WM
Z5/17. SIŁY PRZEKROJOWE W BELKACH I RAMACH PŁASKICH -
ZADANIE 17
1
Z5/17. SIŁY PRZEKROJOWE W BELKACH I RAMACH PŁASKICH –
ZADANIE 17
Z5/17.1. Zadanie 17
Narysować metodą ogólną wykresy sił przekrojowych dla belki prostej przedstawionej na rysunku
Z5/17.1. Wymiary belki podane są w metrach.
A
B
C
16,0 kN/m
8,0 kN
6,0
3,0
[m]
Rys. Z5/17.1. Belka prosta
Z5/17.2. Analiza kinematyczna belki
Rysunek Z5/17.2 przedstawia belkę prostą traktowaną w analizie kinematycznej jako płaską tarczę
sztywną.
1
2
3
I
A
B
C
Rys. Z5/17.2. Belka prosta jako płaska tarcza sztywna
Jak widać na rysunku Z5/17.2 tarcza sztywna posiada trzy stopnie swobody. Tarcza ta jest podparta
trzema prętami podporowymi 1, 2 i 3. Wszystkie te więzy odbierają razem trzy stopnie swobody. Został
więc spełniony warunek konieczny geometrycznej niezmienności (2.4). Belka może więc być układem
geometrycznie niezmiennym i statycznie wyznaczalnym.
Tarcza numer I jest podparta trzema prętami podporowymi numer 1, 2 i 3, których kierunki nie
przecinają się w jednym punkcie. Został więc spełniony także i warunek dostateczny geometrycznej nie-
zmienności dla tej tarczy sztywnej. Jest więc ona geometrycznie niezmienna i statycznie wyznaczalana.
Z5/17.3. Wyznaczenie reakcji podporowych
Aby wyznaczyć wartości i zwroty reakcji podporowych musimy najpierw przyjąć ich dodatnie zwroty.
Rysunek Z5/17.3 przedstawia założone zwroty reakcji we wszystkich podporach belki.
Poziomą reakcję na podporze A wyznaczymy z równania sumy rzutów wszystkich sił działających na
belkę na oś poziomą X.
X =H
A
=
0
H
A
=
0,0 kN
.
(Z5/17.1)
Dr inż. Janusz Dębiński
WM
Z5/17. SIŁY PRZEKROJOWE W BELKACH I RAMACH PŁASKICH -
ZADANIE 17
2
A
B
C
16,0 kN/m
8,0 kN
6,0
3,0
[m]
H
A
V
A
V
B
X
Y
Rys. Z5/17.3. Założone zwroty reakcji podporowych
Pionową reakcję na podporze A otrzymamy z równania sumy momentów wszystkich sił działających
na belkę względem punktu B.
M
B
=
V
A
⋅
6,0−
1
2
⋅
16,0⋅6,0⋅
1
3
⋅
6,08,0⋅3,0=0
V
A
=
12,0 kN
.
(Z5/17.2)
Reakcja ma więc zwrot zgodny z założonym.
Pionową reakcję na podporze B otrzymamy z równania sumy momentów wszystkich sił działających
na belkę względem punktu A.
M
A
=−
V
B
⋅
6,0
1
2
⋅
16,0⋅6,0⋅
2
3
⋅
6,08,0⋅9,0=0
V
B
=
44,0 kN
.
(Z5/17.3)
Reakcja ma więc zwrot zgodny z założonym.
W celu sprawdzenia obliczeń reakcji pionowych zastosujemy równanie sumy rzutów wszystkich sił
działających na belkę na oś pionową Y.
Y =V
A
V
B
−
1
2
⋅
16,0⋅6,0−8,0=12,044,0−48,0−8,0=0
.
(Z5/17.4)
Możemy więc stwierdzić, że pionowe reakcje działające na belkę zostały obliczone poprawnie i znajdują się
w równowadze.
Rysunek Z5/17.4 przedstawia prawidłowe wartości i zwroty reakcji we wszystkich podporach danej
belki.
Z5/17.4. Funkcje sił przekrojowych w przedziale AB
Rysunek Z5/17.5 przedstawia siły działające na odciętą część belki w przedziale AB. Na rysunku tym
są zaznaczone dodatnie siły przekrojowe.
W dalszej części przy wyznaczaniu postaci funkcji siły normalnej lub poprzecznej oraz momentu
zginającego będziemy korzystali z następujących zasad:
•
siły, które działają zgodnie z dodatnim zwrotem siły normalnej lub poprzecznej będziemy zapisywać
z minusem
Dr inż. Janusz Dębiński
WM
Z5/17. SIŁY PRZEKROJOWE W BELKACH I RAMACH PŁASKICH -
ZADANIE 17
3
•
siły, które działają przeciwnie do dodatniego zwrotu siły normalnej lub poprzecznej będziemy
zapisywać z plusem
•
siły i momenty skupione, które kręcą zgodnie z dodatnim zwrotem momentu zginającego będziemy
zapisywać z minusem
•
siły i momenty skupione, które kręcą przeciwnie do dodatniego zwrotu momentu zginającego
będziemy zapisywać z plusem.
A
B
C
16,0 kN/m
8,0 kN
6,0
3,0
[m]
12,0 kN
44,0 kN
Rys. Z5/17.4. Prawidłowe wartości i zwroty reakcji we wszystkich podporach belki prostej
A
x
12,0 kN
N(x)
T(x)
M(x)
X
q(x)
Rys. Z5/17.5. Siły działające w przedziale AB
Funkcja obciążenia ciągłego trójkątnego prostopadłego do osi belki będzie miała, zgodnie ze wzorem
(5.3), postać
q
x
=
16,0
6,0
⋅
x=
8
3
⋅
x
.
(Z5/17.5)
Jak widać na rysunku Z5/17.5 funkcja siły normalnej jest równa zero. Siłę poprzeczną wyznaczymy
z równania sumy rzutów wszystkich sił działających na odciętą część belki na kierunek tej siły. Funkcja ta
ma postać
T
x
=
12,0−
1
2
⋅
q
x
⋅
x=12,0−
1
2
⋅
8
3
⋅
x⋅x=12,0−
4
3
⋅
x
2
.
(Z5/17.6)
Funkcja siły poprzecznej jest funkcją kwadratową i aby ją jednoznacznie narysować musimy wyznaczyć jej
wartości w trzech punktach. Wartości tej funkcji na końcach przedziału wynoszą
T
0,0
=
12,0 kN
T
6,0
=
12,0−
4
3
⋅
6,0
2
=−
36,0 kN
.
(Z5/17.7)
Dr inż. Janusz Dębiński
WM
Z5/17. SIŁY PRZEKROJOWE W BELKACH I RAMACH PŁASKICH -
ZADANIE 17
4
Siła poprzeczna ma na obu końcach przedziału wartości różnych znaków. Będzie ona miała więc w prze-
dziale AB miejsce zerowe, które znajduje się w odległości
12,0−
4
3
⋅
x
0
2
=
0
x
0
=
3,0 m
(Z5/17.8)
od początku przedziału czyli od punktu A. Współczynnik przy x
2
jest ujemny więc parabola siły poprzecznej
będzie miała „brzuszek” do góry. Ekstremum tego wykresu znajduje się w punkcie A, w którym obciążenie
trójkątne ma wartość zero.
Moment zginający wyznaczymy z równania sumy momentów wszystkich sił działających na odciętą
część belki względem punktu, w którym wyznaczamy moment zginający.
M
x
=
12,0⋅x−
1
2
⋅
q
x
⋅
x⋅
1
3
⋅
x=12,0⋅x−
1
2
⋅
8
3
⋅
x⋅x⋅
1
3
⋅
x=12,0⋅x−
4
9
⋅
x
3
.
(Z5/17.9)
Funkcja momentu zginającego jest wielomianem trzeciego stopnia i aby ją jednoznacznie narysować
potrzebujemy jej wartości w czterech punktach. Wartości tej funkcji na końcach przedziału oraz w miejscu
ekstremum wynoszą
M
0,0
=
0,0 kNm
M
3,0
=
12,0⋅3,0−
4
9
⋅
3,0
3
=
24,0 kNm
M
6,0
=
12,0⋅6,0−
4
9
⋅
6,0
3
=−
24,0 kNm
.
(Z5/17.10)
Jak wiadomo ujemne momenty zginające rozciągają górną część przekroju pręta i będziemy je odkładać na
górze, dodatnie zaś na dole. Czwartym punktem funkcji będzie fakt, że „brzuszek” jej musi być skierowany
w stronę obciążenia trójkątnego czyli w dół.
Oś X układu współrzędnych jest skierowana w prawo, zastosujemy więc różniczkowe równania
równowagi (5.22) i (5.23). Równania te mają postać
dT
x
dx
=−
8
3
⋅
x=−q
x
,
(Z5/17.11)
dM
x
dx
=
12,0−
4
3
⋅
x
2
=
T
x
.
(Z5/17.12)
Jak więc widać oba różniczkowe równania równowagi zostały spełnione.
Wykresy funkcji siły poprzecznej i momentu zginającego w przedziale AB przedstawia rysunek
Z5/17.7. Są to także i ostateczne wykresy tych sił przekrojowych.
Z5/17.5. Funkcje sił przekrojowych w przedziale BC
Rysunek Z5/17.6 przedstawia siły działające na odciętą część belki w przedziale BC. Na rysunku tym
są zaznaczone dodatnie siły przekrojowe.
Dr inż. Janusz Dębiński
WM
Z5/17. SIŁY PRZEKROJOWE W BELKACH I RAMACH PŁASKICH -
ZADANIE 17
5
N(x)
T(x)
M(x)
C
x
8,0 kN
X
Rys. Z5/17.6. Siły działające w przedziale BC
A
B
C
16,0 kN/m
8,0 kN
6,0
3,0
[m]
12,0 kN
44,0 kN
T(x) [kN]
M(x) [kNm]
3,0
3,0
3,0
3,0
12
,0
36
,0
8,0
0,
0
24
,0
0,0
24
,0
Rys. Z5/17.7. Wykresy funkcji siły poprzecznej i momentu zginającego w belce prostej
Funkcja obciążenia ciągłego równomiernie rozłożonego prostopadłego do osi belki będzie zerowa.
Jak widać na rysunku Z5/17.6 funkcja siły normalnej w tym przedziale jest równa także zero. Siła
poprzeczna ma postać
T
x
=
8,0 kN
.
(Z5/17.13)
Moment zginający w przedziale BC będzie miał postać
M
x
=−
8,0⋅x
.
(Z5/17.14)
Funkcja momentu zginającego jest funkcją liniową i aby ją jednoznacznie narysować musimy wyznaczyć jej
wartości w dwóch punktach. Wynoszą one
M
0,0
=
0,0 kNm
M
3,0
=−
8,0⋅3,0=−24,0 kNm
.
(Z5/17.15)
Dr inż. Janusz Dębiński
WM
Z5/17. SIŁY PRZEKROJOWE W BELKACH I RAMACH PŁASKICH -
ZADANIE 17
6
Jak wiadomo ujemne momenty zginające rozciągają górną część przekroju pręta i będziemy je odkładać na
górze.
Oś X układu współrzędnych jest skierowana w lewo, zastosujemy więc różniczkowe równania
równowagi (5.31) i (5.32). Zastosujemy tylko równanie drugie. Ma ono postać
dM
x
dx
=−
8,0=−T
x
.
(Z5/17.16)
Jak więc widać różniczkowe równanie równowagi zostało spełnione.
Wykresy funkcji siły poprzecznej i momentu zginającego w przedziale BC przedstawia rysunek
Z5/17.7. Są to także i ostateczne wykresy tych sił przekrojowych.
Dr inż. Janusz Dębiński
Document Outline