIEG ĆWICZENIA 

W celu przeprowadzenia ćwiczenia należy: 

1. Zapoznać się z budową stanowiska i sposobem pomiaru naciągu linki. 

2. Uruchomić  wzmacniacz  pomiarowy  Spider  8  i  program  Catman  Express  3.1  – 

rejestrujący  sygnały  pomiarowe  (względne  przyrosty  napięcia).  Do  obsługi 
wzmacniacza pomiarowego Spider 8 i programu Catman Express 3.1 wymagane jest 
przeczytanie oddzielnej instrukcji [1].  

3. Wyznaczyć  charakterystykę  statyczną  przetwarzania  przetwornika  obciążając  go 

odważnikami  o  znanej  masie  oraz  mierząc  odpowiadające  im  względne  przyrosty 
napięć. 

4. W programie MS Excel [2] sporządzić wykres przedstawiający uzyskane zależności, tj. 

względny  przyrost  napięcia  –  siła  (

rys.  7

).  Otrzymany  zbiór  punktów  aproksymować 

równaniem prostej i wyznaczyć jej równanie.  

 

Rys. 7. Charakterystyka statyczna przetwarzania przetwornika siły 

 

5. Zmierzyć średnicę 

 i szerokość   bloczka. 

z

d

h

6. Zamocować wkładki cierne z wybranego materiału w gnieździe klocka. 

7. Określić masę klocka 

 łącznie z wkładkami oraz ciężarka 

 (wraz z szalką) wpisując 

wartości  do 

tab.  2

.  Zawiesić  na  szalce  ciężarek 

  o  takiej  masie,  aby  wywołał  ruch 

klocka   w górę. 

Q

G

G

Q

8. Ustawić  równię  pochyłą  pod  kątem 

α

(za  pomocą  pokrętła  umieszczonego  pod 

torem pomiarowym); wartość kąta odczytać ze skali i wpisać do 

tab. 2

. 

9. Ustawić klocek na prowadnicy w pozycji dolnej skrajnej. 

 

7

10. Zwolnić klocek o ciężarze 

, zarejestrować wartości względnych przyrostów napięć 

generowanych  w  tensometrycznym  przetworniku  siły  (pośrednio  jest  mierzona 
wartości siły ).  

Q

S

11. Próbę  powtórzyć  trzykrotnie  dla  wybranego  rodzaju  okładzin  ciernych  klocka . 

Uzyskane  z  pomiarów  dane  zapisać  w  arkuszu  MS  Excela,  przeprowadzić  konwersję 
wartości  wielkości  elektrycznych  na  mechaniczne  według  wyznaczonego  uprzednio 
równania prostej (punkt 3 i 4).  

Q

12. Sporządzić w arkuszu MS Excel wykres przedstawiający zależność siły  od czasu (

rys. 

8

); wyznaczyć maksymalną wartość siły w czasie eksperymentu, a otrzymane wyniki 

zamieścić w 

tab. 2

. 

S

 

Rys. 8. Wykres zmienności siły napięcia linki w czasie doświadczenia 

 

13. Zrealizować serię pomiarów dla różnych par materiałów powtarzając punkty 6–12. 

14. Obliczyć wartość momentu bezwładności bloczka 

 wykorzystując wzory (12) – (13) 

i znaną gęstość stopu aluminium i stali (

o

J

Al

ρ

 

i 

stal

ρ

). 

15. Wyznaczyć  wartości  siły  napięcia  linki 

ze  wzoru  (11)  i  porównać  ją  z 

maksymalną  wartością  siły 

 

uzyskaną  z  pomiarów    (dla  różnych  rodzajów 

materiałów wkładek klocka ). 

.

analit

S

.

eksp

S

Q

16. Wartości sił 

 i 

 dla testowanych rodzajów materiałów zamieścić w 

tab. 3

. 

.

eksp

S

.

analit

S

 

 

 

 

 

8

 

5. WYNIKI POMIARÓW I OBLICZEŃ 

   

Wyniki uzyskane z eksperymentu oraz obliczone ze wzorów zestawić w poniższych tabelach. 

Tab. 2.  Wyniki pomiarów 

z

d

 

h

 

Al

ρ

 

stal

ρ

 

o

J

 

i

α

 

µ

 

G

m

 

Q

m

 

.

eksp

S

 

Numer 
pomiaru 

[m] 

[m] 

[kg/m

3

] 

[kg/m

3

] 

[kg m

2

] 

[°] 

– 

[kg] 

[kg] 

[N] 

1 

 

 

 

2 

 

 

 

3 

 

 

 

Średnia 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Tab. 3.  Zestawienie wyników obliczeń 

Materiał wkładki 

.

eksp

S

[N] 

.

analit

S

[N] 

równanie (11)

Stal – stal 

 

 

Stop aluminium –stal 

 

 

Tworzywo sztuczne – stal 

 

 

 

Tab. 4.  Wartości statycznych i kinetycznych współczynników tarcia suchego [3] 

współczynnik tarcia 

 
Materiał 1 

 
Materiał 2 

 

statyczny 

 

kinetyczny 

stal miękka 

stal miękka 

0.74 

0.57 

aluminium 

stal miękka 

0.61 

0.47 

miedź 

stal miękka 

0.53 

0.36 

stal 

poliamid 66 

– 

0.25 

stal 

mosiądz 

0.35 

– 

stal miękka 

mosiądz 

0.51 

0.44 

stal miękka 

żeliwo 

– 

0.23 

stal twarda 

polietylen 

0.2 

 

stal twarda 

polistyren 

0.3‐0.35 

– 

stal twarda 

stal twarda 

0.78 

0.42 

stal miękka 

ołów 

0.95 

0.95 

 

 

9

 

 

6.  WNIOSKI  

Przeanalizować  ewentualne  przyczyny,  które  mogą  mieć  wpływ  na  różnicę  między 

wartością  siły  napięcia 

w  lince  wyznaczoną  z  równania  (11),  a  jej  odpowiednikiem 

eksperymentalnym

.  Jak  moment  bezwładności  bloczka 

  wpływa  na  wartość  siły 

wyznaczonej z równania (11)? 

.

analit

S

.

eksp

S

o

J

.

analit

S

Literatura 

1. Uścinowicz  Robert:  Instrukcja  obsługi  wzmacniacza    Spider  8  i  programu  Catman 

Express 3.1, Białystok, 2007. 

2. Instrukcja obsługi programu Microsoft Office Excel, 2000.  

3. Strona 

internetowa 

f‐my 

Roymech. 

Dostępna 

w 

Internecie: 

http://www.roymech.co.uk/Useful_Tables/Tribology/co_of_frict.htm 

 

10