Wykład
I Budownictwo NS
Całki oznaczone
13
CAŁKA OZNACZONA
Podział odcinka
Dana jest funkcja
)
(x
f
y
ciągła w rozpatrywanym przedziale
]
,
[
b
a
.
Rozważmy podział
n
przedziału
]
,
[
b
a
na dowolną ilość
n części:
b
x
x
x
x
x
a
n
n
n
1
2
1
0
...
:
,
o następujących własnościach:
1. długości przedziałów:
0
1
1
x
x
x
,
1
2
2
x
x
x
, … ,
1
n
n
n
x
x
x
;
2. średnica podziału:
)
,
...
,
,
max(
2
1
n
n
x
x
x
;
3.
0
lim
n
n
;
4.
]
,
[
1
k
k
k
x
x
- dowolny punkt z przedziału
]
,
[
1
k
k
x
x
;
5.
)
(
k
f
- wartość funkcji w punkcie
k
.
Ciąg podziałów
N
n
n
)
(
spełniający warunki (1) - (3) nazywamy ciągiem normalnym
podziałów.
DEFINICJA [SUMA CAŁKOWA]
Sumą całkową
n
funkcji
f w
]
,
[
b
a
odpowiadającą podziałowi
n
nazywamy wyrażenie
n
k
k
k
n
x
f
1
)
(
.
Rysunek
Wykład
I Budownictwo NS
Całki oznaczone
14
DEFINICJA [CAŁKA OZNACZONA]
Dla każdego podziału normalnego odcinka
]
,
[
b
a
skończoną granicę sumy całkowej
n
niezależną od sposobu wyboru punktów
k
nazywamy całką oznaczoną (całką Riemanna)
funkcji
f w przedziale
]
,
[
b
a
i oznaczamy:
b
a
n
k
k
k
n
n
n
dx
x
f
x
f
)
(
)
(
lim
lim
1
Funkcja
f jest całkowalna w sensie Riemanna wtedy i tylko wtedy, gdy istnieje całka
b
a
dx
x
f
)
(
.
Przykład
Wykład
I Budownictwo NS
Całki oznaczone
15
Interpretacja geometryczna całki oznaczonej
TWIERDZENIE [LEIBNIZA-NEWTONA]
Jeżeli funkcja
f jest ciągła na przedziale
]
,
[
b
a
, to
)
(
)
(
)
(
a
F
b
F
dx
x
f
b
a
,
gdzie
F oznacza dowolną funkcję pierwotną funkcji f na tym przedziale.
Przykłady
Wykład
I Budownictwo NS
Całki oznaczone
16
Własności całki oznaczonej
1.
0
0
b
a
dx
;
2.
0
)
(
a
a
dx
x
f
;
3.
b
a
b
a
dx
x
f
k
dx
x
f
k
)
(
)
(
;
4.
a
b
b
a
dx
x
f
dx
x
f
)
(
)
(
;
5.
b
a
b
a
b
a
dx
x
g
dx
x
f
dx
x
g
x
f
)
(
)
(
)]
(
)
(
[
;
6.
b
c
c
a
b
a
dx
x
f
dx
x
f
dx
x
f
)
(
)
(
)
(
, gdzie
b
c
a
;
7.
dt
t
f
b
g
a
g
dt
dx
x
g
t
x
g
dx
x
g
x
g
f
b
a
)
(
)
(
,
)
(
)
(
'
)
(
)
(
'
))
(
(
;
8.
b
a
b
a
b
a
b
a
du
v
v
u
du
v
v
u
dv
u
]
[
]
[
.
Przykłady
Wykład
I Budownictwo NS
Całki oznaczone
17
TWIERDZENIE [O WARTOŚCI ŚREDNIEJ]
Dla każdej funkcji
f ciągłej w przedziale
]
,
[
b
a
istnieje
]
,
[
b
a
c
takie, że
b
a
dx
x
f
a
b
c
f
)
(
1
)
(
.
Liczbę
b
a
dx
x
f
a
b
)
(
1
nazywamy wartością średnią funkcji
f w przedziale
]
,
[
b
a
.
Przykład
Wykład
I Budownictwo NS
Całki oznaczone
18
Wybrane zastosowania całki oznaczonej
1. Obliczanie pól obszarów płaskich
Niech
)
(
)
(
x
f
x
g
dla
]
,
[
b
a
x
oraz niech
D będzie obszarem ograniczonym wykresami
funkcji
f i g oraz prostymi
a
x
i
b
x
.
Rysunek
Wtedy pole obszaru
D wyraża się wzorem
b
a
D
dx
x
g
x
f
P
)]
(
)
(
[
.
Przykład
Wykład
I Budownictwo NS
Całki oznaczone
19
Współrzędne biegunowe
Położenie punktu
)
,
(
y
x
P
w
2
R można określić podając odległość r tego punktu od
początku układu współrzędnych oraz kąt
ϕ, jaki tworzy dodatnia półoś Ox z promieniem
wodzącym
OP
r
tego punktu.
Rysunek
Stąd
0
r
i przyjmujemy ponadto, że
0
dla
0
r
oraz
]
2
,
0
[
. Zatem
skonstruowaliśmy bijekcję
(odwzorowanie wzajemnie jednoznaczne):
)
,
(
)
,
(
:
y
x
r
,
gdzie
)}
0
,
0
{(
)
2
,
0
[
)
,
0
(
)
,
(
r
oraz
2
)
,
(
R
y
x
, taką, że
sin
cos
r
y
r
x
.
Pole obszaru ograniczonego krzywą zadaną równaniem biegunowym
Niech będzie dany łuk
AB
zadany równaniem biegunowym
)
(
r
r
,
gdzie
0
r
,
oraz
2
.
Niech
D będzie obszarem ograniczonym łukiem AB i promieniami wodzącymi
OA i
OB .
Wykład
I Budownictwo NS
Całki oznaczone
20
Rysunek
Wtedy pole obszaru
D jest równe
d
r
P
D
)
(
2
1
2
.
Przykład
Wykład
I Budownictwo NS
Całki oznaczone
21
Krzywa określona parametrycznie
Niech krzywa
K będzie określona parametrycznie
)
(
)
(
:
t
y
y
t
x
x
K
,
gdzie
]
,
[
t
.
Zakładamy, że
])
,
([
)
(
),
(
1
C
t
y
t
x
,
0
)
(
t
y
oraz
0
)
(
'
t
x
dla
]
,
[
t
.
Wtedy pole obszaru ograniczonego krzywą
K i prostymi
)
(
x
x
,
)
(
x
x
,
0
y
Rysunek
wyraża się wzorem
dt
t
x
t
y
P
D
)
(
'
)
(
.
Przykład
Wykład
I Budownictwo NS
Całki oznaczone
22
2. Długość krzywej
Niech krzywa
K będzie określona parametrycznie
)
(
)
(
:
t
y
y
t
x
x
K
,
gdzie
]
,
[
t
.
Tworzymy podział normalny przedziału
]
,
[
:
n
t
t
t
...
1
0
0
.
Punktom podziału odpowiadają na krzywej punkty
i
A , gdzie
n
i
,
...
,
2
,
1
.
Tworzymy łamaną
n
A
A
A
,
...
,
,
1
0
,
Rysunek
której długość wyraża się wzorem
n
i
i
i
n
A
A
l
1
1
||
||
.
Wykład
I Budownictwo NS
Całki oznaczone
23
DEFINICJA [KRZYWA PROSTOWALNA, DŁUGOŚĆ KRZYWEJ]
Jeżeli istnieje granica
n
n
l
lim niezależna od doboru punktów podziału, to krzywą
K
nazywamy prostowalną, a granicę
n
n
l
l
lim
długością krzywej.
DEFINICJA [ŁUK ZWYKŁY]
Łuk zwykły (łuk Jordana) jest to krzywa bez punktów wielokrotnych, tzn.
)
(
)
(
2
1
2
1
t
A
t
A
t
t
.
DEFINICJA [ŁUK GŁADKI]
Łuk gładki jest to łuk zwykły taki, że
]
,
[
,
0
))
(
'
(
))
(
'
(
])
,
([
)
(
),
(
2
2
1
t
dla
t
y
t
x
C
t
y
t
x
.
Jeżeli krzywą można podzielić na skończoną liczbę łuków gładkich, to taką krzywą
nazywamy odcinkami gładką. Każda krzywa odcinkami gładka jest prostowalna oraz
dt
t
y
t
x
l
2
2
))
(
'
(
))
(
'
(
.
Przykład
Wykład
I Budownictwo NS
Całki oznaczone
24
Jeżeli krzywa
K zadana jest w sposób jawny
)
(
:
x
f
y
K
, dla
]
,
[
b
a
x
oraz
])
,
([
1
b
a
C
f
,
to
b
a
dx
x
f
l
2
))
(
'
(
1
.
Przykład
Wykład
I Budownictwo NS
Całki oznaczone
25
Jeśli krzywa zadana jest we współrzędnych biegunowych
]
,
[
),
(
:
r
r
K
oraz
)]
,
[(
1
C
r
,
to
d
r
r
l
2
2
))
(
'
(
))
(
(
.
Przykład
Wykład
I Budownictwo NS
Całki oznaczone
26
3. Objętość i pole powierzchni bryły obrotowej
Bryłę obrotową otrzymujemy obracając dookoła osi
Ox o kąt
2
krzywą płaską o równaniu
)
(x
f
y
,
]
,
[
b
a
x
oraz
0
)
(
x
f
.
Rysunek
Objętość takiej bryły obrotowej wyraża się wzorem
b
a
dx
x
f
V
2
)]
(
[
.
Jeżeli krzywa
)
(x
f
y
jest łukiem gładkim, to powierzchnia obrotowa ma pole, które
wyraża się wzorem
b
a
dx
x
f
x
f
S
2
)]
(
'
[
1
)
(
2
.
Przykład
Wykład
I Budownictwo NS
Całki oznaczone
27