ZESTAW 6. Pochodna funkcji jednej zmiennej. Styczna do krzywej. Elastyczność funkcji.
Reguła de l’Hospitala.
Zadanie 1. Oblicz pochodne następujących funkcji:
a) f (x) = π
b) f (x) = x
4
+ 3x
2
−
1
x
+
√
x
c) f (x) = 2x
3
− x
2
d) f (x) = 3x
5
− 4x
3
+ 7x
2
− 8x + 12
e) f (x) = 2
√
x − 3lnx + 1
f) f (x) = x · lnx
g) f (x) = 3x · lnx
h) f (x) = (x + 1) · lnx
i) f (x) = 2x · e
x
j) f (x) = (3x + 4) · e
x
k) f (x) =
2
x
3
− 1
l) f (x) =
4
1 − x
2
m) f (x) =
5x − 1
3 − 2x
n) f (x) =
x
2
− 1
x
2
+ 1
o) f (x) =
2x
3
− 1
4x + 1
p) f (x) =
1 − 5x
4x
3
+ 3
q) f (x) =
√
2x + 1
r) f (x) =
√
−3x + 6
s) f (x) = ln3x
t) f (x) = ln(3x + 2)
u) f (x) = log
2
(3x + 2)
v) f (x) = log
3
(3 − 5x + 2x
2
)
w) f (x) = log
4
(x
5
+ 1)
x) f (x) = 2
x
2
y) f (x) = 4
2x
2
−3
z) f (x) =
2
3
2−3x+1
aa) f (x) =
4
3
1−3x
2
ab) f (x) = e
−3x+1
ac) f (x) = e
2x
2
−4x+5
ad) f (x) = (2x
3
− 1)
5
ae) f (x) = (3x
2
+ 2)
7
Zadanie 2. Napisz równanie stycznej do wykresu funkcji f w punkcie (x
0
, f (x
0
)), gdy:
a) f (x) = x
2
, x
0
= 1
b) f (x) =
√
x, x
0
= 1
c) f (x) = x
2
− 2x + 3, x
0
= 0
d) f (x) =
√
2x + 5, x
0
= 2
e) f (x) =
3
x + 2
, x
0
= 0
f) f (x) =
2x
x
2
+ 1
, x
0
= −1
Zadanie 3. Wyznaczyć elastyczność funkcji:
a) y = 3x − 6 dla
x = 10
b) y = 1 + 2x − x
2
dla x = 3
c) y = 2x
2
+ 3x − 2 dla x = 1
d) y = 120 − 0.4x
2
dla x = 4
e) y = e
−x
dla x = 2
f) y = xlnx dla x = e
g) y = x − 6 dla x = 10
h) y = 1 + 2x +
1
2
x
2
dla x = 1
Zadanie 4. Korzystając z reguły de l’Hospitala oblicz podane granice:
a) lim
x→1
x
3
− 1
x
2
− 1
b) lim
x→+∞
2
x
x
c) lim
x→+∞
3
2x−5
x
d) lim
x→+∞
5
x+4
x
2
e) lim
x→+∞
7
3x−5
2x
2
f) lim
x→1
x
2
− 1
√
x − 1
g) lim
x→0
e
x
− x − 1
x
2
h) lim
x→0
ln(1 + x)
x
i) lim
x→e
lnx − 1
x − e
j) lim
x→+∞
e
x
x
k) lim
x→+∞
lnx
x