1

Metody pomiaru zmian wartości pieniądza w czasie

I. PROCENT PROSTY – polega na takim oprocentowaniu kapitału, w którym roczny

dochód (procent) z kapitału nie jest do niego dodawany, czyli kapitalizowany. Oznacza to, że

dochód ten nie powiększa podstawy kapitału naliczania odsetek w okresie następnym.

K

n

= K

0

*(1 + rn) = K

0

+ K

0

*Rn

K

n –

wartość kapitału początkowego

K

0

po „n” okresach kapitalizacji prostej (oprocentowania

prostego);

K

0

– kwota początkowa

r – stopa procentowa

II. PROCENT SKŁADANY (rachunek odsetek składanych) – stosuje się wówczas gdy

roczny dochód (procent) z kapitału jest dodawany do kwoty kapitału podstawowego, czyli jest

kapitalizowany. Oznacza to, że dochód ten powiększa podstawę (kapitał) do naliczania

odsetek w okresie następnym. Procent składany ma istotny wpływ na podejmowanie decyzji

związanych z wyborem pożyczki, kredytu bądź lokowania środków pieniężnych na określony

czas.

Przyszła wartość kapitału obejmuje kapitał podstawowy, skapitalizowany według

określonej stopy procentowej:

(

)

n

n

n

q

K

r

K

K

×

=

+

=

0

0

1

K

n

- wartość kapitału początkowego

K

0

po „n” okresach kapitalizacji złożonej

(oprocentowania złożonego); - wartość przyszła kapitału.

K

0

– wartość początkowa kapitału (wartość teraźniejsza kapitału)

r – stopa procentowa

q = 1 + r

2

OPROCENTOWANIE ZŁOŻONE W PODOKRESACH

m

n

n

m

r

K

K

×

+

=

)

1

(

0

Czyli

k

m

k

m

r

K

K

)

1

(

0

+

=

K

n

– wartość kapitału początkowego K

0

po n okresach kapitalizacji złożonej w podokresach

r – stopa procentowa okresowa

m – liczba podokresów w okresie,

N

n ∈

k = mn – liczba podokresów w n okresach,

r/m – stopa procentowa względna (podokresowa)

Kapitalizacja ciągła

t

r

e

K

t

K

×

=

0

)

(

K(t) – wartość kapitału początkowego K

0

po czasie t ≥ 0, mierzonym okresami stopy

procentowej,

r – stopa procentowa okresowa,

Efektywna stopa procentowa

Efektywna stopa procentowa r

ef

zmienia kapitalizację w podokresach lub kapitalizację ciągłą

na równoważną kapitalizację okresową.

Dla kapitalizacji w podokresach

1

)

1

(

−

+

=

m

ef

m

r

r

3

Dla kapitalizacji ciągłej

1

−

=

r

ef

e

r

Gdzie

r – nominalna (okresowa) stopa procentowa

m – liczba podokresów w okresie

Realna stopa procentowa

Wzór Fischera: (1 + r

r

) = (1 + r

n

) / (1 + i)

1

1

1

−

+

+

=

i

r

r

n

r

Strumienie płatności

Strumieniem płatności nazywamy ciąg operacji finansowych (wpłat lub wypłat)

dokonywanych regularnie lub nieregularnie w stałych lub różnych kwotach, np.:

- wkłady oszczędnościowe,

- spłaty kredytu (długu),

- wypłata renty z pewnego kapitału.

1. Operacje dokonywane zgodnie z okresem kapitalizacji i okresem stopy procentowej

Wkłady dokonywane z góry

q

E

q

E

q

E

K

n

n

n

n

+

+

+

=

−

...

1

2

1

- gdy wkłady mają różną wysokość

1

1

−

−

=

q

q

Eq

K

n

n

- gdy wkłady mają jednakową wysokość

n

K

- stan konta po „n” okresach kapitalizacji

q = 1 + r

4

Wkłady dokonywane z dołu

n

n

n

n

n

E

q

E

q

E

q

E

K

+

+

+

+

=

−

−

−

1

2

2

1

1

...

- gdy wkłady mają różną wysokość

1

1

−

−

=

q

q

E

K

n

n

- gdy wkłady mają jednakową wysokość

q = 1 + r

n

K

- stan konta po „n” okresach kapitalizacji

2. Operacje zgodne z okresem stopy procentowej ale niezgodne z okresem kapitalizacji

Wkłady dokonywane z góry

1

1

−

−

=

q

q

q

E

K

n

n

)

)

)

)

n

K

)

- stan konta po n okresach wpłat

E – stały wkład

q)

= 1 + r

ef

= (1+r/m)

m

m – liczba podokresów w okresie

Wkłady dokonywane z dołu

1

1

−

−

=

∧

q

q

E

K

n

n

)

)

n

K

∧

- stan konta po n okresach wpłat

E – stały wkład

q)

= 1 + r

ef

= (1+r/m)

m

m – liczba podokresów w okresie

5

3. Operacje niezgodne z okresem stopy procentowej ale zgodne z okresem kapitalizacji

Wkłady dokonywane z góry

1

1

/

−

−

=

=

q

q

q

E

K

K

k

m

k

n

n

K

- stan konta po „n” okresach

r – stopa procentowa okresowa

m – liczba podokresów w okresie

k = m*n

q

= 1 + r/m

Wkłady dokonywane z dołu

1

1

/

−

−

=

=

q

q

E

K

K

k

m

k

n

n

K

- stan konta po „n” okresach kapitalizacji

r – stopa procentowa okresowa

m – liczba podokresów w okresie

k = m*n

q

= 1 + r/m

6

Decyzje inwestycyjne przedsiębiorstwa

Każda decyzja inwestycyjna przedsiębiorstwa powinna być poprzedzona analizą, czyli

przeprowadzeniem rachunku efektywności ekonomicznej. Podczas dokonywania oceny

przedsięwzięć inwestycyjnych stosuje się dwie podstawowe metody, mianowicie:

•

Metoda wartości bieżącej netto (NPV – Net Present Value)

•

Metoda wewnętrznej stopy zwrotu (IRR – Internal Rate of Return)

Metoda wartości bieżącej netto (ang. Net Present Value) pozwala określić obecną

(aktualną) wartość wpływów i wydatków pieniężnych związanych z ocenianym

przedsięwzięciem inwestycyjnym. NPV określa się jako sumę zdyskontowanych oddzielnie

dla każdego roku przepływów pieniężnych, zrealizowanych w całym okresie, przy stałym

poziomie stopy procentowej. Wartość ta wyraża zdyskontowane na moment dokonywania

oceny, korzyści jakie przedsięwzięcie może przynieść. Zaktualizowaną wartość netto

definiuje się jako obecną wartość wszystkich wpływów i wydatków związanych z realizacją i

eksploatacją projektu. NPV otrzymuje się poprzez zdyskontowanie, oddzielnie dla każdego

roku (lub innego podokresu), różnicy między wpływami i wydatkami przez cały okres trwania

projektu przy określonym poziomie stopy dyskontowej, a następnie zsumowaniu tych

wartości. W celu obliczenia NPV możemy posłużyć się następującym wzorem:

gdzie:

•

NPV

- wartość bieżąca netto,

•

CF

t

- przepływy gotówkowe w okresie t,

•

r

- stopa dyskonta,

•

I

0

- nakłady początkowe,

•

t

- kolejne okresy (najczęściej lata) eksploatacji inwestycji

Możliwe są 3 wartości NPV:

NPV = 0 stopa zwrotu jest równa się kosztowi pozyskania kapitału.

NPV > 0 stopa zwrotu z inwestycji jest większa niż koszt pozyskania kapitału.

NPV < 0 stopa zwrotu z inwestycji jest mniejsza niż koszt pozyskania kapitału.

7

Drugą najczęściej stosowaną metodą dyskontową do oceny przedsięwzięć inwestycyjnych jest

wewnętrzna stopa zwrotu (IRR). IRR to stopa procentowa, przy której obecna wartość

wydatków pieniężnych jest równa obecnej wartości wpływów pieniężnych. Jest to zatem

stopa procentowa, dla której wartość bieżąca netto ocenianej inwestycji jest równa zero

(NPV=0). Wówczas gdy IRR jest wyższa od stopy granicznej, będącej najniższą możliwą do

zaakceptowania przez inwestora stopą rentowności, inwestycja jest opłacalna. W sytuacji

odwrotnej inwestycja będzie nieopłacalna.

Obliczenie wartości IRR polega więc na znalezieniu takiej wartości stopy dyskontowej r,

która spełnia warunek:

gdzie:

•

CF

t

- przepływy gotówkowe w okresie t,

•

r

- stopa dyskonta,

•

I

0

- nakłady początkowe,

•

t

- kolejne okresy (najczęściej lata) eksploatacji inwestycji

Powyższa formuła ma zastosowanie przy stałej stopie dyskonta w rozpatrywanym okresie. W

przypadku ogólnym, gdy stopa ta nie jest stała, saldo przepływów finansowych należy

dyskontować odrębnie dla każdego okresu z daną stopą dyskonta.