Liczenie wyznacznika: 

1. Wybrad  łatwą liczbę i wyzerowad sąsiadów w 

kolumnie/wierszu. 

2. Wykreślid tę kolumnę i wiersz. 
3. Liczyd: 

                            

  

   

                        . W razie konieczności czynnośd 
powtórzyd. 

4. Wyznacznik 2x2 mnożyd na krzyż zaczynając od lewego 

górnego rogu, a druga przekątna z MINUSEM! 

ID – współrzędne liczby. wiersz+kolumna. l.g.róg ma ID = 2 bo 
stoi w 1 rz. w 1 kol.  
 
Liczenie wyznacznika (m. trójkątna): 

1. M. trój. - na lewo od przekątnej same 0, na górze 

cokolwiek. 

2. Wyznacznik to iloczyn wyrazów po przekątnej. 

 

Liczenie dopełnieo: 

1. Stajesz w g.l.rogu wykreślasz wiersz i kolumnę (nic nie 

zerujesz). 

2. Liczysz wyznacznik tego co zostało. 
3. gdy ID nieparzyste, dostawiasz minus. 

 

Rozwiązać układ równao w zależności od parametru a. 
1. 

Zapisz w postaci macierzowej. 

2. 

Policz wyznacznik macierzy współczynników. 

3. 

Z tw. Cramera: rozwiąż          

4. 

a) OZNACZONY: Za pierwszą kolumnę wstawid wyrazy 

wolne i policzyd wyznacznik. Wstawid do wzoru:  

 

 

  

 

 

   

 

Analogicznie pozostałe. 
b) NIEOZNACZONY/ SPRZECZNY: Policz wyznacznik 

a

 dla 

liczby, którą odrzuciłeś w pkt. 3 Jeśli jest to więcej niż 1 
liczba, weź pierwszą, a w punkcie C policz dla kolejnego 

a

.  

 

Równanie macierzowe. 

1. Cel: wyliczyd X. 
2. Zawsze po obu stronach musi byd macierz! Mnożymy 

obustronnie przez  

  

 

3. Doklejamy tak aby znaleźd M. jednostkową np.  

  

  

 

  

  

 

4. Coś razy m.jednostkowa to to COŚ. 

 

Wyznaczanie np.  

 

 sposobem mając m. A: 

1. Stworzyd równanie   

 

                            (0 

– macierz) 

2. Policzyd i wstawid  

 

     do równania. 

3. M. są sobie równe gdy na odpowiadających miejscach stoją 

te same liczby. Zgodnie z tym stworzyd układ równao. 

4. Zrobid macierz z tego i wyliczyd abc. Wstawid do pkt1. Gdy 

wyjdzie z parametrem wstawid za t liczbę 1. 

5. Zapisad równanie. Wyraz wolny to liczba razy odpowiednia 

m. jednostkowa. 0 to też macierz! 

6. Wyliczyd  

 

, bo  

 

   

 

  

 

Wyznaczanie sposobem m. odwrotnej. 

5. Wszystko do pkt5 włącznie takie samo jak powyżej.  
6. Mnożymy przez  

  

 (wskazówka:  

 

                 ;) 

7. Sprzątamy, wyznaczamy  

  

 

 
 
 

Odwracanie tradycyjne: 

1. Doklejamy z prawej strony 

m. jednostkową

 (po przekątnej 1 

reszta 0) 

2. Gauss tak aby z lewej strony była 

m. j. 

 

3. To co z prawej strony jest m. odwróconą. 

 

Odwracanie wyznacznikiem: 

1. Policzyd      
2. Policzyd M. Dopełnieo i ją Transponowad. 

3. Wstawid do wzoru: 

 

  

 

 

    

  

 

 

 

 

Twierdzenie  Cramera:  Układ  n-równao  o  n-niewiadomych, 
którego macierz współczynników ma wyznacznik  różny od zera 
jest układem oznaczonym i jego rozwiązanie dane jest wzorami: 

 

 

 

  

 

 

   

                gdzie A oznacza m. współczynników tego 

układu, a  

 

 oznaczają macierze powstające z macierzy A przez 

zastąpienie i-tej kolumny kolumną wyrazów wolnych. 
 
Wyznaczyć przekształcenie liniowe: 

1. Utworzyd:  

 

  

   

 

 

 

   

 

  

 i wstawid dane do tego. 

(F(coś) to Y). 

2. Wymnożyd. Utworzyd równania. Zrobid macierz dla 

(domyśl. abcd efgh ijkl) 

3. Zapisad postad macierzy A. Wrócid do równania. Dla 

ułatwienia zapisad sobie w kolumnie zamiast Y 
odpowiednią ilośd  

 

   

 

  za X  

 

   

 

  

4. Wymnożyd i wypisad równania. 
5.    

 

   

 

        

 

   

 

    a za y wpisz to co wyliczyłeś 

kolejno w równaniach w pkt4. 
 

JĄDRO 

6.    

 

   

 

             ) Inaczej do macierzy A dostawid 

wyrazy wolne 0 i rozwiązad Gaussem. 

7. Parametr wyłączyd przed macierz, to co zostało jest bazą 

jądra                     .           ilośd parametrów. 
 

Badanie liniowej zależności: 

1. Ile masz wektorów tyle masz x-sów. 
2. Piszesz warunek:  

 

 

 

   

 

 

 

    

3. Robisz z wektorów macierz i rozwiązujesz Gaussem.  Gdy 

wyjdzie  

 

   

 

    to ukł. liniowo NIEzależny. Gdy 

parametr to zależny. 
 

BAZA gdy układ równao: 

1. Zrobid macierz. Zbadad czy ukł. liniowo niezależny. 
2. Gdy parametr - wyłączyd przed macierz i to co zostało jest 

bazą. 

3. Wymiar to ilośd parametrów. 

 

BAZA gdy podana przestrzeo liniowa: 

1. Sprawdzid czy są l. niezależne. 
2. Gdy są - cała przestrzeo to baza, gdy parametr to znaczy 

można wywalid wektor (ile pram. tyle można wywalid). 

3. Dowiedzied się który można wywalid. Zrobid kombinację 

liniową – czyli zrobid macierz, a wyrazami wolnymi jest 
jeden wektor (zazwyczaj ostatni). np. formalnie:  

 

 

 

 

 

 

 

 

   

 

 

4. Po wyliczeniu współczynników   wstawiasz do równania w 

pkt3. 

5. Wymiar to ilośd wektorów minus ilośd parametrów.