Łukasz Czech
14 stycznia 2013 r.
Algebra liniowa z geometrią – zestaw nr 15
Zadanie 1 Sprawdź czy podane endomorfizmy są diagonalizowalne:
a) f : R
2
−→ R
2
, f (x, y) = (2x + 4y, 5x + 3y);
b) f : R
2
−→ R
2
, f (x, y) = (x + 2y, 2x − 2y);
c) f : R
3
−→ R
3
, f (x, y, z) = (x + 4z, 2y, x + z);
d) f : R
3
−→ R
3
, f (x, y, z) = (5x + 6y − 3z, z − x, x + 2y − z);
Jeśli tak, to podaj macierz diagonalną D oraz macierze nieosobliwe P i P
−1
takie, że
D = P
−1
AP .
Zadanie 2 Sprawdź czy podane macierze są diagonalizowalne:
a)
0
0
1
0
1
1
1
0
0
0
−1 0
1
0
1
1
,
b)
1
−2 0 −2
0
0
0
−1
1
0
1
0
0
1
0
2
,
c)
5
1
3
2
2
3
1
3
4
2
4
6
3
1
3
4
,
d)
1
1
1
1
1
1
−1 −1
1
−1
1
−1
1
−1 −1
1
.
Jeśli tak, to podaj macierz diagonalną D oraz macierze nieosobliwe P i P
−1
takie, że
D = P
−1
AP .
Zadanie 3 Udowodnić, że dla dowolnych endomorfizmów ϕ, ψ skończenie wymiarowej
przestrzeni zachodzi równość tr(ϕ ◦ ψ) = tr(ψ ◦ ϕ).
Zadanie 4 Niech ϕ i ψ będą endomorfizmami skończenie wymiarowej przestrzeni V .
Udowodnić, że wielomiany charakterystyczne endomorfizmów ϕ ◦ ψ oraz ψ ◦ ϕ są równe.
Zadanie 5 Wiedząc, że
∆
A
(λ) = −λ
5
+
2
9
λ
4
+ 2λ
3
−
4
9
λ
2
− λ +
2
9
jest wielomianem charakterystycznym macierzy A, wyznacz:
a) wymiar macierzy A,
b) det(A),
c) tr(A).
Zadanie 6 Dla macierzy A =
1 −2 3
−1
1 1
2
2 0
oblicz λ
1
λ
2
λ
3
oraz λ
2
1
+ λ
2
2
+ λ
2
3
, gdzie λ
1
,
λ
2
, λ
3
to wartości własne macierzy A.