Zadania z matematyki dla I roku AK. 

 Lista 7. Macierze, wyznaczniki, układy równań liniowych. 

1.  Dane są macierze:                                                                                                                                                                     

A=

   1

3

−1 0

, B=

2 −1

4

1

   0

3

, C=

−3

   1

   1

   0

   2

−1

, D=

1 2

   0

0 1

−1

0 0

−2

 .                                                                                        

Obliczyć (o ile jest to możliwe):                                                                                                                                            
2A-3

, 

+2D, AB,  

, 

, 2

-A, 

, 

. 

2.  Rozwiązać równania i układy równań macierzowe. 

a.  X+

1

0 0

0

2 0

= (X-

0

0 2

0

4 0

)              d.    

1

2

3

0

1

2

0

0

1

X=

   1
   0

−1

 

b.  2Y

3 0

1

0 4

2

1 0

2

=

1 0

1

0 1

0

1 0

1

+Y

2

0

2

0

4

0

2

0

0

 

c. 

⎩

⎪

⎨

⎪

⎧2 + =

2

0 0

0

2 0

0

0 2

−

=

0 0

2

0 2

0

2 0

0

          e. 

+

    1 −1

−1

   3

=

1

0

0

1

3

1

1

1

+

=

2

1

1

1

 

3.  Obliczyć wyznaczniki. 

a. 

−3 4

   5

2

                                        

b. 

1

   1

1

1

   2

3

1 −1 0

                                d. 

3

2 0

0

3 2

0

0 3

0 0
0 0
2 0

0

0 0

2

0 0

3 2
0 3

 

c. 

−1    2

   0

   5

−3

   4

   3

−7

   1

   3

   2 −2

−5    9

   4

   6

               e. 

−3 −2

   2

   1

   0

5

−2 2

   0 −2
   5

   0

   5 0
   3 4

 

4.  Wyznaczyć macierze odwrotne do macierzy: 

a.  A=

−1

2

−1

3

 

b.  B=

1

   2

0

2

   3

0

1

−1 1

          c. C=

3

2

0

3

0

0

2

0

0

0

2

0

3

2

0

3

 

You created this PDF from an application that is not licensed to print to novaPDF printer (

http://www.novapdf.com

)

5.  Wykorzystując operację odwracania macierzy rozwiązać podane 

równania macierzowe. 

a. 

2 5
1 3

X=

4

−6

2

   1

 

b. 

2 1
1 1

X

   1

3

−1

1

=

5 3
2 2

    c. X

1

   1

−1

2

   1

   0

1 −1

   1

=

1

−1

3

4

   3

2

       

6.  Korzystając ze wzorów Cramera rozwiązać układy równań: 

a. 

2 −

= 3

3 +

= 2

                                  c.   

 

b. 

  + 2 −   = 1

2 −

+   = 3

  +   − 2 = 0

                        d.  

−

+

= 2

2 −

= 1

+

= −1

                 

7.  Rozwiązać układy równań metodą macierzy odwrotnej. 

a. 

– + 2 = 1

− + 3 = 2

     b. 

  + 2        = 3

2 + 3         = 2

−   +

= 1

 

8.  Stosując metodę eliminacji Gaussa rozwiązać podane układy równań. 

a. 

   − 2 +     = 4

  +     +     = 1

2 − 3 + 5 = 10
5 − 6 + 8 = 19

          c. 

  + 2 + 3 + = 1

2 + 4 − + 2 = 2

3 + 6 + 10 + 3 = 3

  +

+      +    = 0  

 

b. 

+ 2 +    +     = 7

2 −    −     + 4 = 2
5 + 5 + 2 + 7 = 1

      d.

− 2 + 3 = 1

2 −

+ 5 = 1

3 − 3 + 8 = 3

 

c. 

+ 2 + 3 − = −1

3 + 6 + 7 + = 5

2 + 4 + 7 − 4 = −6

 

9.  Dla podanych macierzy znaleźć wartości własne i odpowiadające im 

wektory własne. 

a.  A=

1

2

4

3

   b. B=

2 −1

0

0

   3

0

0

   0

2

   c. C=

1

2

4

3

0

   0

0

   0

0

0

0

0

3

   0

1 −2

 d. D=

−2 4

   0

3

 

 

 

 

 

You created this PDF from an application that is not licensed to print to novaPDF printer (

http://www.novapdf.com

)