Twierdzenie 1 (o działaniach na pochodnych). Jeżeli funkcje f, g są różniczkowalne w punkcie x
0
, to:
1. (C · f (x
0
))
0
= C · f
0
(x
0
),
2. (f ± g)
0
(x
0
) = f
0
(x
0
) ± g
0
(x
0
),
3. (f · g)
0
(x
0
) = f
0
(x
0
) · g(x
0
) + f (x
0
) · g
0
(x
0
),
4.
f
g
!
0
(x
0
) =
f
0
(x
0
) · g(x
0
) − f (x
0
) · g
0
(x
0
)
g
2
(x
0
)
, jeśli g(x
0
) 6= 0.
Twierdzenie 2. Wzory bezpośrednie:
1. (C)
0
= 0,
C ∈ R
2. (x
α
)
0
= αx
α−1
3. (e
x
)
0
= e
x
,
x ∈ R
4. (ln x)
0
=
1
x
,
x > 0
5. (sin x)
0
= cos x,
x ∈ R
6. (cos x)
0
= − sin x,
x ∈ R
7. (tg x)
0
=
1
cos
2
x
,
x 6=
(2k + 1)π
2
, k ∈ Z
8. (ctg x)
0
= −
1
sin
2
x
,
x 6= kπ, k ∈ Z
9. (arctg x)
0
=
1
1 + x
2
,
x ∈ R
10. (arcctg x)
0
= −
1
1 + x
2
,
x ∈ R
11. (arcsin x)
0
=
1
√
1 − x
2
,
x ∈ (−1, 1)
12. (arccos x)
0
= −
1
√
1 − x
2
,
x ∈ (−1, 1)
