229
WYKŁAD NR 18
RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE ZWYCZAJNE – c.d.
UKŁADY RÓWNAŃ RÓŻNICZKOWYCH
G) RÓWNANIE RÓŻNICZKOWE ZUPEŁNE
Równanie postaci: (1)
0
)
,
(
)
,
(
=
+
dy
y
x
N
dx
y
x
M
,
gdzie lewa strona tego równania jest różniczką zupełną funkcji 2 zmiennych. (Patrz
→
Wykład Nr 15)
Ponieważ różniczka zupełna I – go rzędu funkcji
)
,
( y
x
F
przedstawia się następująco:
dy
y
F
dx
x
F
dF
∂
∂
+
∂
∂
=
,
więc równanie (1) można wówczas zapisać w postaci:
0
=
dF
, zatem całka ogólna tego równania wyraża
się następująco:
C
y
x
F
=
)
,
(
.
Wyprowadzimy teraz warunek konieczny i dostateczny na to, aby równanie różniczkowe było równaniem
różniczkowym zupełnym.
Zakładamy wiec, że
0
)
,
(
)
,
(
=
+
dy
y
x
N
dx
y
x
M
jest równaniem różniczkowym zupełnym, czyli istnieje
taka funkcja
)
,
( y
x
F
, że:
dy
y
F
dx
x
F
dy
y
x
N
dx
y
x
M
∂
∂
+
∂
∂
=
+
)
,
(
)
,
(
Zatem
(2)
x
F
y
x
M
∂
∂
=
)
,
(
(3)
y
F
y
x
N
∂
∂
=
)
,
(
(2) różniczkujemy względem y
(3) różniczkujemy względem x
Wówczas
x
y
F
y
M
∂
∂
∂
=
∂
∂
2
y
x
F
x
N
∂
∂
∂
=
∂
∂
2
Przy założeniu, że funkcje
)
,
(
,
)
,
(
y
x
N
y
x
M
ciągłe wraz ze swoimi pochodnymi to zachodzi równość:
x
N
y
M
∂
∂
=
∂
∂
,
co stanowi WARUNEK KONIECZNY I WYSTARCZAJĄCY NA RÓWNANIE RÓŻNICZKOWE
ZUPEŁNE.
Przykład: Rozwiązać równanie różniczkowe:
(
)
0
2
sin
2
cos
2
2
2
=
−
+
dy
y
x
y
ydx
x
z warunkiem
początkowym:
1
)
0
( =
y
.
Rozwiązanie:
1) Sprawdzamy warunek konieczny i dostateczny na równanie zupełne:
Ponieważ
y
x
y
x
M
2
cos
2
)
,
(
=
y
x
y
y
x
N
2
sin
2
)
,
(
2
−
=
Więc
(
)
y
x
y
y
x
y
M
2
sin
2
sin
cos
2
2
−
=
−
⋅
⋅
=
∂
∂
y
x
x
N
2
sin
2
−
=
∂
∂
230
Dla każdej pary
)
,
( y
x
spełniony jest warunek
x
N
y
M
∂
∂
=
∂
∂
.
Zatem równanie (1):
(
)
0
2
sin
2
cos
2
2
2
=
−
+
dy
y
x
y
ydx
x
jest równaniem zupełnym.
2) Szukamy całki ogólnej tego równania zupełnego:
Istnieje taka funkcja
)
,
( y
x
F
, że
)
,
( y
x
M
x
F
=
∂
∂
oraz
)
,
( y
x
N
y
F
=
∂
∂
,
czyli
(2)
y
x
x
F
2
cos
2
=
∂
∂
(3)
y
x
y
y
F
2
sin
2
2
−
=
∂
∂
Całkujemy (2) względem zmiennej x i otrzymujemy:
(4)
)
(
cos
)
,
(
2
2
y
y
x
y
x
F
ϕ
+
=
,
gdzie
)
( y
ϕ
jest dowolną funkcją różniczkowalną pełniącą rolę dowolnej stałej.
Równanie (4) różniczkujemy po zmiennej y, więc
(
)
)
(
sin
cos
2
2
y
y
y
x
y
F
ϕ′
+
−
⋅
⋅
=
∂
∂
czyli
(5)
)
(
2
sin
2
y
y
x
y
F
ϕ′
+
−
=
∂
∂
Porównujemy ze sobą (3) i (5):
y
x
y
y
y
x
2
sin
2
)
(
2
sin
2
2
−
=
ϕ′
+
−
czyli
y
y
2
)
(
=
ϕ′
stąd
(6)
1
2
)
(
C
y
y
+
=
ϕ
,
gdzie
1
C
- dowolna stała.
Wstawiamy (6) do (4) i otrzymujemy:
1
2
2
2
cos
)
,
(
C
y
y
x
y
x
F
+
+
=
Zatem całka ogólna równania zupełnego:
C
y
x
F
=
)
,
(
czyli
C
C
y
y
x
=
+
+
1
2
2
2
cos
stąd ostatecznie:
*
2
2
2
cos
C
y
y
x
=
+
,
gdzie
1
*
C
C
C
−
=
3) Wyznaczamy całkę szczególną:
Korzystamy z warunku początkowego:
1
)
0
( =
y
, tj.
1
,
0
0
0
=
=
y
x
.
Wstawiamy do całki ogólnej:
*
2
2
2
1
1
cos
0
C
=
+
⋅
,
czyli
1
*
=
C
Całka szczególna równania (1):
1
cos
2
2
2
=
+ y
y
x
Ostatecznie rozwiązanie równania
(
)
0
2
sin
2
cos
2
2
2
=
−
+
dy
y
x
y
ydx
x
przy warunku
1
)
0
( =
y
przedstawia się następująco:
1
cos
2
2
2
=
+ y
y
x
.
231
3. RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE LINIOWE RZĘDU n O STAŁYCH WSPÓŁCZYNNIKACH
A) RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE LINIOWE JEDNORODNE RZĘDU
n
Def.1.5 (równanie różniczkowe liniowe jednorodne rzędu n )
Równanie różniczkowe postaci:
(1)
( )
(
)
(
)
(
)
0
...
1
3
3
2
2
1
1
=
+
′
+
+
+
+
+
−
−
−
−
y
a
y
a
y
a
y
a
y
a
y
n
n
n
n
n
n
,
gdzie
n
i
a
i
...,
,
2
,
1
, =
∈ R
nazywamy równaniem różniczkowym liniowym jednorodnym n – tego rzędu
o stałych współczynnikach
.
Def.1.6 (liniowo niezależny układ funkcji)
Układ
funkcji
)
(
,
...
),
(
),
(
2
1
x
y
x
y
x
y
n
nazywamy
liniowo
niezależnym
⇔
tożsamość
0
)
(
...
)
(
)
(
2
2
1
1
=
+
+
+
x
y
C
x
y
C
x
y
C
n
n
zachodzi, gdy
0
...,
,
2
,
1
=
=
∀
i
C
n
i
.
Def.1.7 (podstawowy układ całek)
Układ n całek
)
(
,
...
),
(
),
(
2
1
x
y
x
y
x
y
n
równania (1) w przedziale
(
)
b
a
,
nazywamy podstawowym układem
całek
tego równania, jeżeli
(
)
0
,...
,
2
1
≠
n
y
y
y
W
,
gdzie
(
)
(
)
(
)
(
)
)
(
...
)
(
)
(
...
...
...
...
)
(
...
)
(
)
(
)
(
...
)
(
)
(
,...
,
1
1
2
1
1
'
'
2
'
1
2
1
2
1
x
y
x
y
x
y
x
y
x
y
x
y
x
y
x
y
x
y
y
y
y
W
n
n
n
n
n
n
n
−
−
−
=
nazywamy wyznacznikiem Wrońskiego (wrońskianem).
Tw.1.3 (o postaci całki ogólnej równania różniczkowego liniowego jednorodnego rzędu n)
Jeżeli funkcje
)
(
,
...
),
(
),
(
2
1
x
y
x
y
x
y
n
stanowią układ n całek szczególnych liniowo niezależnych
równania (1) to
n
i
C
x
y
C
x
y
C
x
y
C
y
i
n
n
...,
,
2
,
1
,
,
)
(
...
)
(
)
(
2
2
1
1
=
∈
+
+
+
=
R
jest całką ogólną tego równania.
WYZNACZANIE
CAŁEK
SZCZEGÓLNYCH
I
CAŁEK
OGÓLNYCH
RÓWNANIA
RÓŻNICZKOWEGO LINIOWEGO JEDNORODNEGO
Rozwiązań szczególnych równania (1) poszukujemy w postaci funkcji wykładniczych:
(2)
rx
e
y
=
,
gdzie r – niewiadoma, którą musimy dobrać tak, aby funkcja (2) spełniała równanie (1).
Obliczamy kolejne pochodne:
(3)
( )
rx
n
n
rx
rx
rx
e
r
y
e
r
y
e
r
y
re
y
=
=
′′′
=
′′
=
′
,
...
,
,
,
3
2
Wstawiamy (2) i (3) do równania (1), stąd
0
...
1
2
2
2
2
1
1
=
+
+
+
+
+
+
−
−
−
−
rx
n
rx
n
rx
n
rx
n
rx
n
rx
n
e
a
re
a
e
r
a
e
r
a
e
r
a
e
r
232
czyli
(
)
0
...
1
2
2
2
2
1
1
=
+
+
+
+
+
+
−
−
−
−
rx
n
n
n
n
n
n
e
a
r
a
r
a
r
a
r
a
r
Ponieważ
0
>
∀
rx
e
x
, zatem po podzieleniu przez
rx
e
otrzymamy równanie:
(4)
0
...
1
2
2
2
2
1
1
=
+
+
+
+
+
+
−
−
−
−
n
n
n
n
n
n
a
r
a
r
a
r
a
r
a
r
Równanie (4) nazywamy równaniem charakterystycznym równania (1).
Postać całek szczególnych
)
(x
y
i
równania wyjściowego zależy od pierwiastków równania
charakterystycznego:
1)
kiedy wszystkie pierwiastki równania (4) są rzeczywiste i różne między sobą:
n
r
r
r
,
...
,
,
2
1
Całki szczególne:
x
r
n
x
r
x
r
n
e
y
e
y
e
y
=
=
=
,
...
,
,
2
1
2
1
Całka ogólna:
x
r
n
x
r
x
r
n
e
C
e
C
e
C
y
+
+
+
=
...
2
1
2
1
2)
kiedy wśród pierwiastków rzeczywistych występuje pierwiastek wielokrotny, np.
1
r
– k – krotny (tzn.
k
r
r
r
=
=
=
...
2
1
),
n
k
r
r
,
...
,
1
+
Całki szczególne:
x
r
n
x
r
k
x
r
k
k
x
r
x
r
x
r
n
k
e
y
e
y
e
x
y
e
x
y
xe
y
e
y
=
=
=
=
=
=
+
+
−
,
...
,
,
,
...
,
,
,
1
1
1
1
1
1
1
2
3
2
1
Całka ogólna:
x
r
n
x
r
k
x
r
k
k
x
r
x
r
x
r
n
k
e
C
e
C
e
x
C
e
x
C
xe
C
e
C
y
...
...
1
1
1
1
1
1
1
2
3
2
1
+
+
+
+
+
+
=
+
+
−
3)
gdy mamy rozwiązanie zespolone: np.
β
+
α
=
j
r
1
(zatem
β
−
α
=
=
j
r
r
1
2
jest rozwiązaniem), czyli
β
+
α
=
j
r
1
,
β
−
α
=
j
r
2
,
n
r
r
r
,
...
,
,
4
3
, przy czym pierwiastki
R
∈
n
r
r
r
,
...
,
,
4
3
i różne między sobą
Całki szczególne:
x
r
n
x
r
x
x
n
e
y
e
y
x
e
y
x
e
y
=
=
β
=
β
=
α
α
,
...
,
,
sin
,
cos
3
3
2
1
Całka ogólna:
x
r
n
x
r
x
x
n
e
C
e
C
x
e
C
x
e
C
y
+
+
+
β
+
β
=
α
α
...
sin
cos
3
3
2
1
Wyjaśnienie:
Całką szczególną jest zarówno część rzeczywista, jak i urojona, gdyż:
(
)
(
)
x
je
x
e
x
j
x
e
e
e
e
e
y
x
x
x
x
j
x
x
j
x
r
β
+
β
=
β
+
β
=
⋅
=
=
=
α
α
α
β
α
β
+
α
sin
cos
sin
cos
1
1
(
)
(
)
x
je
x
e
x
j
x
e
e
e
e
e
y
x
x
x
x
j
x
x
j
x
r
β
−
β
=
β
−
β
=
⋅
=
=
=
α
α
α
β
−
α
β
−
α
sin
cos
sin
cos
2
4)
gdy występuje pierwiastek zespolony wielokrotny:
β
+
α
=
j
r
1
–pierwiastek k – krotny,
β
−
α
=
j
r
2
–
również pierwiastek k – krotny,
n
k
r
r
,
...
,
1
2
+
Całki szczególne:
,
cos
,
...
,
cos
,
cos
1
2
1
x
e
x
y
x
xe
y
x
e
y
x
k
k
x
x
β
=
β
=
β
=
α
−
α
α
,
sin
,
...
,
cos
,
sin
1
2
2
1
x
e
x
y
x
xe
y
x
e
y
x
k
k
x
k
x
k
β
=
β
=
β
=
α
−
α
+
α
+
x
r
n
x
r
k
x
r
k
n
k
k
e
y
e
y
e
y
=
=
=
+
+
+
+
,
...
,
,
2
2
1
2
2
2
1
2
Całka ogólna:
+
β
+
β
+
β
+
+
β
+
β
=
α
+
α
+
α
−
α
α
x
xe
C
x
e
C
x
e
x
C
x
xe
C
x
e
C
y
x
k
x
k
x
k
k
x
x
sin
sin
cos
...
cos
cos
2
1
1
2
1
x
r
n
x
r
k
x
r
k
x
k
k
n
k
k
e
C
e
C
e
C
x
e
x
C
+
+
+
+
β
+
+
+
+
+
+
α
−
...
sin
...
2
2
1
2
2
2
1
2
1
2
233
Przykład: Rozwiązać równanie:
( )
0
16
8
5
=
′
+
′′′
+
y
y
y
Rozwiązanie:
Poszukiwana postać całek szczególnych:
rx
e
y
=
Równanie charakterystyczne:
0
16
8
3
5
=
+
+
r
r
r
(
)
0
16
8
2
4
=
+
+ r
r
r
(
)
0
4
2
2
=
+
r
r
(
) (
)
0
2
2
2
2
=
+
−
j
r
j
r
r
Pierwiastki równania charakterystycznego:
0
1
=
r
,
j
r
2
2
=
(dwukrotny, tzn. k = 2),
j
r
2
3
−
=
(dwukrotny, tzn. k = 2)
Całki szczególne:
Z pierwiastka rzeczywistego
0
1
=
r
otrzymujmy:
1
0
1
=
=
x
e
y
Z dwukrotnych pierwiastków zespolonych, gdzie
2
,
0
=
β
=
α
:
,
2
cos
2
cos
,
2
cos
2
cos
0
3
0
2
x
x
x
xe
y
x
x
e
y
x
x
=
=
=
=
x
x
x
xe
y
x
x
e
y
x
x
2
sin
2
sin
,
2
sin
2
sin
0
5
0
4
=
=
=
=
Całka ogólna jest kombinacją liniową całek szczególnych, tzn.
5
...,
,
2
,
1
,
,
5
5
4
4
3
3
2
2
1
1
=
∈
+
+
+
+
=
i
C
y
C
y
C
y
C
y
C
y
C
y
i
R
Ostatecznie całka ogólna powyższego równania przedstawia się następująco:
x
x
C
x
C
x
x
C
x
C
C
y
2
sin
2
sin
2
cos
2
cos
5
4
3
2
1
+
+
+
+
=
B) RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE LINIOWE NIEJEDNORODNE RZĘDU
n
Def.1.8 (równanie różniczkowe liniowe niejednorodne rzędu n )
Równanie różniczkowe postaci:
(5)
( )
(
)
(
)
(
)
)
(
...
1
3
3
2
2
1
1
x
f
y
a
y
a
y
a
y
a
y
a
y
n
n
n
n
n
n
=
+
′
+
+
+
+
+
−
−
−
−
gdzie stałe
n
i
a
i
...,
,
2
,
1
, =
∈ R
oraz
)
(x
f
jest funkcją ciągłą w pewnym przedziale I, nazywamy
równaniem różniczkowym liniowym niejednorodnym n – tego rzędu o stałych współczynnikach.
Tw.1.4 (o postaci całki ogólnej równania różniczkowego liniowego niejednorodnego rzędu n)
Całka ogólna równania liniowego niejednorodnego (CORRLNJ) rzędu n o stałych współczynnikach (5)
jest sumą dwóch całek:
1° całki ogólnej równania jednorodnego (1):
(CORRLJ),
2° całki szczególnej równania niejednorodnego (5):
(CSRRLNJ)
234
METODY WYZNACZANIA CAŁKI SZCZEGÓLNEJ RÓWNANIA RÓŻNICZKOWEGO
NIEJEDNORODNEGO
METODA PRZEWIDYWAŃ:
Na podstawie postaci funkcji
)
(x
f
przewidujemy postać rozwiązania szczególnego równania
różniczkowego niejednorodnego. Metoda ta ma zastosowanie tylko do pewnych postaci funkcji
)
(x
f
→
Patrz PONIŻSZA TABELA
L.p. Postać funkcji
)
(x
f
Pierwiastek równania
charakterystycznego
Przewidywana postać rozwiązania
0 nie jest
pierwiastkiem
)
(
~
x
P
m
- wielomian stopnia m w
postaci ogólnej
1.
)
(x
P
m
- wielomian stopnia m
0 jest pierwiastkiem
k
– krotnym
)
(
~
x
P
x
m
k
α
nie jest
pierwiastkiem
x
m
e
x
P
α
⋅
)
(
~
2.
x
m
e
x
P
α
⋅
)
(
α
jest pierwiastkiem
k
– krotnym
x
m
k
e
x
P
x
α
)
(
~
⋅
β
± j nie jest
pierwiastkiem
x
x
Q
x
x
P
s
s
β
+
β
sin
)
(
~
cos
)
(
~
{
}
n
m
s
,
max
=
3.
x
x
Q
x
x
P
n
m
β
+
β
sin
)
(
cos
)
(
β
± j jest
pierwiastkiem
k
– krotnym
[
]
x
x
Q
x
x
P
x
s
s
k
β
+
β
sin
)
(
~
cos
)
(
~
{
}
n
m
s
,
max
=
β
±
α
j
nie jest
pierwiastkiem
[
]
x
x
Q
x
x
P
e
s
s
x
β
+
β
α
sin
)
(
~
cos
)
(
~
{
}
n
m
s
,
max
=
4.
[
]
x
x
Q
x
x
P
e
n
m
x
β
+
β
α
sin
)
(
cos
)
(
β
±
α
j
jest
pierwiastkiem
k
– krotnym
[
]
x
x
Q
x
x
P
e
x
s
s
x
k
β
+
β
α
sin
)
(
~
cos
)
(
~
{
}
n
m
s
,
max
=
UWAGA:
Wszystkie wielomiany występujące w postaciach przewidywanych są w POSTACI OGÓLNEJ !!!
Natomiast s jest najwyższym ze stopni występujących wielomianów.
235
Tw.1.5
Jeżeli funkcje
)
(
),
(
2
1
x
y
x
y
są całkami szczególnymi równań niejednorodnych:
1°
( )
(
)
(
)
(
)
)
(
...
1
1
3
3
2
2
1
1
x
f
y
a
y
a
y
a
y
a
y
a
y
n
n
n
n
n
n
=
+
′
+
+
+
+
+
−
−
−
−
2°
( )
(
)
(
)
(
)
)
(
...
2
1
3
3
2
2
1
1
x
f
y
a
y
a
y
a
y
a
y
a
y
n
n
n
n
n
n
=
+
′
+
+
+
+
+
−
−
−
−
to funkcja
)
(
)
(
2
1
x
y
x
y
+
jest całką szczególną równania:
( )
(
)
(
)
(
)
)
(
)
(
...
2
1
1
3
3
2
2
1
1
x
f
x
f
y
a
y
a
y
a
y
a
y
a
y
n
n
n
n
n
n
+
=
+
′
+
+
+
+
+
−
−
−
−
Przykład: Rozwiązać równanie różniczkowe:
( )
1
8
sin
4
4
+
−
=
−
−
x
e
x
y
y
Rozwiązanie:
(*)
( )
1
8
sin
4
4
+
−
=
−
−
x
e
x
y
y
{równanie liniowe rzędu IV-go niejednorodne}
Rozwiązujemy równanie liniowe rzędu IV-go jednorodne:
(**)
( )
0
4
=
− y
y
Rozwiązania równania poszukujemy w postaci funkcji wykładniczej
rx
e
y
=
, gdzie r jest niewiadomą
liczbą, którą należy tak dobrać, aby funkcja ta spełniała równanie jednorodne (**).
Stąd po obliczeniu pochodnych:
(***)
rx
e
y
=
,
rx
re
y
=
′
,
rx
e
r
y
2
=
′′
,
rx
e
r
y
3
=
′′
′
,
( )
rx
e
r
y
4
4
=
Następnie (***) wstawiamy do równania (**) i po podzieleniu przez
rx
e
otrzymujemy równanie
charakterystyczne odpowiadające podanemu równaniu jednorodnemu:
0
1
4
=
−
r
(
)(
)
0
1
1
2
2
=
+
−
r
r
(
)(
)(
)(
)
0
1
1
=
+
−
+
−
j
r
j
r
r
r
j
r
j
r
r
r
−
=
=
−
=
=
4
3
2
1
,
,
1
,
1
{pierwiastki równania charakterystycznego}
Zatem całki szczególne równania jednorodnego (**) mają postać:
x
y
x
y
e
y
e
y
x
x
sin
,
cos
,
,
4
3
2
1
=
=
=
=
−
Całka ogólna równania (**):
x
C
x
C
e
C
e
C
y
x
x
sin
cos
4
3
2
1
0
+
+
+
=
−
Wyznaczamy całkę szczególną równania niejednorodnego (*):
Funkcja
1
8
sin
4
)
(
+
−
=
−
x
e
x
x
f
ma taką postać, na podstawie której nie jesteśmy w stanie przewidzieć
rozwiązania, ale funkcję
)
(x
f
możemy przedstawić korzystając z Tw.1.5 w postaci sumy trzech funkcji
występujących w tabeli podanej na stronie 234.
Zatem
(
)
{
)
(
)
(
)
(
3
2
1
1
8
sin
4
)
(
x
f
x
f
x
x
f
e
x
x
f
+
−
+
=
−
4
3
42
1
3
2
1
236
Stąd
1°
( )
x
y
y
sin
4
4
=
−
2°
( )
x
e
y
y
−
−
=
−
8
4
3°
( )
1
4
=
− y
y
Rozwiązujemy kolejne równania stosując metodę przewidywań.
Ad. 1°
x
x
f
sin
4
)
(
1
=
Wykorzystujemy trzeci wiersz tabeli ze strony 234, gdzie
x
x
Q
x
x
P
x
f
n
m
β
+
β
=
sin
)
(
cos
)
(
)
(
, przy czym
w naszym przypadku mamy:
{
{
x
x
x
f
x
Q
x
P
sin
4
cos
0
)
(
)
(
)
(
1
0
0
⋅
+
⋅
=
{ P
0
(x), Q
0
(x) – wielomiany stopnia zerowego}
Ponieważ
1
=
β
sprawdzamy, czy
j
± jest pierwiastkiem równania charakterystycznego?
TAK,
j
r
=
3
jest pierwiastkiem jednokrotnym (k = 1)
Zatem przewidywana postać rozwiązania szczególnego:
(
)
x
B
x
A
x
y
s
sin
cos
1
+
=
,
gdzie A, B – wielomiany stopnia zerowego w postaci ogólnej.
Obliczamy pochodne:
x
Bx
x
B
x
Ax
x
A
y
s
cos
sin
sin
cos
'
1
+
+
−
=
=
−
+
+
−
−
−
=
x
Bx
x
B
x
B
x
Ax
x
A
x
A
y
s
sin
cos
cos
cos
sin
sin
''
1
x
Bx
x
Ax
x
B
x
A
sin
cos
cos
2
sin
2
−
−
+
−
=
=
−
−
+
−
−
−
=
x
Bx
x
B
x
Ax
x
A
x
Bx
x
A
y
s
cos
sin
sin
cos
sin
2
cos
2
''
'
1
x
Bx
x
Ax
x
B
x
A
cos
sin
sin
3
cos
3
−
+
−
−
=
( )
=
+
−
+
+
−
=
x
Bx
x
B
x
Ax
x
A
x
B
x
A
y
s
sin
cos
cos
sin
cos
3
sin
3
4
1
x
Bx
x
Ax
x
B
x
A
sin
cos
cos
4
sin
4
+
+
−
=
Odpowiednią pochodną
( )
( )
4
1
s
y
oraz przewidywaną postać
(
)
1
s
y
wstawiamy do równania 1°:
x
x
Bx
x
Ax
x
Bx
x
Ax
x
B
x
A
sin
4
sin
cos
sin
cos
cos
4
sin
4
=
−
−
+
+
−
x
x
x
A
x
B
sin
4
cos
0
sin
4
cos
4
+
⋅
=
+
−
Stąd
=
=
−
4
4
0
4
A
B
czyli
=
=
1
0
A
B
Zatem całka szczególna równania 1° ma postać:
x
x
y
s
cos
1
=
Ad.2°
Wykorzystamy drugi wiersz tabeli, gdzie
x
m
e
x
P
x
f
α
⋅
=
)
(
)
(
. W naszym przypadku mamy:
{
x
x
P
e
x
f
−
⋅
−
=
)
(
2
0
8
)
(
Sprawdzamy, czy
1
−
=
α
jest pierwiastkiem równania charakterystycznego?
TAK,
1
2
−
=
r
jest pierwiastkiem jednokrotnym (k = 1)
237
Przewidywana postać rozwiązania szczególnego:
x
s
xAe
y
−
=
2
Zatem
x
x
s
xAe
Ae
y
−
−
−
=
'
2
x
x
x
x
x
s
Axe
Ae
xAe
Ae
Ae
y
−
−
−
−
−
+
−
=
+
−
−
=
2
''
2
x
x
x
x
x
s
Axe
Ae
xAe
Ae
Ae
y
−
−
−
−
−
−
=
−
+
=
3
2
''
'
2
( )
x
x
x
x
x
s
Axe
Ae
xAe
Ae
Ae
y
−
−
−
−
−
+
−
=
+
−
−
=
4
3
4
2
Pochodne i funkcję wstawiamy do równania 2°:
x
x
x
x
e
Axe
Axe
Ae
−
−
−
−
−
=
−
+
−
8
4
x
x
e
Ae
−
−
−
=
−
8
4
czyli
2
=
A
Całka szczególna:
x
s
xe
y
−
= 2
2
Ad.3°
Wykorzystamy pierwszy wiersz tabeli, gdzie
)
(
)
(
x
P
x
f
m
=
. W naszym przypadku mamy:
{
)
(
3
0
1
)
(
x
P
x
f
=
Sprawdzamy, czy 0 jest pierwiastkiem wielomianu?
NIE, wśród pierwiastków równania charakterystycznego 0 nie występuje.
Zatem przewidywana postać:
A
y
s
=
3
Stąd
( )
0
,
0
,
0
,
0
4
3
''
'
3
''
3
'
3
=
=
=
=
s
s
s
s
y
y
y
y
Po wstawieniu do równania 3° mamy:
1
0
=
− A
1
−
=
A
Całka szczególna:
1
3
−
=
s
y
Całka szczególna równania różniczkowego
( )
1
8
sin
4
4
+
−
=
−
−
x
e
x
y
y
jest sumą całek szczególnych
równań: 1°, 2° i 3°.
Zatem
( )
3
2
1
4
3
42
1
4
3
42
1
3
2
1
1
2
cos
s
s
s
y
y
x
y
s
xe
x
x
y
−
+
+
=
−
Na podstawie Tw. 1.4 całka ogólna równania różniczkowego
( )
1
8
sin
4
4
+
−
=
−
−
x
e
x
y
y
jest postaci:
s
y
y
y
+
=
0
,
gdzie
0
y
– oznacza CORRLJ, natomiast
s
y
– CSRRLNJ.
Ostatecznie całka równania liniowego niejednorodnego (CORRLNJ) przedstawia się następująco:
4
4
4
3
4
4
4
2
1
4
4
4
4
4
4
3
4
4
4
4
4
4
2
1
CSRRLNJ
CORRLJ
4
3
2
1
1
2
cos
sin
cos
−
+
+
+
+
+
=
−
−
x
x
x
xe
x
x
x
C
x
C
e
C
e
C
y
238
W przypadkach, gdy prawa strona równania liniowego niejednorodnego (5) jest takiej postaci, że nie
potrafimy przewidzieć postaci całki szczególnej tego równania, stosujemy metodę uzmienniania stałych
(wariacji stałych dowolnych).
METODA UZMIENNIANIA STAŁEJ
Dla równania liniowego niejednorodnego rzędu n
(
)
2
≥
n
metoda ta przedstawia się następująco:
1.
Znajdujemy całkę ogólną równania jednorodnego (1) odpowiadającemu równaniu niejednorodnemu
(5):
n
i
C
x
y
C
x
y
C
x
y
C
y
i
n
n
...,
,
2
,
1
,
,
)
(
...
)
(
)
(
2
2
1
1
=
∈
+
+
+
=
R
2.
Zakładamy, że stałe
n
i
C
i
...,
,
2
,
1
, =
∈ R
są funkcjami zmiennej x, innymi słowy uzmienniamy stałe.
Wówczas:
)
(
)
(
...
)
(
)
(
)
(
)
(
2
2
1
1
x
y
x
C
x
y
x
C
x
y
x
C
y
n
n
+
+
+
=
3.
Tworzymy układ równań:
(
)
(
)
(
)
=
+
+
+
=
+
+
+
=
+
+
+
=
+
+
+
−
−
−
)
(
)
(
)
(
...
)
(
)
(
)
(
)
(
.........
..........
..........
..........
..........
..........
..........
.
0
)
(
)
(
...
)
(
)
(
)
(
)
(
0
)
(
)
(
...
)
(
)
(
)
(
)
(
0
)
(
)
(
...
)
(
)
(
)
(
)
(
1
'
1
2
'
2
1
1
'
1
''
'
''
2
'
2
''
1
'
1
'
'
'
2
'
2
'
1
'
1
'
2
'
2
1
'
1
x
f
x
y
x
C
x
y
x
C
x
y
x
C
x
y
x
C
x
y
x
C
x
y
x
C
x
y
x
C
x
y
x
C
x
y
x
C
x
y
x
C
x
y
x
C
x
y
x
C
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
4.
Stosując metodę wyznaczników rozwiązujemy układ względem
n
i
x
C
i
...,
,
2
,
1
),
(
'
=
.
Stąd
n
i
W
W
x
C
i
i
...,
,
2
,
1
,
)
(
'
=
=
,
gdzie W – wyznacznik Wrońskiego,
i
W
– wyznacznik, który powstaje z wyznacznika W przez
zastąpienie kolumny i – tej kolumną wyrazów wolnych.
5.
Wyznaczamy
n
i
x
C
i
...,
,
2
,
1
),
(
=
całkując
),
(
'
x
C
i
czyli
n
i
dx
W
W
x
C
i
i
...,
,
2
,
1
,
)
(
=
=
∫
6.
Podstawiając wyznaczone funkcje
n
i
x
C
i
...,
,
2
,
1
),
(
=
do rozwiązania z punktu 2) otrzymujemy całkę
szczególną równania niejednorodnego.
Przykład: Rozwiązać równanie różniczkowe:
x
y
y
2
tg
=
+
′′
1) Wyznaczamy całkę ogólną równania jednorodnego:
0
=
+
′′
y
y
{równanie jednorodne}
0
1
2
=
+
r
{równanie charakterystyczne}
j
r
j
r
=
−
=
2
1
,
{pierwiastki równania charakterystycznego}
x
y
x
y
sin
,
cos
2
1
=
=
{całki szczególne równania jednorodnego}
x
C
x
C
y
sin
cos
2
1
+
=
{całka ogólna równania jednorodnego}
2) Uzmienniamy stałe:
x
x
C
x
x
C
y
sin
)
(
cos
)
(
2
1
+
=
3) Tworzymy układ równań:
=
+
−
=
+
x
x
x
C
x
x
C
x
x
C
x
x
C
2
'
2
'
1
'
2
'
1
tg
cos
)
(
sin
)
(
0
sin
)
(
cos
)
(
239
4) Wyznaczamy
)
(
),
(
'
2
'
1
x
C
x
C
:
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
C
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
C
cos
sin
1
tg
cos
cos
sin
-
sin
cos
tg
sin
0
cos
)
(
,
cos
sin
1
sin
tg
cos
sin
-
sin
cos
cos
tg
sin
0
)
(
2
2
2
'
2
2
3
2
2
'
1
=
=
=
−
=
−
=
=
5) Obliczamy
)
(
),
(
2
1
x
C
x
C
:
(
)
x
x
t
t
dt
t
t
dt
xdx
t
x
dx
x
x
x
dx
x
x
x
C
cos
cos
1
1
1
sin
cos
cos
sin
cos
1
cos
sin
)
(
2
2
2
2
2
3
1
−
−
=
−
−
=
−
=
=
−
=
=
−
−
=
−
=
∫
∫
∫
(
)
∫
∫
∫
∫
−
π
+
=
−
=
−
=
=
x
x
xdx
dx
x
dx
x
x
dx
x
x
x
C
sin
4
2
tg
ln
cos
cos
1
cos
cos
1
cos
sin
)
(
2
2
2
Uwaga: Pomijamy stałe całkowania, gdyż chodzi nam o całki szczególne.
6) Wyznaczamy całkę szczególną równania niejednorodnego:
π
+
+
−
=
=
−
π
+
+
−
−
=
−
π
+
+
−
−
=
4
2
tg
ln
sin
2
sin
4
2
tg
ln
sin
cos
1
sin
sin
4
2
tg
ln
cos
cos
cos
1
2
2
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
y
s
Ostatecznie całka ogólna równania niejednorodnego:
π
+
+
−
+
=
4
2
tg
ln
sin
2
sin
cos
2
1
x
x
x
C
x
C
y
4. UKŁADY RÓWNAŃ RÓŻNICZKOWYCH ZWYCZAJNYCH
Def.1.9 (układ równań różniczkowych zwyczajnych I – go rzędu)
Układem n równań różniczkowych zwyczajnych I – go rzędu
nazywamy układ postaci:
(6)
(
)
(
)
(
)
=
=
=
n
n
n
n
n
y
y
y
x
f
dx
dy
y
y
y
x
f
dx
dy
y
y
y
x
f
dx
dy
,
...
,
,
,
.......
..........
..........
..........
,
...
,
,
,
,
...
,
,
,
2
1
2
1
2
2
2
1
1
1
Niewiadomymi w układzie (6) jest n funkcji
)
(
,
...
),
(
),
(
2
1
x
y
x
y
x
y
n
.
O funkcjach:
(
)
(
)
(
)
n
n
n
n
y
y
y
x
f
y
y
y
x
f
y
y
y
x
f
,
...
,
,
,
,
...
,
,
...
,
,
,
,
,
...
,
,
,
2
1
2
1
2
2
1
1
zakładamy, że są danymi
funkcjami określonymi i ciągłymi w pewnym obszarze przestrzeni
(
)
1
+
n
- wymiarowej.
240
Def.1.10 (rozwiązanie układu)
Rozwiązaniem układu
(6) nazywamy każdy taki układ n funkcji
)
(
,
...
),
(
),
(
2
1
x
y
x
y
x
y
n
, które
podstawione do układu spełniają go dla każdego
x
z pewnego przedziału
(
)
b
a
,
.
Def.1.11 (zagadnienie początkowe)
Zagadnieniem Cauchy’ego (zagadnieniem początkowym)
dla układu równań (6) nazywamy zadanie
polegające na wyznaczeniu takiego rozwiązania:
)
(
,
...
),
(
),
(
2
1
x
y
x
y
x
y
n
tego układu, które dla z góry
danej wartości
0
x
x
=
przyjmuje z góry dane wartości
0
0
2
0
1
,
...
,
,
n
y
y
y
, czyli:
0
0
0
2
0
2
0
1
0
1
)
(
,
...
,
)
(
,
)
(
n
n
y
x
y
y
x
y
y
x
y
=
=
=
WYZNACZANIE CAŁKI OGÓLNEJ UKŁADU RÓWNAŃ METODĄ ELIMINACJI ZMIENNYCH
Metoda ta polega na tym, że drogą rugowania (eliminacji) niewiadomych funkcji sprowadzamy układ
równań (6) do jednego równania różniczkowego n – tego rzędu z jedną niewiadomą funkcją, np.
)
(x
y
n
.
Otrzymujemy wtedy równanie:
(7)
( )
(
)
0
,
...
,
,
,
,
''
'
=
n
n
n
n
n
y
y
y
y
x
F
Znajdujemy następnie całkę ogólną równania różniczkowego (7). Zawiera ona n stałych dowolnych.
Pozostałe niewiadome
)
(
,
...
),
(
),
(
1
2
1
x
y
x
y
x
y
n
−
wyznaczamy z równań uzyskanych drogą rugowania, na
ogół już bez całkowania.
Przykład: Znaleźć całkę ogólną układu równań:
−
−
−
−
=
+
+
=
z
y
x
dx
dz
z
y
x
dx
dy
2
3
2
1
2
Rozwiązanie:
Dla ułatwienia zapisu i komentarzy przyjmijmy następujące oznaczenia poszczególnych równań układu:
−
−
−
−
=
+
+
=
)
2
(
2
3
2
1
)
1
(
2
z
y
x
dx
dz
z
y
x
dx
dy
Z (1) wyznaczamy niewiadomą funkcję z(x): (3)
y
x
dx
dy
z
2
−
−
=
Różniczkujemy (3) i otrzymujemy: (4)
dx
dy
dx
y
d
dx
dz
2
1
2
2
−
−
=
Wyrażenia (3) i (4) wstawiamy do (2):
y
x
dx
dy
y
x
dx
dy
dx
y
d
4
2
2
3
2
1
2
1
2
2
+
+
−
−
−
−
=
−
−
Stąd po przekształceniach: (5)
0
2
2
=
− y
dx
y
d
241
Czyli w innym zapisie:
0
=
−
′′
y
y
{równanie liniowe II – go rzędu jednorodne}
0
1
2
=
−
r
{równanie charakterystyczne}
1
,
1
2
1
−
=
=
r
r
(6)
x
x
e
C
e
C
y
−
+
=
2
1
{całka ogólna równania (5)}
Stąd po wstawieniu (6) oraz obliczonej pochodnej do (3):
x
x
x
x
e
C
e
C
x
e
C
e
C
z
−
−
−
−
−
−
=
2
1
2
1
2
2
Ostatecznie całka ogólna układu:
−
−
−
=
+
=
−
−
x
x
x
x
e
C
e
C
x
z
e
C
e
C
y
2
1
2
1