Strona | 1  

 

Wzory na całki oznaczone w geometrii 

Wzory dla funkcji 𝒇 określonej: 

𝑦 = 𝑓(𝑥), 𝑥 ∈ [𝑎, 𝑏] 

1.  Pole pod wykresem funkcji. 

|𝑃| = ∫ 𝑓(𝑥)

𝑏

𝑎

𝑑𝑥 

Założenia: funkcja 𝑓 jest ciągła i nieujemna na [𝑎, 𝑏]. 
 

2.  Objętość bryły powstałej z obrotu wykresu funkcji wokół osi OX. 

|𝑉| = 𝜋 ∫ 𝑓

2

(𝑥)

𝑏

𝑎

𝑑𝑥 

Założenia: funkcja 𝑓 jest ciągła i nieujemna na [𝑎, 𝑏]. 
 

3.  Objętość bryły powstałej z obrotu wykresu funkcji wokół osi OY. 

|𝑉| = 2𝜋 ∫ 𝑥𝑓(𝑥)

𝑏

𝑎

𝑑𝑥 

Założenia: funkcja 𝑓 jest ciągła i nieujemna na [𝑎, 𝑏], 𝑎 ≥ 0. 
 

4.  Długość krzywej będącej wykresem funkcji. 

|𝐿| = ∫ √1 + (𝑓′(𝑥))

2

𝑏

𝑎

𝑑𝑥 

Założenia: funkcja 𝑓 ma ciągła pochodną na [𝑎, 𝑏]. 
 

5.  Pole powierzchni powstałej z obrotu wykresu funkcji wokół osi OX. 

|𝑆| = 2𝜋 ∫ 𝑓(𝑥)√1 + (𝑓′(𝑥))

2

𝑏

𝑎

𝑑𝑥 

Założenia: funkcja 𝑓 jest nieujemna na [𝑎, 𝑏] i ma ciągłą pochodną na tym przedziale. 
 

6.  Pole powierzchni powstałej z obrotu wykresu funkcji wokół osi OY. 

|𝑆| = 2𝜋 ∫ 𝑥√1 + (𝑓′(𝑥))

2

𝑏

𝑎

𝑑𝑥 

Założenia: funkcja 𝑓 ma ciągłą pochodną na [𝑎, 𝑏], 𝑎 ≥ 0.  
 

Strona | 2  

 

Wzory na całki oznaczone w geometrii 

Krzywa dana jest równaniami parametrycznymi: 

{

𝑥 = 𝑥(𝑡)
𝑦 = 𝑦(𝑡)

 

𝑡 ∈ [𝑎, 𝑏] 

1.  Pole pod krzywą. 

|𝑃| = ∫|𝑥

′

(𝑡)|𝑦(𝑡)

𝑏

𝑎

𝑑𝑡

 

Założenia: funkcje 𝑥′ oraz 𝑦 są ciągłe na [𝛼, 𝛽], 𝑦 jest nieujemna na tym przedziale. 

2.  Objętość bryły powstałej z obrotu krzywej funkcji wokół osi OX. 

|𝑉| = 𝜋 ∫|𝑥

′

(𝑡)|𝑦

2

(𝑡)

𝑏

𝑎

𝑑𝑡

 

Założenia: funkcje 𝑥′ oraz 𝑦 są ciągłe na [𝛼, 𝛽], 𝑦 jest nieujemna na tym przedziale. 

3.  Objętość bryły powstałej z obrotu krzywej funkcji wokół osi OY. 

|𝑉| = 2𝜋 ∫ 𝑥′(𝑡)𝑥(𝑡)𝑦(𝑡)

𝑏

𝑎

𝑑𝑡

 

Założenia: funkcje 𝑥,𝑥′,𝑦 są ciągłe i nieujemne na [𝛼, 𝛽].

 

4.  Długość krzywej. 

|𝐿| = ∫ √(𝑥′(𝑡))

2

+ (𝑦′(𝑡))

2

𝑏

𝑎

𝑑𝑡 

Założenia: funkcje 𝑥′ oraz 𝑦′ są ciągłe na [𝛼, 𝛽]. 

 

5.  Pole powierzchni powstałej z obrotu krzywej wokół osi OX. 

|𝑆| = 2𝜋 ∫ 𝑦(𝑡)√(𝑥′(𝑡))

2

+ (𝑦′(𝑡))

2

𝑏

𝑎

𝑑𝑡 

Założenia: funkcje 𝑦

′

, 𝑥′ oraz 𝑦 są ciągłe na [𝛼, 𝛽], 𝑦 jest nieujemna.  

 

6.  Pole powierzchni powstałej z obrotu krzywej wokół osi OX. 

|𝑆| = 2𝜋 ∫ 𝑥(𝑡)√(𝑥′(𝑡))

2

+ (𝑦′(𝑡))

2

𝑏

𝑎

𝑑𝑡 

Założenia: funkcje 𝑥,𝑥′,𝑦 są ciągłe i nieujemne na [𝛼, 𝛽].

 

 

 
 
 

Strona | 3  

 

Wzory na całki oznaczone w geometrii 

Krzywa dana jest równaniem biegunowym: 

𝑟 = 𝑔(𝜑) 

𝜑 ∈ [

𝛼, 𝛽

]

 

1.  Pole obszaru ograniczonego krzywą. 

|𝑆| =

1
2

∫ 𝑔

2

(𝜑)

𝛽

𝛼

𝜑𝑥

 

Założenia: 𝑔 jest funkcją ciągłą na [𝛼, 𝛽].  

2.  Długość krzywej. 

|𝐿| = ∫ √𝑔

2

(𝜑) + (𝑔′(𝜑))

2

𝑏

𝑎

𝑑𝜑 

Założenia: 𝑔 i 𝑔′ są ciągłe na [𝛼, 𝛽].