M
M
M
M
ETODA
ETODA
ETODA
ETODA
3
3
3
3-
---
CH
CH
CH
CH
M
M
M
M
OMENTÓW
OMENTÓW
OMENTÓW
OMENTÓW
I
I
I
I
M
M
M
M
ETODA
ETODA
ETODA
ETODA
P
P
P
P
RZEMIESZCZEŃ
RZEMIESZCZEŃ
RZEMIESZCZEŃ
RZEMIESZCZEŃ
W U
W U
W U
W UKŁADACH
KŁADACH
KŁADACH
KŁADACH
B
B
B
B
ELKOWYCH
ELKOWYCH
ELKOWYCH
ELKOWYCH
Przykład nr 1.1
Wyznaczyć wykresy sił wewnętrznych w belce przedstawionej na rysunku 1.1
(EJ = const.) metodą 3-ch momentów. Otrzymane wyniki zweryfikować metodą
przemieszczeń.
2
2
2
2 kN/m
10 kN
15 kNm
2 EJ
EJ
2 EJ
Rys.1.1 Belka statycznie niewyznaczalna dla przykładu 1.1
(długości przęseł podane są w metrach ).
Metoda 3-ch Momentów.
Na początku musimy obliczyć statyczną niewyznaczalność układu.
S = 2
Dany układ jest dwukrotnie statycznie niewyznaczalny.
W celu rozwiązania układu metodą 3-ch momentów sporządzam układ równań, który
w naszym przypadku wygląda następująco:
Kolejnym krokiem jest wyznaczenie długości sprowadzonych „l`” (długości zastępczych)
wg następującego wzoru:
l`= l
k
· EJ`/EJ
k
x0 l'1
⋅
2 x1
⋅
l'1
l'2
+
(
)
⋅
+
x2 l'2
⋅
+
N 1p
x1 l'2
⋅
2 x2
⋅
l'2
l'3
+
(
)
⋅
+
x3 l'3
⋅
+
N2p
gdzie:
l
k
to długość rzeczywista przęsła,
EJ
k
to sztywność rzeczywista przęsła,
EJ`to sztywność porównawcza.
Przyjmuję że EJ`= 2EJ i wg wzoru na obliczenie długości sprowadzonych otrzymuję:
l`
1
= 2 m
l`
2
= 4 m
l`
3
= 2 m
L`1
L`2
L`3
X1
X0
X2
X3
Rys. 1.2 Model zastępczy belki.
Następnie przystępuje do obliczeń niewiadomych N
1p
i N
2p
korzystają ze wzorów
transformacyjnych . Jak widać z Rys. 1.2 momenty skrajne tj. X0 i X3 równe są zero.
Dla k =1
dla k = 2
N1p
q
−
l1
( )
2
⋅
l'1
⋅
0
1
ξ
ξ
ξ
3
−
(
)
⌠
⌡
d
⋅
P
−
l2
⋅
l'2
⋅
1
2
1
2
3
−
⋅
+
:=
N1p
34
−
kN m
2
⋅
⋅
=
N2p
P
−
l2
⋅
l'2
⋅
1
2
1
2
3
−
⋅
M l'3
⋅
1
4
⋅
+
:=
N2p
22.5
−
kN m
2
⋅
⋅
=
Rozwiązujac układ równiań otrzymujemy szykane niewiadome:
X1 = -2,484 kNm,
X2 = -1,047 kNm
Mając szukane wielkości momentów przywęzłowych obliczamy reakcje i sporządzamy
wykresy momentów i sił tnących.
2
2
2
2 kN/m
10 kN
15 kNm
2 EJ
EJ
2 EJ
2
2
2
2
2
2
a)
b)
-2,484
-8,023
6,977
3,234
-1,047
-6,977
-4,281
5,719
-3,242
0,758
Rys.1.3 Belka a) wykres momentów [kNm], b) wykres sił tnących [kN].
Metoda Przemieszczeń.
Metodę przemieszczeń zaczynamy od przyjęcia układu podstawowego dla którego
tworzymy układ równań kanoniczny. I tak:
2
2
2
2 kN/m
10 kN
15 kNm
2 EJ
EJ
2 EJ
φ1
φ2
2
2
2
2 kN/m
10 kN
15 kNm
2 EJ
EJ
2 EJ
a)
b)
Rys.2.1 Belka a) układ rzeczywisty b) układ podstawowy.
Dla układu obciążonymi siłami zewnętrznymi układ kanoniczny ma postać:
W celu wyznaczenia współczynników r
11
, r
12
, r
21
, r
22
, R
1p
i R
2p
wykonujemy wykresy
momentów zgodnie z poznanymi wzorami transformacyjnymi przy φ
1
= 1 i φ
2
= 1 oraz
od obciążenia siłami zewnętrznymi.
r11
φ
1
⋅
r12
φ
2
⋅
+
R 1p
+
0
r21
φ
1
⋅
r22
φ
2
⋅
+
R 2p
+
0
φ1
φ2
3EJ
2 EJ
EJ
2 EJ
EJ
3EJ
a)
b)
c)
1
1,875
2,5
2,5
Rys.2.2 Belka a) od φ
1
= 1 b) od φ
2
= 1 c) od obciążeń zewnętrznych.
Poszczególne współczynniki wyznaczamy z równowagi węzłów:
r
11
= 3EJ + 2EJ = 5EJ
r
12
= EJ
r
21
= EJ
r
22
= 3EJ + 2EJ = 5EJ
R
1p
= 1 – 2,5 = – 1,5
R
2p
= 2,5+1,875 = 4,375
Rozwiązując układ równań otrzymujemy:
φ
1
= 95/192 · 1/EJ
φ
2
=(– 187/192)· 1/EJ
wartości te wstawiamy do wzorów transformacyjnych otrzymując końcowe wartości
momentów na poszczególnych końcach prętów. Wykresy momentów przedstawiono na
poniższym rysunku.
2
2
2
2 kN/m
10 kN
15 kNm
2 EJ
EJ
2 EJ
2
2
2
2
2
2
a)
b)
-2,484
-8,023
6,977
3,234
-1,047
-6,977
-4,281
5,719
-3,242
0,758
Rys.2.3 Belka a) wykres momentów [kNm], b) wykres sił tnących [kN].