Rodzaje obciążeń, odkształceń i
Rodzaje obciążeń, odkształceń i
1.
Podział obciążeń i odkształceń
Oddziaływania na konstrukcję, w zależności od sposobu działania sił, mogą być statyczne lun dynamiczne.
Obciążenia statyczne występują wtedy, gdy układ sił działający na konstrukcję nie zmienia się w
wartość, zwrot, kierunek i punkt przyłożenia sił są stałe. W
działających na konstrukcję zmienia się w czasie. Jeżel
maksymalne i minimalne są tego samego znaku, to nazywamy je tętniącym. Jeżeli natomiast wartości graniczne
obciążeń są przeciwnego znaku, to takie obciążenie nazywamy wahającym.
Siły zewnętrzne działające na konstrukcje powodują w
mogą mieć charakter nietrwały, czyli inaczej mówiąc sprężysty lub charakter trwały, czyli plastyczny.
Odkształcenia powstają w wyniku sił powodujących rozciąganie, ściska
2.
Prawo Hooke’a
a.
Zależność wydłużenia od siły
Podczas działania sił na elementy konstrukcyjne występują odkształcenia, czyli
- Granica proporcjonalności, czyli zakres obowiązywania prawa Hooke’a;
- Granica plastyczności
- Wytrzymałość mecha
ೠ
ೠ
- Naprężenie rozrywające
Prawo Hooke’a określa zależność wydłużenia materiału konstrukcyjnego w
można sformułować następująco: Wydłużenie jest wprost proporcjonalne do długości początkowej
i przyłożonej siły oraz odwrotnie proporcjonalne do przekroju i
opisuje poniższy wzór:
Rys. 1. Zależność wydłużenia od przyłożonej siły podczas
rozciągania
Rodzaje obciążeń, odkształceń i naprężeń
Rodzaje obciążeń, odkształceń i naprężeń
odkształceń
zależności od sposobu działania sił, mogą być statyczne lun dynamiczne.
statyczne występują wtedy, gdy układ sił działający na konstrukcję nie zmienia się w
punkt przyłożenia sił są stałe. W przypadku obciążeń dynamicznych układ sił
działających na konstrukcję zmienia się w czasie. Jeżeli obciążenie zmienia się w sposób okresowy tak, że siły
minimalne są tego samego znaku, to nazywamy je tętniącym. Jeżeli natomiast wartości graniczne
obciążeń są przeciwnego znaku, to takie obciążenie nazywamy wahającym.
jące na konstrukcje powodują w niej powstawanie różnych odkształceń. Odkształcenia te
mogą mieć charakter nietrwały, czyli inaczej mówiąc sprężysty lub charakter trwały, czyli plastyczny.
wyniku sił powodujących rozciąganie, ściskanie, ścinanie, zginanie i
Zależność wydłużenia od siły
Podczas działania sił na elementy konstrukcyjne występują odkształcenia, czyli zmiana wymiarów. Zależność
przyłożonej siły uzyskanego przyrostu długości
przedstawia poniższy wykres (Rys.
początku układu współrzędnych do
zakres sprężysty tzn. działająca siła i
siebie proporcjonalne. Po ustąpieniu siły wymiary
przedmiotu powracają do stanu pierwotnego. Dla sił
większych niż F
h
i mniejszych od
czynienia z zakresem plastycznym, czyli po
ustąpieniu siły rozciągającej przedmiot ulega
trwałemu odkształceniu. Dalszy wzrost siły powoduje
zmniejszanie się przekroju w sposób istotny. Po
osiągnięciu siły F
m
wydłużenie nadal się zwiększa aż
następuje zerwanie przedmiotu. Opisywanym siłom
odpowiadają naprężenia:
Granica proporcjonalności, czyli zakres obowiązywania prawa Hooke’a;
Granica plastyczności
Wytrzymałość mechaniczna
Naprężenie rozrywające
Prawo Hooke’a określa zależność wydłużenia materiału konstrukcyjnego w zależności od przyłożonej siły, które
można sformułować następująco: Wydłużenie jest wprost proporcjonalne do długości początkowej
proporcjonalne do przekroju i modułu sprężystości Younga. Prawo Hooke’a
∆
. Zależność wydłużenia od przyłożonej siły podczas
1
2010
naprężeń
zależności od sposobu działania sił, mogą być statyczne lun dynamiczne.
statyczne występują wtedy, gdy układ sił działający na konstrukcję nie zmienia się w czasie, tzn.
przypadku obciążeń dynamicznych układ sił
sposób okresowy tak, że siły
minimalne są tego samego znaku, to nazywamy je tętniącym. Jeżeli natomiast wartości graniczne
niej powstawanie różnych odkształceń. Odkształcenia te
mogą mieć charakter nietrwały, czyli inaczej mówiąc sprężysty lub charakter trwały, czyli plastyczny.
nie, ścinanie, zginanie i skręcanie.
zmiana wymiarów. Zależność
przyłożonej siły uzyskanego przyrostu długości
Rys. 1). W zakresie od
początku układu współrzędnych do F
h
występuje
zakres sprężysty tzn. działająca siła i przekrój są do
siebie proporcjonalne. Po ustąpieniu siły wymiary
przedmiotu powracają do stanu pierwotnego. Dla sił
mniejszych od F
e
mamy do
zakresem plastycznym, czyli po
iu siły rozciągającej przedmiot ulega
trwałemu odkształceniu. Dalszy wzrost siły powoduje
sposób istotny. Po
wydłużenie nadal się zwiększa aż
następuje zerwanie przedmiotu. Opisywanym siłom
Granica proporcjonalności, czyli zakres obowiązywania prawa Hooke’a;
zależności od przyłożonej siły, które
można sformułować następująco: Wydłużenie jest wprost proporcjonalne do długości początkowej
modułu sprężystości Younga. Prawo Hooke’a
Rodzaje obciążeń, odkształceń i
gdzie: ∆l – wydłużenie w [m]; F –
moduł sprężystości Younga w [Pa]. Po przekształceniach wzór można doprowadzić do postaci:
gdzie:
to naprężenie i
∆
b.
Moment bezwładności i wskaźnik przekroju
Podczas obliczeń odkształceń i naprężeń przy zginaniu i
kształtu przekroju elementu konstrukcyjnego. Są to moment bezwładności i
dla kilku najczęściej spotykanych kształtów przekrojów podaje poniższa tabel
Tabela 1. Wskaźniki przekroju i momenty bezwładności przekroju dla zginania i skręcania
Przekrój
Wskaźnik przekroju
w
x
[m
௫
௫
32
௫
௫
W celu obliczenia lub sprawdzenia poprawności doboru konstrukcji należy obliczać naprężenia występujące
w elementach konstrukcji i porównać je z
dopuszczalnych przedstawia poniższa tabelka.
Tabela
Rodzaj odkształcenia
Rozciąganie
Ściskanie
Zginanie
Ścinanie
Skręcanie
Rodzaje obciążeń, odkształceń i naprężeń
siła w [N]; l
0
– długość początkowa w [m]; S – pole przekroju w [
]. Po przekształceniach wzór można doprowadzić do postaci:
∆
భ
to wydłużenie względne.
wskaźnik przekroju
ężeń przy zginaniu i skręcaniu należy korzystać z parametrów zależnych od
kształtu przekroju elementu konstrukcyjnego. Są to moment bezwładności i wskaźnik przekroju. Ich wartości
dla kilku najczęściej spotykanych kształtów przekrojów podaje poniższa tabelka.
Wskaźniki przekroju i momenty bezwładności przekroju dla zginania i skręcania
Zginanie
Skręcanie
Wskaźnik przekroju
m
3
]
Moment bezwładności
przekroju
J
x
[m
4
]
Wskaźnik przekroju
w
0
[m
3
]
ଷ
32
௫
ସ
64
ଷ
16
ସ
ସ
௫
64
ସ
ସ
16
ସ
ସ
ଷ
6
௫
ସ
12
0,141
ଷ
ଶ
6
௫
ଷ
12
ଵ
ଶ
݄
ܽ
1,5
k
1
0,196
0,229
k
2
0,231
0,246
celu obliczenia lub sprawdzenia poprawności doboru konstrukcji należy obliczać naprężenia występujące
porównać je z naprężeniami dopuszczalnymi. Przeciętne wartości naprężeń
dopuszczalnych przedstawia poniższa tabelka.
Tabela 2. Naprężenia dopuszczalne dla różnych odkształceń
Rodzaj odkształcenia
Naprężenie dopuszczalne
0,48
0,53
௧
0,27
௦
௧
2
2010
pole przekroju w [m
2
]; E –
]. Po przekształceniach wzór można doprowadzić do postaci:
parametrów zależnych od
wskaźnik przekroju. Ich wartości
Skręcanie
Moment bezwładności
przekroju
J
0
[m
4
]
ସ
32
32
ସ
ସ
0,208
ସ
ଶ
ଷ
2
4
6
0,229
0,281
0,299
0,246
0,282
0,299
celu obliczenia lub sprawdzenia poprawności doboru konstrukcji należy obliczać naprężenia występujące
Przeciętne wartości naprężeń
Rodzaje obciążeń, odkształceń i
Do obliczeń są również potrzebne są również stałe materiałowe. Dla kilku przykładowych materiałów w
są podane moduł sprężystości Younga
rozszerzalności cieplnej α.
Materiał
Moduł Younga
E
[
GPa
Diament
1200
Aluminium
70
Miedź
130
Srebro
74
Złoto
79
Stal
210
Szkło
80
Granit
30
Pleksi
3,2
3.
Rozciąganie
a.
Definicje i przykłady
Rozciąganie występuje, gdy dwie siły o
działają wzdłuż osi np. pręta. Powoduje to jego wydłużenie z
Rys. 2. Rozciąganie pręta swobodnego
Przykłady rozciągania pręta są pokazane na
b.
Obliczanie odkształceń i wytrzymałości
Wydłużenie rozciąganego pręta oblicza s
gdzie: ∆l – wydłużenie bezwzględne wyrażone w
l
0
– długość początkowa [m
F – siła powodująca rozciąganie [
E – Moduł Younga [MPa];
S – Przekrój pręta [m
2
].
Przykład 1:
Obliczyć, jakie wydłużenie spowoduje siła
i o długości l
0
=1,5 m. Przyjąć ż
P=0,293. Obliczyć również zmniejszenie średnicy pręta spowodowane wydłużeniem.
Rozwiązanie: W celu obliczenia wydłużenia należy skorzystać z
∆
4
4
Rodzaje obciążeń, odkształceń i naprężeń
Do obliczeń są również potrzebne są również stałe materiałowe. Dla kilku przykładowych materiałów w
są podane moduł sprężystości Younga E, Moduł skręcalności G, moduł Poissona P i współczynnik
Tabela 3. Wybrane parametry dla kilku materiałów
Moduł Younga
GPa
]
Moduł skręcalności
G
[
GPa
]
Moduł Poissona
P
480
0,25
26
0,345
48
0,343
27
0,367
28
0,420
85
0,293
23
0,270
12
0,300
1,14
0,400
Rozciąganie występuje, gdy dwie siły o równych wartościach i przeciwnych zwrotach (skierowane od siebie)
działają wzdłuż osi np. pręta. Powoduje to jego wydłużenie z jednoczesnym zmniejszeniem jego przekroju.
Rozciąganie pręta swobodnego
Rys. 3. Rozciąganie pręta utwierdzonego
Przykłady rozciągania pręta są pokazane na Rys. 2 i Rys. 3.
wytrzymałości
Wydłużenie rozciąganego pręta oblicza się z wzoru opisującego prawo Hooke’a:
∆
wydłużenie bezwzględne wyrażone w jednostkach długości [m];
m];
siła powodująca rozciąganie [N];
Obliczyć, jakie wydłużenie spowoduje siła F=30 kN obciążająca pręt stalowy o
. Przyjąć, że moduł Younga dla stali wynosi E=2,1
⋅
10
5
Obliczyć również zmniejszenie średnicy pręta spowodowane wydłużeniem.
celu obliczenia wydłużenia należy skorzystać z wzoru opisującego prawo Hooke’a:
4 · 30 · 10
· 1,5
210000 · 10
· 3,14 · 0,02
6,82 · 10
3
2010
Do obliczeń są również potrzebne są również stałe materiałowe. Dla kilku przykładowych materiałów w tabeli
współczynnik
Współczynnik
rozszerzalności
cieplnej
α
[
1/K
]
0,0118
⋅
10
4
0,224
⋅
10
4
0,162
⋅
10
4
0,195
⋅
10
4
0,142
⋅
10
4
0,12
⋅
10
4
0,005
⋅
10
4
0,083
⋅
10
4
0,8
⋅
10
4
przeciwnych zwrotach (skierowane od siebie)
jednoczesnym zmniejszeniem jego przekroju.
Rozciąganie pręta utwierdzonego
pręt stalowy o średnicy d=20 mm
MPa i Moduł Poissona
Obliczyć również zmniejszenie średnicy pręta spowodowane wydłużeniem.
wzoru opisującego prawo Hooke’a:
0,682
Rodzaje obciążeń, odkształceń i
∆
∆
Odpowiedź: Pręt ulegnie wydłużeniu o
w wyniku rozciągania ulegnie zmniejszeniu o
Przykład 2:
Drut stalowy o długości
sprawdzić naprężenie przyjmując naprężenie dopuszczalne
E=2,1
⋅
10
5
MPa = 2,1
⋅
10
Rozwiązanie: Ze względu na nieznaną siłę i
określającego prawo Hooke’a:
Stąd już łatwo można obliczyć wydłużenie względne
Odpowiedź: Naprężenie w drucie wynosi
Obliczanie wytrzymałości to między innymi dobór wymiarów konstrukcji takich jak długości i
elementów oraz sprawdzenie dopuszczalnych naprężeń w
W obliczeniach należy stosować współczynniki bezpieczeństwa dość znacznie łagod
konstrukcji. Punktem wyjścia jest naprężenie określone na granicy plastyczności
od rodzaju obciążenia. Przy rozciąganiu naprężenie dopuszczalne można przyjmować jako
Przykład 3:
Sprawdzić, czy pręt stalowy o
naprężenie dopuszczalne dla stali wynosi
Rozwiązanie: Aby sprawdzić obciążenie pręta, należy porównać naprężenie wywołane zadaną siłą
z naprężeniem dopuszczalnym. Podstaw
Odpowiedź: Obliczone naprężenie w
Przykład 4:
Obliczyć długość drutu stalowego o
zawieszonego jednym końcem
ciężarem nie zostanie przekroczone naprężenie dop
przyjąć, że naprężenie dopuszczalne dla stali wynosi
gęstość stali
γ
=7800 kg/m
Rozwiązanie: Największe naprężenie występuje oczywiście w
ponieważ jego obciążenie jest równe całemu ciężarowi drutu. Przyjmujemy, że nie może
być większe a co najwyżej równe naprężeniu dopuszczalnemu, czyli
kolejności obliczamy wielkość występującej tu siły:
Rodzaje obciążeń, odkształceń i naprężeń
∆
0,293
0,682
1500 0,000133
0,000133 · 0,02 2,66 · 10
2,66
: Pręt ulegnie wydłużeniu o ∆l=0,682 mm, czyli jego długość osiągnie l=1,500682
wyniku rozciągania ulegnie zmniejszeniu o ∆d=2,66
µ
m.
długości l
0
=6 m uległ wydłużeniu o ∆l=3 mm. Obliczyć wydłużenie względne oraz
sprawdzić naprężenie przyjmując naprężenie dopuszczalne k
r
=118 MPa i moduł Younga
10
11
Pa.
: Ze względu na nieznaną siłę i przekrój drutu musimy najpierw dokonać przekształcenia wzoru
∆
1
1
Stąd już łatwo można obliczyć wydłużenie względne α i naprężenie σ:
∆
3
6000 0,0005 0,5 · 10
0,5 · 10
· 2,1 · 10
105 · 10
105
drucie wynosi σ=105 MPa i jest mniejsze od dopuszczalnego k
trzymałości to między innymi dobór wymiarów konstrukcji takich jak długości i
elementów oraz sprawdzenie dopuszczalnych naprężeń w konstrukcjach o podanych wymiarach.
obliczeniach należy stosować współczynniki bezpieczeństwa dość znacznie łagodzące warunki pracy
konstrukcji. Punktem wyjścia jest naprężenie określone na granicy plastyczności R
E
oraz współczynnik zależny
od rodzaju obciążenia. Przy rozciąganiu naprężenie dopuszczalne można przyjmować jako
t stalowy o średnicy d=20 mm może być obciążony siłą F=30
naprężenie dopuszczalne dla stali wynosi k
r
=118 MPa.
: Aby sprawdzić obciążenie pręta, należy porównać naprężenie wywołane zadaną siłą
naprężeniem dopuszczalnym. Podstawiając dane do wzoru otrzymujemy:
4
4
4 · 30 · 10
3,14 · 0,02
95,5
: Obliczone naprężenie w pręcie jest mniejsze od dopuszczalnego, więc obciążenie jest prawidłowe.
długość drutu stalowego o przekroju S=1 mm
2
swobodnie
jednym końcem (Rys. 4), w którym pod jego własnym
ciężarem nie zostanie przekroczone naprężenie dopuszczalne. Do obliczeń
przyjąć, że naprężenie dopuszczalne dla stali wynosi k
r
=118 MPa oraz
kg/m
3
.
: Największe naprężenie występuje oczywiście w punkcie zawieszenia,
ponieważ jego obciążenie jest równe całemu ciężarowi drutu. Przyjmujemy, że nie może
być większe a co najwyżej równe naprężeniu dopuszczalnemu, czyli σ=k
r
. W pierwszej
wielkość występującej tu siły:
4
2010
=1,500682 m. Średnica pręta
. Obliczyć wydłużenie względne oraz
moduł Younga
przekrój drutu musimy najpierw dokonać przekształcenia wzoru
k
r
=118 MPa.
trzymałości to między innymi dobór wymiarów konstrukcji takich jak długości i przekroje
podanych wymiarach.
zące warunki pracy
oraz współczynnik zależny
od rodzaju obciążenia. Przy rozciąganiu naprężenie dopuszczalne można przyjmować jako k
r
=0,48 R
e
.
=30 kN? Przyjąć, że
: Aby sprawdzić obciążenie pręta, należy porównać naprężenie wywołane zadaną siłą
pręcie jest mniejsze od dopuszczalnego, więc obciążenie jest prawidłowe.
Rys. 4. Ilustracja
przykładu 4
Rodzaje obciążeń, odkształceń i
Długość drutu obliczymy z jego objętości (objętość = przekrój
wyznaczając masę:
Odpowiedź: Długość drutu spełniającego warunki zadania wynosi
4.
Ściskanie
a.
Definicje i przykłady
Ściskanie występuje, gdy dwie siły o
działają wzdłuż osi np. pręta. Powoduje to jego skrócenie z
Rys. 5. Ściskanie pręta swobodnego
Przykłady rozciągania pręta są pokazane na
b.
Obliczanie odkształceń i wytrzymałości
Długość ściskanego pręta oblicza się
Przykład 5:
Pręt stalowy o długości
nieruchomymi ścianami odległymi od siebie o
po ogrzaniu go o ∆
υ
=100
α
υ
=0,12
⋅
10
-4
1/K, moduł Younga
Rozwiązanie: Rozwiązanie zostanie podzielone na dwie części. Najpierw zostanie obliczony przyrost
temperatury, który spowoduje wydłużenie pręta do dł
zostanie obliczony brakujący przyrost temperatury, który już wywoła naprężenia oraz samo naprężenie
i wywołującą je siłę. Z wzoru na rozszerzalność cieplną obliczamy przyrost temperatury
!1 "
∆#
Dalszy wzrost temperatury o
∆#
długości do l
2
. Oczywiście ten wzrost musi być ściśnięty do długości
obliczamy długość l
2
a następnie naprężenie
!1 "
Odpowiada to wydłużeniu względnemu:
Rodzaje obciążeń, odkształceń i naprężeń
118 · 10
· 1 · 10
118 $
Długość drutu obliczymy z jego objętości (objętość = przekrój
⋅
długość), natomiast objętość możemy obliczyć
%
%
118
9,81 12,03 &%
12,03
7800 1,542 · 10
1,542 · 10
1 · 10
1542,12 ( 1,54 &
: Długość drutu spełniającego warunki zadania wynosi l=1,54 km.
Ściskanie występuje, gdy dwie siły o równych wartościach i przeciwnych zwrotach (skierowane do siebie)
działają wzdłuż osi np. pręta. Powoduje to jego skrócenie z jednoczesnym zwiększeniem jego przekroju.
Ściskanie pręta swobodnego
Rys. 6. Ściskanie pręta utwierdzonego
Przykłady rozciągania pręta są pokazane na Rys. 5 i Rys. 6.
wytrzymałości
Długość ściskanego pręta oblicza się Parametry
długości l
0
=999 mm i o średnicy d=20 mm umieszczono między dwiema
nieruchomymi ścianami odległymi od siebie o l
1
=1 m. Obliczyć naprężenie występujące w
=100 K. Do obliczeń przyjąć współczynnik rozszerzalności cieplnej
, moduł Younga E=2,1
⋅
10
5
MPa.
: Rozwiązanie zostanie podzielone na dwie części. Najpierw zostanie obliczony przyrost
temperatury, który spowoduje wydłużenie pręta do długości l1, czyli nie spowoduje naprężeń. Następnie
zostanie obliczony brakujący przyrost temperatury, który już wywoła naprężenia oraz samo naprężenie
wzoru na rozszerzalność cieplną obliczamy przyrost temperatury ∆
#
) ∆#
1000 999
999 · 0,12 · 10
83,42
∆# ∆#
100 83,42 16,58 * spowodowałby dalszy wzrost
. Oczywiście ten wzrost musi być ściśnięty do długości l
1
wywołując siłę i naprężenie. Najpierw
a następnie naprężenie σ i siłę F:
∆#
) 1000!1 " 0,12 · 10
· 16,58) 1000,2
Odpowiada to wydłużeniu względnemu:
5
2010
długość), natomiast objętość możemy obliczyć
przeciwnych zwrotach (skierowane do siebie)
jednoczesnym zwiększeniem jego przekroju.
Ściskanie pręta utwierdzonego
umieszczono między dwiema
m. Obliczyć naprężenie występujące w pręcie
. Do obliczeń przyjąć współczynnik rozszerzalności cieplnej
: Rozwiązanie zostanie podzielone na dwie części. Najpierw zostanie obliczony przyrost
, czyli nie spowoduje naprężeń. Następnie
zostanie obliczony brakujący przyrost temperatury, który już wywoła naprężenia oraz samo naprężenie
∆
υ
1
.
42 *
spowodowałby dalszy wzrost
naprężenie. Najpierw
Rodzaje obciążeń, odkształceń i
Stąd naprężenie i siła są równe:
Odpowiedź: Podczas ogrzania pręta najpierw osiąga on długość równą odległości między ścianami, a
dalszemu wzrostowi długości towarzyszy mu ściskanie, w
5.
Ścinanie
a.
Definicje i przykłady
Ścinanie występuje wtedy, gdy para sił o
jednej części powodując jego przecięcie
Różnica polega na tym, że przy ścinaniu siły są nieco przesunięte względem siebie.
ścinania mogą być nożyce lub gilotyna, gdzie dąży się do rozcięcia materiału. W tym wypadku naprężenia tnące
muszą przekroczyć wytrzymałość ciętego materiału. Natomiast połączenia nitowane, gdzie również występują
siły tnące, musi być tak dobrane, aby siły styczne nie zerwały nitu.
Rys. 7. Ścinanie
Przykład ścinania pręta jest pokazany na
b.
Obliczanie odkształceń i wytrzymałości
Podczas ścinania siły działają poprzecznie na przekrój elementu konstrukcyjnego. Aby stwierdzić, czy siły
działające w układzie mechanicznym nie spowo
naprężenie ścinające, jak w poniższym przykładzie.
Przykład 6:
Obliczyć, jaka powinna być średnica nitu
aby nie doszło do zniszczenia pod wpływem ścięcia
jeżeli działa siła F= 40
naprężenie tnące wynosi
Rozwiązanie: Szukaną średnicę nitu obliczamy z
naprężenie wykonując proste przekształcenie.
+ , &
4
Odpowiedź: Minimalna średnica nitu wynosi
d=10 mm.
Rodzaje obciążeń, odkształceń i naprężeń
1000,2 1000
1000
0,0002 0,2 · 10
2,1 · 10
· 0,2 · 10
42
4
3,14 · 0,02
4
3,14 · 10
42 · 10
· 3,14 · 10
13188 $ ( 13,2 &$
: Podczas ogrzania pręta najpierw osiąga on długość równą odległości między ścianami, a
towarzyszy mu ściskanie, w wyniku, czego naprężenie osiąga wartość
Ścinanie występuje wtedy, gdy para sił o bardzo małym ramieniu działa na konstrukcję powodując przesunięcie
jego przecięcie. Ze względu na działanie sił jest to oddziaływanie podobne do ściskania.
Różnica polega na tym, że przy ścinaniu siły są nieco przesunięte względem siebie. Przykładem występowania
ścinania mogą być nożyce lub gilotyna, gdzie dąży się do rozcięcia materiału. W tym wypadku naprężenia tnące
muszą przekroczyć wytrzymałość ciętego materiału. Natomiast połączenia nitowane, gdzie również występują
być tak dobrane, aby siły styczne nie zerwały nitu.
Rys. 8. Zginanie pręta dwiema parami sił
Przykład ścinania pręta jest pokazany na Rys. 7.
wytrzymałości
Podczas ścinania siły działają poprzecznie na przekrój elementu konstrukcyjnego. Aby stwierdzić, czy siły
układzie mechanicznym nie spowodują ścięcia elementu konstrukcyjnego, należy sprawdzić
poniższym przykładzie.
Obliczyć, jaka powinna być średnica nitu d (Rys. 9),
aby nie doszło do zniszczenia pod wpływem ścięcia
= 4000 N i dopuszczalne
naprężenie tnące wynosi k
t
=55 MPa.
: Szukaną średnicę nitu obliczamy z wzoru na
naprężenie wykonując proste przekształcenie.
-
4
&
-
4 · 4000
3,14 · 55 · 10
0,00962
: Minimalna średnica nitu wynosi d=9,62 mm. Należy dobrać najbliższy większy znormalizowany np.
Rys. 9. Połączenie nitowane do przykładu 6
6
2010
: Podczas ogrzania pręta najpierw osiąga on długość równą odległości między ścianami, a następnie
wyniku, czego naprężenie osiąga wartość σ=42 Mpa.
bardzo małym ramieniu działa na konstrukcję powodując przesunięcie
. Ze względu na działanie sił jest to oddziaływanie podobne do ściskania.
Przykładem występowania
ścinania mogą być nożyce lub gilotyna, gdzie dąży się do rozcięcia materiału. W tym wypadku naprężenia tnące
muszą przekroczyć wytrzymałość ciętego materiału. Natomiast połączenia nitowane, gdzie również występują
Zginanie pręta dwiema parami sił
Podczas ścinania siły działają poprzecznie na przekrój elementu konstrukcyjnego. Aby stwierdzić, czy siły
dują ścięcia elementu konstrukcyjnego, należy sprawdzić
9,62
. Należy dobrać najbliższy większy znormalizowany np.
. Połączenie nitowane do przykładu 6
Rodzaje obciążeń, odkształceń i
6.
Zginanie
a.
Definicje i przykłady
Zginanie pręta może wystąpić w następujących przypadkach. Pierwsza sytuacja dotyczy pręta, do którego
końców zostały przyłożone dwie pary sił (momenty zginające)
występuje również w przypadku pręta podpartego w
swobodna) obciążonego siłą przyłożoną między podporami. Do zginania dochodzi również w
utwierdzonego jednym końcem a do drugiego końca jest przyłożona siła zginająca.
Rys. 10. Zginanie pręta podpartego w dwóch punktach
Opisane sytuacje są przedstawione na
b.
Obliczanie odkształceń i wytrzymałości
Odkształcenia i wytrzymałość podczas zginania oblicza się nieco inaczej z
jednakowe w różnych miejscach przekroju. Wielkość naprężeń jest zależna również od kształtu
Dlatego też do obliczeń nie wystarczy jedynie powierzchnia tego przekroju, ale też współczynnik zależny od
kształtu. Mowa tu o wskaźniku przekroju oraz o
dla kilku różnych kształtów są podane w
Wielkość ugięcia jest zależne oczywiście od wielkości siły lub momentu gnącego, ale również od kształtu
przekroju i sposobu zamocowania pręta, belki, słupa itp. Współczynniki c
i obciążenia podaje tabela 4.
Tabela 4. Współczynniki do obliczania ugięcia w
Sposób mocowania
Jeden koniec zamocowany, drugi
swobodny
Oba końce podparte
Oba końce zamocowane
Rodzaje obciążeń, odkształceń i naprężeń
następujących przypadkach. Pierwsza sytuacja dotyczy pręta, do którego
końców zostały przyłożone dwie pary sił (momenty zginające) równych, lecz przeciwnie skierowanych. Zginanie
adku pręta podpartego w dwóch miejscach (przynajmniej jedna podpora jest
swobodna) obciążonego siłą przyłożoną między podporami. Do zginania dochodzi również w
do drugiego końca jest przyłożona siła zginająca.
dwóch punktach
Rys. 11. Zginanie pręta utwierdzonego
Opisane sytuacje są przedstawione na Rys. 8, Rys. 10 i Rys. 11.
wytrzymałości
wytrzymałość podczas zginania oblicza się nieco inaczej z tego powodu, że naprężenie nie jest
różnych miejscach przekroju. Wielkość naprężeń jest zależna również od kształtu
Dlatego też do obliczeń nie wystarczy jedynie powierzchnia tego przekroju, ale też współczynnik zależny od
wskaźniku przekroju oraz o momencie bezwładności przekroju. Wspomniane tu parametry
ane w tabeli 1.
Wielkość ugięcia jest zależne oczywiście od wielkości siły lub momentu gnącego, ale również od kształtu
sposobu zamocowania pręta, belki, słupa itp. Współczynniki c zależne od sposobu mocowania
. Współczynniki do obliczania ugięcia w zależności od zamocowania i sposobu obciążenia
Szkic
Sposób obciążenia
Na końcu
Równomierne
W środku
Równomierne
W środku
Równomierne
7
2010
następujących przypadkach. Pierwsza sytuacja dotyczy pręta, do którego
przeciwnie skierowanych. Zginanie
dwóch miejscach (przynajmniej jedna podpora jest
swobodna) obciążonego siłą przyłożoną między podporami. Do zginania dochodzi również w przypadku pręta
Zginanie pręta utwierdzonego
tego powodu, że naprężenie nie jest
różnych miejscach przekroju. Wielkość naprężeń jest zależna również od kształtu przekroju.
Dlatego też do obliczeń nie wystarczy jedynie powierzchnia tego przekroju, ale też współczynnik zależny od
momencie bezwładności przekroju. Wspomniane tu parametry
Wielkość ugięcia jest zależne oczywiście od wielkości siły lub momentu gnącego, ale również od kształtu
zależne od sposobu mocowania
sposobu obciążenia
Sposób obciążenia
Współczynnik c
1/3
Równomierne
1/8
1/48
Równomierne
5/384
1/192
Równomierne
1/384
Rodzaje obciążeń, odkształceń i
Przykład 7:
Słup krańcowy o przekroju kwadratowym i
przewodów o sile F=450
dopuszczalne wynosi k
Rozwiązanie: W celu obliczenia wymiarów przekroju słupa należy obliczyć moment gnący, wskaźnik
wytrzymałości przekroju i ostatecznie wymiary poprzeczne słupa.
3. 3
Naprężenia mechaniczne w przekroju słupa powinny być mniejsze niż:
/
6 , √6/
య
Odpowiedź: Minimalne wymiary przekroju słupa wynoszą
Przykład 8:
Obliczyć wielkość ugięcia słupa z
moduł Younga E=150
Rozwiązanie: W celu obliczenia ugięcia słupa najpierw obliczamy moment bezwładności
przekroju:
1
Następnie korzystamy z następującego wzoru przyjmując współczynnik
∆2
3
1
Odpowiedź: Słup o długości h=12 m
7.
Skręcanie
a.
Definicje i przykłady
Gdy końce pręta są obciążone dwiema parami sił leżącymi w
i o momentach przeciwnie skierowanych występuje odkształcenie zwane skręcaniem. Skręcanie występuje
również w przypadku pręta utwierdzonego jednym kątem a
w płaszczyźnie prostopadłej do osi pręta.
Rys. 13. Skręcanie pręta swobodnego
Przykłady skręcania pręta są przedstawione na
b.
Obliczanie odkształceń i wytrzymałości
Rodzaje obciążeń, odkształceń i naprężeń
przekroju kwadratowym i o wysokości h=12 m jest obciążony naciągiem trzech
=450 N każdy. Dobrać wymiary przekroju słupa, jeżeli naprężenie
k
g
=15 MPa.
celu obliczenia wymiarów przekroju słupa należy obliczyć moment gnący, wskaźnik
ostatecznie wymiary poprzeczne słupa.
3 · 450 · 12 16200 $ 16,2 &$
przekroju słupa powinny być mniejsze niż:
/ 4 &
/ ,
&
/ -
6
&
య
-
6 · 16200
15 · 10
య
0,1864 18,64 3
: Minimalne wymiary przekroju słupa wynoszą a=16,64 cm.
Obliczyć wielkość ugięcia słupa z poprzedniego przykładu. Do obliczeń przyjąć
GPa.
: W celu obliczenia ugięcia słupa najpierw obliczamy moment bezwładności
1
12
1
12 0,1864
0,0001006
następującego wzoru przyjmując współczynnik c=0,333:
0,333 · 12
150 · 10
· 0,0001006 1350 0,155 15,53
ugnie się pod wpływem obciążenia przewodami o ∆x
Gdy końce pręta są obciążone dwiema parami sił leżącymi w płaszczyznach prostopadłych do osi pręta
ach przeciwnie skierowanych występuje odkształcenie zwane skręcaniem. Skręcanie występuje
przypadku pręta utwierdzonego jednym kątem a na drugi koniec działa siła lub para sił
płaszczyźnie prostopadłej do osi pręta.
Skręcanie pręta swobodnego
Rys. 14. Skręcanie pręta utwierdzonego
Przykłady skręcania pręta są przedstawione na Rys. 13 i Rys. 14.
wytrzymałości
8
2010
jest obciążony naciągiem trzech
każdy. Dobrać wymiary przekroju słupa, jeżeli naprężenie
celu obliczenia wymiarów przekroju słupa należy obliczyć moment gnący, wskaźnik
Do obliczeń przyjąć
3
∆
x=15,5 cm.
płaszczyznach prostopadłych do osi pręta
ach przeciwnie skierowanych występuje odkształcenie zwane skręcaniem. Skręcanie występuje
na drugi koniec działa siła lub para sił
Skręcanie pręta utwierdzonego
Rys. 12. Obciążenie
zginające do przykładu 7 i 8
Rodzaje obciążeń, odkształceń i
Skręcanie jest również obciążeniem, w
w różnych miejscach przekroju. Zależne są one od kształtu przekroju. Wynika z
że do obliczeń należy również stosować parametr zwany momentem bezwładności
przekroju. Zależności pozwalające go obliczyć są umieszczone w
Przykład 9:
Dobrać minimalną średnicę słupa przelotowego
dla najbardziej niekorzystnego przypadku, gdy zerwaniu ulegną dwa
skrajne, przeciwległe przewody. Siła naciągu pojedynczego przewodu
wynosi F=1000 N, długość poprzeczki słupa
Rozwiązanie: W pierwszej kolejności należy obliczyć m
22
Następnie z warunku wytrzymałości i
/
16
/
4 &
16
Odpowiedź: Minimalna średnica słupa wynosi
Przykład 10: Obliczyć skręcenie słupa z
G=70 GPa.
Rozwiązanie: W celu obliczenia kąta skręcenia słupa korzystamy z
∆5
2
67
32
6
Odpowiedź: Skręcenie słupa wyniesie
8.
Twardość materiałów
a.
Definicje i przykłady
Jednym ze sposobów pomiaru twardości jest metoda Brinella. Polega ona na
wywołaniu nacisku odpowiednią siłą na badany materiał głowicą
zakończoną kulką o średnicy D (stosowane średnice kulki są następujące: 10
– 5 – 2,5 – 2 – 1 mm). Następnie mierzy się średnicę odcisku
stopień twardości HR.
b.
Obliczanie odkształceń i stopnia twardości
Przykład 11: Obliczyć stopień twardości materiału, jeżeli średnica użytej
kulki wynosi D=10 mm
Rozwiązanie: W celu obliczenia twardości należy skorzyst
89
2
:;: √:
89 <
$
Odpowiedź: Twardość wynosi 168,8
Rodzaje obciążeń, odkształceń i naprężeń
Skręcanie jest również obciążeniem, w którym występują różne naprężenia
Zależne są one od kształtu przekroju. Wynika z tego,
że do obliczeń należy również stosować parametr zwany momentem bezwładności
przekroju. Zależności pozwalające go obliczyć są umieszczone w tabeli 1.
Dobrać minimalną średnicę słupa przelotowego o wysokości l=12 m
dla najbardziej niekorzystnego przypadku, gdy zerwaniu ulegną dwa
skrajne, przeciwległe przewody. Siła naciągu pojedynczego przewodu
, długość poprzeczki słupa x=0,5 m. Naprężenie dopuszczalne
pierwszej kolejności należy obliczyć moment skręcający:
2 · 1000 · 0,5 1000 $
warunku wytrzymałości i wzoru na wskaźnik przekroju obliczamy minimalną średnicę słupa:
16
4 &
, -
16
&
య
-
16 · 1000
3,14 · 5 · 10
య
0
: Minimalna średnica słupa wynosi d=10,1 cm.
skręcenie słupa z poprzedniego przykładu. Do obliczeń przyjąć moduł skręcalności
W celu obliczenia kąta skręcenia słupa korzystamy z poniższego wzoru:
6
32 · 1000 · 12
3,14 · 70 · 10
· 0,1006
0,017 7 0,163
: Skręcenie słupa wyniesie ∆
ϕ
=0,017 rad.
Twardość materiałów
Jednym ze sposobów pomiaru twardości jest metoda Brinella. Polega ona na
wywołaniu nacisku odpowiednią siłą na badany materiał głowicą
(stosowane średnice kulki są następujące: 10
Następnie mierzy się średnicę odcisku d i oblicza się
stopnia twardości
Obliczyć stopień twardości materiału, jeżeli średnica użytej
mm, średnica odcisku d=1,5 mm a siła nacisku F=3000 N
celu obliczenia twardości należy skorzystać z wzoru:
=
2 · 300
3,14 · 10 >10 ?10
1,5
@
168,8 89
$
10 · $
10
·
10
$
10
10 A
8 HB.
Rys.
Rys. 16. Metoda Brinella badania twardości
9
2010
. Naprężenie dopuszczalne k
s
=5 MPa.
wskaźnik przekroju obliczamy minimalną średnicę słupa:
0,1006 ( 10,1 3
moduł skręcalności
163 B%
N = 300 daN.
89 <
$
A
Rys. 15. Ilustracja przykładu 9 i 10
. Metoda Brinella badania twardości
materiałów
Rodzaje obciążeń, odkształceń i
Przykład 12: Obliczyć promień powierzchni styku kulki o
powierzchnię badaną. Do obliczeń przyjąć moduł sprężystości kuli
badanego E
2
=210 GPa
Rozwiązanie: Aby obliczyć promień powierzchni styku kulki
podstawić dane zawarte w treści zadania do wzoru:
7 -
2
3 C
1
"
య
Odpowiedź: Promień odcisku wyniesie
9.
Sprężyna
Wydłużenie sprężyny o N zwojach, o
wywołującej, co najwyżej naprężenie dopuszczalne w
Przykład 13: Obliczyć wydłużenie sprężyny o
o średnicy d=1 mm przyjmując naprężenie dopuszczalne
skręcalności G=85 GPa
Rozwiązanie: Do obliczeń korzystamy z
∆ 4$
6
Odpowiedź: Wydłużenie wyniesie 19
Rodzaje obciążeń, odkształceń i naprężeń
Obliczyć promień powierzchni styku kulki o promieniu R=5 mm naciskającej siłą
powierzchnię badaną. Do obliczeń przyjąć moduł sprężystości kuli E
1
=530 GPa
GPa.
: Aby obliczyć promień powierzchni styku kulki naciskającej na powierzchnię badaną należy
treści zadania do wzoru:
1
D -
2
3 · 3000 · 5 C
1
530 · 10
"
1
210 · 10
D
య
4,05
: Promień odcisku wyniesie r=4,05 mm.
zwojach, o średnicy D=2R wykonanej z drutu o średnicy d=2r pod wpływem siły
wołującej, co najwyżej naprężenie dopuszczalne w materiale sprężyny.
Obliczyć wydłużenie sprężyny o N=20 zwojach, o średnicy D=20 mm, wykonanej z
rzyjmując naprężenie dopuszczalne k
s
=50 MPa. Do obliczeń przyjąć moduł
GPa.
: Do obliczeń korzystamy z wzoru:
&
6 4 · 20
0,02
· 50 · 10
0,001 · 85 · 10
0,019 19
: Wydłużenie wyniesie 19 mm.
10
2010
naciskającej siłą F=3000 N na
GPa oraz materiału
na powierzchnię badaną należy
05
pod wpływem siły F
, wykonanej z drutu
. Do obliczeń przyjąć moduł