1
00529 Ruch harmoniczny prosty D
TEORIA
00529
Ruch harmoniczny prosty D
Ogólna charakterystyka drgań prostych.
Wahadło matematyczne i fizyczne.
Drgania własne i wymuszone. Rezonans.
Energia ruchu harmonicznego.
Drgania mechaniczne, a elektryczne.
Instrukcja dla zdającego
1.
Proszę sprawdzić, czy arkusz teoretyczny zawiera 8
stron. Ewentualny brak naleŜy zgłosić.
2.
Do arkusza moŜe być dołączona karta wzorów i sta-
łych fizycznych. Jeśli jest, naleŜy ją dołączyć do od-
dawanej pracy.
3.
Proszę uwaŜnie i ze zrozumieniem przeczytać zawar-
tość arkusza.
4.
Proszę precyzyjnie wykonywać polecenia zawarte w
arkuszu: rozwiązać przykładowe zadania, wyprowa-
dzić wzory, gdy jest takie polecenie.
5.
Proszę analizować wszelkie wykresy i rysunki pod
kątem ich zrozumienia.
6.
W trakcie obliczeń moŜna korzystać z kalkulatora.
7.
Wszelkie fragmenty trudniejsze proszę zaznaczyć w
celu ich późniejszego przedyskutowania.
8.
Uzupełniaj wiadomości zawarte w arkuszu o informa-
cje zawarte w Internecie i dostępnej ci literaturze.
śyczymy powodzenia!
(Wpisuje zdający przed rozpoczęciem pracy)
PESEL ZDAJĄCEGO
Aktualizacja
Listopad
ROK 2008
Dane osobowe właściciela arkusza
2
00529 Ruch harmoniczny prosty D
TEORIA
Temat 140
Ruch harmoniczny prosty.
1.
Dotychczas zajmowaliśmy się ruchami liniowymi i obrotowymi, na ogół o stałym przy-
spieszeniu. Zajmowaliśmy się takŜe ruchem jednowymiarowym i dwuwymiarowym, wy-
nikającym z siły odwrotnie proporcjonalnej do kwadratu odległości (grawitacja). Teraz
zajmiemy się ruchem, w którym ciała przemieszczają się tam i z powrotem sinusoidalnie w
czasie (tzn. tak jak funkcja sinus lub cosinus czasu). Ruch sinusoidalny jest najbardziej
powszechną formą ruchu w Ŝyciu codziennym (okresowo zmienia się napięcie na zaci-
skach prądnicy, natęŜenie prądu w sieci miejskiej, bicie ludzkiego serca, świecenie niektó-
rych gwiazd itp.) i dlatego jest waŜnym przedmiotem badań fizyki.
2.
Siła harmoniczna. Działająca na ciało siła, która jest proporcjonalna do przesunięcia ciała
od początku układu i która jest skierowana ku początkowi układu, nazywamy siłą harmo-
niczną. JeŜeli obierzemy oś x wzdłuŜ przesunięcia, to siła harmoniczna wyraŜona równa-
niem:
( )
1
F
kx
= −
gdzie x jest przesunięciem od połoŜenia równowagi jest np. siłą wywierana przez rozcią-
gniętą (lub ściśniętą) spręŜynę, o ile spręŜyna nie została rozciągnięta poza granicę sprę-
Ŝ
ystości.
SpostrzeŜenie, Ŝe spręŜyna, jeŜeli nie jest zbytnio rozciągnięta, wywiera siłę harmoniczną,
nazywa się prawem Hooke’a:
(
)
( )
2
0
F
k x
x
= −
−
,
gdzie x
0
jest połoŜeniem równowagi.
Na rys.1 początek układu współrzędnych obrano w połoŜeniu równowagi (x
0
= 0). Poka-
Ŝ
emy, Ŝe jeŜeli spręŜyna zostanie rozciągnięta tak, aby masa m. znalazła się w połoŜeniu
x
m
, a następnie w chwili t = 0 spręŜyna zostanie zwolniona, to połoŜenie masy w funkcji
czasu będzie:
( )
cos
,
3
x
x
t
gdzie
k
m
m
=
⋅
=
ω
ω
i
k
F
x
= −
jest stałą spręŜyny (stała spręŜystości). Taki ruch sinusoidalny nazywany jest
zwykle ruchem harmonicznym prostym (RHP). Zaczynamy od równania
F
m a
wypadkowa
= ⋅
,
gdzie
F
wypadkowa
jest siłą spręŜyny (-kx)
( )
,
,
4
2
2
2
2
−
=
−
=
= − ⋅
kx
ma
czyli
kx
m
d x
dt
czyli
d x
dt
k
m
x
O
Y
X
Rys.1a.
O
Y
X
Rys.1b.
O
Y
X
Rys.1c.
3
00529 Ruch harmoniczny prosty D
TEORIA
Tego typu równanie nazywa się równaniem róŜniczkowym drugiego rzędu. Zwykłym po-
stępowaniem przy rozwiązywaniu równań róŜniczkowych jest „odgadnięcie” odpowiedzi i
sprawdzenie czy jest ona rozwiązaniem równania. „Zgadujemy” więc, Ŝe x
x
t
= ⋅
cos
ω
i
sprawdzamy:
( )
sin
5
dx
dt
x
t
m
= −
ω
ω
(prędkość w RHP)
( )
cos
6
2
2
2
d x
dt
x
t
m
= −
ω
ω
(przyspieszenie w RHP)
Podstawmy wynik (6) do lewej strony równania (4) oraz zamiast x wyraŜenie
x
t
m
cos
ω
do
prawej strony równania (6):
( )
cos
cos
( )
7
8
2
2
−
= − ⋅
=
x
t
k
m
x
t
czyli
k
m
m
m
ω
ω
ω
ω
Widzimy, Ŝe x
=
x
t
m
cos
ω
jest rzeczywiście rozwiązaniem, ale tylko w przypadku, gdy
ω
=
k
m
. Funkcja
x
x
t
m
=
sin
ω
jest równieŜ pełnoprawnym rozwiązaniem matematycz-
nym, ale nie spełnia warunku początkowego, Ŝe gdy t = 0, to x = x
m
. Najbardziej ogólnym
rozwiązaniem jest
x
x
t
m
=
+
cos(
)
ω ϕ
, gdzie
ϕ
jest dowolną stałą fazową. Stałe
x
m
i
ϕ
wyznaczone są przez warunki początkowe.
3.
Prędkość jako funkcja czasu dana jest równaniem (5), przyspieszenie - równaniem (6).Te
funkcje zostały wykreślone, jedna nad drugą na rys.2. Z równania (5) wynika, Ŝe maksy-
malna prędkość:
( )
m ax
9
v
x
m
=
ω
i występuje , gdy x = 0.
Z równania (4) widać, Ŝe przyspieszenie jest zawsze
−
ω
2
razy wychylenie x:
(
)
10
2
2
2
d x
dt
x
= −
ω
To jest bardzo uŜyteczny związek: jeŜeli równanie ruchu ciała moŜemy zapisać w postaci
d x
dt
Cx
2
2
= −
, gdzie C jest jakąś stałą, to
x
x
t
i
C
m
=
=
cos
ω
ω
, zatem:
JeŜeli: ( )
11
2
2
d u
dt
Cu
= −
to:
( )
12
ω
=
C
oraz
u
u
t
m
=
cos
ω
,
gdzie u jest jakimkolwiek przesunięciem MoŜna to pokazać róŜniczkując
u
u
t
m
=
cos
ω
.
Wtedy
d u
dt
u
2
2
2
= −
ω
, co równieŜ równa się
−
Cu
. Tak więc:
−
= −
ω
2
u
Cu
ω
=
C
4
00529 Ruch harmoniczny prosty D
TEORIA
Temat 141
Wahadło fizyczne i matematyczne.
1.
*RozwaŜmy dowolną bryłę sztywną zawieszoną w punkcie 0, jak na rys. 1. Jej środek ma-
sy znajduje się w punkcie 0’ w odległości l od punktu zawieszenia. Chcąc obliczyć okres
drgań musimy znać jedynie moment bezwładności I względem punktu 0.
2.
Moment siły działającej na ciało wynosi
M
m g l
= − ⋅ ⋅
sin
Θ
. Korzystając ze związku
M
I
= ⋅
ε
, otrzymujemy:
(1)
− ⋅ ⋅
= ⋅
m g l
I
d
dt
sin
Θ
Θ
2
2
,
(2)
d
dt
m g l
I
2
2
Θ
Θ
= −
⋅ ⋅
sin
,
T
t
x
m
- x
m
T
t
ω
x
m
-
ω
x
m
T
t
ω
2
x
-
ω
2
x
m
Θ
0
l
0'
m
r
g
Rys. 1 Wahadło fizyczne.
Rys. 2 Wahadło matematyczne (proste).
Θ
0
l
m
r
g
m
5
00529 Ruch harmoniczny prosty D
TEORIA
Dla małych wychyleń sin
Θ
≈
Θ
i wtedy:
(3)
d
dt
m g l
I
2
2
Θ
Θ
= −
⋅ ⋅
.
Równanie (3) ma tę samą postać co równanie ruchu harmonicznego poznanego wcześniej,
przy czym u odpowiada
Θ
oraz C
m g l
I
=
⋅ ⋅
.
Tak więc
(4)
Θ Θ
=
⋅
0
cos
ω
t
i...
(5)
ω
=
⋅ ⋅
m g l
I
lub (5a)
T
I
m g l
=
⋅ ⋅
2
π
.
Często wprowadza się pojęcie tzw. długości wahadła zredukowanego l
I
m l
0
=
⋅
, wtedy
wzór (5a) będzie miał postać:
(6)
T
l
g
=
2
0
π
.
Równanie (6) jest ostateczną wersją wyraŜenia określającego okres drgań wahadła fizycz-
nego.*
2.
W przypadku wahadła prostego (rys. 2) cała masa jest skupiona w odległości l oraz
(7) I
m l
= ⋅
2
.
Podstawmy równanie (7) do równania (5a):
(8) T
m l
m g l
=
⋅
⋅ ⋅
2
2
π
.
Ostatecznie:
(9)
T
l
g
=
2
π
.
ZauwaŜmy, Ŝe okres drgań jest niezaleŜny nie tylko od amplitudy (zjawisko to nazywamy
izochronizmem drgań), ale równieŜ od masy. Jednak, gdy kąt
Θ
0
jest duŜy nie moŜna sto-
sować przybliŜenia sin
Θ Θ
≈
, ale nawet dla tak duŜego kąta jak
Θ
0
= 20
0
równanie (9)
jest poprawne w granicach 1 %.
Temat 142
Drgania wymuszone. Rezonans mechaniczny.
1.
Z doświadczenia wiemy, Ŝe wahadło pobudzone jednorazowo do drgań przez wychylenie
go z połoŜenia równowagi waha się w miarę upływu czasu coraz słabiej, czyli amplituda
jego drgań maleje, aŜ wreszcie wahadło zatrzymuje się. Zjawisko to świadczy o rozprasza-
niu energii wahadła, która jest zuŜywana na pokonywanie oporów ruchu. Drgania takie na-
zywamy drganiami zanikającymi, tłumionymi lub gasnącymi.
2.
Drgania, które wykonuje ciało wychylone z połoŜenia równowagi i pozostawione samemu
sobie, tj. nie poddane działaniu dodatkowych sił zewnętrznych określamy mianem drgań
własnych
ciała. Drgania te mają zawsze tę samą charakterystyczną dla niego częstotliwość
niezaleŜnie od sposobu ich wzbudzenia, np. częstotliwość drgań własnych struny jest nie-
zaleŜna od tego czy były one wzbudzone przez szarpnięcie, uderzenie, czy pociągnięcie
smyczkiem.
6
00529 Ruch harmoniczny prosty D
TEORIA
3.
Wiemy, Ŝe zanikaniu drgań wahadła moŜna zapobiec przez okresowe pobudzanie go do
ruchu, np. za pomocą uderzenia lub wychylenia, jak to ma miejsce w mechanizmie zega-
rowym. JeŜeli energia dostarczana w kaŜdym impulsie pobudzającym zrównowaŜy energię
rozpraszaną, to drgania wahadła staną się niegasnące. Takie drgania wzbudzone za pomo-
cą zmieniających się okresowo sił zewnętrznych lub przenoszone z innego ciała drgające-
go nazywamy drganiami wymuszonymi. Amplituda drgań wymuszonych zaleŜy od tego,
czy częstotliwość drgań własnych ciała jest równa czy teŜ nie częstotliwości przekazywa-
nych impulsów.
4.
Okazuje się, Ŝe największe pobudzenie wahadła do drgań następuje wówczas, gdy często-
tliwość przekazywanych impulsów jest dokładnie równa częstotliwości drgań własnych
pobudzanego wahadła. Zjawisko to nazywa się rezonansem mechanicznym, zaś częstotli-
wość, której odpowiada maksymalna amplituda drgań wymuszonych - częstotliwością re-
zonansową
.
5.
Zjawisko rezonansu jest wykorzystywane w róŜnorodnych urządzeniach akustycznych
(tzw. rezonatory), w obwodach prądu zmiennego (zwróć uwagę na obwody LC) i w fizyce
atomowej (drgania atomów w kryształach). Niekiedy jednak naleŜy unikać jego skutków.
Drgania maszyn lub urządzeń, albo teŜ powtarzające się okresowo podmuchy wiatru mogą
znaleźć się w rezonansie z drganiami własnymi budynków, mostów itp. i spowodować ich
zniszczenie w wyniku ogromnego wzrostu amplitudy drgań wymuszonych.
Temat 143
Energia ruchu harmonicznego.
Energia potencjalna masy zamocowanej do końca spręŜyny była tematem analiz wcześniej-
szych. JeŜeli spręŜyna jest rozciągnięta na odległość x, energia potencjalna wynosi:
(1) E
kx
p
=
2
2
.
JeŜeli masę pociągniemy na odległość początkową x
0
, a następnie puścimy, to początkowa
energia układu jest:
(2) E
kx
=
0
2
2
.
ZauwaŜmy teraz, Ŝe energia ruchu harmonicznego prostego rośnie jak kwadrat amplitudy
x
0
(niekiedy oznaczanej jako A). Przy załoŜeniu, Ŝe nie ma sił tarcia, ani sił oporu, suma
energii kinetycznej i potencjalnej musi równać się (2). W dowolnej chwili mamy:
(3)
mv
kx
kx
2
2
0
2
2
2
2
+
=
.
Obliczymy teraz energię kinetyczną z równania (3):
(4)
(
)
mv
m
dx
dt
m
d
dt
x
t
m
x
t
mx
t
2
2
0
2
0
2
0
2
2
2
2
2
2
2
2
= ⋅
= ⋅
= ⋅ −
=
cos
sin
sin
ω
ω
ω
ω
ω
,
(5) E
kx
t
k
=
0
2
2
2
sin
ω
.
W równaniu (5) wykorzystano toŜsamość poznaną wcześniej, a mianowicie
ω
=
k
m
.
Teraz określimy energię potencjalną z równania (3):
(6)
(
)
E
kx
k
x
t
kx
t
p
=
= ⋅
=
2
0
2
0
2
2
2
2
2
cos
cos
ω
ω
.
Sumując równania (5) i (6) widzimy, Ŝe rzeczywiście równanie (3) jest spełnione.
7
00529 Ruch harmoniczny prosty D
TEORIA
x
E
0
0.25π
0.5π
0.75π
1π
1.25π
1.5π
1.75π
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
Energia kinetyczna
Energia potencjalna
Energia całkowita
Temat 144
Drgania mechaniczne, s drgania elektryczne.
1.
Dotychczas poznaliśmy elektryczne układy drgające (np. oscylator harmoniczny LC) oraz drgające układy
mechaniczne (np. wahadło fizyczne). ZauwaŜmy, Ŝe istnieje formalna analogia między obwodami elektrycz-
nymi a ruchami mechanicznymi:
Drgania mechaniczne
Drgania elektryczne
x
Q
v
dx
dt
=
I
dQ
dt
=
a
dv
dt
d x
dt
=
=
2
2
dI
dt
d Q
dt
=
2
2
m
L
k
E
=
1
1
C
A = x
m
Q
m
ω
=
k
m
ω
=
1
LC
γ
R
2.
Niech ładunek na kondensatorze będzie Q i niech będzie on analogiem x. Wtedy natęŜenie
prądu I
dQ
dt
=
będzie analogiem v
dx
dt
=
. Wielkość (bez specjalnej nazwy)
dI
dt
jest z kolei
analogiem przyspieszenia a
dv
dt
=
.
Rys. ZaleŜność energii w ruchu harmonicznym od czasu.
8
00529 Ruch harmoniczny prosty D
TEORIA
Zatem równanie:
(1) L
dI
dt
Q
C
= −
jest analogiem równania:
(2) m
dv
dt
kx
= −
,
jeŜeli przyrównamy L do m, a k do
1
C
.
Gdy jakieś procesy są scharakteryzowane takimi samymi równaniami, to muszą być opisa-
ne takimi samymi funkcjami. A więc ładunek musi zmieniać się harmonicznie w czasie
zgodnie ze wzorem:
(3)
Q
Q
t
m
=
cos
ω
,
gdzie Q
m
jest amplitudą ładunku analogiczną do amplitudy ruchu A.
Częstość kołową
ω
wyznaczymy ze wzoru
m
k
=
ω
podstawiając L zamiast m, a
C
1
za-
miast k, czyli
(4)
LC
LC
1
1
=
=
ω
.
Wynik (4) jest zgodny z dotychczasowymi wnioskami: zarówno wzrost L jak i wzrost C
powoduje malenie częstości drgań. Poza tym jest naturalne, Ŝe jeŜeli w obwodzie jest
opór, to obserwujemy drgania tłumione, bo energia jest rozpraszana.
Zwróćmy uwagę, Ŝe jeŜeli w obwodzie jest opór, to II prawo Kirchhoffa musimy napisać
w postaci (sprawdź to samodzielnie !):
(5)
IR
C
Q
dt
dI
L
=
−
−
, czyli
(6)
IR
Q
C
dt
dI
L
−
−
=
1
,
Podstawiając
dt
dQ
I
=
dostajemy:
(7)
R
dt
dQ
Q
C
dt
Q
d
L
−
−
=
1
2
2
,
jest to równanie analogiczne do:
(8)
dt
dx
kx
dt
x
d
m
γ
−
−
=
2
2
,
w którym ostatni człon oznacza siłę oporu (tłumienia)
v
F
⋅
=
γ
.
Analogiem współczynnika tłumienia
γ
jest opór R. W związku z tym amplituda oscylacji
ładunku na kondensatorze musi znikać wykładniczo w funkcji czasu, podobnie jak ampli-
tuda ruchu tłumionego oscylatora harmonicznego.
3.
Obwód drgający LC jest podstawowym elementem kaŜdego odbiornika radiowego. Drga-
nia elektryczne wzbudzają w nim fale elektromagnetyczne radiowe, przychodzące do nas
z radiostacji (stacji nadawczej). Obwód LC znajduje się takŜe w elektronicznych genera-
torach LC drgań niegasnących, które są bardzo wygodnymi źródłami napięcia przemien-
nego małej mocy.