plik

Metoda przemieszcze

- teoria

- 2 z 14

1. WZORY TRANSFORMACYJNE WEDŁUG TEORII RZ

DU I-go

Wzorami

transformacyjnymi

nazywamy

zale

dzy

siłami

brzegowymi a przemieszczeniami brzegowymi pr

ta. Zanim przejdziemy do

wyprowadzenia tych zwi

zków zauwa

my,

e ka

dy stan odkształcenia pr

e by

rozło

ony na (rys. 1):

1. przesuni

cie równoległe,

2. wydłu

enie lub skrócenie pr

ta,

3. odkształcenia wynikaj

ce ze zmiany odległo

ci ko

ców pr

ta w kierunku

prostopadłym do jego osi (

∆

), obrotów w

złów (

) i działania obci

ąż

enia.

Rysunek 1

dy z tych trzech stanów mo

e by

rozpatrywany oddzielnie. Przesuni

cie

równoległe nie powoduje odkształce

a wi

c nie wywołuje tak

e sił. Wydłu

enie

lub skrócenie (

∆

) pr

ta zwi

zane jest tylko z siłami osiowymi. W przypadku

stałej siły osiowej zwi

zek ten ma posta

⋅ ∆

(1.1)

gdzie :

E - moduł spr

ęż

ysto

ci podłu

nej materiału,

- pole poprzecznego przekroju pr

Pozostaje zatem do rozpatrzenia stan odkształce

przedstawiony na rys. 1

Przyjmuje si

tu statyczn

umow

znakowania sił brzegowych (dodatnie s

momenty prawoskr

tne i siły tn

ce daj

ce momenty prawoskr

tne) oraz

analogiczn

umow

znakowania przemieszcze

(dodatnie s

ty obrotu

prawoskr

tne i wzajemne poprzeczne przesuni

cia ko

ców pr

tów (

∆

⋅

)

odpowiadaj

ce dodatnim obrotom ci

ciw pr

tów

Metoda przemieszcze

- teoria

- 3 z 14

Jak wida

na rys. 1 moment zginaj

cy (umowa znakowania wytrzymało

ciowa) w

przekroju pr

ta o współrz

dnej "x" okre

lony jest zale

M(x) = M

+ T

⋅

- N

⋅

y(x) + M(q,x)

(1.2)

gdzie : M(q,x) - moment zginaj

cy od obci

ąż

enia zewn

trznego.

Powy

szy zwi

zek uwzgl

dnia, ujawniaj

cy si

w wyniku odkształce

, wpływ stałej

na całej długo

ci pr

ta, siły osiowej (N

= N

) na momenty zginaj

ce i siły tn

ce co

nazywane jest teori

du 2-go.

Po podstawieniu zale

ci (1.2) do znanego równania ró

niczkowego osi

odkształconej pr

ta o stałej sztywno

ci (EJ

)

d y

M x

( )

(1.3)

i dwukrotnym zró

niczkowaniu równania wzgl

dem "x" otrzymuje si

równania

ró

niczkowe osi odkształconej pr

ta według teorii rz

du 2-go:

dla pr

ciskanego (N

= -

)

d y

⋅

(1.4)

dla pr

ta rozci

ganego (N

)

d y

−

⋅

(1.5)

gdzie :

⋅

d dla pr

tów

ciskanych

= − =

⋅

Pomijaj

c wpływ siły osiowej (teoria rz

du I-go) równania (1.4) i (1.5) przyjmuj

posta

d y

(1.6)

Rozwi

zanie równania (1.4) ma posta

y x

( )

cos

sin

⋅ ⋅ +

⋅

æ
è

ö
ø

⋅

æ
è

ö
ø

(1.7)

a równania (1.5) posta

y x

( )

⋅ ⋅ +

⋅

æ
è

ö
ø

⋅

æ
è

ö
ø

(1.8)

gdzie C

, C

stałymi całkowania (funkcjami parametru

(wzgl

dnie

)

wyznaczanymi na podstawie warunków brzegowych pr

ta a C

rozwi

zaniami

szczególnymi równa

ró

niczkowych (1.4) i (1.5).

Metoda przemieszcze

- teoria

- 4 z 14

Rozwi

zania równa

(1.4) i (1.5) oraz wszystkie wynikaj

ce z tych rozwi

zwi

zki s

wzajemnie zwi

zane zale

(1.6) z której wynikaj

zwi

zki :

(

)

sin(

⋅ = ⋅

(

)

cos(

⋅ =

sin(

)

(

i sh

⋅ = ⋅

cos(

)

(

⋅ =

(1.9)

Uwzgl

dniaj

c zwi

zki

d y

= −

⋅

d y

dy
dx

= −

⋅

é
ë

ù
û

d y

x L

= −

⋅

d y

dy
dx

x L

= −

⋅

é
ë

ù
û

(1.10)

wzory transformacyjne dla dowolnego pr

ta prostego mo

na przedstawi

postaci :

(

)

⋅

− ⋅

(

)

⋅

−

⋅

(1.11)

(

)

⋅ − ⋅

− ⋅

⋅

(

)

⋅ − ⋅

− ⋅

⋅

gdzie a

, a

, b

= b

, c

= a

+ b

, c

= a

+ b

, d

= d

= c

+ c

(lub

) s

funkcjami parametrów

lub

zale

nymi od typu pr

ta. Oznaczenia tych

funkcji dla wybranych typów pr

tów o stałej sztywno

ci zestawiono w tabeli

Tabela 1

= b

= d

-1

Metoda przemieszcze

- teoria

- 5 z 14

Składniki wzorów typu

brzegowymi momentami i siłami tn

cymi

w stanie zerowych przemieszcze

brzegowych (

= 0) i mog

wyznaczane np. z wykorzystaniem metody sił. Dla typowych obci

ąż

warto

ci te

na zestawiono dla ró

nych typów pr

tów w tabelach poni

ej.

Tabela 2

T SZTYWNO-SZTYWNY

−

EJ, L

−

EJ, L

L/2

Pab

−

EJ, L

)

(

−

EJ, L

)

(

−

Tabela 3

T SZTYWNO-PRZEGUBOWY

−

EJ, L

3PL

−

EJ, L

L/2

Metoda przemieszcze

- teoria

- 6 z 14

)

(

Pab

−

EJ, L

−

EJ, L

Tabela 4

T SZTYWNY-ŁY

−

EJ, L

−

3PL

−

EJ, L

L/2

−

EJ, L

−

EJ, L

−

EJ, L

−

Metoda przemieszcze

- teoria

- 7 z 14

Ogólna posta

wzorów transformacyjnych (1.11) jest prawdziwa dla pr

tów

prostych zarówno o stałej sztywno

ci jak i o zmiennej sztywno

ci. Warto

parametrów dla pr

tów o zmiennej sztywno

ci a tak

e dla innych typów pr

tów

na znale

źć

w literaturze. Warto

ci tych współczynników mo

na stosunkowo

łatwo wyznacza

wykorzystuj

c ich interpretacj

i metod

sił. Na przykład je

przyj

ąć

=0,

= 1 (rys.1) to z wyra

enia okre

laj

cego M

(1.11)

wynika,

e :

⋅

co oznacza,

e współczynnik a

jest równy momentowi M

pomno

onemu przez

a wywołanemu obrotem ko

ca "i" pr

ta o k

t o warto

ci "1".

Tabela 5

JEDNOSTKOWE STANY ROTACYJNE

= 1

EJ, L

= 1

EJ, L

−

Analogiczn

interpretacj

maj

wszystkie współczynniki.

Metoda przemieszcze

- teoria

- 8 z 14

Tabela 6

−

JEDNOSTKOWE STANY TRANSLACYJNE

−

EJ, L

∆

−

EJ, L

∆

Przedstawione w tym punkcie zwi

zki, z wyj

tkiem zwi

zku (1.1) s

prawdziwe

zarówno dla pr

tów nieodkształcalnych jak i odkształcalnych podłu

nie.

2. TRANSFORMACJA PRZEMIESZCZE

GLOBALNYCH NA SIŁY BRZEGOWE

W wyniku działania obci

ąż

na konstrukcj

ulega ona odkształceniom.

Przemieszczenia ko

ców

tów równe s

przemieszczeniom odpowiednich

złów.

dy w

zeł układu płaskiego ma 3 stopnie swobody (1 obrót i 2 składowe

przesuni

cia

zła),

których

liczba

zmniejszona

przez

podporowe. Układ pr

tów poł

czonych mi

dzy sob

i z fundamentem w w

złach

ma zatem (2

⋅

w - r) stopni swobody przesuwu (w - liczba w

złów, r - liczba

translacyjnych wi

zi podporowych). Zarówno k

ty obrotu jak i składowe

przesuni

ęć

ców pr

tów wyra

bezpo

rednio przez odpowiednie k

obrotu w

złów :

(

2.1)

i składowe przesuni

ęć

złów.

li przyj

ąć

e pr

ty s

nieodkształcalne podłu

nie (EA =

∞

) to liczba stopni

swobody przesuwu układu zmniejsza si

o liczb

tów. Uwzgl

dniaj

niektóre pr

ty mog

odbiera

te same stopnie swobody, liczb

stopni swobody

przesuwu układu mo

na oszacowa

na podstawie zale

ci :

≥ ⋅ − −

(2.2)

gdzie :

w - liczba w

złów,

p - liczba pr

tów nieodkształcalnych podłu

nie,

r - liczba pojedynczych, translacyjnych wi

zi podporowych.

Niezb

dna jest w tym przypadku transformacja przesuni

ęć

niezale

nych na

przesuni

cia w

złów a wła

ciwie na k

ty obrotu ci

ciw pr

tów. Zale

ść

dzy

Metoda przemieszcze

- teoria

- 9 z 14

niezale

nymi składowymi przesuni

ęć

złów układu (

) a k

tami obrotu ci

ciw

tów (

) ma posta

ψ δ

⋅

(2.3)

gdzie :

tami obrotu ci

ciw pr

tów wywołanymi przesuni

ciami

Podstawiaj

c do wzorów (1.10) zwi

zki (2.1) i (2.3)

otrzymujemy wzory

transformuj

ce przemieszczenia w bazie globalnej na siły brzegowe

⋅

⋅ + ⋅ −

⋅

æ
è

ö
ø

ψ δ

⋅

⋅ +

⋅ −

⋅

ψ δ

(2.4)

⋅ − ⋅ −

⋅ +

⋅

æ
è

ö
ø

ψ δ

⋅ − ⋅ −

⋅ +

⋅

æ
è

ö
ø

ψ δ

Po wprowadzeniu oznacze

⋅

= − ⋅

⋅

= − ⋅

⋅

(2.5)

= − ⋅

⋅

wzory (2.4) mog

przedstawione w postaci

⋅ +

(2.6)

⋅ +

to wzory transformuj

ce przemieszczenia w bazie globalnej na siły

brzegowe pr

ta.

Metoda przemieszcze

- teoria

- 10 z 14

3. STOPIE

GEOMETRYCZNEJ NIEWYZNACZALNO

Stopniem geometrycznej niewyznaczalno

ci układu (n

) nazywamy liczb

niezale

nych składowych przemieszcze

- obrotów (n

ϕϕϕϕ

) i składowych

przesuni

ęć

δδδδ

) - które w pełni okre

laj

przemieszczenia brzegowe pr

tów

wyst

puj

ce we wzorach transformacyjnych pr

tów, na które układ mo

rozło

ony

= n

+ n

(3.1)

Liczba obrotów w

złów (n

) równa jest liczbie w

złów sztywnych, którym podpory

nie odbieraj

liwo

ci obrotu. W celu wyznaczenia (n

) nale

y podzieli

układ

na pr

ty dla których dane s

wzory transformacyjne; mo

na poszczególnym

elementom (w szczególno

ci gdy brak odpowiednich do rozpatrywanego układu

tów, dla których dane s

wzory transformacyjne) przyporz

dkowywa

ty o

mniejszej liczbie składowych przemieszcze

swobodnych (np. pr

t sztywno-

sztywny mo

na przyporz

dkowa

demu pr

towi układu). Liczba w

złów

sztywnych ł

cych te elementy, nie podpartych ze wzgl

du na obrót równa jest

Liczba

niezale

nych

składowych

przesuni

ęć

złów

wyznaczona na podstawie analizy kinematycznej odpowiedniego modelu układu.
Aby utworzy

z układu danego model umo

liwiaj

cy okre

lenie liczby stopni

swobody przesuwu nale

y :

1. usun

ąć

zi spr

ęż

yste,

2. zast

wszystkie w

zły w

złami przegubowymi,

odebra

po jednym stopniu swobody przesuwu pr

tom, dla których we

wzorach transformacyjnych

≠

0 lub a

≠

0 i c

= c

=0 i d

= d

(pr

t wspornikowy i pr

t sztywno-ły

wa - dla pr

tów tych ich stopnie swobody

przesuwu poprzecznego uwzgl

dnione zostały we współczynnikach a

, a

, b

i k

t obrotu ci

ciwy pr

ta nie wyst

puje we wzorach transformacyjnych).

Liczba składowych (n

) mo

e by

oszacowana z wykorzystaniem zale

ci :

≥

⋅

w - p - r

(3.2)

gdzie

w - liczba w

złów modelu,

p - liczba pr

tów modelu,

r - liczba wi

podporowych modelu (liczba składowych reakcji).
Dla modelu przedstawionego na rys. 2 poni

ej :

w = 14, p = 13, r =12

a wi

≥

⋅

14 -13 - 12 = 3.

Rzeczywist

warto

ść

) mo

na okre

tyko w wyniku analizy kinematycznej

układu. Analiza taka mo

e polega

na poszukiwaniu najmniejszej liczby wi

niezb

dnych do przekształcenia modelu kinematycznego w układ geometrycznie

niezmienny, przy czym liczba ta nie mo

e by

mniejsza ni

okre

lona na

podstawie zwi

zku (3.2).

Metoda przemieszcze

- teoria

- 12 z 14

5. RÓWNANIA KANONICZNE W TEORII RZ

DU I-go

Aby rozwi

zanie układu podstawowego i danego były identyczne, siły w dodanych

ziach musz

równe zero co daje n

warunków typu :

= 0,

dla i = 1, 2, ..., n

i n

warunków typu :

= 0,

dla

= I, II, ..., n

(5.1)

Pełny układ równa

kanonicznych mo

e by

zapisany w postaci

⋅

+ k

= 0,

dla i = 1, 2, ..., n

⋅

αβ

⋅

+ k

= 0,

dla

= 1, 2, ..., n

(5.2)

gdzie

⋅ϕ

⋅

momentami w rotacyjnej wi

zi "i" wywołanymi odpowiednio:

•

obrotem rotacyjnej wi

zi "j" o k

⋅ϕ

•

przesuni

ciem w miejscu i kierunku translacyjnej wi

zi "

" o

, k

momentami w rotacyjnej wi

zi "i" wywołanymi: odpowiednio:

•

obrotem rotacyjnej wi

zi "j" o k

= 1,

•

przesuni

ciem w miejscu i kierunku translacyjnej wi

zi "

" o

= 1 obci

ąż

eniem zewn

trznym.

⋅

αβ

⋅

siłami w translacyjnej wi

zi "

" wywołanymi odpowiednio:

•

obrotem rotacyjnej wi

zi "j" o k

⋅ϕ

•

przesuni

ciem w miejscu i kierunku translacyjnej wi

zi "

" o

αβ

, k

siłami w translacyjnej wi

zi "

" wywołanymi: odpowiednio:

•

obrotem rotacyjnej wi

zi "j" o k

= 1,

•

przesuni

ciem w miejscu i kierunku translacyjnej wi

zi "

" o

= 1, obci

ąż

eniem zewn

trznym.

Z powy

szego wynika,

e współczynniki "k" mog

podzielone na 6 grup :

- momenty w dodanych wi

ziach rotacyjnych wywołane:

1. obrotami (K

ϕϕ

]),

2. przesuni

ciami (K

ϕδ

]),

3. obci

ąż

eniem zewn

trznym (K

= k

)

Metoda przemieszcze

- teoria

- 13 z 14

- reakcje w dodanych wi

ziach translacyjnych wywołane:

4. obrotami (K

δϕ

])

5. przesuni

ciami (K

δδ

αβ

]),

6. obci

ąż

eniem zewn

trznym (K

=[k

]).

W zapisie macierzowym układ równa

e by

przedstawiony w postaciach

⋅

∆

⋅

δδ

δϕ

ϕδ

ϕϕ

(5.3)

Wzory okre

laj

ce współczynniki "k" zestawiono poni

1. Reakcje (momenty) w dodanych wi

ziach rotacyjnych wywołane

jednostkowymi obrotami dodanych wi

zi rotacyjnych

ϕϕ

;

⋅

≠

2. Reakcje (momenty) w dodanych wi

ziach rotacyjnych wywołane

jednostkowymi przesuni

ciami w miejscach i kierunkach dodanych wi

translacyjnych

ϕδ

;

= −

⋅

3. Reakcje (momenty) w dodanych wi

ziach rotacyjnych wywołane obci

ąż

eniem

danym

;

4. Reakcje (siły) w dodanych wi

ziach translacyjnych wywołane jednostkowymi

obrotami wi

zi rotacyjnych

δϕ

;

= −

⋅

= −

⋅

(

)

∆

5. Reakcje (siły) w dodanych wi

ziach translacyjnych wywołane przesuni

ciami w

miejscach i kierunkach dodanych wi

zi translacyjnych

δδ

;

αβ

= −

⋅

(

)

∆

⋅

ψ ψ

∆

Metoda przemieszcze

- teoria

- 14 z 14

6. Reakcje (siły) w dodanych wi

ziach translacyjnych wywołane obci

ąż

eniem

danym

;

= −

⋅

−

⋅

−

⋅

(

)

Rozwi

zanie układu równa

stanowi

ty obrotu w

złów i przesuni

cia w

miejscach i kierunkach dodanych wi

zi. Na ich podstawie okre

lone

bezpo

rednio k

ty obrotu ko

ców pr

tów, a wykorzystuj

c zwi

zek (2.3) mo

wyznaczy

rzeczywiste k

ty obrotu ci

ciw pr

tów.

6. RZECZYWISTE SIŁY PRZEKROJOWE

Momenty brzegowe mog

okre

lone :

1. Na podstawie zwi

zków (2.4),

2. Na podstawie zwi

zków (2.6) je

li uprzednio wyznaczono momenty

na podstawie zwi

zków (2.5),

3. Na podstawie zwi

zków (1.10) po uprzednim wyznaczeniu rzeczywistych

tów obrotu ci

ciw pr

tów na podstawie zwi

zku (2.3),

Brzegowe siły tn

ce mog

okre

lone :

1. Na podstawie zwi

zków (2.4),

2. Na podstawie zwi

zków (2.6) je

li uprzednio wyznaczono siły tn

, T

na podstawie zwi

zków (2.5),

3. Na podstawie zwi

zków (1.10) po uprzednim wyznaczeniu rzeczywistych

tów obrotu ci

ciw pr

tów na podstawie zwi

zku (2.3),

4. Na podstawie równa

równowagi sił działaj

cych na pr

ty.

Brzegowe siły osiowe na ogół mog

okre

lone :

1. na podstawie równa

równowagi rzutów sił działaj

cych na w

zły z

wykorzystaniem równa

równowagi rzutów na o

ta sił działaj

cych na

ty.

2. Je

li z równa

tych nie da si

wyznaczy

wszystkich sił osiowych to do ich

wyznaczenia niezb

dne jest rozwi

zanie z uwzgl

dnieniem odkształcalno

podłu

nej.

3. Je

li zbudowa

wszystkie równania równowagi dla pr

tów i w

złów to

pozwala to na wyznaczenie brzegowych sił tn

cych na ogół brzegowych sił

osiowych i stanowi kontrol

statycznej dopuszczalno

ci rozwi

zania.

4. Dla

pełnej

kontroli

rozwi

zania

niezb

dne

jest

sprawdzenie

jego

kinematycznej dopuszczalno

ci w powi

zaniu z siłami to jest sprawdzenie

warunków ci

gło

ci układu.

Po wyznaczeniu sił brzegowych sporz

dza si

wykresy sił przekrojowych

z wykorzystaniem równa

równowagi i zasady superpozycji.