Zadania na Zajęcia Wyrównawcze z Matematyki

Zestaw nr 2

1. Rozwiąż nierówności:

2

x

> exp x,

e

x

√

2

>

(

1

2

)

x

,

2 <

|e

2x

− 3| < 3,

exp (

−x) ≤ x

5

+ 1

2. Rozwiąż równania:

7

x

−5

= 9

5

−x

,

ln

√

x

2

− 1 = 1, ln

(

1

−

√

x

− 1

)

=

−

1

2

,

log

x

5 = log

5

x, x = ln x

3. Rozwiąż nierówność:

|x| + 1 > |x − 1|

4. Rozwiąż nierówność:

x

2

(3x

− 1)(x + 3)(3 − x)(1 + 3x) ≥ 0

5. Rozwiąż w zależności od wartości parametru p nierówność:

x

2

+ p +

1

2

≥ 4px

6. Jaką figurę geometryczną wyznacza na płaszczyźnie x

− y układ nierówności:

2x + y

≤ 4,

x + 4

2

≥ y, y ≥ −1 .

Czy punkt o współrzędnych (1, 1) należy do tej figury? Podaj wsp. jej wierzchołków.

7. Narysuj zbiór wyznaczony na płaszczyźnie nierównościami:

|x + y| > x − y, |x| + |y| ≤ 1

8. Narysuj zbiór wyznaczony na płaszczyźnie nierównościami:

max (

|x|, |y|) < 2, x + y > 0, x > 0, y < 0

9. Rozwiąż nierówność wymierną:

(x + 1)

2

− x

2

x(2x + 1)

<

−1

10. Znajdź x spełniający równanie:

e

x

− e

−x

= 1.

11. Rozwiąż równanie:

√

x + 7 + 1 = 2x

Projekt Wiedza i kompetencje z fizyki, chemii
i informatyki na potrzeby gospodarki - Wiking

Projekt jest współfinansowany z Europejskiego Funduszu Społecznego

w ramach programu operacyjnego KAPITAŁ LUDZKI

Poddziałanie 4.1.1 Wzmocnienie potencjału dydaktycznego uczelni

Zadania domowe

1. Pokaż, że dla a > 0, b > 0 zachodzi:

a + b

2

≥

√

ab

2. Sprawdź, czy poniższe wyrażenie jest prawdziwe:

exp π > π

e

3. Jaki zbiór wyznacza na płaszczyźnie nierówność:

x

2

− 2x > 3 − y

2

.

Które z punktów: (x =

−1, y = 0), (x = 1, y = −2), (x = 3, y = 3) należą do tego zbioru?

4. Znajdź wszystkie rozwiązania równania:

x

2

+ y

2

− 2x = 7

będące parami liczb całkowitych.

5. Rozwiąż układy nierówności:

a)

|x| + |y| ≤ 1, y ≥ 1 + x, y ≥ 1 − x

b)

|x| + |y| ≤ 1, 1 ≤ |x| + y

6. Wyznacz najmniejszą i największą wartość x (y) w zbiorze zdefiniowanym na płaszczyźnie

nierównościami:

y

≥ x

2

− 4, y ≤ 2x − x

2

7. Dla jakich wartości parametrów, poniższe nierówności są prawdziwe dla każdego x:

x

2

+ px + q

≤ 0, ax

2

+ bx + c

≥ 0

8. Wyznacz x z równania:

log

2

x

7

= 8 + ln x.

9. (

∗) Dany jest obszar przestrzenny wyznaczony nierównościami:

|x + y| ≤ 1, |x + z| ≤ 1, |y + z| ≤ 1.

Wyznacz:
a) najmniejszą wartość x w tym obszarze
b) objętość obszaru

Projekt Wiedza i kompetencje z fizyki, chemii
i informatyki na potrzeby gospodarki - Wiking

Projekt jest współfinansowany z Europejskiego Funduszu Społecznego

w ramach programu operacyjnego KAPITAŁ LUDZKI

Poddziałanie 4.1.1 Wzmocnienie potencjału dydaktycznego uczelni