WYKŁAD 9
14-12-2007 wykładowca: dr Jolanta Dymkowska
Definicja: Szereg Taylora
Załóżmy, że funkcja
f
ma w punkcie
x
0
pochodne dowolnego rzędu. Szereg potęgowy
∑
n=0
∞
f
n
x
0
n!
⋅
x−x
0
n
=
f x
0
f ' x
0
1 !
x−x
0
f ' ' x
0
2!
x− x
0
2
...
nazywamy szeregiem Taylora funkcji
f
o środku w punkcie
x
0
Jeżeli
x
0
=
0
to szereg ten
nazywamy szeregiem Maclaurina funkcji
f
Definicja: Twierdzenie o rozwijaniu funkcji w szereg Taylora
Jeżeli funkcja ma ciągłe pochodne dowolnego rzędu w pewnym otoczeniu
U x
0,
=
x
0
−
; x
0
punktu
x
0
oraz
∀
x ∈U xo ,
lim
n ∞
f
n
c
n !
x−x
0
n
=
0
gdzie
c=x
0
x−x
0
dla
0 1
to:
f x =
∑
n=0
∞
f
n
x
0
n !
⋅
x−x
0
n
dla każdego
x ∈U x
0,
i mówimy, że funkcja jest rozwinięta w szereg Taylora w otoczeniu
U x
0,
DOWÓD:
f x = f x
0
f ' x
0
1 !
x −x
0
...
f
n−1
x
0
n−1!
x−x
0
n−1
R
n−1
x
R
n −1
x=
f
n
c
n !
x−x
0
n
f x =T
n−1
x R
n −1
x
dla
x ∈U x
0,
oraz
T
n−1
=
S
n−1
lim
n ∞
S
n −1
x=lim
n ∞
[
f x− R
n−1
x ]= f x −lim
n ∞
R
n −1
x= f x −0 = f x
Definicja: Warunek wystarczający rozwijalności funkcji w szereg Taylora
Jeżeli
f
ma ciągłe pochodne dowolnego rzędu w pewnym otoczeniu
U x
0,
=
x
0
−
; x
0
punktu
x
0
oraz
∃
M 0
∀
xinU xo ,
∀
n =0,1,2 ,3..
∣
f
n
x∣≤M
to
lim
n ∞
f
n
c
n !
x−x
0
n
=
0 dla
x ∈U x
0,
c=x
0
x−x
0
0 1
1
WYKŁAD 9. 14-12-2007 wykładowca: dr Jolanta Dymkowska