DEFINICJE GRANICY FUNKCJI
f : D → R, D ⊂ R
Def. Cauchy’ego:
lim
x→x
0
f (x) = g ⇔
∀ε > 0 ∃δ > 0 ∀x ∈ D
0 < |x − x
0
| < δ ⇒ |f (x) − g| < ε
Def. Heinego:
lim
x→x
0
f (x) = g ⇔
∀
(x
n
)
n∈N
x
n
6= x
0
lim
n→∞
x
n
= x
0
⇒ lim
n→∞
f (x
n
) = g
DEFINICJA CIA
¸ G LO´
SCI FUNKCJI
Funkcja f jest ci¸
ag la w punkcie x
0
, je´sli obie granice jednostronne istniej¸
a, s¸
a
sobie r´
owne
lim
x→x
+
0
f (x) = lim
x→x
−
0
f (x)
oraz s¸
a r´
owne warto´sci funkcji w punkcie
lim
x→x
0
f (x) = f (x
0
)
Funkcja f jest ci¸
ag la w zbiorze D, je´sli jest ci¸
ag la w ka˙zdym punkcie tego zbioru.
1
PUNKTY NIECIA
¸ G LO´
SCI FUNKCJI
Punkt nieci¸
ag lo´sci funkcji x
0
nazywamy punktem nieci¸
ag lo´
sci I-go rodzaju, je´sli
istniej¸
a sko´
nczone granice jednostronne funkcji w tym punkcie
lim
x→x
+
0
f (x) i
lim
x→x
−
0
f (x)
W przeciwnym przypadku, punkt nieci¸
ag lo´sci x
0
nazywamy punktem nieci¸
ag lo´
sci
II-go rodzaju.
NIEKT ´
ORE W LASNO´
SCI FUNKCJI CIA
¸ G LYCH
TWIERDZENIA m.in.:
-o ci¸
ag lo´sci funkcji z lo˙zonej,
-o ci¸
ag lo´sci funkcji odwrotnej,
-o lokalnym zachowaniu znaku,
-o wchodzeniu granicy do argumentu funkcji ci¸
ag lej,
-tw. Weierstrassa o osi¸
aganiu kres´
ow,
-tw. Darboux o przyjmowaniu warto´sci po´srednich.
TWIERDZENIE BOLZANO-CAUCHY (wniosek z tw. Darboux)
f : [a, b] → R - funkcja ci¸ag la, [a, b] ⊂ D.
Je´
sli f przyjmuje na ko´
ncach przedzia lu warto´
sci r´
o˙znych znak´
ow tzn.
f (a) · f (b) < 0 ⇒ ∃ c ∈ (a, b) f (c) = 0
DOW ´
OD TW:
LEMAT
Je´
sli funkcja f (x) jest ci¸
ag la w punkcie x = x
0
i warto´
s´
c f (x
0
) 6= 0, to dla
wszystkich argument´
ow x dostatecznie bliskich x
0
funkcja f (x) zachowuje taki sam
znak, jaki ma w punkcie x
0
.
2
Rozwa˙zmy teraz wszystkie punkty x = ¯
x przedzia lu [a, b], dla kt´
orych
f (¯
x) < 0. Do nich nale˙zy np. punkt a i (na podstawie lematu) najbli˙zsze mu
punkty. Zbi´
or {¯
x} jest ograniczony z g´
ory liczb¸
a b. Niech c = sup{¯
x}; twierdzimy,
˙ze f (c) = 0.
Za l´
o˙zmy, ˙ze jest przeciwnie. W´
owczas albo f (c) < 0 albo f (c) > 0. Gdyby by lo
f (c) < 0 (wtedy wiadomo, ˙ze c < b, bo f (b) > 0), to z Lematu, na prawo od c
znalaz lyby si¸e warto´sci ¯
x, dla kt´
orych f (¯
x) < 0, co by loby sprzeczne z definicj¸
a c
jako kresu g´
ornego dla {¯
x}.
Je´sliby za´s by lo f (c) > 0, to - znowu na podstawie Lematu - mieliby´smy f (x) > 0
tak˙ze i w s¸
asiedztwie lewostronnym, czyli w pewnym dostatecznie ma lym przedziale
(c − δ, c], a zatem w og´
ole nie by loby tam warto´sci ¯
x, co r´
ownie˙z jest niemo˙zliwe, bo
z definicji c jest kresem g´
ornym dla ¯
x.
Twierdzenie jest udowodnione.
DEFINICJA POCHODNEJ
f : D → R, D ⊂ R; x
0
∈ IntD
Pochodn¸
a funkcji f w punkcie x
0
nazywamy granic¸e (o ile istnieje) ilorazu r´
o˙znicowego
∆f
∆x
=
f (x
0
+ ∆x) − f (x
0
)
∆x
tej funkcji w punkcie x
0
, gdy przyrost ∆x d¸
a˙zy do 0 i oznaczamy f
0
(x
0
), czyli
f
0
(x
0
) = lim
∆x→0
f (x
0
+ ∆x) − f (x
0
)
∆x
= lim
x→x
0
f (x) − f (x
0
)
x − x
0
UWAGA:
Analogicznie definiuje si¸e pochodne jednostronne f
0
±
(x
0
), gdy istniej¸
a granice
jednostronne oraz pochodne wy˙zszych rz¸ed´
ow
f
00
= (f
0
)
0
, . . . , f
(n)
= (f
(n−1)
)
0
3
PODSTAWOWE WZORY
(c)
0
= 0
(x
α
)
0
= αx
α−1
, α 6= 0
(sin x)
0
= cos x
(cos x)
0
= − sin x
(tgx)
0
=
1
cos
2
x
(ctgx)
0
= −
1
sin
2
x
(a
x
)
0
= a
x
ln a
(e
x
)
0
= e
x
(log
a
x)
0
=
1
x ln a
(ln x)
0
=
1
x
(arcsin x)
0
=
1
√
1 − x
2
(arccos x)
0
= −
1
√
1 − x
2
(arctgx)
0
=
1
1 + x
2
(arcctgx)
0
= −
1
1 + x
2
[f (x) ± g(x)]
0
= f
0
(x) ± g
0
(x)
[f (x) · g(x)]
0
= f
0
(x)g(x) + f (x)g
0
(x)
f (x)
g(x)
0
=
f
0
(x)g(x) − f (x)g
0
(x)
g
2
(x)
NIEKT ´
ORE TWIERDZENIA RACHUNKU R ´
O ˙
ZNICZKOWEGO
TWIERDZENIE O POCHODNEJ FUNKCJI ODWROTNEJ
Niech f : D → W jest odwracalna i niech g : W → D b¸
edzie jej funkcj¸
a odwrotn¸
a
(g = f
−1
). Za l´
o˙zmy, ˙ze f ma pochodn¸
a sko´
nczon¸
a i r´
o˙zn¸
a od 0 w x
0
∈ D. Wtedy w
punkcie y
0
= f (x
0
) istnieje pochodna funkcji g oraz
g
0
(y
0
) =
1
f
0
(x
0
)
inaczej
[f
−1
(y
0
)]
0
=
1
f
0
(x
0
)
|
y
0
=f (x
0
)
TWIERDZENIE O POCHODNEJ FUNKCJI Z LO ˙ZONEJ
Za l´
o˙zmy, ˙ze funkcja u = ϕ(x) ma w punkie x
0
pochodn¸
a sko´
nczon¸
a ϕ
0
(x
0
) i ˙ze
funkcja y = f (u) ma w punkcie u
0
= ϕ(x
0
) pochodn¸
a sko´
nczon¸
a f
0
(u
0
). Wtedy
funkcja z lo˙zona y = f (ϕ(x)) ma w punkcie x
0
pochodn¸
a sko´
nczon¸
a r´
own¸
a iloczynowi
pochodnych funkcji f i ϕ w odpowiednich punktach
y
0
(x
0
) = [f (ϕ(x
0
))]
0
= [f ◦ ϕ]
0
(x
0
) = f
0
(ϕ(x
0
)) · ϕ
0
(x
0
) = f
0
(u
0
) · ϕ
0
(x
0
)
4
DOW ´
OD TW. O POCHODNEJ F-CJI ODWROTNEJ
Nadajmy warto´sci y = y
0
dowolny przyrost ∆y. Wtedy funkcja x = g(y) uzyska
odpowiedni przyrost ∆x. Zauwa˙zmy, ˙ze je´sli ∆y 6= 0, to wobec jednoznaczno´sci
funkcji y = f (x) tak˙ze i ∆x 6= 0. Otrzymujemy
∆x
∆y
=
1
∆x
∆y
Je´sli teraz ∆y → 0, to na mocy za lo˙zenia, ˙ze funkcja x = g(y) jest ci¸
ag la, r´
ownie˙z
∆x → 0. Ale wtedy mianownik po prawej stronie r´
owno´sci d¸
a˙zy do granicy f
0
(x
0
) 6=
0 i co za tym idzie, istnieje granica lewej strony r´
owna odwrotno´sci 1/f
0
(x
0
). Ta
granica jest w la´snie pochodn¸
a g
0
(y
0
).
DOW ´
OD TW. O POCHODNEJ F-CJI Z LO ˙ZONEJ
Tez¸e twierdzenia [f (ϕ(x))]
0
= f
0
u
(ϕ(x
0
))ϕ
0
(x
0
) mo˙zemy kr´
ocej zapisa´
c w postaci
y
0
x
= y
0
u
u
0
x
Nadajmy x dowolny przyrost ∆x, niech ∆u b¸edzie odpowiednim przyrostem
funkcji u = ϕ(x), a ∆y - przyrostem funkcji y = f (u) odpowiadaj¸
acym przyros-
towi ∆u. Zachodzi wz´
or
∆f (u
0
) = f
0
(u
0
)∆u + α∆u
gdzie α zale˙zy od ∆u i d¸
a˙zy do 0 wraz z ∆u. Dziel¸
ac obie strony tej r´
owno´sci przez
∆x otrzymamy
∆y
∆x
= y
0
u
∆u
∆x
+ α
∆u
∆x
Je´sli ∆x → 0 to i ∆u → 0, a wtedy r´
ownie˙z α → 0. Istnieje zatem granica
lim
∆→0
∆y
∆x
= y
0
u
lim
∆→0
∆u
∆x
= y
0
u
u
0
x
kt´
ora jest w la´snie szukan¸
a pochodn¸
a y
0
x
.
5
TWIERDZENIE ROLLE’A
Je´
sli funkcja f jest ci¸
ag la na przedziale [a, b] i r´
o˙zniczkowalna w ka˙zdym punkcie
przedzia lu (a, b) oraz f (a) = f (b), to istnieje taki punkt c ∈ (a, b), ˙ze f
0
(c) = 0.
DOW ´
OD
Opiera si¸e na nast¸epuj¸
acych twierdzeniach
TWIERDZENIE WEIERSTRASSA
Je´sli funkcja f : [a, b] → R jest ci¸ag la, to osi¸aga ona w tym przedziale sw´oj kres
g´
orny i dolny, tzn.
∃ c, d ∈ [a, b]
f (c) = sup{f (x) : x ∈ [a, b]}
f (d) = inf{f (x) : x ∈ [a, b]}
TWIERDZENIE FERMATA
Je´sli funkcja f okre´slona w przedziale I osi¸
aga warto´s´
c najwi¸eksz¸
a (najmniejsz¸
a)
w punkcie wewn¸etrznym x
0
tego przedzia lu i jest w tym punkcie r´
o˙zniczkowalna, to
f
0
(x
0
) = 0.
Z ci¸
ag lo´sci funkcji w przedziale domkni¸etym [a, b] wynika, zgodnie z tw. Weier-
strassa, ˙ze osi¸
aga ona w tym przedziale warto´s´
c najwi¸eksz¸
a i najmniejsz¸
a.
Oz-
naczmy je odpowiednio przez M i m. W´
owczas dla ka˙zdego x ∈ [a, b] prawdziwa
jest nier´
owno´s´
c m 6 f (x) 6 M .
Gdyby M = m, w´
owczas nier´
owno´s´
c ta oznacza laby, ˙ze funkcja jest sta la w [a, b].
W zwi¸
azku z tym w ka˙zdym punkcie c ∈ [a, b] pochodna f
0
(c) by laby r´
owna 0, co
ko´
nczy loby dow´
od.
Za l´
o˙zmy wi¸ec, ˙ze m < M . Zatem istniej¸
a dwa r´
o˙zne punkty α i β w przedziale
[a, b] takie, ˙ze f (α) = m i f (β) = M . Poniewa˙z f (a) = f (b), wi¸ec co najmniej jeden
z tych punkt´
ow musi le˙ze´
c mi¸edzy punktami a i b. Zgodnie z tw. Fermata pochodna
funkcji w tym punkcie jest r´
owna 0. To ko´
nczy dow´
od twierdzenia, bo jak wida´
c
szukanym punktem c mo˙ze by´
c jeden z punkt´
ow α lub β.
TWIERDZENIE LAGRANGE’A (o warto´sci ´sredniej)
Za l´
o˙zmy, ˙ze funkcja f : [a.b] → R jest ci¸ag la oraz posiada pochodn¸a w przedziale
(a, b). Wtedy
∃ c ∈ (a, b)
f (b) − f (a)
b − a
= f
0
(c)
6
WNIOSKI
1. Je´sli f
0
(x) = 0 dla ka˙zdego x ∈ (a, b), to f jest funkcj¸
a sta l¸
a w (a, b).
2. Je´sli f jest ´sci´sle rosn¸
aca (´sci´sle malej¸
aca) w (a, b), to f
0
(x) > 0 w (a, b)
(f
0
(x) 6 0 w (a, b)).
3. Je´sli f
0
(x) > 0 w (a, b) (f
0
(x) < 0 w (a, b)) z wyj¸
atkiem by´
c mo˙ze sko´
nczonej
liczby punkt´
ow, to f jest ´sci´sle rosn¸
aca w (a, b) (´sci´sle malej¸
aca w (a, b)).
DOW ´
OD TW. LAGRANGE’A
Rozpatrzmy funkcj¸e g : [a, b] → R okre´slon¸a wzorem
g(x) = f (x) − f (a) −
f (b) − f (a)
b − a
(x − a)
Zauwa˙zmy, ˙ze funkcja ta spe lnia wszystkie za lo˙zenia tw. Rolle’a. Jest ci¸
ag la w
[a, b] jako r´
o˙znica funkcji ci¸
ag lej i liniowej oraz jest r´
o˙zniczkowalna w ka˙zdym punkcie
x ∈ (a, b), poniewa˙z
g
0
(x) = f
0
(x) −
f (b) − f (a)
b − a
Ponadto g(a) = g(b). Zatem zgodnie z tym twierdzeniem, istnieje taki punkt c ∈
(a, b), ˙ze g
0
(c) = 0. Oznacza to, ˙ze
f
0
(c) =
f (b) − f (a)
b − a
co ko´
nczy dow´
od twierdzenia.
TWIERDZENIE DE L’HOSPITALA
Za l´
o˙zmy, ˙ze funkcje f i g s¸
a r´
o˙zniczkowalne w pewnym otoczeniu punktu x
0
, przy
czym g
0
(x) 6= 0 dla ka˙zdego x z tego otoczenia. Za l´
o˙zmy ponadto, ˙ze
lim
x→x
0
f (x) = lim
x→x
0
g(x) = 0
lub
lim
x→x
0
f (x) = lim
x→x
0
g(x) = ±∞
W´
owczas je´
sli istnieje granica (w la´
sciwa lub niew la´
sciwa) ilorazu pochodnych
lim
x→x
0
f
0
(x)
g
0
(x)
7
to istnieje r´
ownie˙z granica ilorazu tych funkcji lim
x→x
0
f (x)
g(x)
i s¸
a sobie r´
owne
lim
x→x
0
f (x)
g(x)
= lim
x→x
0
f
0
(x)
g
0
(x)
UWAGA
Twierdzenie pozostaje prawdziwe dla granic jednostronnych oraz granic w niesko´
nczono´sciach.
DOW ´
OD
twierdzenia przeprowadzimy w przypadku granic jednostronnych, tj. przy za lo˙zeniu,
˙ze
lim
x→x
+
0
f (x) = lim
x→x
+
0
g(x) = 0
Opiera si¸e on na nast¸epuj¸
acym uog´
olnieniu tw. Lagrange’a
TWIERDZENIE CAUCHY’EGO
Za l´
o˙zmy, ˙ze funkcje f, g : [a, b] → R s¸a ci¸ag le, r´o˙zniczkowalne w przedziale (a, b)
oraz g
0
(x) 6= 0 dla ka˙zdego x ∈ (a, b). Wtedy
∃ c ∈ (a, b)
f (b) − f (a)
g(b) − g(a)
=
f
0
(c)
g
0
(c)
Poka˙zemy prawdziwo´s´
c tw. de l’Hospitala w przypadku granic prawostronnych
d¸
a˙z¸
acych do 0.
Okre´slmy w tym celu funkcje f i g dodatkowo w punkcie x
0
przyjmuj¸
ac f (x
0
) =
g(x
0
) = 0. Tak rozszerzone funkcje f i g s¸
a ci¸
ag le w przedziale domkni¸etym [x
0
, x] ∀ x ∈
S, gdzie S jest s¸
asiedztwem punktu x
0
. S¸
a r´
ownie˙z r´
o˙zniczkowalne w przedziale ot-
wartym (x
0
, x).
Zauwa˙zmy, ˙ze g(x) 6= 0 dla x ∈ S. Gdyby bowiem w pewnym punkcie x ∈
S zachodzi la r´
owno´s´
c g(x) = 0, to funkcja g spe lnia laby za lo˙zenia tw. Rolle’a w
przedziale [x
0
, x] i st¸
ad wynika loby istnienie punktu c ∈ (x
0
, x), w kt´
orym g
0
(c) = 0,
co przeczy za lo˙zeniu, ˙ze g
0
(x) 6= 0 dla x ∈ S.
Tak wi¸ec g(x) 6= 0 dla x ∈ S.
8
Stosuj¸
ac do funkcji f i g w przedziale [x
0
, x] tw. Cauchy’ego, kt´
orego wszystkie
za lo˙zenia s¸
a spe lnione, mamy
∃ c ∈ (x
0
, x)
f (x) − f (x
0
)
g(x) − g(x
0
)
=
f
0
(c)
g
0
(c)
Poniewa˙z f (x
0
) = g(x
0
) = 0, wi¸ec ostatnia r´
owno´s´
c przyjmuje posta´
c
f (x)
g(x)
=
f
0
(c)
g
0
(c)
dla pewnego punktu c ∈ (x
0
, x).
Je´sli x → x
+
0
, to c → x
+
0
, poniewa˙z c ∈ (x
0
, x). W´
owczas zgodnie z za lo˙zeniem, ˙ze
istnieje granica ilorazu pochodnych, prawa strona ostatniej r´
owno´sci d¸
a˙zy do granicy
lim
x→x
+
0
f
0
(x)
g
0
(x)
Zatem lewa strona tzn. iloraz
f (x)
g(x)
d¸
a˙zy do tej samej granicy, co ko´
nczy dow´
od
twierdzenia w rozpatrywanym przypadku.
WZ ´
OR TAYLORA
Wz´
or Taylora jest uog´
olnieniem wzoru Lagrange’a z tw. o warto´sci ´sredniej
TWIERDZENIE
Je´
sli funkcja jest klasy C
n−1
w przedziale domkni¸
etym [a, b] i ma sko´
nczon¸
a n-
t¸
a pochodn¸
a wewn¸
atrz tego przedzia lu, to istnieje taki punkt c ∈ (a, b), ˙ze zachodzi
r´
owno´
s´
c
f (b) − f (a) = f
0
(a)(b − a) +
f
00
(a)
2!
(b − a)
2
+ . . . +
f
(n−1)
(a)
(n − 1)!
(b − a)
n−1
+
f
(n)
(c)
n!
(b − a)
n
Wz´
or Taylora cz¸esto zapisuje si¸e w nast¸epuj¸
acej postaci, gdy spe lnione s¸
a za lo˙zenia
twierdzenia w pewnym otoczeniu U punktu x
0
f (x) = f (x
0
) + f
0
(x
0
)(x − x
0
) +
f
00
(x
0
)
2!
(x − x
0
)
2
+ . . . +
f
(n−1)
(x
0
)
(n − 1)!
(x − x
0
)
n−1
+ R
n
(x)
9
gdzie
R
n
(x) =
f
(n)
(c)
n!
(x − x
0
)
n
nazywamy reszt¸
a wzoru Taylora w postaci Lagrange’a.
Najprostsz¸
a posta´
c ma wz´
or Taylora, gdy x
0
= 0. Wtedy wz´
or przyjmuje posta´
c
f (x) = f (0) + f
0
(0)x +
f
00
(0)
2!
x
2
+ . . . +
f
(n−1)
(0)
(n − 1)!
x
n−1
+
f
(n)
(θx)
n!
x
n
,
θ ∈ (0, 1)
i jest nazywany wzorem Maclaurina
DOW ´
OD
Tworzymy funkcj¸e pomocnicz¸
a
g(x) = f (b)−f (x)−f
0
(x)(b−x)−
f
00
(x)
2
(b−x)
2
−. . .−
f
(n−1)
(x)
(n − 1)!
(b−x)
n−1
−A(b−x)
n
w kt´
orej A dobieramy tak, aby g(a) = 0, tzn. A mo˙zemy wyliczy´
c z r´
ownania
g(a) = 0
f (b)−f (a)−f
0
(a)(b−a)−
f
00
(a)
2
(b−a)
2
−. . .−
f
(n−1)
(a)
(n − 1)!
(b−a)
n−1
−A(b−a)
n
= 0
(?)
Zauwa˙zmy, ˙ze g(b) = 0. Funkcja g ma pochodn¸
a:
g
0
(x) = −
f
(n)
(x)
(n − 1)!
(b − x)
n−1
+ An(b − x)
n−1
kt´
ora istnieje ∀ x ∈ (a, b). Funkcja g spe lnia wi¸ec wszystkie za lo˙zenia tw. Rolle’a.
Zatem istnieje punkt c ∈ (a, b) taki, ˙ze g
0
(c) = 0. St¸
ad
A =
f
(n)
(c)
n!
i po podstawieniu do (?) otrzymujemy ˙z¸
adany wz´
or.
10