1
CAŁKI KRZYWOLINIOWE
Niech K - krzywa w R
3
,
=
=
=
)
(
)
(
)
(
:
t
z
z
t
y
y
t
x
x
K
, gdzie
]
,
[
β
α
∈
t
oraz
[ ]
(
)
β
α
,
,
,
C
z
y
x
∈
.
Zatem dowolny punkt (x,y,z) krzywej K można przedstawić w postaci
(
)
∧
∧
∧
+
+
=
k
t
z
j
t
y
i
t
x
t
y
x
)
(
)
(
)
(
,
,
i krzywa K zadana jest przez wektor parametryzacji
→
r
K:
∧
∧
∧
→
+
+
=
k
t
z
j
t
y
i
t
x
t
r
)
(
)
(
)
(
)
(
.
Definicja
Jeśli krzywa nie ma punktów wielokrotnych, tzn. gdy spełniony jest warunek
2
1
2
1
)
(
)
(
t
t
t
r
t
r
=
⇒
=
, to nazywamy ją
łukiem zwykłym. Łuk zwykły jest łukiem
skierowanym, gdy określony jest zwrot tego łuku, tzn. uporządkowanie punktów łuku
odpowiadające wzrostowi parametru.
Zmiana parametru na przeciwny daje łuk
przeciwnie skierowany –K:
Podstawiamy
t
u
−
=
:
−
=
−
=
−
=
−
)
(
)
(
)
(
:
u
z
z
u
y
y
u
x
x
K
, gdzie
]
,
[
α
β
−
−
∈
u
Definicja
Jeśli jedynym punktem wielokrotnym krzywej jest punkt początkowy i końcowy, tzn. jeśli w
łuku zwykłym dopuścimy
)
(
)
(
β
α
r
r
=
, to krzywą nazywamy
krzywą zamkniętą zwykłą.
K
r
(
α
)
r
( )
β
