Materiały dydaktyczne powielane
1
Ćwiczenie 3 i 4
PRÓBKOWANIE I ANALIZA WIDMOWA SYGNAŁÓW
J. Walczak, P. Świszcz
Celem ćwiczenia jest zapoznanie się z podstawowymi ideami i twierdzeniami dotyczącymi
próbkowania sygnałów a także odtwarzania sygnałów na podstawie znanych ciągów próbek.
Innym celem ćwiczenia jest zapoznanie się z metodami analizy widmowej sygnałów, a w
szczególności z zastosowaniem do tej analizy dyskretnego (DFT) i szybkiego (FFT)
przekształcenia Fouriera.
1. Wprowadzenie
Tematyka ćwiczenia dotyczy dwóch ważnych i ściśle ze sobą powiązanych działów teorii
sygnałów: teorii próbkowania i metod analizy widmowej. Niektóre najważniejsze z
problemów dotyczących rozpatrywanych w ramach ćwiczenia zagadnień omówiono poniżej
w sposób skrótowy, dokładna analiza tych zagadnień opisana jest w pracy [1].
1.1. Próbkowanie sygnałów
Polega ono na przekształceniu sygnału ciągłego w równoważny sygnał dyskretny (rys.1) a
następnie w sygnał cyfrowy.
f(t)
t
0
f(h)
h
0
1
2
3
4
5 ...
Rys.1. Próbkowanie sygnału ciągłego
Materiały dydaktyczne powielane
2
Przekształcenie takie powinno umożliwić odtwarzanie sygnału ciągłego f(t) na podstawie
znajomości próbek f[n] sygnału dyskretnego z dowolną dokładnością. Warunki przy których
możliwe jest odtworzenie sygnału wiążą się ściśle z właściwościami szeregu Shannona-
Kotielnikowa i twierdzeniem Shannona-Kotielnikowa.
1.1.1. Szereg Shannona-Kotielnikowa
W teorii próbkowania sygnałów o ograniczonej energii szczególne znaczenie posiada funkcja
S
a
(rys.2)
Sa
t
t
t
dla t
dla t
(
)
sin
,
.
ω
ω
ω
0
0
0
0
1
0
=
≠
=
(1)
Rys.2. Funkcja S
a
Zbiór funkcji S
a
oznaczony przez {e
n
} określony wzorem:
(
)
e
f S
f
t hT) h
h
m
a
m
=
−
= ± ±
2
2
0 1 2
π (
,
, , … (2)
gdzie:
f
m
- częstotliwości Nyquista (por. rozdz.1.1.2)
T=(2f
m
)
-1
jest ortogonalny w przestrzeni sygnałów o ograniczonej energii lecz nie jest zupełny. Szereg
Fouriera (uogólniony) wykorzystujący bazę {e
h
} (2) funkcji S
a
nosi nazwę szeregu Shannona-
Kotielnikowa i jest określony wzorem:
Materiały dydaktyczne powielane
3
(
)
f t
f h S
f t hT
a
m
h
h
( )
[ ]
(
)
=
−
= −∞
=∞
∑
2
π
(3)
Współczynniki f[h] tego szeregu są próbkami sygnału f(t) w chwilach czasu hT
f h
f t
f hT
t hT
[ ]
( )
(
)
=
=
=
, (4)
gdzie
T - okres próbkowania
Poprzez wykorzystanie funkcji e
n
(2) (rys.3) oraz próbek sygnału f[h] możliwe jest
odtworzenie sygnału ciągłego na podstawie próbek
Rys.3. Zmodyfikowane funkcje
S
e
a
n
{ }
=
Warunki przy których możliwe jest odtworzenie sygnału na podstawie próbek określa
fundamentalne twierdzenie Shannona-Kotielnikowa.
1.1.2. Twierdzenie Shannona-Kotielnikowa
Twierdzenie to dla przypadku próbkowania równomiernego (ze stałym odstępem czasu T,
rys.4) wyrazić można w następujący sposób:
Jeżeli f(t) jest sygnałem o ograniczonym widmie F(j
ω):
F j
dla
dla
m
m
(
)
ω
ω ω
ω ω
=
≠
<
=
≥
0
0
(5)
Materiały dydaktyczne powielane
4
to sygnał ten można przedstawić z dowolną dokładnością za pomocą szeregu Shannona-
Kotielnikowa. Próbki sygnału f(t) muszą być równoodległe o stały przedział próbkowania T,
taki że:
T
f
m
m
≤
=
π
ω
1
2
(6)
Częstotliwość
ω
m
nazywamy częstotliwością Nyquista a czas T granicznym czasem
próbkowania. Ilustrację cytowanego twierdzenie przedstawiono na rys.4, natomiast jego
dowód zamieszczone w pracy [1].
f(t)
t
|F(j
ω)|
ω
−ω
m
ω
m
0
0
f(hT)
π
ω
m
T
≤
T 2T
4T
6T
8T
0
hT
T
2T
4T
6T
8T
Rys.4. Ilustracja twierdzenia o próbkowaniu.
W sytuacjach praktycznych rozważa się dwa przypadki próbkowania
f
T
f
m
0
1
2
= >
(7)
f
T
f
m
0
1
2
= <
(8)
Przypadek (7) spełnia założenia twierdzenia Shannona-Kotielnikowa w przeciwieństwie do
przypadku opisanego wzorem (8). Jeżeli częstotliwość próbkowania f
o
spełnia warunek (8), to
występuje efekt nakładania się widma sygnału odtwarzanego nazywany aliasingiem, co
prowadzi w efekcie do błędnego odtwarzania sygnałów. Okresowe powielanie widma sygnału
odtwarzanego jest spowodowane operacja próbkowania sygnału. Ilustrację twierdzenia o
próbkowaniu dla przypadków opisanych wzorami (7), (8) pokazano na rys.5. W sytuacji gdy
Materiały dydaktyczne powielane
5
niemożliwe jest spełnienie warunku (7) co zachodzi na przykład gdy sygnał f(t) posiada
nieograniczone widmo, konieczne jest zastosowanie filtru dolnoprzepustowego o częstości
odcięcia
ω
g
≥ω
m
, przez co ograniczyć można błędy odtwarzania sygnałów spróbkowanych.
|F(jω)|
ω
−ω
m
ω
m
0
ω
−ω
m
ω
m
0
F'(jω)
ω
0
ω
−ω
1
ω
1
0
|F(jω)|
ω
−ω
m
ω
m
0
( )
ω
ω
m
1
ω
m
ω
m
Π
( )
ω
2ω
1
1
−2ω
m
−3ω
m
2ω
m
3ω
m
−ω
1
−ω
0
ω
1
ω
0
1
ω
1
ω
0
−ω
1
−ω
0
−ω
m
−ω
1
ω
m
−ω
0
−ω
0
−ω
m
ω
0
ω
0
+ω
m
|F(jω)|
ω
−ω
m
ω
m
0
ω
−ω
m
ω
m
0
F'(jω)
ω
0
ω
−ω
1
ω
1
0
|F(jω)|
ω
0
( )
ω
ω
0
1
ω
0
ω
m
Π
( )
ω
2ω
1
1
1
−ω
1
−ω
m
−ω
0
−2ω
0
ω
0
2ω
0
a)
b)
c)
d)
e)
f)
g)
h)
i)
j)
f
0
> 2fm
f
0
< 2fm
1
1
Rys.5. Ilustracja twierdzenia o próbkowaniu - przypadki niekrytyczne.
Materiały dydaktyczne powielane
6
Błędy te są zależne (rys.6) od różnicy powierzchni pod charakterystykami widmowymi
sygnału pierwotnego f(t) i sygnału spróbkowanego
|F(jω)|
ω
−ω
m
ω
m
0
|F(j
ω)|
|F(jω)|
Sygnał pierwotny f(t)
Sygnał próbkowany f(t)
~
~
Rys.6. Widmo sygnału pierwotnego i spróbkowanego
Inne przyczyny błędów odtwarzania sygnałów spróbkowanych to:
• przyjęcie założenia o istnieniu charakterystyki idealnego filtru dolnoprzepustowego,
• charakter impulsów próbkujących, które nie stanowią ciągu idealnych impulsów Diraca
lecz są sygnałem okresowym prostokątnym, rys. 7.
ω
−ω
m
ω
m
0
ω
1
ω
0
|F(jω)|
−ω
1
−ω
0
|K(jω)|
ch-ki filtru
Rys.7. Ilustracja próbkowania nieidealnego
Analizę wymienionych błędów przeprowadza się najczęściej metodami numerycznymi.
1.2. Analiza widmowa sygnałów
Analiza widmowa dotyczy wszystkich występujących w technice sygnałów, do których
zalicza się: sygnały o ograniczonej energii, sygnały o ograniczonej mocy średniej, sygnały
okresowe, prawie okresowe, impulsowe a także stochastyczne. Celem metod widmowych jest
analiza właściwości sygnałów i układów a także ich synteza z wykorzystaniem charakterystyk
częstotliwościowych. Charakterystyki częstotliwościowe sygnałów definiowane są w różny
Materiały dydaktyczne powielane
7
sposób w zależności od klasy przebiegu których one dotyczą. Krótki przykład tych
charakterystyk przedstawiono poniżej.
1
1.2.1. Widmo Fouriera sygnałów okresowych
Każdy sygnał okresowy całkowalny z kwadratem a zatem należący do przestrzeni sygnałowej
L
T
2
można przedstawić w postaci szeregu Fouriera:
f t
F e
F e
h
jh
t
h
h
n
jh
t
h
( )
Re
=
=
= −∞
=∞
=
∞
∑
∑
ω
ω
0
0
0
(9)
gdzie:
ω
π
0
2
=
T
, T - okres przebiegu
(10)
F
T
f t e
dt h
h
jh
t
T
=
= ± ±
−
∫
1
0 1 2
0
0
( )
,
, , ,
ω
… (11)
F
F
F e
h
h
h
j
n
=
=
2
2
ϕ
(12)
Widmem sygnału okresowego f(t) nazywamy zbiory {F
h
, h=0,
±1, ±2...}, { ,
, , ,...}
F h
h
= 0 1 2
.
Podobnie widmem amplitudowym nazywamy zbiory {
,
, , ,...}
F
h
h
= ± ±
0 1 2
,
{
,
, , ,...}
F
h
h
= 0 1 2
natomiast widmem fazowym nazywamy zbiory {arg F
h
, h=0,
±1,±2...},
{arg
,
, , ,...}
F h
h
= 0 1 2
, przy czym:
arg
arg
arg
F
F
F
h
h
h
=
=
−
.
(13)
Przykładowe widma F i F
h
h
sygnału okresowego pokazano na rys.8, 9
1
Bez uwzględnienia charakterystyk dystrybucyjnych sygnałów, por. [1].
Materiały dydaktyczne powielane
8
|F
h
|
|F
1
|
|F
-4
|
|F
4
|
|F
3
|
|F
2
|
|F
0
|
|F
-3
|
|F
-2
|
|F
-1
|
h
1
2
3
4
-h
-1
-2
-3
-4
0
arg F
h
h
1
2
3
4
-1
-2
-3
-4
0
arg F
1
arg F
6
5
6
-5
-6
arg F
-1
arg F
-6
a)
b)
Rys.8. Widma F
h
sygnału okresowego
Materiały dydaktyczne powielane
9
h
1
2
3
4
0
5
6
h
1
2
3
4
0
5
6
7
a)
b)
|F
h
|
arg F
h
Rys.9. Widma F
h
sygnału okresowego
Widma sygnałów okresowych mają zawsze charakter dyskretny, przy czym poszczególne
prążki widma są rozmieszczane na osi częstotliwości w jednakowej odległości pomiędzy
sobą.
Szereg Fouriera (9) jest powszechnie wykorzystywany w teorii obwodów elektrycznych do
analizy układów z przebiegami okresowymi i niesinusoidalnymi.
1.2.2. Widmo Fouriera sygnałów nieokresowych o skończonej energii
Widmem Fouriera F(j
ω) sygnału f(t) o skończonej energii nazywamy transformatę Fouriera
tego sygnału:
{ }
F j
f t
f t e
dt
j t
(
)
( )
( )
ω
ω
=
=
−
−∞
∞
∫
F
(14)
gdzie:
F - symbol transformaty Fouriera.
Materiały dydaktyczne powielane
10
Transformata Fouriera F(j
ω) sygnału f(t) jest funkcją zespoloną zmiennej rzeczywistej ω i
może być przedstawiona w postaci wzoru:
F j
F j
e
F j
e
j
F j
j
j
(
)
(
)
(
)
arg (
)
(
)
ω
ω
ω
ω
ϕ ω
=
=
(15)
Funkcje
F j
(
)
ω
i
ϕ(jω) nazywamy widmem amplitudowym i fazowym sygnału f(t).
Wykresy tych funkcji nazywamy charakterystykami Bodego sygnału a wykres funkcji F(j
ω)
na płaszczyźnie zespolonej Gaussa nazywamy charakterystyką Nyquista sygnału.
Przykładowo dla sygnału jednostronnie wykładniczego
f t
e
a
dla t
dla t
at
( )
,
=
>
>
<
−
0
0
0
0
(16)
widmo F(j
ω) określa wzór:
F j
a ju
a
e
jarctg
a
(
)
ω
ω
ω
=
+
=
+
−
1
1
2
2
(17)
Sygnał (16) i jego charakterystyki widmowe przedstawiono na rys.10.
Materiały dydaktyczne powielane
11
t
ω
ω
f(t)
|F(jω)|
ϕ(ω)
π
2
π
2
1
2
1
0
0
0
Rys.10. Funkcja jednostronnie wykładnicza i jej charakterystyki widmowe
Widma sygnałów nieokresowych o skończonej energii mają zawsze charakter funkcji
ciągłych. Charakterystyki widmowe wielu częściej występujących sygnałów podano w pracy
[1].
1.2.3. Dyskretny szereg Fouriera
Przy obliczeniach numerycznych szeregu Fouriera (9), (11) należy:
• sumę nieskończoną (9) zastąpić sumą skończoną,
Materiały dydaktyczne powielane
12
• całkę (11) aproksymować sumą skończoną,
• przy obliczeniach uwzględniać tylko skończoną liczbę wartości funkcji f(t),
e
jh
t
ω
0
.
Tak więc przy obliczeniach numerycznych operuje się na ciągach próbek sygnału
f(m)=f(mT
0
), m=0,1,2,.., N-1 równoodległych względem siebie o przedział czasowy T
0
:
T
T
N
0
=
,
(18)
gdzie:
T - okres sygnału,
N - liczba próbek.
Dla ustalonego przedziału czasowego T
o
(okresu próbkowania sygnału) pobór większej liczby
próbek sygnału niż N nie wnosi żadnej dodatkowej informacji o sygnale f(t) z uwagi na jego
okresowość, rys.11.
f(t)
f(h)
t
h
T
0
2T
0
4T
0
(N-1)T
0
N
0
0
1 2
T
2T
-T
N-1
Rys.11. Funkcje f(t), f(m)
Podstawiając we wzorze (9) t=mT
0
uzyskuje się zależność pomiędzy ciągiem próbek sygnału
a ciągiem współczynników F
h
szeregu Fouriera
f mT
f m
F e
F W
h
j
N
hm
h
M
h M
h
hm
h
M
h M
(
)
( )
0
2
=
=
=
= −
=
=−
=
∑
∑
π
(19)
przy czym:
Materiały dydaktyczne powielane
13
h
M
m
N
N
M
w e
j
N
= ± ±
±
=
−
≥
+
=
0 1 2
0 1
1
2
1
2
, , ,..,
, , ,
…
π
(20)
W dalszym ciągu przybliżając (aproksymując) całkę (11) sumą skończoną uzyskujemy:
F
T
T f mT e
T
f m w
h
jh
T
T m
m
N
hm
m
N
=
=
=
−
−
=
−
∑
∑
1
1
0
0
2
0
1
0
1
0
(
)
( )
π
(21)
Wzory (19), (21) wiążą ciągi współczynników Fouriera F
n
sygnału z ciągami próbek tego
sygnału. Można zauważyć, że ciąg współczynników Fouriera F
h
obliczony na podstawie
wzoru (21) jest okresowy (rys.12) i zawiera 2M+1 różniących się wyrazów co wynika z
okresowości funkcji w
hm
(20).
m T
0
0
N
1 2 3
T
T
0
f(m)
0
+M
1 2
|F
h
|
h
-M
-1
-2
0
M
1 2
h
-M
-1
-2
arg F
h
Rys.12. Szereg Fouriera ciągu okresowego f(m)
Odwzorowania (19), którego współczynniki określa wzór (21) nazywamy dyskretnym
szeregiem Fouriera.
Szereg ten wykorzystuje się przy obliczaniu współczynników Fouriera sygnałów okresowych
na podstawie ciągu próbek tych sygnałów.
Na podstawie wzorów (19), (21) można zauważyć, że w przypadku funkcji okresowych
zawierających co najwyżej M harmonicznych dyskretny szereg Fouriera odtwarza te funkcje
z zerowym błędem. Dla funkcji okresowych mających nieskończone widmo harmonicznych
Materiały dydaktyczne powielane
14
w szeregu (19) nie zostają uwzględnione harmoniczne o numerach większych niż M.
Ponieważ (por. (20)):
2
1
2
M
N
M
N
+ ≤
<
(22)
to poprzez zwiększenie liczby próbek w okresie dokładność aproksymacji można dowolnie
zwiększać.
1.2.4. Dyskretna transformata Fouriera
Polega ona na innej interpretacji wzorów (19), (21) opisujących dyskretny szereg Fouriera,
który omówiono w poprzednim punkcie.
Niech funkcja f(t) w przedziale obserwacji T (rys.13) opisana jest ciągiem próbek f(m),
m=0,1,2,..,N-1. Rozróżnić należy dwa przypadki (rys.13).
1. Funkcja f(t) jest okresowa o okresie T. W tym przypadku funkcja ta opisywana jest
szeregiem dyskretnym Fouriera (19), którego współczynniki określa wzór(21).
2. Funkcja f(t) jest nieokresowa lecz w przedziale obserwacji T (którego nie należy
utożsamiać z okresem, rys.13) jest ona opisana tym samym ciągiem próbek co funkcja
okresowa z punktu 1. Tym samym ciągowi czasowemu f(m) próbek funkcji f(t) zostaje
przyporządkowany ciąg współczynników zespolonych F
n
. Ciąg ten nosi nazwę dyskretnej
transformaty Fouriera sygnału f(t)
Materiały dydaktyczne powielane
15
f(t)
t
m
0
f(t)
t
N
0
1 2 3
N
1 2 3
m
T = NT
0
Rys.13. Interpretacja dyskretnego szeregu Fouriera i dyskretnej transformaty Fouriera
Dyskretną transformatę Fouriera (DFT) można więc zdefiniować w następujący sposób:
Niech będą dane dwa ciągi:
• liczb rzeczywistych (czasowy) a
0
, a
1
,.., a
N-1
• liczb zespolonych A
0
, A
1
, .., A
n-1
o jednakowej liczebności N.
Odwzorowania:
A
a w
h
N
h
m
mh
m
N
=
=
−
−
=
−
∑
0
1
0 1
1
,
, ,...,
(23)
a
A w
m
N
m
h
mh
h
m
=
=
−
=
−
∑
0
1
0 1
1
,
, ,...,
(24)
nazywamy odpowiednio prostym i odwrotnym dyskretnym przekształceniem Fouriera (DFT).
1.2.5. Szybka transformata Fouriera FFT
Obliczenia numeryczne dyskretnej transformaty Fouriera według wzorów (23), (24)
wymagają wykonania N-1 operacji mnożenia oraz jednego dodawania N-1 składników
Materiały dydaktyczne powielane
16
A
a
a w
a w
a
w
h
m
m
N
m N
=
+
+
+ +
−
−
−
−
−
0
1
2
2
1
1
…
(
)
(25)
czyli prawie N
2
operacji mnożenia. Dla ciągów zawierających dużą liczbę wyrazów n oraz
wielokrotnych obliczeń (DFT) wydłuża to znacznie czas obliczeń. Redukcję liczby mnożeń
umożliwiają algorytmy numeryczne noszące nazwę szybkich transformat Fouriera 9FFT).
Omawianie tych algorytmów nie jest celem ćwiczenia. Można wykazać, że dla liczby próbek
N
s
s
=
=
2
3 4
,
, ,...
(26)
całkowita liczba mnożeń może być zredukowania do wartości (N log
2
N)/2.
2. Opis układu pomiarowego dla ćwiczenia C3 (Próbkowanie sygnałów)
Schemat ideowy stanowiska pomiarowego przedstawiono na rys.14. Stanowisko to składa się
z następujących bloków funkcyjnych
• generatora sygnałowego napięcia sinusoidalnego, trójkątnego i prostokątnego o
regulowanej amplitudzie i częstotliwości,
• karty pomiarowej PC-LAB sprzężonej z komputerem IBM PC wyposażonym w niezbędne
oprogramowanie.
Generator
sygnałowy
Generator
specjalizowany
przebiegów
odkształconych
Karta
pomiarowa
PC LAB
IBM PC
Oprogramowanie
- karty pomiarowej
- PC DSP
- do odtwarzania sygn.
Rys.14. Schemat ideowy stanowiska.
Sygnały z generatora sygnałowego lub/i generatora przebiegów odkształconych
doprowadzane są do karty pomiarowej skąd w postaci plików ASCII są zapisywane na dysku
komputera. Dalsza obróbka tych plików przeprowadzana jest na drodze programowej z
Materiały dydaktyczne powielane
17
wykorzystaniem pakietu PC DSP oraz specjalnego programu do odtwarzania sygnałów
analogowych z próbek.
3. Opis układu pomiarowego dla ćwiczenia C4 (Analiza widmowa sygnałów)
Stanowisko to składa się z następujących przyrządów:
• generatora sygnałowego napięcia sinusoidalnego, trójkątnego i prostokątnego o
regulowanej amplitudzie i częstotliwości ,
• analizatora widma,
• oscyloskopu.
Literatura
1. Szabatin J.: Podstawy teorii sygnałów. WKŁ, Warszawa 1982.
2. Papoulis A.: Sygnały i układy. WKŁ, Warszawa 1988.