ALGEBRA I - LISTA 3
25.10.2011
ZAD.1* Udowodnij, ˙ze:
1. dla dowolnego naturalnego n w grupie multiplikatywnej cia la istnieje conajwy˙zej jedna
podgrupa rz
,
edu n
2. ka˙zda sko´
nczona podgrupa zawarta w multiplikatywnej grupie cia la jest cykliczna
3. multiplikatywna grupa cia la sko´
nczonego jest cykliczna
ZAD.2* Niech p b
,
edzie liczb
,
a pierwsz
,
a.
1. wyznacz rz
,
ad grupy GL(2, Z
p
)
2. wyka˙z, ˙ze rz
,
ad grupy GL(n, Z
p
) jest r´
owny (p
n
− 1)(p
n
− p) . . . (p
n
− p
p−1
)
3. wyka˙z, ˙ze rz
,
ad grupy SL(n, Z
p
) jest r´
owny (p
n
− 1)(p
n
− p) . . . (p
n
− p
p−1
)/(p − 1)
ZAD.3
1. Wyznacz rz
,
ad elementu 2 w grupie multiplikatywnej cia la Z
p
.
2. * Dla jakich p 2 jest elementem generuj
,
acym?
ZAD.4 Niech G b
,
edzie grup
,
a i niech X ⊆ X. Definiujemy podzbiory
• C(X) = {g ∈ G : ∀
x∈X
gx = xg} (centralizator zbioru X)
• N (X) = {g ∈ G : gXg
−1
= X}, gdzie yXy
−1
= {yxy
−1
: x ∈ X} (normalizator zbioru
X)
1. Udowodnij, ˙ze C(X) i N (X) s
,
a podgrupami G
2. Udowodnij, ˙ze C(X) ⊆ N (X)
3. Znajd´
z grup
,
e G i jej podzbi´
or X takie, ˙ze C(X) 6= N (X)
ZAD.5
1. Udowodnij, ˙ze podgrupa grupy cyklicznej jest cykliczna.
2. Udowodnij, ˙ze grupy cykliczne tego samego rz
,
edu s
,
a izomorficzne.
3. Sklasyfikuj grupy cykliczne.
1
