1
Wykład VI
Geometria analityczna w przestrzeni
Odległość punktów w przestrzeni
Działania na wektorach w przestrzeni
Równanie płaszczyzny
Równania prostej
1
Wykład VI
Geometria analityczna w przestrzeni
Odległość punktów w przestrzeni
Działania na wektorach w przestrzeni
Równanie płaszczyzny
Równania prostej
2
Odległość punktów
w przestrzeni
Punkt w przestrzeni zadany jest
poprzez trzy współrzędne: x, y i z.
Niech A(x
1
,y
1
,z
1
) i B(x
2
,y
2
,z
2
)
oznaczają dwa punkty.
A(x
1
,y
1
,z
1
)
[
]
1
2
1
2
1
2
,
,
AB
z
z
y
y
x
x
−
−
−
=
→
Definicja:
Wektorem AB o początku w punkcie A i końcu w
punkcie B nazywamy wektor
→
x
z
y
k
j
i
x
1
y
1
z
1
B(x
2
,y
2
,z
2
)
y
2
x
2
z
2
Wektory i, j, k oznaczają wektory jednostkowe,
tzn. i=[1,0,0], j=[0,1,0], k=[0,0,1].
x
2
-x
1
y
2
-y
1
3
Działania na wektorach
Wektory możemy dodawać, odejmować, mnożyć przez liczbę.
Na wektorach określamy iloczyn skalarny, wektorowy oraz
mieszany.
Dodawanie
[
]
2
1
2
1
2
1
2
1
,
,
z
z
y
y
x
x
+
+
+
=
+
v
v
r
r
(
)
(
)
(
)
2
1
2
2
1
2
2
1
2
AB
AB
z
z
y
y
x
x
−
+
−
+
−
=
=
→
Odległość punktów AB lub długość wektora AB wyraża się
wzorem:
→
Niech
[
]
[
]
2
2
2
2
1
1
1
1
,
,
;
,
,
z
y
x
z
y
x
=
=
v
v
r
r
Odejmowanie
[
]
2
1
2
1
2
1
2
1
,
,
z
z
y
y
x
x
−
−
−
=
−
v
v
r
r
Mnożenie przez liczbę
[
]
az
ay
ax
a
,
,
=
⋅
v
r
4
Przykład 1.
Obliczyć długość wektora
[
]
[
]
1
,
2
,
1
;
1
,
5
,
3
gdzie
;
3
2
2
1
2
1
−
−
=
−
=
−
v
v
v
v
r
r
r
r
Rozwiązanie:
Niech
[
]
[
] [
]
5
,
4
,
3
1
,
2
,
1
3
1
,
5
,
3
2
3
2
2
1
−
=
−
−
−
−
=
−
=
v
v
a
r
r
r
Liczymy teraz długość:
(
)
2
5
50
5
4
3
2
2
2
=
=
+
−
+
=
a
r
Iloczyn skalarny wektorów
2
1
2
1
2
1
2
1
z
z
y
y
x
x
⋅
+
⋅
+
⋅
=
v
v
r
o
r
Iloczynem skalarnym dwóch wektorów
nazywamy liczbę postaci:
[
]
[
]
2
2
2
2
1
1
1
1
,
,
;
,
,
z
y
x
z
y
x
=
=
v
v
r
r
Iloczyny wektorów
W przestrzeni trójwymiarowej określamy następujące
iloczyny wektorów:
5
Iloczyn wektorowy
2
2
1
1
2
2
1
1
2
2
1
1
2
2
2
1
1
1
2
1
y
x
y
x
z
x
z
x
z
y
z
y
z
y
x
z
y
x
k
j
i
k
j
i
v
v
+
−
=
=
×
r
r
Iloczynem wektorowym wektorów
nazywamy wektor postaci:
[
]
[
]
2
2
2
2
1
1
1
1
,
,
;
,
,
z
y
x
z
y
x
=
=
v
v
r
r
Przykład 2.
Obliczyć iloczyn wektorowy wektorów
[
]
[
]
1
,
2
,
1
1
,
5
,
3
2
1
−
−
=
−
=
v
v
r
r
i
(
)
]
1
,
4
,
7
[
4
7
3
2
5
6
5
2
1
5
3
1
2
1
1
5
3
2
1
−
=
−
+
=
−
−
−
−
−
+
=
−
−
−
−
−
=
×
k
j
i
j
i
k
k
j
i
j
i
k
j
i
v
v
r
r
UWAGA: Iloczyn wektorowy dwóch wektorów jest
ortogonalny do obydwóch wektorów.
6
Iloczyn mieszany trzech wektorów
(
)
3
3
3
2
2
2
1
1
1
3
2
1
z
y
x
z
y
x
z
y
x
=
×
v
v
v
r
r
o
r
Iloczynem mieszanym wektorów
nazywamy iloczyn postaci:
[
]
[
]
[
]
3
3
3
3
2
2
2
2
1
1
1
1
,
,
;
,
,
;
,
,
z
y
x
z
y
x
z
y
x
=
=
=
v
v
v
r
r
r
Przykład 3.
Obliczyć iloczyn mieszany wektorów
[
]
[
]
[
]
3
,
2
,
0
;
1
,
2
,
1
;
1
,
5
,
3
3
2
1
=
−
−
=
−
=
v
v
v
r
r
r
(
)
(
)
5
15
6
0
2
0
18
2
0
2
1
5
3
3
2
0
1
2
1
1
5
3
3
2
1
=
−
−
−
+
+
−
=
−
−
−
−
−
=
×
v
v
v
r
r
o
r
Interpretacja:
Wartość bezwzględna iloczynu
mieszanego trzech wektorów jest równa objętości
równoległościanu utworzonego przez te wektory.
6
v
1
v
3
v
2
7
Wzajemne położenie wektorów
1.Wektory
są prostopadłe
wtedy i tylko wtedy, gdy ich iloczyn skalarny jest równy 0,tzn.
[
]
[
]
2
2
2
2
1
1
1
1
,
,
i
,
,
z
y
x
z
y
x
=
=
v
v
r
r
0
0
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
=
+
+
⇔
=
⇔
⊥
z
z
y
y
x
x
v
v
v
v
r
o
r
r
r
(
)
0
3
2
1
=
×
v
v
v
r
r
o
r
3.Wektory
leżą w jednej płaszczyźnie (są komplementarne) wtedy i
tylko wtedy, gdy ich iloczyn mieszany jest równy 0,tzn.
[
]
[
]
[
]
3
3
3
3
2
2
2
2
1
1
1
1
,
,
;
,
,
;
,
,
z
y
x
z
y
x
z
y
x
=
=
=
v
v
v
r
r
r
2.Jeśli wektory
są
równoległe, wówczas ich iloczyn wektorowy jest wektorem
zerowym, czyli jego długość wynosi 0, tzn.
[
]
[
]
2
2
2
2
1
1
1
1
,
,
i
,
,
z
y
x
z
y
x
=
=
v
v
r
r
0
||
2
1
2
1
=
×
⇔
v
v
v
v
r
r
r
r
8
Równanie płaszczyzny
Płaszczyzna w przestrzeni trójwymiarowej opisana jest
równaniem postaci:
Ax+By+Cz+D=0
, gdzie
n=[A,B,C]
jest
wektorem normalnym płaszczyzny (prostopadłym do niej).
→
Przykład
: Rozważmy płaszczyznę π: 2x+y+3z-6=0.
n= [2, 1,3]
Wektor normalny płaszczyzny π wynosi
2
1
3
y
x
z
n= [2, 1,3]
π
Ponadto, płaszczyzna musi
przechodzić przez punkt
spełniający równanie
płaszczyzny, np. P(1,1,1).
π
P(1,1,1)
9
Prosta w przestrzeni trójwymiarowej
Prosta l w przestrzeni trójwymiarowej może być opisana
równaniami różnej postaci:
a)
Postać krawędziowa prostej
(zadana poprzez dwie
płaszczyzny nierównoległe)
=
+
+
+
=
+
+
+
0
D
C
B
A
0
D
C
B
A
:
2
2
2
2
1
1
1
1
z
y
x
z
y
x
l
b)
Postać kierunkowa prostej
przechodzącej przez punkt
P
0
(x
0
,y
0
,z
0
) i równoległej do wektora k=[a,b,c]
c
z
z
b
y
y
a
x
x
l
0
0
0
:
−
=
−
=
−
b)
Postać parametryczna prostej
przechodzącej przez
punkt P
0
(x
0
,y
0
,z
0
) i równoległej do wektora k=[a,b,c]
+
=
+
=
+
=
ct
z
z
bt
y
y
at
x
x
l
0
0
0
:
10
1
2
1
2
1
2
2
1
0
c
c
b
b
a
a
=
=
⇔
=
×
k
k
Dwie proste
l
1
oraz
l
2
są równoległe wtedy i tylko wtedy, gdy
ich wektory kierunkowe są równoległe,
tzn.
k
1
=[a
1
,b
1
,c
1
]
|| k
2
=[a
2
,b
2
,c
2
],
czyli
Wzajemne położenie prostych
0
2
1
2
1
2
1
2
1
=
⋅
+
⋅
+
⋅
=
c
c
b
b
a
a
k
k
r
o
r
Dwie proste
l
1
oraz
l
2
są prostopadłe wtedy i tylko wtedy, gdy
ich wektory kierunkowe są prostopadłe,
tzn.
k
1
=[a
1
,b
1
,c
1
]
⊥
k
2
=[a
2
,b
2
,c
2
],
czyli
11
Uwaga.
1.Dowolne dwa różne punkty w przestrzeni wyznaczają
prostą. Znajdziemy równanie prostej przechodzącej przez dwa
punkty A(1,2,3) i B(0,-1,4).
+
=
−
=
−
=
t
z
t
y
t
x
l
1
3
3
2
1
1
:
Rozwiązanie:
Wyznaczymy wektor kierunkowy prostej k=AB=[-1,-3,1].
Równanie parametryczne ma zatem postać:
Współrzędne punktu A
Współrzędne wektora k
12
3.Dowolne trzy niewspółliniowe punkty w przestrzeni
wyznaczają płaszczyznę. Znajdziemy równanie płaszczyzny
przechodzącej przez punkty A(1,2,3) i B(0,-1,4), C(3,4,2).
Rozwiązanie:
Aby znaleźć wektor normalny płaszczyzny,
należy zauważyć, że jest on ortogonalny do wektorów AB i
AC, czyli jest iloczynem wektorowym tych wektorów.
Zatem AB=[-1,-3,1] i AC=[2,2,-1], natomiast iloczyn
wektorowy tych wektorów wynosi:
]
4
,
1
,
1
[
4
2
,
2
3
,
1
1
,
2
1
,
1
1
,
2
1
,
3
1
2
2
1
3
1
AB
=
+
+
=
−
−
+
−
−
−
−
−
=
−
−
−
=
×
=
→
→
k
j
i
k
j
i
k
j
i
AC
n
r
Równanie płaszczyzny ma postać: x+y+4z+D=0. Aby
wyznaczyć D wystarczy wstawić jeden z punktów.
Wstawiając A(1,2,3) dostajemy 1+2+12+D=0, czyli D=-15.
Ostatecznie równanie płaszczyzny ma postać: x+y+4z-15=0.
13
Odległość punktu od płaszczyzny
2
2
2
0
0
0
C
B
A
C
B
A
+
+
+
+
+
=
D
z
y
x
d
Odległość punktu P(x
0
,y
0
,z
0
) od płaszczyzny zadanej
równaniem Ax+By+Cz+D=0 określa wzór:
Przykład 4.
Obliczyć odległość punktu P(2,-4,1) od
płaszczyzny π:2x-3y+5z+8=0
(
)
(
)
38
29
13
8
1
5
4
3
2
2
5
3
2
8
5
3
2
2
2
2
0
0
0
=
+
⋅
+
−
⋅
−
⋅
=
+
−
+
+
+
−
=
z
y
x
d
Rozwiązanie:
Odległość punktu P(2,-4,1) od płaszczyzny π:2x-3y+5z+8=0
wynosi