Podstawowe pojęcia i metody statystyki.

Statystyka - jest to nauka zajmująca się metodami badania przedmiotów i zjawisk w ich 

masowych przejawach oraz analizą ilościową lub jakościową z punktu widzenia 
tej nauki, do którego zakresu te przedmioty i zjawiska należą.

Statystyka to metoda wydobywania informacji z danych i logika podejmowania decyzji w 
warunkach niepewności.
Pierwsza część tej definicji wskazuje na przedmiot statystyki opisowej, zaś druga część 
wskazuje na przedmiot statystyki matematycznej ( empirycznej ).

Pomiar, skale pomiarowe i rodzaje zmiennych.

Pomiar to przyporządkowanie obiektom badanym ( rzeczy, zdarzenia ) symboli          

( słowa, cyfry, znaki ) w taki sposób, by relacjom między obiektami odpowiadały relacje 
między symbolami. Sposób przyporządkowania musi podlegać empirycznej weryfikacji.

System symboli zastosowanych w pomiarze nazywamy skalą pomiarową. 

Wyodrębnimy cztery hierarchicznie ułożone skale od najsłabszej do najmocniejszej pod 
względem dopuszczalnych działań.

Skala

Właściwość 

Możliwe działania

Nominalna

Identyfikacja badanej jednostki ze względu na 
posiadanie lub nie posiadanie określonych 
wariantów ( typów ) cech

Porządkowa

Jak wyżej + porządkowanie, przypisywanie 
badanej jednostce określonego wariantu cechy 
zgodnie z intensywnością posiadania danej cechy; 
intensywność nie jest dokładnie zmierzona

Randowanie ( zamiana 
wyników ze skal 
wyższych na wyniki 
porządkowe )

Przedziałowa
(interwałowa)

Jak wyżej + jednostka miary do ustalania różnic 
między poszczególnymi wariantami cechy, 
odstępy na skali takie same; początek skali 
stanowi tzw. zero względne

Dodawanie, odejmowanie

Ilorazowa 
(stosunkowa)

Jak wyżej + naturalna jednostka miary z zerem 
absolutnym, do ustalania stosunku pomiaru dwóch
jednostek

Wszystkie 

Skala

Własności 

Przykład1 

Przykład2

Nominalna

Klasy jakościowe

Deklaracja 
zainteresowań

Podział na kobiety i nie 
kobiety

Porządkowa  j.w.+ hierarchia klas

Skala stopni szkolnych

Przemysłowe klasy jakości

Przedziałowa j.w. + jednostka 

pomiaru

Skale znormalizowane

Lata kalendarzowe

Ilorazowa

j.w. + zero 
bezwzględne

Wyniki testów 
szybkości

Długość odcinka

1

Na podstawie skal możemy zdefiniować trzy rodzaje zmiennych, których wartości ustalamy 
na drodze pomiaru:

1) jakościowe 
2) porządkowe
3) ilościowe

 

Mając zmienną jakościową pomiaru dokonujemy na skali nominalnej, bądź 

dokonujemy normalizacji danych z wyższych skal, np.: zamiast liczby punktów na 
kolokwium wprowadzamy kategorie: zaliczył, nie zaliczył.

Mając zmienną porządkową pomiaru dokonujemy na skali porządkowej, bądź gdy 

dane pochodzą z wyższych skal poddajemy randowaniu, np.: zamiana liczby punktów w 
teście na oceny. 

Mając zmienną ilościową pomiaru dokonujemy na skali interwałowej lub 

stosunkowej. Zmienne ilościowe możemy podzielić na dyskretne ( np.: dzietność rodziny 
studenta – bez ułamków ), bądź ciągłe ( np.: wzrost studentów ).

W statystyce opisowej poddajemy analizie strukturę zbiorowości, analizujemy 

współzależność zjawisk oraz ich dynamikę. Aby przejść od danych do informacji stosujemy 
miary statystyczne. Ich definicje zależą od rodzaju zmiennych, których dotyczą. 
Ograniczając się do analizy struktury zjawisk, a w niej do miar:

1) tendencji centralnej
2) dyspersji
3) asymetrii

możemy wyodrębnić kilkanaście wskaźników zależnie od typu skali pomiarowej:

Skala

Miara tendencji

centralnej

Miara dyspersji

Miara asymetrii

Nominalna

Dominanta ( modalna )

Dyspersja względna 
klasyfikacji

Porządkowa

j.w. + mediana, kwartyle j.w. + rozstęp, MAD, 

odchylenie kwartylowe, 

Współczynnik YULE’A

Przedziałowa

( interwałowa )

j.w. + średnie: 
arytmety-czna, 
harmoniczna, 
chronologiczna

j.w. + wariancja, 
odchylenie: 
standardowe, medialne, 
przeciętne, ćwiartkowe

j.w. + współczynniki 
asymetrii klasyczne i 
pozycyjne

Ilorazowa

( stosunkowa )

j.w. + średnia 
geometryczna

j.w. + współczynniki 
zmienności klasyczne i 
pozycyjne

j.w.

MAD – dyspersja absolutna na medianie

Pytania kontrolne:

1. Uniwersalną miarą tendencji centralnej jest:

a. rozstęp
b. średnia geometryczna
c. dominanta

TAK

d. średnia arytmetyczna

2. Jeśli wprowadzą do skali porządkowej zero względne to uzyskam skalę interwałową? 

Odp. NIE

2

Analiza pozycyjna struktur zbiorowości.

Analiza zmiennych ilościowych w dużych zbiorowościach ( n > 30 ) dotyczy tzw. 

szeregów przedziałowych, które powstały w wyniku grupowania wariancyjnego. 
Dane przedstawione są tu w postaci klas zwykle o tej samej długości. Miary pozycyjne w tych
szeregach to dominanta ( modalna ) oraz mediana, które określają tendencje centralną, czyli 
taki punkt na skali pomiarowej względem którego skupiają się wartości zmiennych.
Jeśli stosujemy zapis taki, iż górna granica danego przedziału pokrywa się z dolną 
następnego, to przyjmujemy, iż klasa jest lewostronnie domknięta, a prawostronnie otwarta 
poza ostatnią klasą, która jest obustronnie domknięta.
Długość klasy ( c ) to różnica między górną i dolną granicą przedziału.
Klasą modalną nazwiemy taką klasę, której odpowiada największa liczebność ( odsetek ).
Oszacowanie modalnej graficznie polega na wyznaczeniu przecięcia się dwóch odcinków 
łączących wierzchołki trzech kolejnych klas. 

liczba oszczędzających

  

∆

x

   oszczędności

  x

0

      M

o

Szacowanie modalnej jest tylko możliwe dla histogramów jednowypiętrzonych i 
posiadających dwie niepuste klasy wokół modalnej. Modalną można określić wzorem:

c

n

n

n

n

n

n

x

x

x

M

d

d

d

d

d

d

*

)

(

)

(

1

1

1

0

0

0

+

−

−

−

+

−

−

+

=

∆

+

=

gdzie   n

d

 – liczebność w klasie dominanty

n

d-1

 – liczebność w klasie poprzedzającej modalną

n

d+1

 – liczebność w klasie następnej po modalnej

3

KWWSQRWDWHNSOVWDW\VW\NDRSLVRZDZ\NODG\"QRWDWND