1
Tadeusz Batóg, Podstawy logiki, Wydawnictwo Naukowe UAM, Poznań 1994, s. 11-20.
PODSTAWY RACHUNKU ZDAŃ
§ 1. SPÓJNIKI MIĘDZYZDANIOWE
Zdaniami w sensie logicznym nazywamy te spośród zdań oznajmujących (w sensie gramatycz-
nym), które posiadają treść na tyle określoną, że są prawdziwe bądź fałszywe. W dalszym ciągu mówić
będziemy tylko o zdaniach w sensie logicznym, toteż będziemy je dla krótkości nazywać po prostu zda-
niami.
Określenie powyższe posiada wstępny charakter i nie jest precyzyjne. Jego zadaniem jest jedynie
pobudzenie pewnych intuicji wiążących się z pojęciem zdania. Ścisłą definicję tego pojęcia podamy póź-
niej.
Te oto dwie własności zdań: prawdziwość i fałszywość (lub też prawdę i fałsz, jak zwykło się
mówić krótko) nazywać będziemy wartościami logicznymi. Nie będziemy tu na razie mówili, na czym
polega prawdziwość czy też fałszywość zdań. Intuicyjne rozumienie tych własności, znane z potocznego
języka, wystarczy tutaj całkowicie. Jedyną bowiem rzeczą ważną dla sporej części dalszych rozważań
będzie to, że prawdziwość jest czym innym niż fałszywość.
Wartości logiczne wygodnie jest oznaczać jakimiś krótkimi symbolami. Z tego względu prawdzi-
wość oznaczać będziemy symbolem l, zaś fałszywość symbolem 0. Przy tych oznaczeniach zbiorem war-
tości logicznych jest zbiór {0, l}. Powiedzenie, że jakieś zdanie posiada wartość logiczną l, będzie więc
znaczyło po prostu, że zdanie to jest prawdziwe. Powiedzenie zaś, że zdanie ma wartość 0, będzie zna-
czyło tylko tyle, że zdanie to jest fałszywe.
Mając jakiekolwiek dwa zdania możemy utworzyć nowe zdanie, dłuższe, bardziej złożone przez
połączenie owych zdań jakimś spójnikiem międzyzdaniowym, np. słowem „oraz” albo słowem „lub”.
Spójnikami międzyzdaniowymi nazywamy bowiem właśnie takie słowa czy też zwroty wielowyrazowe,
które służą do tworzenia zdań złożonych poprzez odpowiednie łączenie zdań prostszych. W zdaniu zło-
żonym, zbudowanym z prostszych zdań [11/12] przez połączenie ich jakimś spójnikiem, owe prostsze
zdania noszą nazwę argumentów danego spójnika. Niektóre spójniki są szczególnie często używane w
języku naukowym, toteż zajmiemy się nimi bliżej.
Przyjmujemy, że spójniki międzyzdaniowe: „i”, „oraz”, „ale”, „lecz”, „a”, „natomiast” są równo-
znaczne pomiędzy sobą. (Co prawda ostatnie cztery spośród nich mogą być używane zamiast „i” względ-
nie „oraz” tylko w niektórych kontekstach, ale decydują o tym jedynie względy stylistyczne a nie rze-
czowe). Wszystkie te spójniki będziemy zapisywali za pomocą jednego krótkiego symbolu
. Symbol ten
odczytuje się z reguły jako „i” względnie „oraz”. Będziemy go nazywali znakiem koniunkcji. Każde zda-
nie o budowie p
q (czyli: p oraz q), gdzie p, q są jakimikolwiek konkretnymi zdaniami, nazywamy ko-
niunkcją. Zdania p, q wchodzące w skład takiej koniunkcji nazywamy jej czynnikami.
Przyjmujemy, że spójniki: „lub”, „bądź” („bądź... bądź”) są również równoznaczne pomiędzy so-
bą. Zapisujemy je za pomocą jednego symbolu v, odczytywanego zwykle jako „lub”. Symbol ten nazy-
wamy znakiem alternatywy. Każde zdanie o budowie p
q (czyli: p lub q), gdzie p, q są jakimikolwiek
zdaniami, nazywamy alternatywą. (W zagranicznej literaturze logicznej alternatywę nazywa się najczę-
ściej dysjunkcją). Zdania p, q wchodzące w skład takiej alternatywy nazywamy jej składnikami.
Dwuwyrazowy spójnik „jeżeli..., to” („jeśli..., to”) będziemy zapisywać za pomocą symbolu →,
zwanego znakiem implikacji. Każde zdanie o budowie p → q (czyli: jeżeli p to q) gdzie p, q są jakimi-
kolwiek zdaniami, nazywamy implikacją. Zdanie p jest poprzednikiem, a zdanie q następnikiem takiej
implikacji.
Przyjmujemy, że wszystkie cztery poniższe wielowyrazowe spójniki międzyzdaniowe są całkowi-
cie równoznaczne między sobą:
wtedy i tylko wtedy, gdy; pod tym i tylko pod tym warunkiem, że;
jeśli i tylko jeśli; zawsze i tylko wtedy, gdy.
Wszystkie te spójniki zapisujemy za pomocą jednego krótkiego symbolu ≡, zwanego znakiem
równoważności. Każde zdanie o postaci p ≡ q nazywamy równoważnością. Zdania p, q występujące w
takiej równoważności nazywamy - odpowiednio - jej lewą i prawą stroną (albo jej lewym i prawym czło-
nem).
2
Zwrot „nieprawda, że” nie jest, oczywiście, spójnikiem w sensie gramatycznym. Ponieważ jednak
będzie on w dalszym ciągu naszych rozważań odgrywał rolę podobną jak wymienione wyżej spójniki,
więc będziemy go również umownie nazywali spójnikiem międzyzdaniowym. Zwrot ten zapisywać bę-
dziemy za pomocą symbolu ~, zwanego znakiem negacji. Każde zdanie o postaci ~p nazywać będziemy
negacją. Zauważmy jeszcze, że znak ~ można też odczytywać jako „nie jest tak, że”, względnie - gdy nie
wywoła to nieporozumienia - jako po prostu „nie”.[12/13]
Podana niżej tabela l charakteryzuje bliżej sens znaku negacji, a zarazem odpowiadającego mu
zwrotu „nieprawda, że”. Tabelę tę należy rozumieć w następujący sposób: gdy jakieś zdanie p jest praw-
dziwe (czyli ma wartość logiczną 1), to jego negacja, tzn. zdanie ~p jest fałszywe (czyli ma wartość lo-
giczną 0); gdy natomiast zdanie p jest fałszywe, to zdanie ~p jest prawdziwe, W podobny sposób tabela 2
charakteryzuje pozostałe spójniki międzyzdaniowe. Jej kolumna pierwsza z prawej strony podwójnej kre-
ski pionowej informuje, że koniunkcją jest prawdziwa wtedy i tylko wtedy, gdy oba czynniki tej koniunk-
cji są prawdziwe; we wszystkich innych przypadkach koniunkcją jest zdaniem fałszywym.
Tabela 1 Tabela 2
p
~p
p
q
p
q
p
q
p → q
p ≡ q
1
0
0
1
1
1
0
0
1
0
1
0
1
0
0
0
1
1
1
0
1
0
1
1
1
0
0
1
Zgodnie z następną kolumną tej tabeli alternatywa jest fałszywa wtedy i tylko wtedy, gdy oba jej
składniki są fałszywe; we wszystkich innych przypadkach alternatywa jest zdaniem prawdziwym. Z kolei
implikacja jest fałszywa wtedy i tylko wtedy, gdy jej poprzednik jest prawdziwy, a następnik fałszywy;
we wszystkich innych przypadkach implikacja jest zdaniem prawdziwym. Wreszcie równoważność jest
prawdziwa wtedy i tylko wtedy, gdy obie jej strony posiadają dokładnie tę samą wartość logiczną; jeśli
natomiast jedna strona równoważności ma inną wartość logiczną niż druga, to równoważność jest zda-
niem fałszywym.
§ 2. SCHEMATY FORMALNE ZDAŃ
Liter p, q, r, s, t będziemy używali jako tzw. zmiennych zdaniowych, tzn. zmiennych reprezentu-
jących dowolne zdania. Pierwsze dwie spośród nich były już zresztą używane w takim charakterze w po-
przednim paragrafie. Jeżeli w jakimś danym zdaniu zastąpimy wszystkie spójniki międzyzdaniowe ich
symbolicznymi odpowiednikami, zaś argumenty tych spójników - zmiennymi zdaniowymi tak, aby na
miejscu takich samych zdań znalazły się takie same zmienne, a na miejscu różnych zdań - różne zmienne,
to otrzymamy tzw. formalny schemat owego zdania. Oczywiście, schematem formalnym zdania prostego
(nie zawierającego żadnych spójników międzyzdaniowych) będzie po prostu dowolna pojedyncza zmien-
na zdaniowa. Chcąc zapewnić składniową jednoznaczność schematów formalnych, trzeba najczęściej
używać w nich odpowiednio rozmieszczonych nawiasów. Na przykład dla zdania: [13/14]
(1) Jeżeli 7 dzieli się przez 6, to 7 dzieli się przez 2 oraz 7 dzieli się przez 3,
schematem formalnym jest wyrażenie:
(2) p → (q
r).
Natomiast dla zdania:
(3) A. Mickiewicz był Polakiem lub nieprawda, że A. Mickiewicz był Polakiem,
schematem formalnym jest wyrażenie:
(4) p
~p.
Bez trudu można zbudować zdania, dla których schematami formalnymi są np. następujące wyrażenia:
(p
q) → (p
r), [(p
q)
r] → p,
[(p → q)
~q] → ~p, (p
q)
(r → p).
Wyrażenia tego rodzaju, będące schematami jakichś zdań, nazywają się formułami języka rachun-
ku zdań. Wyrażenia zbudowane ze zmiennych zdaniowych, spójników i nawiasów, ale nie będące sche-
matami żadnych zdań (jak np.: ~ → p
), nie są formułami, lecz wyrażeniami bezsensownymi.
3
Łatwo się przekonać, że przytoczone powyżej zdanie (1) jest prawdziwe; jest to bowiem implika-
cja o fałszywym poprzedniku i fałszywym następniku (por. tab. 2). Można zatem powiedzieć, że formuła
(2) jest schematem pewnego zdania prawdziwego albo, że pod schemat (2) podpada pewne zdanie praw-
dziwe. Bez trudu jednak można zbudować i takie zdanie, które także będzie podpadać pod schemat (2), a
które będzie fałszywe. Wystarczy w tym celu wstawić do (2) za p jakiekolwiek zdanie prawdziwe, za q
jakiekolwiek fałszywe a za r zdanie całkiem dowolne; uzyskane w ten sposób zdanie złożone będzie na
pewno fałszywe. Można więc stwierdzić ostatecznie, że (2) jest schematem i pewnych prawdziwych
zdań, i pewnych fałszywych.
Zupełnie inaczej ma się rzecz ze schematem (4): jest to schemat tylko prawdziwych zdań. Zdanie
(3), podpadające pod ten schemat, jest na pewno prawdziwe. Jest to w istocie prawda banalna, z której
niczego właściwie nie można się o Mickiewiczu dowiedzieć, ale przecież nie jest to fałsz. Podobnie
wszystkie inne zdania, podpadające pod schemat (4), są takimi banalnymi prawdami głoszącymi, że jest
tak a tak lub nieprawda, że jest tak a tak. Ale prawda banalna to też prawda. Zatem wszystkie zdania, dla
których schematem formalnym jest (4), są prawdziwe. [14/15]
Wszystkie te i tylko te formuły języka rachunku zdań, które są schematami wyłącznie zdań praw-
dziwych, nazywamy tautologiami rachunku zdań lub też prawami logicznymi z zakresu rachunku zdań.
Doniosłość tautologii czyli praw logicznych polega na tym, że pozwalają one przekonać się o
prawdziwości bardzo wielu zdań na podstawie samego kształtu (schematu) tych zdań. Jeśli bowiem
schemat jakiegoś zdania jest tautologią, to prawdziwość takiego zdania mamy zagwarantowaną bez po-
trzeby odwoływania się do doświadczenia lub innego typu dowodów.
Niezwykle ważna jest przy tym ta okoliczność, że istnieje prosta metoda, tzw. metoda sprawdzeń
zerowo-jedynkowych, pozwalająca o każdej formule języka rachunku zdań rozstrzygnąć w skończonej
liczbie kroków, czy formuła ta jest tautologią czy też nie. Metoda ta polega na wykorzystaniu faktu, iż
każde zdanie ma jedną z dwu wartości logicznych l lub 0, oraz na przeprowadzaniu pewnych rachunków
zgodnych z tabelami l i 2, charakteryzującymi sens poszczególnych spójników. Objaśnimy ją na przykła-
dzie. Przypuśćmy, że chcemy rozstrzygnąć, czy jest tautologią następująca formuła:
(5) [(~ p)
( ~ q)] ≡ (p → ~ q).
Możemy rozumować tak: Każde zdanie podpadające pod ten schemat powstaje z niego przez za-
stąpienie zmiennych zdaniowych p oraz q jakimiś konkretnymi zdaniami, które mogą być prawdziwe
bądź fałszywe. Istnieją zatem cztery możliwości: 1) albo bierze się za p zdanie prawdziwe i za q zdanie
prawdziwe, 2) albo bierze się za p zdanie prawdziwe a za q fałszywe, 3) albo bierze się za p zdanie fał-
szywe a za q prawdziwe, 4) albo bierze się za p zdanie fałszywe i za q zdanie fałszywe. Możliwości te
zestawione są w tabeli 3. Wystarczy teraz obliczyć, jaką wartość będzie miało zdanie złożone o schema-
cie (5) przy każdej z powyższych czterech możliwości.
Tabela 3 Tabela 4
p
q
p
q
r
1
1
0
0
1
0
1
0
1
1
1
1
0
0
0
0
1
1
0
0
1
1
0
0
1
0
1
0
1
0
1
0
Jeżeli wartością tą będzie za każdym razem l, to rozważaną formułę uznamy za tautologię. Jeżeli
zaś przy choćby jednej z tych możliwości otrzymamy wartość 0, to powiemy, że [15/16] formuła tautolo-
gią nie jest. Obliczenia przeprowadzamy oczywiście wedle tabel l i 2. Dla rozważanej tutaj formuły (5)
wyglądają one następująco:
[(~ 1)
(~ l)] ≡ (1 → ~ 1) [(~ 1)
(~ 0)] ≡ (1 → ~ 0)
(0
0) ≡ (1 -> 0) (0
1) ≡ (1 → 1)
0 ≡ 0 1 ≡ 1
l 1
4
[(~ 0
(~ l)] ≡ (0 → ~ 1) [(~ 0)
(~ 0)] ≡ (0 → ~ 0)
(1
0) ≡ (0 → 0) (1
1) ≡ (0 → 1)
1 ≡ 1 1 ≡ 1
l 1
Ponieważ za każdym razem otrzymaliśmy l, więc formuła (5) na pewno jest tautologią. Nie jest
natomiast tautologią formuła
(6) [(p → q)
p] → ~ q
Jeśli bowiem zmiennej p nadamy wartość 0, a zmiennej q wartość l, to cała formuła otrzyma war-
tość 0.
Zupełnie analogicznie sprawdza się formuły o większej (względnie mniejszej) ilości różnych
zmiennych. Trzeba tylko dbać o to, aby zawsze wziąć pod uwagę wszystkie możliwe przyporządkowania
wartości logicznych zmiennym występującym w badanej formule, czyli wszystkie - jak to się mówi krót-
ko - wartościowania. Wymaganiu temu łatwo zresztą uczynić zadość, jeśli się zapamięta, że dla formuły
zawierającej n różnych zmiennych zdaniowych mamy dokładnie 2 wartościowań. Więc np. przy n = l
mamy 2 wartościowania, przy n = 2 mamy 4 wartościowania (zestawione w tabeli 3), przy n = 3 mamy 8
wartościowań (zestawionych w tabeli 4).
§ 3. SCHEMATY FORMALNE WNIOSKOWAŃ
Potocznie rozumie się przez wnioskowanie proces myślowy polegający na uznaniu pewnego zda-
nia (wniosku) na podstawie pewnych innych zdań (przesłanek). Ale dla logiki ważne jest jedynie to, że
przy wnioskowaniu mamy do czynienia z pewnym zespołem zdań, spośród których jedno jest wyróżnione
jako wniosek, wszystkie inne zaś są przesłankami. Toteż przyjmiemy tutaj nieco inne określenie pojęcia
wnioskowania, nie odwołujące się do tak niejasnych pojęć jak proces myślowy czy uznawanie. [16/17]
Wnioskowaniem nazywamy każdą parę uporządkowaną {X, A}, w której X jest dowolnym skoń-
czonym i niepustym zbiorem zdań, natomiast A jest dowolnym zdaniem. Jeżeli {X, A} jest wnioskowa-
niem, to zdanie A nazywamy wnioskiem, a zdania należące do X przesłankami tego wnioskowania.
We wnioskowaniach wypowiadanych w języku potocznym wniosek bywa zwykle wyróżniany
przez poprzedzenie go jednym ze słów: więc, zatem, przeto. Przed wyliczeniem przesłanek stawia się
często któreś ze słów: ponieważ, skoro.
Poniżej podajemy kilka przykładów prostych wnioskowań. Wniosek w każdym z tych wniosko-
wań wyróżniamy za pomocą poziomej kreski. Przesłanki umieszczamy powyżej tej kreski, wniosek - po-
niżej. Samą kreskę można odczytywać za pomocą któregoś ze słów: więc, zatem, przeto. W drugim i
trzecim z poniższych wnioskowań zakładamy, że {r
n
} jest pewnym konkretnym ciągiem liczb rzeczywi-
stych.
(1) Dziś jest czwartek. (2) {r
n
} jest monotoniczny
Jutro będzie piątek. {r
n
} jest ograniczony
{r
n
} jest zbieżny
(3) {r
n
} jest monotoniczny
{r
n
} jest ograniczony
{r
n
} jest zbieżny
Jeżeli {r
n
} jest monotoniczny i {r
n
} jest ograniczony, to {r
n
} jest zbieżny.
{r
n
} jest zbieżny.
(4) Jeżeli Newton był w Warszawie, to Newton był w Polsce.
Newton nie był w Polsce.
Newton nie był w Warszawie.
Należy zauważyć, że wnioskowania (2) i (3) są różne, gdyż różnią się zbiorami przesłanek. Warto
też przy okazji zwrócić uwagę na różnicę pomiędzy wypowiedzeniem przez kogoś (w języku potocznym)
implikacji: „jeżeli p, to q” oraz wnioskowania: „ponieważ p, więc q”. Otóż, wypowiadając taką implika-
cję, nie mówimy nic o tym, czy uznajemy zdanie p względnie zdanie q. Natomiast wypowiadając wspo-
5
mniane wnioskowanie, stwierdzamy, że uznajemy p oraz uznajemy q. Konkretny i przekonywający przy-
kład łatwo uzyskać, przetwarzając wnioskowanie (1) na odpowiednią implikację.
Jeżeli w jakimś danym wnioskowaniu zastąpimy wszystkie spójniki międzyzdaniowe ich symbo-
licznymi odpowiednikami, zaś argumenty tych spójników (nie będące już zdaniami złożonymi) zastąpimy
zmiennymi zdaniowymi tak, aby na miejscu takich samych zdań w obrębie całego wnioskowania znalazły
się takie same zmienne, a na miejscu różnych zdań - różne zmienne, to [17/18] otrzymamy tzw. formalny
schemat owego wnioskowania. Na przykład schematy formalne podanych powyżej wnioskowań wyglą-
dają następująco:
(1') p (2') p (3') p (4') p → q
q q q ~ q
r (p
q) → r ~ p
r
Jak w poprzednim paragrafie wśród wszystkich schematów zdań wyróżniliśmy tautologie, tak
obecnie wśród wszystkich schematów wnioskowań wyróżnimy tzw. schematy niezawodne.
Mówimy, że dany schemat wnioskowania jest niezawodny wtedy i tylko wtedy, gdy nie istnieje
żadne takie wnioskowanie, które przebiega wedle tego schematu, które ma wszystkie przesłanki praw-
dziwe, ale które równocześnie ma fałszywy wniosek. Niezawodne schematy wnioskowań będziemy też
nazywali regułami logicznymi.
Z powyższego określenia widać, że gdy schemat jakiegoś konkretnego wnioskowania jest nieza-
wodny i przy tym wszystkie przesłanki tego wnioskowania są prawdziwe, to i wniosek tego wnioskowa-
nia musi być prawdziwy. Innymi słowy, prawdziwość wszystkich przesłanek wnioskowania i niezawod-
ność jego schematu stanowią gwarancję prawdziwości wniosku.
Nie należy sądzić, że wnioskując wedle niezawodnego schematu nie możemy otrzymać fałszywe-
go wniosku. W istocie bowiem wnioskowanie mające niezawodny schemat może mieć fałszywy wniosek,
ale wtedy musi też ono mieć przynajmniej jedną przesłankę fałszywą. Sama bowiem niezawodność
schematu jakiegoś wnioskowania gwarantuje jedynie to, że wniosek wynika z przesłanek tego wniosko-
wania; aby mieć gwarancję prawdziwości wniosku, trzeba mieć jeszcze zapewnioną dodatkowo praw-
dziwość przesłanek.
Ważność schematów niezawodnych, jak to już widać z powyższych uwag, polega na tym, iż są to
kryteria pozwalające w bardzo wielu wypadkach rozstrzygnąć, że jakieś dane zdanie wynika z pewnych
innych zdań.
Przykładami schematów niezawodnych są np. schematy (3') i (4'). Schematy (1') i (2') są oczywi-
ście zawodne. Sposób sprawdzania, czy dany schemat jest niezawodny, jest trochę podobny do sposobu
sprawdzania, czy jakaś formuła jest tautologią. Zilustrujemy go i objaśnimy na przykładzie poniższego
schematu (5). Trzeba rozstrzygnąć, czy istnieje takie wnioskowanie, które [18/19] podpada pod ten sche-
mat, ma prawdziwe obie przesłanki, ale fałszywy wniosek.
(~ p)
q
p → r
~(p
~ r)
W tym celu wystarczy rozstrzygnąć, czy możliwe jest nadanie zmiennym p, q, r wartości logicz-
nych w taki sposób, aby obie formuły występujące w (5) nad kreską przyjęły wartość l, zaś formuła pod
kreską wartość 0. Gdyby taka możliwość istniała, to rozważany schemat byłby zawodny. Gdyby jednak
możliwość taka nie istniała, to schemat ten byłby niezawodny. Trzeba zatem rozważyć wszystkie osiem
możliwych tutaj wartościowań (zestawionych w tabeli 4) i poobliczać przy każdym z nich wartości
wszystkich trzech formuł wchodzących w skład schematu (5). Czytelnik z łatwością przekona się, że
schemat ten jest niezawodny. Zupełnie analogicznie postępujemy przy innych schematach wnioskowań,
zawierających mniejszą lub większą liczbę różnych zmiennych zdaniowych.
Jest rzeczą istotną, że pojęcia tautologii i schematu niezawodnego są ze sobą bardzo ściśle zwią-
zane. Zachodzi bowiem następujące twierdzenie:
6
Schemat wnioskowania, mający nad kreską formuły A
1
, A
2
, ..., A
n
zaś pod kreską formule B, jest
niezawodny pod tym i tylko pod tym warunkiem, że formuła o postaci [(A
1
)
(A
2
)
...
(A
n
)] → (B) jest
tautologią.
Skoro zatem ustaliliśmy, że (5) jest schematem niezawodnym, to w myśl powyższego twierdzenia
możemy być pewni, że formuła
(6) [[(~ p)
q]
(p → r] → ~(p
~ r)
jest tautologią. Gdybyśmy zaś najpierw ustalili, że (6) jest tautologią, to na podstawie powyższego
twierdzenia moglibyśmy natychmiast uznać, że schemat (5) jest niezawodny.
Podanego powyżej twierdzenia nie będziemy na razie uzasadniać. W następnych bowiem paragra-
fach powrócimy jeszcze raz do omówionych już wyżej pojęć tautologii i schematu niezawodnego. Tam
też dopiero podamy precyzyjne definicje tych pojęć oraz udowodnimy szereg ważnych i interesujących
twierdzeń. To, co powiedzieliśmy dotychczas, należy traktować jedynie jako intuicyjne wprowadzenie do
problematyki rachunku zdań.
Na zakończenie obecnego paragrafu podajemy jeszcze kilka ważniejszych tautologii (praw logiki)
oraz odpowiadających im wedle podanego wyżej twierdzenia niezawodnych schematów wnioskowań
(reguł logicznych). Jedne i drugie opatrujemy tradycyjnymi nazwami.
Modus ponendo ponens (sposób stwierdzający przez stwierdzenie): [(p → q)
p] → q
Modus tollendo tollens (sposób obalający przez obalenie): [(p → q)
~q] → ~p [19/20]
Prawo transpozycji: ( p → q) → [(~q) → ~ p]
Prawo sylogizmu hipotetycznego: [( p → q)
(q → r)] → (p → r)
Prawo importacji: [ p → (q → r)] → [(p
q) → r]
Prawo eksportacji: [( p
q) → r] → [p → (q → r)]
Prawo komutacji: [p → ( q → r)] → [q → (p → r)]
Reguła modus ponendo ponens p → q
(zwana też regułą odrywania): p
q
Reguła modus p → q Reguła p → q
tollendo tollens ~ q transpozycji: (~q) → ~ p
~p
Reguła p → (q → r) Reguła ( p
q) → r
importacji: p
q) → r eksportacji: p → (q → r)
Reguła sylogizmu p → q Reguła p → ( q → r)
hipotetycznego: q → r komutacji: q → (p → r)
p → r