Algebra
linio
w
a
IS
Egzamin
p
opra
wk
o
wy
(13.02.2009)
1.
P
o
da
denij
e
grup
y
i
ia
la.
Spra
wdzi
,
zy
dwuelemen
to
wy
zbi
or
G
=
fa;
bg
z
dzia
laniem
zdenio
w
an
ym
przez:
a
a
=
b
b
=
a;
a
b
=
b
a
=
b;
jest
grup
a
przemienn
a.
2.
P
o
da
p
osta
trygonometryzn
a
lizb
y
zesp
olonej
i
regu
ly
mno
_
zenia,
dzielenia
i
p
ot
ego
w
ania
lizb
zesp
olon
y
h
w
p
ostai
trygonometryznej.
(a)
Przedsta
wi
w
p
ostai
trygonometryznej
lizb
e
1
i
p
3 ,
a
nast
epnie
znale
z
jej
trzei
a
p
ot
eg
e
(1
i
p
3)
3
i
przedsta
wi
j
a
w
p
ostai
algebraiznej
a
+
ib.
(b)
Przedsta
wi
w
p
ostai
algebraiznej
a
+
ib
wyra
_
zenie
(1
i)
12
(1
+
i)
10
:
Oblizenia
wyk
ona
nie
k
orzysta
j
a
i
k
orzysta
j
a
z
p
ostai
trygonometryznej
lizb
zes-
p
olon
y
h.
Wyniki
p
or
owna
.
()
Znale
z
pierwiastki
zesp
olone
trzeiego
stopnia
z
lizb
y
-i,
tzn.
3
p
i.
Wynik
p
o
da
w
p
ostai
algebraiznej.
3.
P
o
da
denij
e
przestrzeni
linio
w
ej
nad
ia
lem
lizb
o
wym.
P
ok
aza
,
_
ze
zbi
or
w
ektor
ow
p
ostai
(x;
2y
;
x
y
),
gdzie
x
i
y
s
a
lizbami
rzezywist
ymi
t
w
orzy
p
o
dprzestrze
n
przestrzeni
w
ek-
toro
w
ej
R
3
.
Jaki
jest
jej
wymiar?
P
o
da
w
ektory
bazo
w
e
dla
tej
p
o
dprzestrzeni.
4.
P
o
da
denij
e
niezale
_
zno
si
linio
w
ej
w
ektor
ow.
Czy
w
ektory
(1;
1;
0),
(2;
1;
1)
i
(3;
0;
2)
s
a
linio
w
o
niezale
_
zne?
5.
Spra
wdzi
,
_
ze
(1;
1;
0),
(3;
1;
1)
i
(2;
0;
2)
t
w
orz
a
baz
e
w
R
3
.
Jakie
wsp
o
lrz
edne
b
edzie
mia
l
w
tej
bazie
w
ektor
(4;
2;
3).
6.
P
o
da
denij
e
przkszta
lenia
linio
w
ego
f
:
V
!
V
0
,
j
adra
przekszta
lenia
linio
w
ego
i
obrazu
przekszta
lenia
linio
w
ego.
Znale
j
adro
przkszta
lenia
f
:
V
3
!
V
2
;
f
(x;
y
;
z
)
=
(x;
y
2z
).
P
o
da
jego
wymiar
i
w
ektory
(lub
w
ektor)
bazo
w
e.
7.
Zna
jd
z
maierz
przekszta
lenia
f
:
R
3
!
R
2
danego
przez
f
(x;
y
;
z
)
=
(x
y
;
y
+
z
)
w
baza
h
o
dp
o
wiednio
f(1;
1;
1),
(1;
1;
1),
(2;
1;
0)g
i
f(1;
1),
(1;
1)g.
1
