Szeregi liczbowe o wyrazach dodatnich
Poprawi lem 16 listopada 2011, godz. 23:49
Twierdzenie 3.1 ( la
,
czno´s´
c sumowania niesko´
nczonego)
Je´sli szereg
∞
X
n=0
a
n
jest zbie˙zny a cia
,
g (k
n
) jest ´sci´sle rosna
,
cy,
b
n
= a
k
n
+ a
k
n
+1
+ · · · + a
k
n+1
−1
,
k
0
= 0 ,
to szereg
∞
X
n=0
b
n
jest zbie˙zny.
Dow´
od.
Cia
,
g sum cze
,
´sciowych szeregu
∞
X
n=0
b
n
jest podcia
,
giem cia
,
gu sum
cze
,
´sciowych szeregu
∞
X
n=0
a
n
: b
0
= a
0
+a
1
+· · ·+a
k
1
−1
, b
0
+b
1
= a
0
+a
1
+· · ·+a
k
2
−1
,
itd. Je´sli cia
,
g jest zbie˙zny, to wszystkie jego podcia
,
gi sa
,
zbie˙zne do granicy tego
cia
,
gu.
Twierdzenie to nie m´owi nic o usuwaniu nawias´ow. Og´olnie rzecz biora
,
c na-
wias´ow usuwa´c nie wolno: szereg (1 − 1) + (1 − 1) + (1 − 1) + . . . = 0 + 0 + 0 + . . . jest
zbie˙zny, natomiast po otwarciu nawias´ow otrzymujemy szereg 1−1+1−1+1−1+. . . ,
kt´orego wyraz (−1)
n
w og´ole nie ma granicy, w szczeg´olno´sci nie da
,
˙zy do 0 , wie
,
c
szereg ten jest rozbie˙zny. Czasem jednak nawiasy mo˙zna usuna
,
´c. Otworzy´c nawiasy
mo˙zna np. wtedy, gdy wszystkie wyrazy szeregu sa
,
tego samego znaku, np. wszystkie
sa
,
nieujemne. Wtedy bowiem cia
,
g sum cze
,
´sciowych szeregu
∞
X
n=0
a
n
jest monoto-
niczny, wie
,
c ma granice
,
i jest ona r´owna granicy ka˙zdego podcia
,
gu.
Z twierdzenie o granicy iloczynu cia
,
g´ow wynika od razu, ˙ze po pomno˙zeniu
wszystkich wyraz´ow szeregu zbie˙znego przez liczbe
,
rzeczywista
,
otrzymujemy szereg
zbie˙zny.
Twierdzenie 3.2 (o mno˙zeniu szeregu przez liczbe
,
)
Je´sli szereg
∞
X
n=0
a
n
jest zbie˙zny i c jest liczba
,
rzeczywista
,
, to szereg
∞
X
n=0
(c · a
n
) te˙z
jest zbie˙zny i zachodzi r´owno´s´c
∞
X
n=0
(c · a
n
) = c ·
∞
X
n=0
a
n
.
Szeregi zbie˙zne mo˙zna te˙z dodawa´c.
1
Szeregi liczbowe o wyrazach dodatnich
Micha l Krych
Twierdzenie 3.3 (o dodawaniu szereg´
ow)
Je´sli szeregi
∞
X
n=0
a
n
i
∞
X
n=0
b
n
sa
,
zbie˙zne, to r´ownie˙z szereg
∞
X
n=0
(a
n
+ b
n
) jest zbie˙zny
i zachodzi r´owno´s´c
∞
X
n=0
(a
n
+ b
n
) =
∞
X
n=0
a
n
+
∞
X
n=0
b
n
.
Dow´
od. Wynika to natychmiast z twierdzenia o granicy sumy cia
,
g´ow i tego, ˙ze
suma cze
,
´sciowa szeregu
∞
X
n=0
(a
n
+ b
n
) jest r´owna sumie sum cze
,
´sciowych szereg´ow
∞
X
n=0
a
n
i
∞
X
n=0
b
n
.
Szereg
∞
X
n=0
(a
n
+ b
n
) nazywamy suma
,
szereg´ow
∞
X
n=0
a
n
i
∞
X
n=0
b
n
.
Na razie twierdzenia o mno˙zeniu szereg´ow nie przedstawimy – odk ladamy to na
p´o´zniej, bo jest ono trudniejsze od teraz omawianych.
Wypada jeszcze stwierdzi´c, ˙ze natychmiastowym wnioskiem z twierdzenia o sza-
cowaniu z poprzedniego rozdzia lu jest naste
,
puja
,
ce
Twierdzenie 3.4 (o por´
ownywaniu sum szereg´
ow)
Je´sli szeregi
∞
X
n=0
a
n
oraz
∞
X
n=0
b
n
maja
,
sumy i dla ka˙zdej liczby naturalnej n zacho-
dzi nier´owno´s´c a
n
≤ b
n
, to
∞
X
n=0
a
n
≤
∞
X
n=0
b
n
, przy czym je˙zeli sumy sa
,
sko´
nczone
(czyli szeregi sa
,
zbie˙zne) i cho´cby dla jednej liczby naturalnej n zachodzi nier´owno´s´c
(ostra!) a
n
< b
n
, to
∞
X
n=0
a
n
<
∞
X
n=0
b
n
.
2. Warunek konieczny zbie˙zno´sci szeregu, szereg harmoniczny
Przyk lad 3.1
Zbadamy teraz zbie˙zno´s´c szeregu
∞
X
n=1
1
n
2
. Podobnie jak w przy-
padku szeregu harmonicznego wyraz ma granice
,
0 : lim
n→∞
1
n
2
= 0 , wobec czego sze-
reg ma szanse
,
by´c zbie˙zny, w przeciwie´
nstwie do harmonicznego. Wyka˙zemy, ˙ze jest
zbie˙zny i ˙ze jego suma nie jest wie
,
ksza ni˙z 2 .
Mamy
1
n
2
<
1
n(n−1)
=
1
n−1
−
1
n
dla n > 1 . Wobec tego mo˙zemy napisa´c:
1 +
1
2
2
+
1
3
2
+ · · · +
1
n
2
< 1 +
1
1
−
1
2
+
1
2
−
1
3
+
1
3
−
1
4
+ · · · +
1
n − 1
−
1
n
= 2 −
1
n
< 2 .
2
Szeregi liczbowe o wyrazach dodatnich
Micha l Krych
Z otrzymanej nier´owno´sci wynika, ˙ze
∞
X
n=1
1
n
2
= lim
n→∞
1 +
1
2
2
+
1
3
2
+ · · · +
1
n
2
≤ 2 .
Wykazali´smy wie
,
c zbie˙zno´s´c szeregu (cia
,
g sum cze
,
´sciowych jest ograniczony z g´ory i
rosna
,
cy).
Podamy teraz kilka twierdze´
n umo˙zliwiaja
,
cych w najbardziej podstawowych
przypadkach badanie zbie˙zno´sci szereg´ow o wyrazach nieujemnych. W tym przy-
padku cia
,
g sum cze
,
´sciowych jest niemaleja
,
cy, wie
,
c ma granice
,
. Jedynym problemem
jest to, czy ta granica, czyli suma szeregu jest sko´
nczona.
Podali´smy wcze´sniej dow´od rozbie˙zno´sci szeregu harmonicznego
∞
X
n=1
1
n
. Rozumo-
wanie tam przeprowadzone mo˙zna zastosowa´c w wielu przypadkach. Sformu lujemy
teraz twierdzenie podane przez Cauchy’ego. Stosowanie tego twierdzenia umo˙zliwia
cze
,
sto zasta
,
pienie badanego szeregu innym, w przypadku kt´orego badanie zbie˙zno´sci
jest latwiejsze: nowy szereg albo jest „szybciej” zbie˙zny, albo te˙z szybciej rozbie˙zny.
Twierdzenie 3.5 (Kryterium o zage
,
szczaniu)
Za l´o˙zmy, ˙ze cia
,
g (a
n
) jest nierosna
,
cy oraz ˙ze jego wyrazy sa
,
dodatnie. W tej sytuacji
szereg
∞
X
n=0
a
n
jest zbie˙zny wtedy i tylko wtedy, gdy szereg
∞
X
n=0
2
n
a
2
n
jest zbie˙zny.
Dow´
od. Za l´o˙zmy, ˙ze szereg a
0
+ a
1
+ a
2
+ . . . jest zbie˙zny. Wyka˙zemy zbie˙zno´s´c
szeregu a
0
+ 2a
2
+ 4a
4
+ 8a
8
+ . . . . Mamy 2a
4
≤ a
3
+ a
4
(bo a
4
≤ a
3
),
4a
8
≤ a
5
+ a
6
+ a
7
+ a
8
(bo a
8
jest najmniejsza
,
z liczb a
5
, a
6
, a
7
, a
8
),
8a
16
≤ a
9
+ a
10
+ · · · + a
15
+ a
16
itd. Sta
,
d wynika, ˙ze
a
2
+ 2a
4
+ 4a
8
+ 8a
16
+ . . . ≤ a
2
+ a
3
+ a
4
+ a
5
+ a
6
+ a
7
+ a
8
+ . . . < +∞ ,
czyli szereg a
2
+2a
4
+4a
8
+8a
16
+. . . ma sko´
nczona
,
sume
,
. Wobec tego po pomno˙zeniu
go przez 2 otrzymamy szereg zbie˙zny, ale po pomno˙zeniu przez 2 otrzymujemy
szereg 2a
2
+ 4a
4
+ 8a
8
+ 16a
16
+ . . . , a to oznacza, ˙ze szereg
∞
X
n=1
2
n
a
2
n
jest zbie˙zny, a
wobec tego r´ownie˙z szereg
∞
X
n=0
2
n
a
2
n
jest zbie˙zny – zmiana sko´
nczenie wielu wyraz´ow
na zbie˙zno´s´c wp lywu nie ma (mo˙ze mie´c jednak wp lyw na warto´s´c sumy szeregu
zbie˙znego).
Udowodnimy teraz wynikanie w druga strone
,
. Zak ladamy, ˙ze zbie˙zny jest szereg
a
0
+ 2a
2
+ 4a
4
+ 8a
8
+ . . . . Mamy 2a
2
≥ a
2
+ a
3
, 4a
4
≥ a
4
+ a
5
+ a
6
+ a
7
,
8a
8
≥ a
8
+ a
9
+ · · · + a
14
+ a
15
, itd. Sta
,
d wynika, ˙ze
a
1
+ a
2
+ a
3
+ a
4
+ a
5
+ · · · + a
14
+ a
15
+ . . . ≤ a
0
+ 2a
2
+ 4a
4
+ 8a
8
+ . . . < +∞ ,
3
Szeregi liczbowe o wyrazach dodatnich
Micha l Krych
co oznacza, ˙ze szereg
∞
X
n=1
a
n
jest zbie˙zny, czyli r´ownie˙z szereg
∞
X
n=0
a
n
jest zbie˙zny.
Dow´od zosta l zako´
nczony.
W dowodzie kryterium Cauchy’ego o zage
,
szczaniu szacowali´smy sume
,
jednego
szeregu przez sume
,
drugiego, o kt´orym wiedzieli´smy, ˙ze jest zbie˙zny. Bardzo proste
twierdzenia, kt´ore podamy za chwile
,
, pokazuja
,
, jak mo˙zna szacowa´c w wielu sytu-
acjach szeregi o wyrazach dodatnich.
Twierdzenie 3.6 (kryterium por´
ownawcze)
Za l´o˙zmy, ˙ze dla ka˙zdej dostatecznie du˙zej liczby naturalnej n zachodzi nier´owno´s´c
0 ≤ a
n
≤ b
n
. Wtedy
je´sli szereg
∞
X
n=0
b
n
jest zbie˙zny, to r´ownie˙z szereg
∞
X
n=0
a
n
jest zbie˙zny;
je´sli szereg
∞
X
n=0
a
n
jest rozbie˙zny, to r´ownie˙z szereg
∞
X
n=0
b
n
jest rozbie˙zny.
Dow´
od. Za l´o˙zmy, ˙ze nier´owno´s´c 0 ≤ a
n
≤ b
n
ma miejsce dla n ≥ k . Wtedy
dla ka˙zdego m ≥ k zachodzi nier´owno´s´c
m
X
n=k
a
n
≤
m
X
n=k
b
n
. Przechodza
,
c do granicy
przy m → ∞ otrzymujemy
∞
X
n=k
a
n
≤
∞
X
n=k
b
n
. Z otrzymanej nier´owno´sci obie cze
,
´sci
tezy wynikaja
,
od razu – to, ˙ze sumujemy od k zamiast od 0 , nie ma znaczenia, bo
zmiana sko´
nczenie wielu wyraz´ow szereg´ow (np. zasta
,
pienie w obu szeregach wyraz´ow
o numerach mniejszych ni˙z k zerami) nie ma wp lywu na ich zbie˙zno´s´c, cho´c na og´o l
ma wp lyw na warto´sci ich sum. Dow´od zosta l zako´
nczony.
To twierdzenie mo˙zna skomentowa´c tak: szeregowi o mniejszych wyrazach jest
latwiej by´c zbie˙znym ni˙z szeregowi o wie
,
kszych wyrazach.
Twierdzenie 3.7 (asymptotyczne kryterium por´
ownawcze)
Za l´o˙zmy, ˙ze dla ka˙zdej dostatecznie du˙zej liczby naturalnej n zachodza
,
nier´owno´sci
0 < a
n
i 0 < b
n
oraz ˙ze istnieje sko´
nczona, dodatnia granica lim
n→∞
a
n
b
n
. Przy tych
za lo˙zeniach szereg
∞
X
n=0
a
n
jest zbie˙zny wtedy i tylko wtedy, gdy szereg
∞
X
n=0
b
n
jest
zbie˙zny.
Dow´
od. Za l´o˙zmy, ˙ze lim
n→∞
a
n
b
n
= g oraz ˙ze 0 < g < +∞ . Niech c, d be
,
da
,
takimi liczbami rzeczywistymi, ˙ze 0 < c < g < d . Wtedy dla dostatecznie du˙zych
n zachodza
,
nier´owno´sci 0 < b
n
i c <
a
n
b
n
< d . Wobec tego dla dostatecznie du˙zych
4
Szeregi liczbowe o wyrazach dodatnich
Micha l Krych
n mamy c · b
n
< a
n
< d · b
n
. Je´sli szereg
P
a
n
jest zbie˙zny, to szereg
P
c · b
n
jest zbie˙zny i wobec tego szereg
P
b
n
jest zbie˙zny. Je´sli natomiast szereg
P
b
n
jest
zbie˙zny, to szereg
P
d · b
n
jest zbie˙zny i wobec tego szereg
P
a
n
jest zbie˙zny. Dow´od
zosta l zako´
nczony.
Za lo˙zenie istnienia granicy sko´
nczonej, dodatniej mo˙zna interpretowa´c tak: wy-
razy szereg´ow da
,
˙za
,
do 0 w tym samym tempie (o ile do 0 da
,
˙za
,
), z tego za lo˙zenia
wynika, i˙z albo oba sa
,
zbie˙zne albo oba – rozbie˙zne. Zanim przejdziemy do przyk lad´ow
podamy jeszcze jedna
,
wersje
,
twierdzenia pozwalaja
,
cego por´ownywa´c szeregi o wyra-
zach dodatnich.
Twierdzenie 3.8 (drugie kryterium por´
ownawcze)
Za l´o˙zmy, ˙ze od pewnego miejsca wyrazy szereg´ow
P
a
n
i
P
b
n
sa
,
dodatnie oraz
a
n+1
a
n
≤
b
n+1
b
n
. W tej sytuacji ze zbie˙zno´sci szeregu
P
b
n
wynika zbie˙zno´s´c szeregu
P
a
n
, za´s z rozbie˙zno´sci szeregu
P
a
n
wynika rozbie˙zno´s´c szeregu
P
b
n
.
Dow´
od. Nier´owno´s´c
a
n+1
a
n
≤
b
n+1
b
n
mo˙zna przepisa´c w postaci
a
n+1
b
n+1
≤
a
n
b
n
.
Znaczy to, ˙ze cia
,
g
a
n
b
n
jest nierosna
,
cy i ma wyrazy dodatnie, wie
,
c jest te˙z ogra-
niczony z g´ory przez pewna
,
liczbe
,
rzeczywista
,
M > 0 (je´sli „od pewnego miejsca”
znaczy „od pocza
,
tku”, to mo˙zna przyja
,
´c, ˙ze M =
a
0
b
0
). Wobec tego ma miejsce
nier´owno´s´c 0 ≤ a
n
≤ M · b
n
. Z tej nier´owno´sci i z kryterium por´ownawczego teza
wynika natychmiast. Dow´od zosta l zako´
nczony.
Na ostatnia
,
wersje
,
kryterium por´ownawczego spojrze´c mo˙zna tak: wyrazy sze-
regu
P
a
n
da
,
˙za
,
do 0 szybciej ni˙z wyrazy szeregu
P
b
n
, wie
,
c je´sli szereg
P
b
n
jest
zbie˙zny, to r´ownie˙z szereg
P
a
n
jest zbie˙zny, je´sli natomiast szereg
P
a
n
jest roz-
bie˙zny, to r´ownie˙z szereg
P
b
n
jest rozbie˙zny – oczywi´scie my´slimy tylko o szeregach,
kt´orych wyrazy da
,
˙za
,
do 0 , bo inne sa
,
rozbie˙zne.
Podamy teraz kilka przyk lad´ow szereg´ow zbie˙znych i rozbie˙znych.
Przyk lad 3.2
Szereg
∞
X
n=1
1
n
p
jest zbie˙zny wtedy i tylko wtedy, gdy p > 1 .
Dla dowodu zastosujemy kryterium Cauchy’ego o zage
,
szczaniu. W przypadku p ≤ 0
wyraz szeregu nie da
,
˙zy do 0 , wie
,
c szereg jest rozbie˙zny. Natomiast w przypadku
p > 0 wyrazy szeregu da
,
˙za
,
do 0 i tworza
,
cia
,
g maleja
,
cy, wie
,
c zamiast szeregu
P
a
n
mo˙zna bada´c szereg
P
2
n
1
(2
n
)
p
=
P
1
(2
p−1
)
n
. Otrzymali´smy wie
,
c szereg geo-
metryczny o ilorazie
1
2
p−1
. Ten iloraz jest zawsze dodatni. Jest mniejszy ni˙z 1 wtedy
i tylko wtedy, gdy p > 1 . Dow´od zosta l zako´
nczony.
5
Szeregi liczbowe o wyrazach dodatnich
Micha l Krych
Przyk lad 3.3
Szereg
∞
X
n=2
1
n ln
p
n
jest zbie˙zny wtedy i tylko wtedy, gdy p > 1 .
Dow´od przebiegnie tak, jak w przyk ladzie poprzednim: dla p > 0 zastosujemy kryte-
rium Cauchy’ego o zage
,
szczaniu. Je´sli p ≤ 0 , to dla n ≥ 3 mamy
1
ln
p
n
= ln
−p
n ≥ 1 ,
zatem
1
n ln
p
n
≥
1
n
. Wobec tego w tym przypadku rozbie˙zno´s´c szeregu
∞
X
n=2
1
n ln
p
n
wynika z rozbie˙zno´sci znanego nam ju˙z szeregu
∞
X
n=1
1
n
. W przypadku p > 0 stosu-
jemy kryterium Cauchy’ego o zage
,
szczaniu, wie
,
c badamy szereg
∞
X
n=2
2
n
1
2
n
(ln(2
n
))
p
=
=
∞
X
n=2
1
n
p
ln
p
2
, co oznacza, ˙ze sprowadzili´smy badanie szeregu do szeregu zbadanego
w poprzednim przyk ladzie, wie
,
c zbie˙znego wtedy i tylko wtedy, gdy p > 1 . Dow´od
zosta l zako´
nczony.
Te dwa przyk lady wyja´sni´c maja
,
sens uwag wypowiedzianych tu˙z przed sformu lo-
waniem kryterium Cauchy’ego o zage
,
szczaniu. Nale˙zy my´sle´c, ˙ze szereg geometryczny
jest szybciej zbie˙zny ni˙z szereg
∞
X
n=1
1
n
p
, a ten z kolei – szybciej ni˙z szereg
∞
X
n=2
1
n ln
p
n
,
bo lim
n→∞
q
n
1/n
p
= lim
n→∞
n
p
q
n
= 0 oraz lim
n→∞
1/n
p
1/(n ln
p
n)
= lim
n→∞
ln n
n
p
= 0 .
Przyk lad 3.4
Wyja´snimy teraz, czy szereg
+∞
X
n=1
7+13n
3
−121n
4
+2n
6
13−433n+12n
4
−1331n
7
jest zbie˙zny,
czy te˙z rozbie˙zny.
W liczniku i w mianowniku u lamka wyste
,
puja
,
wielomiany zmiennej n . W licz-
niku najwy˙zsza pote
,
ga zmiennej to n
6
, w mianowniku –
n
7
. Wobec tego dla dosta-
tecznie du˙zych n wyraz szeregu powinien by´c w przybli˙zeniu r´owny
2n
6
1331n
7
=
2
1331n
.
Por´ownamy nasz szereg z szeregiem harmonicznym
∞
X
n=1
1
n
. Iloraz wyraz´ow obu sze-
reg´ow r´owny jest
7n+13n
4
−121n
5
+2n
7
13−433n+12n
4
−1331n
7
, wie
,
c ma granice
,
−
2
1331
. Poniewa˙z wyrazy
szeregu harmonicznego sa
,
dodatnie, wie
,
c od pewnego miejsca wyrazy badanego sze-
regu sa
,
ujemne. Wobec mo˙zna zaja
,
´c sie
,
najpierw szeregiem o wyrazie przeciwnym.
Wtedy spe lnione be
,
da
,
za lo˙zenia asymptotycznego kryterium por´ownawczego. Wobec
tego, ˙ze szereg
∞
X
n=1
1
n
jest rozbie˙zny, to r´ownie˙z szereg
+∞
X
n=1
7+13n
3
−121n
4
+2n
6
13−433n+12n
4
−1331n
7
jest
6
Szeregi liczbowe o wyrazach dodatnich
Micha l Krych
rozbie˙zny, a to oznacza, ˙ze interesuja
,
cy nas szereg
+∞
X
n=1
7+13n
3
−121n
4
+2n
6
13−433n+12n
4
−1331n
7
te˙z jest
rozbie˙zny.
Widzieli´smy w tym przyk ladzie, jak zazwyczaj stosowane jest kryterium por´ow-
nawcze. Trzeba po prostu zorientowa´c sie
,
, czym mo˙zna przybli˙zy´c wyraz szeregu i
wykorzysta´c przybli˙zenie w spos´ob zgodny z twierdzeniami, kt´ore zosta ly udowod-
nione wcze´sniej – czasem wymaga to drobnych przekszta lce´
n: w przyk ladzie trzecim
trzeba by lo przej´s´c do szeregu o wyrazach dodatnich. Mo˙ze zaistnie´c konieczno´s´c prze-
prowadzenia innych modyfikacji. Badanie zbie˙zno´sci pewnych szereg´ow jest trudne,
bo mo˙zna nie zawsze od razu wida´c z jakim szeregiem mo˙zna por´ownywa´c ten, kt´ory
badamy, ale my takimi szeregami zajmowa´c sie
,
nie be
,
dziemy.
Przyk lad 3.5
Szereg
∞
X
n=1
e
1/n
−1
n
jest zbie˙zny.
K lopot mo˙ze sprawia´c czynnik e
1/n
− 1 . Wykazali´smy jednak wcze´sniej, ˙ze je´sli
cia
,
g (x
n
) jest zbie˙zny do 0 , to lim
n→∞
e
xn
−1
x
n
= 1 . Oznacza to, ˙ze dla dostatecznie
du˙zych n zachodzi r´owno´s´c przybli˙zona e
x
n
≈ 1 + x
n
. Wobec tego interesuja
,
cy
nas szereg powinien zachowywa´c sie
,
tak, jak szereg o wyrazie
1
n
·
1
n
. Jest tak w
rzeczywisto´sci bowiem lim
n→∞
(
e
1/n
−1
)
/n
1/n
2
= lim
n→∞
e
1/n
−1
1/n
= 1 . Poniewa˙z szereg
∞
X
n=1
1
n
2
jest zbie˙zny, ma wyrazy dodatnie, wie
,
c mo˙zna zastosowa´c asymptotyczne kryterium
por´ownawcze. Dow´od zosta l zako´
nczony.
Przyk lad 3.6
Szereg
∞
X
n=1
n
13
7
n
jest zbie˙zny.
Tym razem powinni´smy my´sle´c o por´ownaniu z szeregiem geometrycznym, bo
czynnik
1
7
n
powinien zdominowa´c czynnik n
13
. Tak jest rzeczywi´scie, ale iloraz
n
13
/7
n
1/7
n
ma granice
,
+∞ , co uniemo˙zliwia por´ownanie z szeregiem
∞
X
n=1
1
7
n
. Trzeba
rozwa˙zy´c szereg nieco wolniej zbie˙zny od tego szeregu, np. szereg
∞
X
n=1
1
6
n
. Wtedy ilo-
raz wyraz´ow badanego szeregu i szeregu „pr´obnego” jest r´owny n
13
6
7
n
, wie
,
c ma
granice
,
0 , zatem dla dostatecznie du˙zych n zachodzi nier´owno´s´c
n
13
7
n
<
1
6
n
i mo˙zemy
zastosowa´c kryterium por´ownawcze. Dow´od zosta l zako´
nczony.
Uwaga 3.9 (o asymptotycznym kryterium por´
ownawczym)
Asymptotyczne kryterium por´ownawcze mo˙zna nieco rozszerzy´c: je´sli zachodzi r´ow-
7
Szeregi liczbowe o wyrazach dodatnich
Micha l Krych
no´s´c lim
n→∞
a
n
b
n
= 0 i wyrazy obu szereg´ow
P
a
n
,
P
b
n
sa
,
dodatnie, to ze zbie˙zno´sci
szeregu
P
b
n
wynika zbie˙zno´s´c szeregu
P
a
n
— tym razem jest wynikanie zamiast
r´ownowa˙zno´sci. Je´sli lim
n→∞
a
n
b
n
= +∞ , to z rozbie˙zno´sci szeregu
P
b
n
wynika roz-
bie˙zno´s´c szeregu
P
a
n
— r´ownie˙z w tym przypadku nie ma r´ownowa˙zno´sci.
W taki sam spos´ob mo˙zna udowodni´c, ˙ze je´sli 0 < q < 1 , to szereg
+∞
X
n=0
nq
n
jest
zbie˙zny. Jednak w tym przypadku nie ograniczymy sie
,
do stwierdzenia zbie˙zno´sci.
Obliczymy sume
,
tego szeregu, bo ten rezultat jest przydatny w rachunku prawdopo-
dobie´
nstwa
Przyk lad 3.7
+∞
X
n=0
(n + 1)q
n
=
1
(1−q)
2
.
Zachodza
,
naste
,
puja
,
ce r´owno´sci:
k
X
n=0
(n + 1)q
n
= 1 + q + q
2
+ · · · + q
k
+ q + q
2
+ · · · + q
k
+
+ (q
2
+ · · · + q
k
) + · · · + (q
k−1
+ q
k
) + q
k
=
=
1−q
k+1
1−q
+
q−q
k+1
1−q
+
q
2
−q
k+1
1−q
+ · · · +
q
k−1
−q
k+1
1−q
+
q
k
−q
k+1
1−q
=
=
1+q+q
2
+···+q
k−1
+q
k
−(k+1)q
k+1
1−q
=
1−qk+1
1−q
−(k+1)q
k+1
1−q
=
1−q
k+1
(1−q)
2
−
(k+1)q
k+1
1−q
.
Poniewa˙z q
k+1
−−−−−→
k→∞
0 i (k + 1)q
k+1
−−−−−→
k→∞
0 , wie
,
c na mocy twierdzenia o aryt-
metycznych w lasno´sciach granicy cia
,
gu mamy
k
X
n=0
(n + 1)q
n
−−−−−→
k→∞
1
(1−q)
2
.
Wypada doda´c, ˙ze w tym rozumowaniu nie korzystali´smy z tego, ˙ze q > 0 – wystarczy
za lo˙zy´c, ˙ze |q| < 1 .
Pokazali´smy na kilku prostych przyk ladach, w jaki spos´ob mo˙zna stosowa´c po-
znane kryteria. Kryteria te sa
,
bardzo proste. Wyprowadzi´c z nich mo˙zna wiele kry-
teri´ow, kt´orych stosowania u latwia badanie szereg´ow w konkretnych sytuacjach, bez
wskazywania w jawny spos´ob szeregu „pr´obnego”. Poka˙zemy dwa najprostsze, kt´ore
stosujemy, gdy chcemy por´owna´c szereg z szeregiem geometrycznym, tj. takim w
kt´orym iloraz dw´och kolejnych wyraz´ow jest sta ly. Pierwsze zosta lo podane przez
d’Alemberta (1717-1783) francuskiego matematyka, fizyka i filozofa, autora wste
,
pu
do Encyklopedii.
Twierdzenie 3.10 (kryterium ilorazowe d’Alemberta)
Je´sli wyrazy szeregu
P
a
n
sa
,
dodatnie i istnieje granica lim
n→∞
a
n+1
a
n
= q , to w przy-
padku q > 1 szereg jest rozbie˙zny, za´s w przypadku q < 1 , szereg jest zbie˙zny.
8
Szeregi liczbowe o wyrazach dodatnich
Micha l Krych
Dow´
od. Je´sli q > 1 , to od pewnego momentu zachodzi nier´owno´s´c
a
n+1
a
n
> 1 , to
znaczy a
n+1
> a
n
. Wobec tego od pewnego momentu cia
,
g liczb dodatnich (a
n
) jest
rosna
,
cy, wie
,
c je´sli jest zbie˙zny, to z pewno´scia
,
nie do 0 — nie jest wie
,
c spe lniony
warunek konieczny zbie˙zno´sci szeregu. Za l´o˙zmy teraz, ˙ze q < 1 . Niech r oznacza
dowolna
,
liczbe
,
wie
,
ksza
,
ni˙z q i jednocze´snie mniejsza
,
ni˙z 1 , np. r =
1+q
2
. Wtedy dla
dostatecznie du˙zych n zachodzi nier´owno´s´c
a
n+1
a
n
< r =
r
n+1
r
n
. Szereg geometryczny
P
r
n
jest zbie˙zny, wie
,
c r´ownie˙z szereg
P
a
n
jest zbie˙zny – stosujemy drugie kryte-
rium por´ownawcze. Dow´od zosta l zako´
nczony.
.
Obliczanie granicy lim
n→∞
a
n+1
a
n
= q ma na celu ustalenie z jakim szeregiem geo-
metrycznym mamy por´ownywa´c szereg
P
a
n
: dla ustalenia zbie˙zno´sci wybieramy
szereg o ilorazie r nieco wie
,
kszym ni˙z q , dla ustalenia rozbie˙zno´sci – o ilorazie r
nieco mniejszym ni˙z q (nieco oznacza, ˙ze liczby r i q znajduja
,
sie
,
po tej samej stro-
nie liczby 1 ). Oczywi´scie mo˙zna za lo˙zy´c w sformu lowaniu kryterium ilorazowego, ˙ze
a
n+1
a
n
≤ q < 1 dla dostatecznie du˙zych liczb naturalnych n , z dowodu wynika ˙ze to
wystarczy. W przypadku drugim wystarczy stwierdzi´c, ˙ze dla dostatecznie du˙zych
liczb naturalnych n zachodzi nier´owno´s´c
a
n+1
a
n
≥ 1 , bo wtedy oczywi´scie niemo˙zliwe
jest, by lim
n→∞
a
n
= 0 .
Gdy q = 1 szereg mo˙ze by´c rozbie˙zny, np.
∞
X
n=1
1
n
lub zbie˙zny, np.
∞
X
n=1
1
n
2
.
W wielu przypadkach granica lim
n→∞
a
n+1
a
n
= q nie istnieje. A.Cauchy poda l inne
kryterium zbie˙zno´sci szereg´ow zwia
,
zane z szeregami geometrycznymi.
Twierdzenie 3.11 (kryterium pierwiastkowe Cauchy’ego)
Je´sli szereg
P
a
n
ma wyrazy nieujemne i istnieje granica lim
n→∞
n
√
a
n
= q , to w
przypadku q > 1 szereg
P
a
n
jest rozbie˙zny, za´s w przypadku q < 1 — zbie˙zny.
Dow´
od. Je´sli q > 1 to dla dostatecznie du˙zych n zachodzi nier´owno´s´c
n
√
a
n
> 1
i wobec tego a
n
> 1 . Wobec tego cia
,
g (a
n
) nie jest zbie˙zny do 0 . Je´sli q < 1
i r jest liczba
,
mniejsza
,
ni˙z 1 i jednocze´snie wie
,
ksza
,
ni˙z q , np. r =
1+q
2
, to dla
dostatecznie du˙zych n zachodzi nier´owno´s´c
n
√
a
n
< r , czyli a
n
< r
n
. Stosuja
,
c
kryterium por´ownawcze stwierdzamy, ˙ze szereg
P
a
n
jest zbie˙zny, bo zbie˙zny jest
szereg geometryczny
P
r
n
. Dow´od zosta l zako´
nczony.
Podobnie jak w poprzednim przypadku, je´sli granica lim
n→∞
n
√
a
n
= q jest r´owna
1 , to na temat zbie˙zno´sci szeregu
P
a
n
powiedzie´c nic nie mo˙zna o czym ´swiadcza
,
przyk lady przywo lane po poprzednim twierdzeniu. R´ownie˙z w przypadku tego kry-
terium wystarczy za lo˙zy´c, ˙ze dla dostatecznie du˙zych liczb naturalnych n zachodzi
9
Szeregi liczbowe o wyrazach dodatnich
Micha l Krych
nier´owno´s´c
n
√
a
n
≤ q < 1 , by uzyska´c zbie˙zno´s´c oraz ˙ze
n
√
a
n
≥ 1 , by uzyska´c
rozbie˙zno´s´c.
Wyja´snijmy jeszcze, dlaczego oblicza´c nale˙zy te
,
akurat granice
,
. Ot´o˙z chodzi
o por´ownanie z szeregiem geometrycznym. Metoda d’Alemberta jest najprostsza
i najbardziej naturalna. Druga metoda znalezienia q , je´sli dany jest cia
,
g geome-
tryczny (aq
n
) to obliczenie pierwiastka stopnia n z wyrazu aq
n
. Otrzymujemy
n
√
aq
n
= q
n
√
a . Nie jest to dok ladnie q , ale lim
n→∞
q
n
√
a = q .
Nadmieni´c wypada, ˙ze kryterium pierwiastkowe Cauchy’ego jest nieco og´olniejsze
ni˙z kryterium ilorazowe d’Alemberta. Prawdziwe jest mianowicie naste
,
puja
,
ce twier-
dzenie:
Twierdzenie 3.12 Je´sli (a
n
) jest cia
,
giem liczb dodatnich, takim ˙ze istnieje granica
lim
n→∞
a
n+1
a
n
= q , to r´ownie˙z cia
,
g
n
√
a
n
ma granice
,
i jest nia
,
q .
Dow´
od. Stwierdzeniem r´ownowa˙znym tezie jest:
ln a
n
n
= ln
n
√
a
n
−−−−−→
n→∞
ln q .* Ma
to by´c wnioskiem z tego, ˙ze
ln a
n+1
− ln a
n
−−−−−→
n→∞
ln q . Jest to jednak wniosek
natychmiastowy z twierdzenia Stolza. Wystarczy przyja
,
´c b
n
= ln a
n
− ln a
1
oraz
c
n
= n i zastosowa´c twierdzenie Stolza do ilorazu
b
n
c
n
, co zrobi´c wolno, bo cia
,
g (c
n
)
jest ´sci´sle rosna
,
cy i nieograniczony z g´ory. Mamy zatem b
n+1
− b
n
= ln a
n+1
− ln a
n
oraz c
n+1
− c
n
= 1 , wie
,
c
b
n+1
−b
n
c
n+1
−c
n
= ln a
n+1
− ln a
n
−−−−−→
n→∞
ln q . Dow´od zosta l
zako´
nczony.
Bez trudu mo˙zna wskaza´c cia
,
g (a
n
) liczb dodatnich, dla kt´orego istnieje granica
lim
n→∞
n
√
a
n
i nie istnieje granica lim
n→∞
a
n+1
a
n
:
1 , 1 ,
1
2
, 2 ,
1
3
, 3 ,
1
4
, 4 , . . . Spraw-
dzenie szczeg´o l´ow pozostawiamy czytelnikowi w charakterze prostego ´cwiczenia.
Szereg geometryczny nie jest jedynym szeregiem „wzorcowym”. Wzorcem mo˙ze
by´c te˙z np. szereg
∞
X
n=1
1
n
p
. Twierdzenie pozwalaja
,
ce na obliczanie „w la´sciwego” wyk-
ladnika p znajduje sie
,
poni˙zej.
Twierdzenie 3.13 (kryterium Raabego)
Je´sli szereg
P
a
n
ma wyrazy dodatnie i istnieje granica lim
n→∞
n
a
n
a
n+1
− 1
= p , to
je´sli p > 1 , to szereg
P
a
n
jest zbie˙zny, a w przypadku p < 1 – rozbie˙zny.
Dow´
od. Mamy lim
n→∞
n
1/n
q
1/(n+1)
q
− 1
= lim
n→∞
n
n+1
n
q
− 1
= lim
n→∞
(
1+
1
n
)
q
−1
1
n
=
= lim
n→∞
e
q ln(1+ 1
n
)
−1
q ln(1+
1
n
)
·
q ln(1+
1
n
)
1
n
= 1 · q . Niech q be
,
dzie liczba
,
le˙za
,
ca
,
mie
,
dzy 1 i p ;
*
W tym rozumowaniu przyjmujemy, ˙ze ln 0=−∞ i
ln ∞ = ∞
, wtedy ln:[0,∞]−→[−∞,∞] jest
funkcja, cia,g la (definicja Heinego).
10
Szeregi liczbowe o wyrazach dodatnich
Micha l Krych
je´sli p < ∞ , mo˙zna przyja
,
´c q =
1+p
2
. Je´sli p > 1 , to dla dostatecznie du˙zych
liczb naturalnych n mamy n
a
n
a
n+1
− 1
> n
1/n
q
1/(n+1)
q
− 1
, wie
,
c
a
n+1
a
n
<
1/(n+1)
q
1/n
q
.
Teza wynika natychmiast z drugiego kryterium por´ownawczego i zbie˙zno´sci szeregu
∞
X
n=1
1
n
p
. Rozumowanie w przypadku p < 1 jest w pe lni analogiczne.
Poka˙zemy teraz jeszcze jedno twierdzenie, kt´ore w zasadzie mo˙zna uzna´c za
narze
,
dzie do tworzenia kryteri´ow.*
Twierdzenie 3.14 (kryterium Kummera)
Je´sli wyrazy szeregu
P
a
n
sa
,
liczbami dodatnimi, to jest on zbie˙zny wtedy i tyl-
ko wtedy, gdy istnieje liczba δ > 0 i taki cia
,
g (b
n
) liczb dodatnich, ˙ze nier´owno´s´c
b
n
a
n
a
n+1
− b
n+1
≥ δ jest spe lniona dla ka˙zdej liczby naturalnej n .
Je´sli wyrazy szeregu
P
a
n
sa
,
liczbami dodatnimi, to jest on rozbie˙zny wtedy i tylko
wtedy, gdy istnieje taki cia
,
g (b
n
) liczb dodatnich, ˙ze nier´owno´s´c b
n
a
n
a
n+1
− b
n+1
≤ 0
jest spe lniona dla ka˙zdej liczby naturalnej n , a szereg
P
1
b
n
jest rozbie˙zny.
Dow´
od. Zaczniemy od dowodu zbie˙zno´sci szeregu
P
a
n
. Mamy kolejno
a
1
b
1
≥ a
2
b
2
+ δa
2
≥ a
3
b
3
+ δ(a
3
+ a
2
) ≥ a
4
b
4
+ δ(a
2
+ a
3
+ a
4
) , itd. Sta
,
d wynika,
˙ze a
1
b
1
≥ a
n
b
n
+ δ(a
2
+ a
3
+ . . . + a
n
) > δ(a
2
+ a
3
+ . . . + a
n
) dla ka˙zdej liczby
naturalnej n ≥ 2 , wie
,
c a
1
+ a
2
+ a
3
+ . . . + a
n
< a
1
+
a
1
b
1
δ
, co dowodzi zbie˙zno´sci
szeregu
P
a
n
.
Teraz za lo˙zymy, ˙ze szereg
P
a
n
jest zbie˙zny. Definiujemy b
n
=
a
n+1
+a
n+2
+...
a
n
.
Wtedy b
n
a
n
a
n+1
− b
n+1
=
a
n+1
+a
n+2
+...
a
n+1
−
a
n+2
+a
n+3
+...
a
n+1
= 1 . Przyjmujemy δ = 1 .
Udowodnili´smy pierwsza
,
cze
,
´s´c twierdzenia.
Za l´o˙zmy, ˙ze
P
1
b
n
= ∞ oraz, ˙ze a
n
b
n
≤ a
n+1
b
n+1
dla ka˙zdej liczby naturalnej
n . Wtedy a
n
b
n
≥ a
n−1
b
n−1
≥ . . . ≥ a
1
b
1
, zatem a
n
≥
a
1
b
1
b
n
, wie
,
c
a
1
+ a
2
+ . . . + a
n
≥ a
1
b
1
1
b 1
+
1
b 2
+ . . . +
1
b n
,
zatem
P
a
n
= ∞ .
Za l´o˙zmy teraz, ˙ze szereg
P
a
n
jest rozbie˙zny. Niech b
n
=
a
1
+a
2
+...+a
n
a
n
. Wtedy
b
n
a
n
a
n+1
− b
n+1
= −1 < 0 . Zauwa˙zmy jeszcze, ˙ze
1
b
n
+
1
b
n+1
+ . . . +
1
b
n+k
=
=
a
n
a
1
+ a
2
+ . . . + a
n
+
a
n+1
a
1
+ a
2
+ . . . + a
n+1
+ . . . +
a
n+k
a
1
+ a
2
+ . . . + a
n+k
≥
≥
a
n
+ a
n+1
+ . . . + a
n+k
a
1
+ a
2
+ . . . + a
n−1
+ a
n
+ . . . + a
n+k
−−−−→
k→∞
1 ,
♠
bowiem
*
to jeden z tych licznych przypadk´
ow, w kt´
orych dow´
od jest bardzo prosty, a przynajmniej kr´
otki,ale
twierdzenie jest u˙zyteczne i nie jest wcale latwo je wymy´sli´
c.
♠
n jest chwilowo ustalone!
11
Szeregi liczbowe o wyrazach dodatnich
Micha l Krych
lim
k→∞
(a
n
+ a
n+1
+ . . . + a
n+k
) = ∞ , gdy˙z
∞
X
j=n
a
j
=
∞
X
j=1
a
j
−
n−1
X
j=1
a
j
= ∞ dla ka˙zdej
liczby n ∈ N . Wynika sta
,
d, ˙ze dla ka˙zdego n ∈ N istnieje takie k ∈ N , ˙ze
1
b
n
+
1
b
n+1
+ . . . +
1
b
n+k
>
1
2
, a to oznacza, ˙ze szereg
P
1
b
n
nie spe lnia warunku Cauchy’ego,
wie
,
c jest rozbie˙zny. Dow´od zosta l zako´
nczony.
Uwaga 3.15
Przyjmuja
,
c w pierwszej cze
,
´sci kryterium Kummera b
n
= 1 dla ka˙zdego n otrzymu-
jemy warunek
a
n
a
n+1
− 1 ≥ δ > 0 , czyli
a
n+1
a
n
≤
1
1+δ
, tzn. kryterium d’Alemberta
zbie˙zno´sci szeregu. Druga cze
,
´s´c, z tymi samymi b
1
, b
2
, . . . daje nam kryterium
d’Alemberta rozbie˙zno´sci szeregu, a nawet troche
,
silniejsze stwierdzenie.
Przyjmuja
,
c b
n
= n w kryterium Kummera otrzymujemy kryterium Raabego:
n
a
n
a
n+1
− n − 1 ≥ δ > 0 , czyli n
a
n
a
n+1
− 1
≥ 1 + δ . Podobnie dla rozbie˙zno´sci.
Definicja 3.16 (
szeregu bezwzgle
,
dnie zbie˙znego i szeregu zbie˙znego warunkowo)
Szereg
P
a
n
nazywany jest bezwzgle
,
dnie zbie˙znym wtedy i tylko wtedy, gdy szereg
P
|a
n
| jest zbie˙zny, tzn. gdy
P
|a
n
| < +∞ . Je´sli szereg
P
a
n
jest zbie˙zny, ale nie
jest zbie˙zny bezwzgle
,
dnie, to nazywany jest szeregiem zbie˙znym warunkowo.
Najprostszymi szeregami bezwzgle
,
dnie zbie˙znymi sa
,
oczywi´scie szeregi o wyra-
zach dodatnich, ale jest te˙z wiele innych. Szereg
P
(−1)
n−1 1
n
jest zbie˙zny warunkowo.
Szereg
P
(−1)
n−1 1
n
2
jest zbie˙zny bezwzgle
,
dnie.
Twierdzenie 3.17 (o zbie˙zno´sci szeregu bezwzgle
,
dnie zbie˙znego) .
Szereg bezwzgle
,
dnie zbie˙zny jest zbie˙zny.
Dow´
od. Trzeba wykaza´c, ˙ze szereg
P
a
n
spe lnia warunek Cauchy,ego wiedza
,
c, ˙ze
szereg
P
|a
n
| spe lnia ten warunek. To jednak wynika od razu z nier´owno´sci tr´ojka
,
ta:
|a
n+1
+ a
n+2
+ · · · + a
n+m
| ≤ |a
n+1
| + |a
n+2
| + · · · + |a
n+m
| < ε .
Jedna
,
z podstawowych w lasno´sci szereg´ow bezwzgle
,
dnie zbie˙znych jest niezale˙zno´s´c
ich sumy od kolejno´sci wyraz´ow szeregu. Udowodnimy teraz to twierdzenie.
Twierdzenie 3.18 (o sumowaniu szeregu bezwzgle
,
dnie zbie˙znego
w dowolnej kolejno´sci)
Niech p be
,
dzie dowolna
,
permutacja
,
zbioru wszystkich liczb naturalnych, tzn. w cia
,
gu
p(n)
, czyli w cia
,
gu p(0) , p(1) , p(n) ,. . . wyste
,
puja
,
wszystkie liczby naturalne,
ka˙zda dok ladnie jeden raz. Niech
P
a
n
be
,
dzie szeregiem bezwzgle
,
dnie zbie˙znym.
12
Szeregi liczbowe o wyrazach dodatnich
Micha l Krych
Wtedy szereg
P
a
p(n)
jest zbie˙zny i zachodzi r´owno´s´c
∞
X
n=0
a
n
=
∞
X
n=0
a
p(n)
.
Dow´
od. Niech s
n
= a
0
+ a
1
+ · · · + a
n
, s
p
n
= a
p(0)
+ a
p(1)
+ · · · + a
p(n)
i niech ε
be
,
dzie dowolna
,
liczba
,
dodatnia
,
. Istnieje wtedy taka liczba naturalna m , ˙ze
|a
m+1
| + |a
m+2
| + . . . <
ε
2
.
Istnieje liczba naturalna n
ε
≥ m , taka ˙ze w´sr´od liczb p(0) , p(1) , . . . , p(n
ε
) znajduja
,
sie
,
wszystkie liczby 0, 1, 2, . . . , m . Niech k > n
ε
. Wtedy
|s
k
− s
p
k
| ≤ |a
m+1
| + |a
m+2
| + . . . ,
bo zar´owno s
k
jak i s
p
k
sa
,
sumami pewnych liczb a
j
, je´sli jaki´s wyraz jest sk lad-
nikiem obu sum, to nie wyste
,
puje w r´o˙znicy s
k
− s
p
k
. Wyrazy a
0
, a
1
, . . . , a
m
wyste
,
puja
,
zar´owno w s
k
jak i w s
p
k
, wie
,
c nie wyste
,
puja
,
one w s
k
− s
p
k
, wobec
tego |s
k
− s
p
k
| ≤ |a
m+1
| + |a
m+2
| + . . . <
ε
2
. Takie same rozwa˙zania dotycza
,
r´o˙znicy
∞
X
n=0
a
n
− s
k
, wie
,
c r´ownie˙z
∞
X
n=0
a
n
− s
k
<
ε
2
. Wobec tego
∞
X
n=0
a
n
− s
p
k
≤
∞
X
n=0
a
n
− s
k
+
s
k
− s
p
k
<
ε
2
+
ε
2
= ε
dla ka˙zdej liczby k > n
ε
. Z definicji granicy cia
,
gu wynika wie
,
c, ˙ze lim
n→∞
s
p
n
=
∞
X
n=0
a
n
,
a to w la´snie oznacza, ˙ze
∞
X
n=0
a
p(n)
=
∞
X
n=0
a
n
. Dow´od zosta l zako´
nczony.
Zajmiemy sie
,
teraz twierdzeniem o mno˙zeniu szereg´ow. Mno˙za
,
c dwie sko´
nczone
sumy liczb
(a
0
+ a
1
+ · · · + a
n
)(b
0
+ b
1
+ · · · + b
n
)
otrzymujemy sume
,
wszystkich iloczyn´ow postaci a
i
b
j
, np. dla n = 2 mamy:
(a
0
+a
1
+a
2
)(b
0
+b
1
+b
2
) = a
0
b
0
+a
0
b
1
+a
0
b
2
+a
1
b
0
+a
1
b
1
+a
1
b
2
+a
2
b
0
+a
2
b
1
+a
2
b
2
.
Oczywi´scie otrzymana
,
sume
,
dziewie
,
ciu sk ladnik´ow mo˙zna porza
,
dkowa´c na wiele spo-
sob´ow (9!=362880). W przypadku sko´
nczonej liczby sk ladnik´ow kolejno´s´c dodawania
nie ma ˙zadnego wp lywu na ich sume
,
. To samo dotyczy niesko´
nczenie wielu sk ladnik´ow
pod warunkiem rozwa˙zania wyraz´ow szeregu bezwzgle
,
dnie zbie˙znego. W przypadku
szeregu, kt´ory nie jest bezwzgle
,
dnie zbie˙zny nale˙zy jednak by´c ostro˙znym. Jest jasne,
˙ze mno˙za
,
c dwa szeregi
P
a
n
i
P
b
n
powinni´smy otrzyma´c szereg, w´sr´od wyraz´ow
kt´orego sa
,
wszystkie iloczyny postaci a
i
b
j
uporza
,
dkowane w jaki´s sensowny spos´ob.
Okazuje sie
,
, ˙ze sugerowany rezultat wygodnie jest sformu lowa´c tak:
13
Szeregi liczbowe o wyrazach dodatnich
Micha l Krych
Twierdzenie 3.19 (Mertensa o mno˙zeniu szereg´
ow)
Za l´o˙zmy, ˙ze szeregi
P
a
n
i
P
b
n
sa
,
zbie˙zne, przy czym co najmniej jeden z nich jest
zbie˙zny bezwzgle
,
dnie. Niech
c
n
= a
0
b
n
+ a
1
b
n−1
+ a
2
b
n−2
+ · · · + a
n−1
b
1
+ a
n
b
0
=
n
X
j=0
a
j
b
n−j
.
Wtedy szereg
P
c
n
jest zbie˙zny i zachodzi r´owno´s´c:
∞
X
n=0
a
n
·
∞
X
n=0
b
n
=
∞
X
n=0
c
n
.
je´sli oba szeregi
P
a
n
i
P
b
n
sa
,
zbie˙zne bezwzgle
,
dnie, to r´ownie˙z szereg
P
c
n
jest
bezwzgle
,
dnie zbie˙zny.
Dow´
od. Przyjmijmy, ˙ze: s
a
n
= a
0
+ a
1
+ · · · + a
n
, s
b
n
= b
0
+ b
1
+ · · · + b
n
,
s
c
n
= c
0
+ c
1
+ · · · + c
n
=
P
i+j≤n
a
i
b
j
. Zbie˙zno´s´c szereg´ow
P
a
n
i
P
b
n
oznacza
istnienie sko´
nczonych granic lim
n→∞
s
a
n
= A oraz lim
n→∞
s
b
n
= B . Mamy wykaza´c, ˙ze gra-
nica
,
cia
,
gu (s
c
n
) jest AB . Oczywi´scie jest wszystko jedno, o kt´orym szeregu za lo˙zymy,
˙ze jest bezwzgle
,
dnie zbie˙zny. Przyjmijmy, ˙ze jest to szereg
P
a
n
, czyli
P
|a
n
| < +∞ .
Zauwa˙zmy, ˙ze:
s
c
n
=
P
i+j≤n
a
i
b
j
= a
0
(b
0
+ b
1
+ · · · + b
n
) + a
1
(b
0
+ b
1
+ · · · + b
n−1
) +
+a
2
(b
0
+ b
1
+ · · · + b
n−2
) + · · · + a
n
b
n
= a
0
s
b
n
+ a
1
s
b
n−1
+ a
2
s
b
n−2
+ · · · + a
n
s
b
0
.
Wobec tego
s
a
n
s
b
n
− s
c
n
= a
0
s
b
n
+ a
1
s
b
n
+ a
2
s
b
n
+ · · · + a
n
s
b
n
− s
c
n
= a
1
s
b
n
− s
b
n−1
+
+ a
2
s
b
n
− s
b
n−2
+ · · · + a
n
s
b
n
− s
b
0
.
Poniewa˙z szeregi
P
|a
n
| oraz
P
b
n
sa
,
zbie˙zne, wie
,
c ich cia
,
gi sum cze
,
´sciowych sa
,
ograniczone. Oznacza to, ˙ze istnieje liczba M > 0 , taka ˙ze dla ka˙zdego m prawdziwe
sa
,
nier´owno´sci:
|a
0
| + |a
1
| + · · · + |a
m
| ≤ M ,
|b
0
+ b
1
+ · · · + b
m
| ≤ M .
Niech ε be
,
dzie dowolna
,
liczba
,
dodatnia
,
. Ze zbie˙zno´sci szeregu wynika, ˙ze spe lnia on
warunek Cauchy’ego, wie
,
c istnieje taka liczba naturalna n
ε
, ˙ze je´sli k > m > n
ε
, to
zachodza
,
nier´owno´sci: |s
b
k
− s
b
m
| <
ε
4M
,
P
∞
n=n
ε
+1
|a
n
| = |a
n
ε
+1
| + |a
n
ε
+2
| + . . . <
ε
8M
,
P
∞
n=0
a
n
·
P
∞
n=0
b
n
− s
a
m
· s
b
m
<
ε
2
.
Wobec tego dla m > 2n
ε
mamy
∞
X
n=0
a
n
·
∞
X
n=0
b
n
− s
c
m
≤
∞
X
n=0
a
n
·
∞
X
n=0
b
n
− s
a
m
· s
b
m
+
s
a
m
s
b
m
− s
c
m
<
<
ε
2
+ |a
1
| · |s
b
m
− s
b
m−1
| + |a
2
| · |s
b
m
− s
b
m−2
| + · · · + |a
n
ε
| · |s
b
m
− s
b
n−n
ε
| +
+ |a
n
ε
+1
| · |s
m
− s
m−n
ε
−1
| + |a
n
ε
+2
| · |s
m
− s
m−n
ε
−2
| + · · · + |a
m
| · |s
m
− s
0
| ≤
14
Szeregi liczbowe o wyrazach dodatnich
Micha l Krych
≤
ε
2
+ (|a
1
| + |a
2
| + · · · + |a
n
ε
|) ·
ε
4M
+ (|a
n
ε
+1
| + |a
n
ε
+2
| + · · · + a
m
) · 2M ≤
≤
ε
2
+ M ·
ε
4M
+
ε
8M
· 2M = ε .
Z definicji granicy cia
,
gu wynika, ˙ze lim
m→∞
s
c
n
=
P
∞
n=0
a
n
·
P
∞
n=0
b
n
.
Pozostaje jeszcze zauwa˙zy´c, ˙ze je´sli oba szeregi
P
a
n
i
P
b
n
sa
,
bezwzgle
,
dnie
zbie˙zne, to r´ownie˙z szereg
P
c
n
jest bezwzgle
,
dnie zbie˙zny. Wynika to od razu z ju˙z
udowodnionej cze
,
´sci twierdzenia i warunku Cauchy’ego. Dow´od zosta l zako´
nczony.
Czytelnik mo˙ze sie
,
przekona´c, ˙ze istnieja
,
szeregi zbie˙zne
P
a
n
i
P
b
n
, dla
kt´orych szereg
P
c
n
jest rozbie˙zny. Wystarczy przyja
,
´c a
n
= b
n
= (−1)
n−1 1
√
n
i
przekona´c sie
,
, ˙ze w tym przypadku cia
,
g (c
n
) nie jest zbie˙zny do 0, wie
,
c szereg
P
c
n
jest rozbie˙zny. Z drugiej strony je´sli szeregi
P
a
n
,
P
b
n
i
P
c
n
sa
,
zbie˙zne,
to
P
∞
n=0
c
n
=
P
∞
n=0
a
n
·
P
∞
n=0
b
n
– nie podamy dowodu tego twierdzenia, bo nie
be
,
dziemy z niego korzysta´c. Opisane twierdzenia wskazuja
,
na to, ˙ze zaproponowana
przez Cauchy’ego kolejno´s´c sumowania iloczyn´ow a
i
b
j
, jest w la´sciwa.
Definicja 3.20 (iloczynu szereg´
ow)
Iloczynem Cauchy’ego szereg´ow
P
∞
n=0
a
n
i
P
∞
n=0
b
n
nazywamy szereg
P
∞
n=0
c
n
,
kt´orego wyrazy definiujemy za pomoca
,
wzoru c
m
=
P
i+j=m
a
i
b
j
=
P
m
i=0
a
i
b
m−i
.
15